沈阳市高考数学一轮专题：第21讲正弦定理和余弦定理(II)卷

专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。

第2课时 系统题型——解三角形及应用举例1．(2018·天津期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin C ＝sin 2B ，且b ＝2，c ＝3，则a 等于( )A.12 B.3 C ．2D ．2 3解析：选C 由sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B 及正、余弦定理得c ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，代入数据得(2a ＋1)(a －2)＝0，解得a ＝2，或a ＝－12(舍去)，故选C.2．(2018·天津实验中学期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B ∵3sin A ＝5sin B ，∴由正弦定理可得3a ＝5b ，即a ＝53b .∵b ＋c ＝2a ，∴c ＝73b ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝259b 2＋b 2－499b22×53b 2＝－159103＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.故选B.3．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.[方法技巧]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法1．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b cos C c cos B＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，∴cos C cos B ＝b c 或cos Ccos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c .由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin Bsin C，即sin C cos C ＝sin B cosB ，即sin 2C ＝sin 2B ，∵B ，C 均为△ABC 的内角，∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，∴B ＝C或B ＋C ＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形。

第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60B ．30C ．60或120D ．1204．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5B C ．2D ．15．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)26．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．129．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A ．2B ．1CD ．211．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ．B ．C ．D ．113．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．22B ．5 C ．25D ．2514．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.23515．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形D ．A 为锐角的三角形16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()2,4D ．()23,417．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC面积最大时，此时的ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．619．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos CA B A+=，则ABCS =（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）A ．2πB ．2πCD 21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求ABC △的面积．22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos1cos 2A CB +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？ 问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？ （2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.。

重庆市高考数学一轮专题：第21讲正弦定理和余弦定理（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）(2013·天津理) 在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A .B .C .D .2. （2分）在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）A .B . 2C .D . 33. （2分）(2018·临川模拟) 设，则“ 是第一象限角”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高二下·驻马店期末) 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·巴音郭楞月考) 中，角、、所对的边长分别为、、，若，，，则此三角形解的个数为（）A . 一解B . 二解C . 无解D . 解的个数不确定6. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，若是和的等比中项，则（）A . 1B .C .D .7. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3bsinA，则△ABC的面积等于（）A .B .C . 1D .8. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在△ 中，分别为角的对边，已知，，面积，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·南阳月考) 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·菏泽模拟) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sinC=4sinA，cosB=，则△ABC的面积为（）A . 1B .C . 2D .11. （2分） (2017高一下·哈尔滨期末) 在中，角的对边满足，且，则的面积等于（）A .B . 4C .D . 8二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2017高二下·陕西期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________．13. （1分） (2016高二上·郑州期中) 已知△ABC中，a=2，∠A=60°，则△ABC的外接圆直径为________．14. （1分）(2017·林芝模拟) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，b2﹣a2= ac，则cosB=________．15. （1分）(2017·太原模拟) 已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为________．三、解答题 (共8题；共85分)16. （10分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=， c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．17. （10分） (2017高一下·宜昌期中) 已知函数（1）求函数f（x）的对称中心和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．18. （10分） (2019高三上·德州期中) 如图，在四边形中，，，，连接，．（1）求的值；（2）若，，求的面积最大值．19. （10分） (2017高三·银川月考) 在中，内角A，B，C所对的边分别为 .已知的面积为，（1）求和的值；（2）求cos(2A+ )的值。

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝bsinB ＝c sinC ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S ＝12(a ＋b ＋思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为4，a ＝2，B ＝30°，则c 等于()A ．8B ．4C ．833D ．433答案A解析由S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2c ×12＝4，得c ＝8.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2，则C ＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝2sin 30°2＝22，因为c >b ，B ＝30°，所以C ＝45°或C ＝135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简](2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系]思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长．(1)证明方法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A＝bsin B＝csin C可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*)．由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b2，2ab cos C＝a2＋b2－c2，22bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，c －a 2c ＝sin 2B2，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为△ABC 的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．延伸探究将本例(2)中的条件“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝a c ，所以由正弦定理得a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5c ，cos C ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin Cc.因为cos C ＝35，所以sin C ＝45，又a c ＝54，所以sin A ＝5sin C 4＝55(2)由(1)知sin A ＝55，因为a ＝5c 4<c ，所以0<A <π2，所以cos A ＝255，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝55×35＋45×255＝11525.因为b sin B ＝csin C，即1111525＝c 45，所以c ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×11×45×55＝22.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b (1＋cos C )＝3c sin ∠ABC 且△ABC 的外接圆面积为49π3.(1)求边c 的长；(2)若a ＝5，延长CB 至M ，使得cos ∠AMC ＝217，求BM .解(1)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意πR 2＝49π3，解得R ＝733.由题意及正弦定理可得sin ∠ABC (1＋cos C )＝3sin C sin ∠ABC ，因为sin ∠ABC ≠0，所以1＋cos C ＝3sin C ，即1，因为0<C <π，所以C －π6∈－π6，C －π6＝π6，即C ＝π3.故c ＝2R sin C ＝2×733×32＝7.(2)因为a ＝5，c ＝7，C ＝π3，故cos C ＝12＝25＋b 2－492×5×b ，得b 2－5b －24＝0，解得b ＝8(b ＝－3舍去)．在△ABC 中，由余弦定理可得cos ∠ABC ＝52＋72－822×5×7＝17，所以sin ∠ABC ＝437.由cos ∠AMC ＝217得sin ∠AMC ＝277.故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABC cos∠AMC－cos∠ABC sin∠AMC＝107 49，在△ABM中，由正弦定理可得BMsin∠BAM＝ABsin∠AMB，则BM＝7277×10749＝5.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案BC解析对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若acos A＝bcos B＝ccos C，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在①b2＋2ac＝a2＋c2；②cos B＝b cos A；③sin B＋cos B＝2这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．解若选①，则由b2＋2ac＝a2＋c2，得2ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选②，因为cos B ＝b cos A ，A ＝π3，b ＝2，所以cos B ＝b cos A ＝2cos π3＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选③，则由sin B ＋cos B ＝2，得2sin ＝2，所以 1.因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )；②2b cos A ＋a ＝2c ；③233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B 的大小；②求sin A ＋sin C 的取值范围；③如图所示，当sin A ＋sin C 取得最大值时，若在△ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧)，使得线段DC ＝2，DA ＝1，求△BCD 面积的最大值．解①若选①，因为c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )，由正弦定理得c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选②，因为2b cos A ＋a ＝2c ，由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ＝2c ，化简得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选③，因为233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2，由余弦定理得233ac sin B ＝2ac cos B ，化简得tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.②由①得，A ＋C ＝2π3，则0<A <2π3，sin A ＋sin C ＝sin A ＋＝32sin A ＋32cos A ＝3sin 又π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin 1，则sin A ＋sin C ，3.③当sin A ＋sin C 取得最大值时，A ＋π6＝π2，解得A ＝π3，又B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形，令∠ACD ＝θ，∠ADC ＝α，AB ＝AC ＝BC ＝a ，则由正弦定理可得a sin α＝1sin θ，所以sin α＝a sin θ.又由余弦定理得，a 2＝22＋12－2×2×1×cos α，所以a 2cos 2θ＝a 2－a 2sin 2θ＝cos 2α－4cos α＋4，所以a cos θ＝2－cos α.S △BCD ＝12×a ×＝32a cos θ＋12a sin θ＝32(2－cos α)＋12sin α＝3＋≤3＋1，当且仅当α＝∠ADC ＝5π6时等号成立，所以△BCD 面积的最大值为3＋1.课时精练1．在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B解析因为sin A ＝6sin B ，则由正弦定理得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×6×1×12，解得c ＝31.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，a ＝7，则△ABC 外接圆的直径为()A ．14B ．7C.733D.1433答案D 解析已知(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(b ＋c )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc＝－12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，所以sin A ＝sin2π3＝32，设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2R ＝asin A ＝732＝1433，所以△ABC 外接圆的直径为1433.3．(2022·北京模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若3a sin B ＝b cos A ，且b ＝23，c ＝2，则a 的值为()A ．27B ．2C ．23－2D ．1答案B解析由已知及正弦定理得，3sin A sin B ＝sin B cos A 且sin B ≠0，可得tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，又b ＝23，c ＝2，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16－12＝4，解得a ＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于()A.2393B.2633C.833D ．23答案A解析由三角形的面积公式可得S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，解得c ＝4，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，设△ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2r ，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2r (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝2r ＝asin A ＝1332＝2393.5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C ，2sin A －2sin B ＝0，则sin C 等于()A.12B.32C.6－24 D.6＋24答案C解析在△ABC 中，由(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C 及正弦定理得(b ＋c )2＝a 2＋(2－2)bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－22，而0°<A <180°，解得A ＝135°，由2sin A －2sin B ＝0得sin B ＝22sin A ＝12，显然0°<B <90°，则B ＝30°，C ＝15°，所以sin C ＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝6－24.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，lg sin C ＝12lg 3－lg 2，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案C解析∵2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，∴根据正弦定理得，2cos B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin B ，∴2cos B sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B sin(π－B )＝sin B ，即2cos B sin B ＝sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵lg sin C ＝12lg 3－lg 2，∴lg sin C ＝lg32，∴sin C ＝32，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3或2π3，∵B ＝π3，∴C ≠2π3，∴C ＝π3，∴A ＝B ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．7．(2022·全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝.答案3－1解析设BD ＝k (k >0)，则CD ＝2k .根据题意作出大致图形，如图．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋k 2－2×2k k 2＋2k ＋4.在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ＝22＋(2k )2－2×2×2k ·12＝4k 2－4k ＋4，则AC 2AB 2＝4k 2－4k ＋4k 2＋2k ＋4＝4(k 2＋2k ＋4)－12k －12k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)(k ＋1)2＋3＝4－12k ＋1＋3k ＋1.∵k ＋1＋3k ＋1≥23(当且仅当k ＋1＝3k ＋1，即k ＝3－1时等号成立)，∴AC 2AB 2≥4－1223＝4－23＝(3－1)2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD ＝k ＝3－1.8．(2023·宜春模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为．答案233解析∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，sin B sin C >0，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，∴sin A ＝12，∵b 2＋c 2－a 2＝8，结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得2bc cos A ＝8，∴A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得bc ＝833，∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理，得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ，又∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝9，即3a 2＝9，∴a ＝3，c ＝23，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×3×23×32＝332.10．(2023·湖州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3b a sin B .(1)求角A 的大小；(2)若b ，a ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．解(1)∵3b a sin B ，由诱导公式得3b cos A ＝a sin B ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin A sin B ，∵sin B ≠0，∴3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ，a ，c 成等比数列，∴a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝12，即b 2＋c 2－bc ＝bc ，∴(b －c )2＝0，∴b ＝c ，又由(1)知A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．11．(多选)对于△ABC ，有如下判断，其中正确的是()A ．若cos A ＝cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A >B ，则sin A >sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形答案ABD解析对于A ，若cos A ＝cos B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ，若A >B ，则a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ，得2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B 成立，故B 正确；对于C ，由余弦定理可得b ＝82＋102－2×8×10×12＝84，只有一解，故C 错误；对于D ，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则根据正弦定理得a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C为钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A sin B sin C ＝18，△ABC 的面积为2，则下列选项错误的是()A ．abc ＝162B ．若a ＝2，则A ＝π3C ．△ABC 外接圆的半径R ＝22D ≥32sin C 答案B解析由题可得12ab sin C ＝2，则sin C ＝4ab，代入sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B ab ＝18，即R 2＝8，即R ＝22，C 正确；abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝1282×18＝162，A 正确；若a ＝2，则sin A ＝a 2R ＝242＝14，此时A ≠π3，B 错误；因为sin A >0，sin B >0，所以(sin A ＋sin B )2≥4sin A sin B ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥4sin A sin B ，由sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B＝32sin C ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥32sin C ，即≥32sin C ，D 正确．13．(2023·嘉兴模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，c ＝23，ab ＝8，则a ＋b 的值是．答案6解析∵c sin A ＝3a cos C ，根据正弦定理得sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，故tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，代入c ＝23，ab ＝8，得a ＋b ＝6.14．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，那么BC ＝.答案9解析在△ABD 中，结合余弦定理得cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD，在△ACD 中，结合余弦定理得cos ∠ADC ＝CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD，由题意知BD ＝CD ，∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD ＋CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD ＝0，2×72CD 2×72CD 0，解得CD ＝92，所以BC ＝9.15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝332，则下列命题正确的是()A ．△ABC 的周长为5＋7B ．△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足关系A ＋B ＝2C C ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为192答案ABD解析因为△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t ，t >0，利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－7t 212t 2＝12，由于C ∈(0，π)，所以C ＝π3.对于A ，因为S △ABC ＝332，所以12ab sin C ＝12·2t ·3t ·32＝332，解得t ＝1.所以a ＝2，b ＝3，c ＝7，所以△ABC 的周长为5＋7，故A 正确；对于B ，因为C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3，故A ＋B ＝2C ，故B 正确；对于C ，利用正弦定理c sin C ＝732＝2213＝2R ，解得R ＝213，所以△ABC 的外接圆半径为213，故C 错误；对于D ，如图所示，在△ABC 中，利用正弦定理732＝2sin A ，解得sin A ＝217，又a <c ，所以cos A ＝277，在△ACD 中，利用余弦定理CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos A ＝9＋74－2×3×72×277＝194，解得CD ＝192，故D 正确．16.如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，则B ＝.若线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，且BC ＝4，DE ＝ 6.则△BCE 的面积为．答案π323解析在△ABC 中，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，而a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，则B ＝π3，在△BCE 中，设∠CEB ＝θ，则CE sin π3＝BC sin θ，可得CE ＝23sin θ，又AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则∠ECA ＝∠EAC ＝θ2，∴sin θ2＝DE CE ＝2sin θ2，可得cos θ2＝22，而0<θ<π，故θ2＝π4，即θ＝π2.∴CE ＝23，BE ＝2，故△BCE 的面积为12·CE ·BE ＝23.。

沈阳市高考数学一轮专题：第21讲正弦定理和余弦定理C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，给出以下条件，有唯一解的是（）A . ，A＝30°B . ，A＝60°C . ，B＝120°D . . ，A＝60°2. （2分）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则内角A的值为（）A . 或B . 或C .D .3. （2分） (2018高三上·沧州期末) 若，，（）A . 1B .C .D . 04. （2分）(2017·河北模拟) 在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A . （﹣0.4，﹣0.3）B . （﹣0.2，﹣0.1）C . （﹣0.3，﹣0.2）D . （0.4，0.5）5. （2分） (2020高二上·林芝期末) 在中，，，，则（）A .B .C .D .6. （2分）在△ABC中，a=4，b=， 5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（）A .B .C .D . 或7. （2分） (2016高一下·黑龙江期中) 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 =（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A .B .C .D . 39. （2分） (2016高二上·马山期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则此三角形是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形10. （2分） (2015高三上·锦州期中) 在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为（）A .B .C . 或D . 或11. （2分）(2018·临川模拟) 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值为（）A . 或B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2016高一下·滁州期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2a，C= ，则△ABC的周长是________．13. （1分）(2014·四川理) 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14. （1分）(2017·泰州模拟) 在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=________．15. （1分） (2017高二上·日喀则期中) △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=45°，B=75°，c=3 ，则a=________．三、解答题 (共8题；共85分)16. （10分） (2019高三上·衡水月考) 在中，内角，，的对边分别为，，，且 .（1）求证：；（2）若为钝角，且的面积满足，求角的大小.17. （10分）已知函数，，求解下列问题（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别且 ,，若求值．18. （10分） (2016高三上·成都期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量 =（2sinA，cos（A﹣B））， =（sinB，﹣1），且• = ．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求b﹣a的取值范围．19. （10分）(2018高二上·莆田月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.20. （10分）(2017·深圳模拟) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．21. （10分） (2017高一下·承德期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足asinB= bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．22. （15分） (2017高一下·正定期中) 如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．23. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知都是锐角，，求的值.参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共8题；共85分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算例、(1)(△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________. 变式练习1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点二 平面图形中的计算问题例、如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 跟踪训练1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题例、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A的取值范围为( ) A.]6,0(πB.]4,0(πC.]4,6[ππD.]3,6[ππ (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等． 跟踪训练1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C.(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用 考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换例、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝ac os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πB . (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质 例、已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积． 跟踪训练1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．课后作业1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．2 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( ) A.33 B.32C.3 D ．23 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋2C ．3D ．3＋2 7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πA 的值．提高训练1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则2ba的取值范围是()A．(2，2)B．(2，6)C．(2，3)D．(6，4)2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋bc os2A＝2a，则角A的取值范围是________．3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．。

第21讲双曲线及其标准方程7种常见考法归类1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.知识点2双曲线的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2a 与b 没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F 1F 2是它的一条对称轴，所以以F 1，F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，此时双曲线的焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，焦距为2c ，c >0.设P (x ，y )是双曲线上一点，则||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为大于0的常数)，因为|PF 1|＝(x ＋c )2＋y 2，|PF 2|＝(x －c )2＋y 2，所以(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a ，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)，两边同除以a 2(c 2－a 2)，得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1.由双曲线的定义知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b 2＝c 2－a 2，其中b >0，代入上式，得x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②设双曲线的焦点为F 1和F 2，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a ，其中c >a >0，以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段12的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线22221x y a b -=，22221y x a b -=（0,0a b >>）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有0,0a b >>,222c a b =+;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos 12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--1、双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲>0，<0，则方程表示焦点在x <0，>0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．2、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．3、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，注意标明条件mn <0.4、双曲线的焦点三角形解题注意点在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．5、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．考点一：双曲线定义的理解例1．（2023秋·高二课时练习）到两定点()13,0F -、()23,0F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．两条射线变式1．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于12F F 的点的轨迹是（）A ．双曲线B ．两条射线C ．一条线段D ．一条直线变式2．（2023秋·高二课时练习）已知动点(),P x y 2=，则动点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．双曲线右支D ．一条射线变式3．（2023秋·高二课时练习）与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆P 的圆心在（）A ．一个椭圆上B ．一个圆上C ．一条直线上D ．双曲线的一支上变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C ：22194x y -=，点M 与曲线C 的焦点不重合．已知M 关于曲线C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在曲线C 右支上，则AN BN -的值为______．考点二：双曲线标准方程的辨识例2．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式1．（2023·全国·高二专题练习）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x yθ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（）A ．()0,πθ∈B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式2．（2023秋·高二课时练习）“0mn <”是“221mx ny +=为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则下列说法不正确的是（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =C ．若0m n =>，则CD ．若0,0m n =>，则C 是两条直线变式4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线22132x y k k+=+-表示双曲线，那么实数k 的取值范围是（）A ．()3,2-B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()2,3-D ．()(),23,-∞-⋃+∞变式5．（2023秋·高二课时练习）“1m >”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式6．（2023秋·高二课时练习）若R m ∈，则“5m <-”是“方程22155x y m m -=+-表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式7．（2023秋·高二课时练习）已知方程()()22111k x k y +-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（）A ．11k -<<B ．1k >C ．1k <-D ．1k >或1k <-变式8．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知{}22,4,3,2,1,1,2,3,4,1x y a b a b∈----+=表示焦点在y 轴上的双曲线有m 个，221x y ab+=表示焦点在x 轴上的椭圆有n 个，则m n +的值为（）A ．10B ．14C ．18D ．22变式9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m 为实数，若方程22121x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（）A ．322m <<B ．312m <<C ．>2m D ．1m <变式10．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程222143x y λλ+=--表示焦距为线，则实数λ的值为（）A ．1B ．-4或1C ．-2或-4或1D ．-2或1考点三：求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．求曲线E 的方程；变式1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点()M ，)N，动点P 满足条件4PM PN -=．则动点P 的轨迹方程为（）A ．222(1x y x ≥-=B ．2212x y x -=≤（C ．221(2)4x y x -=≥D ．221(2)4x y x -=≤-变式2．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）A ．221169x y -=B ．22116925x y -=C ．221916x y -=D ．221169144x y -=变式3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点()2,0-，且与椭圆224936x y +=有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=变式4．（2023·全国·校联考三模）若双曲线1C 与双曲线222:17x C y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A ．22162x y -=B 221C ．22162x y -=221D ．22162x y -=或2213x y -=变式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线22221x y a b-=经过点(A ，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（）A ．221142x y -=B ．221133-=x y C ．221106x y -=D ．221124x y -=变式6．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12F F =P 在双曲线的右支上，若12PF PF b -=，则双曲线C 的方程为（）A ．2214y x -=B ．221164x y -=C ．2211664x y -=D ．221416x y -=变式7．（2023·河南安阳·统考二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P 为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=考点四：双曲线的焦点三角形例4．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P 是双曲线2211620x y -=上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|=9，则|PF 2|等于（）A ．1B ．17C ．1或17D ．8变式1．（2023·四川达州·统考二模）设1F ，2F 是双曲线C ：22143x y -=的左、右焦点，过2F 的直线与C 的右支交于P ，Q 两点，则11||F P F Q PQ +-=（）A ．5B ．6C ．8D ．12变式2．（2023·全国·高三对口高考）设1F ，2F 分别是双曲线2214yx -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF += _________，12PF PF += _________；变式3．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，且12||3||PF PF =，则12F PF ∠的大小为__________．变式4．（2023秋·高二课时练习）若12F F 、是双曲线2288x y -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12PF F △是等腰三角形，则12PF F △的周长是________.变式5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线22149x y -=，1F 、2F 是其两个焦点，点M 在双曲线上，若1260F MF ∠=︒，则12F MF △的面积为______．变式6．（2023秋·高二课时练习）已知点F 1，F 2分别是双曲线221916x y -==1的左、右焦点，若点P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=，则△12F PF 的面积为____.变式7．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点12,F F 分别为双曲线22:145x y C -=的左､右焦点，过点1F 的直线l 交双曲线C 的右支第一象限于点P ，若12F PF △的内切圆的半径为1，则直线l 的斜率为（）A ．513B ．512C ．1D 变式8．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线C 的方程为2212y x -=，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点A ，B ，使得190F AB ∠=︒，则（）A ．21AF =B ．点AC ．直线AB或D ．1ABF 1变式9．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=变式10．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为4考点五：双曲线定义的应用例5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P是C 的左支上一点，(A ，则PA PF +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8变式1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点，则2||PA PF +的最小值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11变式2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P 是圆()2231x y +-=上的一动点，()0,2A ，()0,2B -，则PB PA -的最小值为（）．ABC ．6D ．12变式3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知(7,3)A ，双曲线C ：22145x y -=的左焦点为F ，P 是双曲线C 的右支上的动点，则||||PF PA -的最大值是（）A ．1-B ．2CD ．9变式4．（2023·全国·高三专题练习）设1F ，2F 为双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）ABC2-D2+变式5．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知1F ，2F 为双曲线22:142x y C -=的左、右焦点，点P 是C 的右支上的一点，则212PF PF 的最小值为（）A ．16B ．18C．8+D．9变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22144x y C :-=的左焦点为F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，点M是圆22:(1E x y +-=上的一点，则PF PM +的最小值为（）A ．5B．5+C ．7D ．8变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线()222:10x C y a a-=>的左右焦点，且C 上存在点P 使得124PF PF =，则a 的取值范围是________．变式8．（2023·青海西宁·统考二模）设双曲线221916x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF与圆229x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．-12B ．-1C ．-32D ．-2考点六：双曲线的轨迹方程例6．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：(1)与圆()221:21C x y +-=和圆()222:24C x y ++=都内切；(2)与圆()221:39++=C x y 内切，且与圆()222:31C x y -+=外切；(3)在ABC 中，()3,0B -，()3,0C ，直线AB ，AC 的斜率之积为169，求顶点A 的轨迹方程.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆M ：2240x y x ++=上动点Q ，若()2,0N ，线段QN 的中垂线与直线QM 交点为P ．求交点P 的轨迹C 的方程；变式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P 过点()2,0N -，且与圆()22:28M x y -+=外切，则动圆P 圆心(),P x y 的轨迹方程为______.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆A ：2229x y ++=（），圆B ：2221x y -+=（），圆C 与圆A 、圆B 外切，求圆心C 的轨迹方程;E 变式5．（2023秋·天津北辰·ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）变式6．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线2214y x -=与直线():2l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点．当点M 运动时，点(),P x y 的轨迹方程是（）A ．()22104x y y +=≠B ．()22104x y y -=≠C ．()224102525x y y +=≠D ．()224102525x y y -=≠考点七：双曲线的实际应用例7．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek 和Pujol 提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A 站和B 站相距10km .根据它们收到的信息，可知震中到B 站与震中到A 站的距离之差为6km .据此可以判断，震中到地震台B 站的距离至少为（）A ．8km B ．6km C ．4kmD ．2km 变式1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m ，楼底的直径为m ，楼顶直径为m ，最细处距楼底300m ，则该地标建筑的高为（）A ．350mB ．375mC ．400mD ．450m变式2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点2P ⎛ ⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =______．1．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，求m 的取值范围．2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足2b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=3．已知双曲线的两个焦点()10F ，)2F ，P 是双曲线上一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ⋅=，则双曲线的标准方程是（）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=4．设1F ，2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）A B ．2CD ．15．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_____________．一、单选题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线222:1(0)y C x m m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F 且与C 的右支相交于A ，B 两点，若2AB =，则1ABF 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．122．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若212MN AN NB =-⋅ ，则动点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）与两圆224x y +=及228150x y x +-+=都外切的圆的圆心的轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线的一支C ．抛物线D ．圆4．（2023·全国·高三对口高考）已知两点()()5,0,5,0M N -及直线l ：①530x y -=；②53300x y --=；③0x y -=；④440x y -+=，在直线l 上存在点P 满足6MP NP =+的所有直线方程是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．（2023·全国·高三对口高考）若双曲线2221kx ky -=的一个焦点是()0,4，则k 的值为（）A ．332-B ．8C ．332D ．8-6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知R k ∈，则“23k -<<”是“方程22122x y k k -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F △的内切圆上一点，则112F M F F ⋅ 取值范围为（）A ．()18,42B ．()24,36C ．(30-+D ．(6-+8．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，2AB BC CD ===AD 所在直线为x 轴，则双曲线的方程为（）A ．22719y x -=B ．2221x y -=C ．22917y x -=D ．22314y x -=二、多选题9．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知m ∈R ，则方程()()22211m x m y -++=所表示的曲线为C ，则以下命题中正确的是（）A ．当1,22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆B ．当曲线C 表示双曲线时，m 的取值范围是()2,+∞C ．当2m =时，曲线C 表示两条直线D ．存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线10．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A B C ．4D ．211．（2023·高二课时练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（）A ．122PA PA a-=B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值22b a C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若212PA PA b ⋅= ，则120PF PF ⋅= 三、填空题12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，124F F =.以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A ，双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，则直线1F A 的斜率为______.13．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m n 、为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P 与点())12F F 、满足12PF PF ⊥，则满足题意的有序实数对(),m n 共有__________对.14．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为12,F F ，直线6x y +=过双曲线的一个焦点，P 为双曲线上一点，且1210,4PF PF ==，则双曲线的方程为__________．15．（2023·河北·校联考一模）设1F ，2F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为M ，则OM =______.16．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知1F ，2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠=______．四、解答题17．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆221169x y +=短轴的两个端点为焦点，且过点(4,5)A -；(2)经过点(3,P -和(7)Q --．18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F ，)212,2F MF MF -=，点M 的轨迹为C .求C 的方程；19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆221:(2)9C x y ++=，圆222:(2)1C x y -+=，动圆P 与圆1C 、圆2C 都外切．圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程；20．（2023·高二单元测试）若双曲线C ：22221x y a b -=上一点(D 到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)设1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，点P 是双曲线上的点，若126PF PF +=，求12PF F △的面积.21．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且该双曲线过点(2,P -．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点1F 作斜率为AB ，求AB 的长；(3)求2F AB 的周长．。

辽宁省锦州市高考数学一轮复习：21 正弦定理和余弦定理姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且,则（）A.B.C.D.2. （2 分）的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，a=80,b=100,A=30 ， 则此三角形（ ）A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形C . 一定是钝角三角形D . 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形3. （2 分） 在△ABC 中，三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若内角 ABC 依次成等差数列，且不等式 的解集为{x|a<x<c}，则△ABC 的面积为（ ）A.B.C.D.4. （2 分） (2016 高一下·惠阳期中) 在△ABC 中，∠A= ，AB=2，且△ABC 的面积为第 1 页 共 11 页，则边 AC 的长为（ ） A.1B. C.2 D.3 5. （2 分） (2018 高一下·齐齐哈尔期末) 在 A. B.中，若C.D.6. （2 分） (2018 高二上·湖滨月考) △ABC 中，，，则 与 的关系为（ ），，则最短边的边长等于（ ）A.B. C.D.7. （2 分） (2018·衡水模拟) 在中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若的面积为 ，且，则等于（ ）A.第 2 页 共 11 页B.C.D.8. （2 分） (2018 高一下·北京期中) △ABC 中，若 B＝45°，A . 15°B . 75°C . 75°或 105°D . 15°或 75°9. （2 分） (2018·河北模拟) 在中，角的对边分别为，且的面积为，则的周长为（ ）A.B.C.D.，则 A＝（ ），，10. （2 分） (2020·龙岩模拟) 已知，则（）A.B.中的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，，，C.第 3 页 共 11 页D.11. （2 分） 在中，若，，其面积为，则（）A.B.C.D.12. （2 分） (2019 高二上·哈尔滨月考) 已知点动，则面积的最小值为（ ）A.，，若点 在圆B.上运C.D.二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)13. （1 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，，若 a2+c2=4ac，则=________．14. （1 分） (2016 高二下·曲靖期末) 在△ABC 中，设 AD 为 BC 边上的高，且 AD=BC，b，c 分别表示角 B，C所对的边长，则 + 的最大值是________．15. （1 分） (2019 高一下·吉林期中) 在中，内角，则外接圆的面积为________．的对边分别为，若，16. （1 分） (2018·保定模拟) 已知 a，b，c 分别为的三个内角 A，B，C 的对边，b=6，且 accosB=a2-b2+第 4 页 共 11 页bc， 为内一点，且满足，则________17. （1 分） (2012·北京) 在△ABC 中，若 a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则 b=________．18. （1 分） 已知圆内接四边形 ABCD 的边则 BD 的长为________；19. （1 分） (2019 高一下·宁波期中) 在 ________.三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)20. （10 分） (2019·唐山模拟) 在 .（1） 求角 ；中，，，其面积为 ，则 ________，中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，（2） 若，，求 .21. （10 分） (2016 高一下·黄山期末) △ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量，，且．（1） 求 A 的大小；（2） 现在给出下列三个条件：①a=1；② 求出所确定的△ABC 的面积．；③B=45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，22. （10 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，bcosC+ bsinC﹣a﹣c=0．求证：A，B， C 成等差数列．23. （10 分） (2017·天津) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；第 5 页 共 11 页（Ⅱ）求 sin（2A+ ）的值．24. （10 分） (2020 高一下·句容期中) 如图，在中，，，.是内一点，且.（1） 若，求线段 的长度；（2） 若，求的面积.25. （10 分） (2018 高二上·浙江月考) 如图所示，足．中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满Ⅰ 求角 C 的大小； Ⅱ 点 D 为边 AC 的中点，，求面积的最大值．第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、 17-1、 18-1、 19-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)20-1、20-2、 21-1、第 8 页 共 11 页21-2、22-1、第 9 页 共 11 页23-1、 24-1、第 10 页 共 11 页24-2、25-1、第11 页共11 页。

辽宁省营口市高考数学一轮复习：21 正弦定理和余弦定理姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·惠州期末) 已知三个内角A、B、C的对边分别是，若，则b等于（）A . 3B .C .D .2. （2分）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于（）．A . 5B . 13C .D .3. （2分） (2020高一下·昌吉期中) 在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则a=（）A .B .C .D .4. （2分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：1）∠B+∠DAC=90°；2）∠B=∠DAC；3）；4）AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个5. （2分） (2019高三上·宜宾期末) 已知中，，，则等于A .B .C . 或D . 或6. （2分） (2020高二下·大庆月考) 在△ABC中，若 a=2bsinA,则B为（）A .B .C . 或D . 或7. （2分） (2020高一下·邢台期中) 在中，分别为角所对的边，，面积，则a为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·四川月考) 在中，内角的对边分别是，若，则一定是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形9. （2分）在中，若，则这个三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形10. （2分） (2019高一下·大庆月考) 的三边长分别为3，4，6，则它的较大锐角的角平分线分得的两个三角形的面积之比为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一下·杭州期中) 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且边，则边b=（）A . 3或5B . 3C . 2或5D . 512. （2分）(2020·成都模拟) 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（）A .B .C . 或D . 或二、填空题 (共7题；共7分)13. （1分） (2016高一下·宁波期中) 已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC= ，则角B=________，AC=________．14. （1分） (2018高二上·延边期中) 已知中，，若三角形有两解，则的取值范围是________15. （1分） (2020高一下·陕西月考) 若满足条件的有两个，则边长的取值范围是________.16. （1分） (2019高一下·台州期中) 若锐角的面积为，则边上的中线为________．17. （1分） (2017高二上·莆田月考) 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则此双曲线的渐近线方程为________.18. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为________．19. （1分）(2017·黑龙江模拟) 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是________．三、解答题 (共6题；共60分)20. （10分）(2017·河南模拟) 已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+ =π．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．21. （10分）已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=， b=4，•=12，求c．22. （10分） (2020高一下·诸暨期中) 如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：（1）该几何体的体积．（2）截面ABC的面积．23. （10分）(2020高二上·吉林期末) 已知中，a，b，c 为角A，B，C 所对的边，．（1）求cos A的值；（2）若的面积为，求b ，c 的长．24. （10分）(2016·福建模拟) 如图，在△ABC中，AB=2，cosB= ，点D在线段BC上．（1）若∠ADC= π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ABC的面积为，求的值．25. （10分）(2019·天津模拟) 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于两点．（ⅰ）求的面积最小值；（ⅱ）证明：三点共线．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共7题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共6题；共60分) 20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、第11 页共12 页第12 页共12 页。

课时作业23 正弦定理和余弦定理时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B . 答案：C2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 解析：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A3．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34解析：∵sin C 3＝sin B 1，∴sin C ＝3·sin30°＝32.∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32，当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝34.即△ABC 的面积为32或34. 答案：D4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b . 又∵a 2－b 2＝3bc ， ∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2， 即a 2＝7b 2，a ＝7b .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋ 23b 2－ 7b 22b ×23b ＝32，∴A ＝30°. 答案：A5．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C ，∴sin C sin B ＝cb， ∴sin2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.答案：A6．(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2－c 22ab ＝c 22ab ，又因为a 2＋b 2＝2c 2≥2ab ，所以c 2≥ab . 所以cos C ＝c 22ab ≥ab 2ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝__________.解析：由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝4＋ 7－b 2－b 22×2× 7－b ＝－14，解得b ＝4.答案：48．(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B＝513，b ＝3，则c ＝__________. 解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案：1459．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析：对于①，由ab >c 2可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab 2ab ≥2ab －ab 2ab ＝12.故C <π3，∴①正确；对于②，由a ＋b >2c 可得c <a ＋b 2，故c 2< a ＋b 24. 故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－a ＋b 242ab＝34 a 2＋b 2 －ab22ab≥34×2ab －ab 22ab ＝12.∴C <π3，②正确；对于③，由a 3＋b 3＝c 3可得c 2＝a 3＋b 3c，故a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－a 3＋b 3c＝a 2c ＋b 2c － a 3＋b 3 c ＝a 2 c －a ＋b 2 c －b c又a 3＋b 3＝c 3，故c >a ，c >b ， 故a 2 c －a ＋b 2 c －bc >0，故a 2＋b 2>c 2.故C <π2，③正确；对于④，c <2ab a ＋b ，故c 2<4a 2b 2 a ＋b 2≤4a 2b 24ab ＝ab .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab 2ab ≥12.∴C <π3，④不正确；对于⑤，由(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2可得c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab＝ab .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab2ab≥2ab －ab 2ab ＝12.∴C <π3，⑤不正确．综上可知，①②③正确．答案：①②③ 三、解答题(共55分)10．(15分)(2012·大纲全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C .②由①，②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(20分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.12．(20分)(2012·江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →， 所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ， 由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.。

课时作业23 正弦定理和余弦定理时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B . 答案：C2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 解析：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A3．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34解析：∵sin C 3＝sin B 1，∴sin C ＝3·sin30°＝32.∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32，当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝34.即△ABC 的面积为32或34. 答案：D4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b . 又∵a 2－b 2＝3bc ， ∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2， 即a 2＝7b 2，a ＝7b .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋ 23b 2－ 7b 22b ×23b ＝32，∴A ＝30°. 答案：A5．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C ，∴sin C sin B ＝cb， ∴sin2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.答案：A6．(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2－c 22ab ＝c 22ab ，又因为a 2＋b 2＝2c 2≥2ab ，所以c 2≥ab . 所以cos C ＝c 22ab ≥ab 2ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝__________.解析：由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝4＋ 7－b 2－b 22×2× 7－b ＝－14，解得b ＝4.答案：48．(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B＝513，b ＝3，则c ＝__________. 解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案：1459．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析：对于①，由ab >c 2可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab 2ab ≥2ab －ab 2ab ＝12.故C <π3，∴①正确；对于②，由a ＋b >2c 可得c <a ＋b 2，故c 2< a ＋b 24. 故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－a ＋b 242ab＝34 a 2＋b 2 －ab22ab≥34×2ab －ab 22ab ＝12.∴C <π3，②正确；对于③，由a 3＋b 3＝c 3可得c 2＝a 3＋b 3c，故a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－a 3＋b 3c＝a 2c ＋b 2c － a 3＋b 3 c ＝a 2 c －a ＋b 2 c －b c又a 3＋b 3＝c 3，故c >a ，c >b ， 故a 2 c －a ＋b 2 c －bc >0，故a 2＋b 2>c 2.故C <π2，③正确；对于④，c <2ab a ＋b ，故c 2<4a 2b 2 a ＋b 2≤4a 2b 24ab ＝ab .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab 2ab ≥12.∴C <π3，④不正确；对于⑤，由(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2可得c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab＝ab .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－ab2ab≥2ab －ab 2ab ＝12.∴C <π3，⑤不正确．综上可知，①②③正确．答案：①②③ 三、解答题(共55分)10．(15分)(2012·大纲全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C .②由①，②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(20分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.12．(20分)(2012·江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →， 所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ， 由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.。

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课时作业（二十一）第21讲正弦定理和余弦定理时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1。

在△ABC中,a，b,c分别是内角A，B，C所对的边，C=60°，a=4b，c=,则b=(）A. 1B. 2C. 3D.2.[2018·安徽六校一联]在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知b=1，B=，cos A=，则a=(）A.B.C。

D.3.在△ABC中,若sin2A+sin2B+cos2C〈1,则△ABC的形状是(）A。

锐角三角形B. 直角三角形C。

钝角三角形D. 不能确定4.[2018·玉溪一中月考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a，b,c,若a=3，b=,A=，则△ABC的面积为。

5。

[2017·广西桂林、百色等五市二联]△ABC的内角A,B，C的对边分别为a,b，c，若a=4，b=5,b>c，△ABC的面积为5，则c= .能力提升6。

在△ABC中,内角A,B，C的对边分别为a，b，c,设△ABC的面积为S，若S+a2=（b+c)2,则cos A等于()A。

B。

—C. D. -7。

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且=，则B等于()A。