超几何分布与二项分布学案

4.2.3二项分布与超几何分布（一）1．n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是的，此时这n 次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．思考：独立重复试验必须具备哪些条件？2．二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．注意到上述X n1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．()(2)两点分布是特殊的二项分布．()(3)二项分布可以看作是有放回抽样．()(4)n 次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． ( )2．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.283．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. ——合作探究·释疑难——类型1 独立重复试验的概率【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．规律方法独立重复试验概率求法的三个步骤类型2 二项分布【例2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．规律方法1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． [跟进训练]1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用 [探究问题]1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．规律方法对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.[跟进训练]2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．——课堂小结·提素养——必备素养1．独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义学以致用1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49 B.29 C.427D.2272．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( ) A.C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B.C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×143．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是12，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．4．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．5．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两位小数)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．参考答案新知初探1．相互独立思考：[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响；(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．2．C k n p k qn －kX ～B (n ，p )初试身手1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】A【解析】∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝8)＝C 810×0.88×0.22，故选A.3．【答案】38【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由n 次独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.4．【答案】①②【解析】①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．——合作探究·释疑难——类型1 独立重复试验的概率【例1】 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则 P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38. 由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝49×38＝16.【例2】 解：(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23·13，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为[跟进训练]1．解：(1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A ∩B ”，且事件A ，B 相互独立． ∴P (A ∩B ＋A ∩B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用[探究问题]1．[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布． 2．[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． 【例3】 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥， 又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡ 23×13×12＋13×23×⎦⎤12＋13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243.[跟进训练]2．解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为⎝⎛⎭⎫123＝18， 所以单个坑不需要补种的概率为1－18＝78.设需要补种的坑数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫180×⎝⎛⎭⎫783＝343512，P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫181×⎝⎛⎭⎫782＝147512， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫182×⎝⎛⎭⎫781＝21512， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫183×⎝⎛⎭⎫780＝1512， 所以需要补种坑数的分布列为学以致用1．【答案】A【解析】记“恰有1次获得通过”为事件A ， 则P (A )＝C 13⎝⎛⎭⎫13·⎝⎛⎭⎫1－132＝49.故选A. 2．【答案】C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝⎛⎭⎫142×34. 3．【答案】1516【解析】所有同学都不通过的概率为⎝⎛⎭⎫1－124， 故至少有一位同学通过的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－124＝1516. 4．【答案】13或23【解析】P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232，解得p ＝13或p ＝23.5．解：(1)记“预报1次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.。

2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【课程标准】1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.【必备知识精归纳】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X 表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)当n=1时,随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= - -,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.三、正态分布1.定义-( - ) ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,若随机变量X的概率分布密度函数为f(x则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【基础小题固根基】教材改编易错易混1,2,43,51.(教材变式)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)等于()A.1.8B.6C.2.1D.4.2【解析】选D.因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.2.(教材变式)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=.【解析】由题意得P(X=2)=C32C72C104=310.答案:3103.(对二项分布意义不理解致误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.4.(教材提升)某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100<X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(110,102),所以该正态曲线关于X=110对称,因为P(100<X≤110)=0.34.所以P(X>120)=P(X≤100)=12×(1-0.34×2)=0.16.所以该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50=8.答案:85.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从20道备选题中一次性随机抽取5道题,并独立完成所抽取的5道题,乙能正确完成每道题的概率为45,且每道题完成与否互不影响,记乙能正确完成的题数为Y,则Y的数学期望为.【解析】由题意知Y~B5,45,所以E(Y)=5×45=4.答案:4二项分布[典例1](1)出租车司机从饭店到火车站途中经过6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.则这位司机在途中遇到红灯数X 的均值为,方差为.【解析】X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,这位司机经过一个交通岗就是一次试验,有遇到红灯和未遇到红灯两个结果,X=k(k∈N,k≤6)的事件相当于6次独立重复经过一个交通岗的试验,恰有k次遇到红灯的事件,于是得随机变量X~B6,13,所以E(X)=6×13=2,D(X)=6×13×1-13=43.答案:243(2)(2022·福州模拟)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能拿奖的概率都是23,那么在本次运动会上:①求该运动员至少能拿2项奖的概率;②若该运动员能拿奖的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能拿奖”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设该运动员能拿奖的项目数为随机变量ξ,“该运动员至少能拿2项奖”为事件A,则有P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C3223213+C33233=2027;②由①可知,X~B3,23,则P(X =0)=C301-233=127,P(X=1)=C31·23·1-232=29,P(X=2)=C32·232·1-23=49,P(X=3)=C33·233=827,所以X的分布列为X0123P1272949827所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或E(X)=3×23=2)【方法提炼】1.求n重伯努利试验概率的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.2.求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.【对点训练】张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L2路线有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)若张先生想在上班的途中,“平均遇到红灯次数最少”,则张先生应从上述两条路线中选择哪条上班路线,并说明理由.【解析】(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则P(A)=C30×123+C31×12×122=12.所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,知X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=1-34×1-35=110,P(X=1)=34×1-35+1-34×35=920,P(X=2)=34×35=920.随机变量X的分布列为X012P110920920E(X)=110×0+920×1+920×2=2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B3,12,所以E(Y)=3×12=32.因为E(X)<E(Y),所以张先生应选择L2路线上班.【加练备选】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)设落在区间[75,85]内的频率为x,则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3.由(1)得,落在区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.61×0.42=0.288,P(X=2)=C32×0.62×0.41=0.432,P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216所以X的数学期望为E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)=np=3×0.6=1.8).超几何分布[典例2](1)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问,则恰有2人会法语的概率为;既会法语又会英语的人数X的均值为.【解析】设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”,则P(A)=C52C21C73=47.方法一:依题意知X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C42C31C73=1835,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,所以X的分布列为X0123P43518351235135所以E(X)=0×435+1×18+2×1235+3×135=97.方法二:E(X)=3×37=97.答案:4797(2)从某校高三年级中随机抽取100名学生,对其视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者统计),得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为110.①求a,b的值;②若高校B专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于5.0,已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层随机抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学,4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】①由频率分布直方图的性质,得×0.2=110,( +0.75+1.75+ +0.75+0.25)×0.2=1,解得b=0.5,a=1.②在[4.9,5.1)中,共有15人,其中5人裸眼视力不低于5.0,在这15人中,抽取3人,在[5.1,5.3)中,共有5人,抽取1人,随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=C103C50C153=2491,P(ξ=2)=C102C51C153=4591,P(ξ=3)=C101C52C153=2091,P(ξ=4)=C100C53C153=291,所以ξ的分布列如下ξ1234P249145912091291【方法提炼】超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.【对点训练】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求上述抽取的40件产品中质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X 的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)=C120C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C280C402=11130,所以X的分布列为X012P63130286511130所以X的均值为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35;(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的产品数量Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310,P(Y=k)=C2 ×1-3102-k×310k,所以P(Y=0)=C20×7102=49100,P(Y=1)=C21×310×710=2150,P(Y=2)=C22×3102=9100.所以Y的分布列为Y012P4910021509100正态分布角度1正态分布的性质[典例3](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且-( -10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是()f(xA.10与8B.10与2C.8与10D.2与10【解析】选B.因为f(xe-( -10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.-( - )22 2(x∈R,i=1,2,3)的图象(2)(2023·深圳模拟)已知三个正态密度函数φi(x如图所示,则()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),亦可知σ1=σ2<σ3.(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D 错误,符合题意.【方法提炼】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.角度2正态分布的概率计算[典例4](1)(2023·运城模拟)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.62=0.2.(2)(2022·安阳模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比约为()(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.997)A.0.3%B.0.23%C.1.5%D.0.15%【解析】选D.依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比约为1-99.7%2=0.15%.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【方法提炼】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态密度曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).角度3正态分布的综合应用[典例5](1)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩x近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)【解析】因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52),则P(100-17.5≤x≤100+17.5)=P(82.5≤x≤117.5)≈0.68,所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为P(x<82.5)=1- (82.5≤ ≤117.5)2≈1-0.682=0.16.又P(100-17.5×2≤x≤100+17.5×2)=P(65≤x≤135)≈0.95,所以数学成绩特别优秀的概率为P(x>135)=1- (65≤ ≤135)2≈1-0.952=0.025.又P(x<82.5)=P(x>117.5)≈0.16,则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.025≈13.答案:0.1613(2)为了解某年龄段人群的午休睡眠时间,随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者,统计了他们的午休睡眠时间,得到如图所示的频率分布直方图.①求这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间Y服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取被调查者的平均午休睡眠时间 和方差s2,那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的人数估计有多少?③如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况,现从全市所有该年龄段的人中随机抽取5人,记午休睡眠时间不超过73.09分钟的人数为X,求E(X)(精确到0.01).附:(i)s2=212.75,212.75≈14.59.(ii)Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】①由题意知,第一组至第六组的区间中点值分别为35,45,55,65,75,85,对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.15,0.15,0.1.所以 =35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(分钟),所以这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 =58.5分钟.②由题意得Y~N(58.5,14.592),则P(43.91≤Y≤73.09)=P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,所以P(Y>73.09)=P(Y<43.91)≈1-0.68272= 0.15865,所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的估计有0.158 65×1000≈159(人).③在全市该年龄段人中抽取午休睡眠时间不超过73.09分钟的人的概率P≈1-0.15865=0.84135,由题意得X~B(5,0.84135),所以E(X)=5×0.84135≈4.21.【方法提炼】解决正态分布问题有三个关键点(1)对称轴x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.提醒只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【对点训练】1.(2023·常州模拟)若随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)等于()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【解析】选A.由题意,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.2.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生考试成绩的取值X(单位:分)是服从正态分布N(502,144)的随机变量,模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为()(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827B.0.65865C.0.84135D.0.34135【解析】选C.X~N(502,144),则σ=12,因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(X≥490)≈1-0.15865=0.84135.3.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2 ,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊂(-0.5,0.5),又μ=0,σ所以0.所以n≥32.答案:32【加练备选】1.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题:甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2);乙:P(ξ>a)=0.5;丙:P(ξ≤a)=0.5;丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D .由于乙、丙的真假性相同,所以乙、丙都是真命题,故a =μ;根据正态密度曲线的对称性可知,甲:P (ξ<μ-1)>P (ξ>μ+2)为真命题;P (μ<ξ<μ+1)>P (μ+1<ξ<μ+2),所以假命题是丁.2.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 =116∑ =116xi =9.97,s.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数 作为μ的估计值,用样本标准差s 作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ≤Z ≤μ+3σ)≈0.9973,0.997316≈0.9577,0.008≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,故X~B (16,0.0027).因此P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-0.997316≈0.0423;X 的数学期望E (X )=16×0.0027=0.0432.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由 =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02.因此μ的估计值为10.02.∑ =1162=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为0.008≈0.09.。

【主问题的提出】：如何应用二项分布解决一些简单的实际问题？【主问题的解决】【情境与问题】为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？一、n 次独立重复试验在相同条件下重复n 次伯努利试验，若这n 次试验是相互独立的，则这n 次伯努利试验称为n 次独立重复试验.二、二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p ，记q=1p ,且n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为X ，则X 的取值范围是{0,1,2,,,}k n ，，而且____________________)(==k X P因此X 的分布列如下表所示．注意到上述X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式中对应项的值，因此称X 服从参数p n ,的二项分布，记作(,)X B n p ．【尝试与发现】已知某种药物对某种疾病地治愈率为34，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈．（1）这能否看成独立重复试验？（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；（3）求出恰有3个患者被治愈的概率；（4）设有X 人被治愈，求X 的分布列．【典型例题】例1.设本节一开始的情境与问题中，能正常工作的设备数为X ．（1）写出X 的分布列；（2）求出计算机网络不会断掉的概率.【主问题的应用】例2.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y 万元．（1）指出X 服从的分布；（2）写出Y 与X 的关系；（3）求(300)P Y ；（4）.的分布列写出Y 归纳小结：归纳本节课所学的知识点及易错点：本节课你学到了什么？你的疑惑：。

二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。

2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。

3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。

教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。

2.超几何分布和二项分布的计算方法。

教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。

教学准备：1.教师准备PPT。

2.学生铅笔、橡皮、作业本。

教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。

Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。

提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。

2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。

提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。

3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。

帮助学生掌握计算过程和技巧。

4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。

帮助学生巩固所学知识。

Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。

2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。

Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。

2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。

备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。

超几何分布与二项分布二轮复习教学设计与导学案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高三二轮复习教学设计1 超几何分布与二项分布知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。

过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。

情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。

教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计流程问题情境设计意图师生活动解题回放提出问题问题1“低碳生活”题中出现的两种解答中，知识依据与过程完全不同，得到的期望值却相同。

纯属巧合吗？哪种解借助学生考试中给出的解答提出问题，既给学生以警示，又引发疑问，诱发思考，有利于吸引学生的注意力并激发学生的学习激情。

展示学生答题过程，学生赏析，判断正误。

答更符合题意呢？辨别正误发现错因问题2造成错解的核心问题为何？怎样有效避免？引导学生快速进入学习主题，弄清区分两种分布是避免错误的关键。

引发学生积极思考，主动探究解决问题的方法。

微专题《二项分布与超几何分布的区别与联系》01、微专题微课内容概要一、《高中数学课程标准》对本专题的要求二、近5年全国卷高考试题特点与命题规律三、概率统计近几年高考试题命题规律及趋势预测1，题型与难度：由2018年以前一小一大17分变为近三年两小一大22分，考查力度加大了，2020年和2021年的新高考解答题难度相比2018和2019年有所下降，有回归中档题的势头。

2，考查内容：小题：古典概型、独立重复试验概率、互斥事件概率、统计图表的分析与应用；大题：离散型随机变量分布列与数学期望、二项分布、正态分布、回归分析、概率与导数交汇、概率与数列交汇。

重点考查内容比较稳定.古典概型、独立重复试验概率、离散型随机变量分布列与数学期望、二项分布依然是2022年考查的重点方向。

3，考查要求：既有基本知识、基本方法、基本技能的考查，更有数学思想、数学核心素养的考查。

4，核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析。

四、概率统计复习安排小题备考：1、样本估计总体2、统计案例3、概率问题大题备考：1、专题求分布列问题2、微专题：超几何分布与二项分布3、微专题：概率与独立性检验4、微专题：概率与回归直线的综合02微专题微课《二项分布与超几何分布的区别与联系》<一>设计意图：离散型随机变量分布列与数学期望、二项分布依然是2022年考查的重点方向。

在高三一轮复习中，学生已通过概率统计知识进行系统整合，对概率的计算公式，古典概型，超几何分布概率模型，二项分布概率模型，独立重复实验概率模型等进行了系统的对比和复习，但从平时测试中发现学生常把超几何分布和二项分布弄混淆，对这两种模型的定义不能很好地理解。

通过本次微课从而突破本章的重点，解决学生难点，也发展了学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.<二>学情分析教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别<三>教学目标理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率，能理解和掌握二项分布和超几何分布的区别与联系.<四>教学重难点教学重点：会判断古典概型以及会计算随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率理解超几何分布概率模型和二项分布概率模型教学难点：理解超几何分布概率模型和二项分布概率模型的区别，并在实际问题中会运用两种模型解决实际问题<五>教学过程一、复习回顾：超几何分布与二项分布概念对比二、典例剖析：例1：在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．3(2)7P X==B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从超几何分布D．8 ()5 E X=学生考情分析：参加考试50人，全对15人，错选B选项有5人，半对30人。

2.1 超几何分布-人教B版选修2-3教案
一. 学习目标
1.掌握超几何分布的基本概念和计算方法；
2.能够应用超几何分布解决相关问题；
3.能够理解和应用超几何分布与二项分布的关系。

二. 教学重点
1.超几何分布的概念及其计算方法；
2.超几何分布与二项分布的关系。

三. 教学难点
1.超几何分布与二项分布的关系。

四. 教学内容及学时安排
教学内容学时数
概念及计算方法 1
例题讲解 1
超几何分布与二项分布的关系 1
五. 教学方法及手段
1.讲授；
2.例题分析。

六. 教学过程
1. 概念及计算方法
•学生通过教材学习超几何分布的概念及其计算方法，并提出自己的疑问；
•教师在学生的基础上给出具体的定义和计算公式；
•见缝插针式的强化讲解实例，以在大众中营造出超几何分布在实际中的应用场景。

2. 例题讲解
•老师选取一些典型难度的例题进行现场讲解，孕育出解题的思想和方法；
•学生可以因标准答案的反复讲解，逐渐理解解题逻辑；
•最后老师用实例的方式回答提出问题。

3. 超几何分布与二项分布的关系
•超几何分布与二项分布的联系和差异；
•超几何分布、二项分布在统计学中的意义；
•两个分布在实际中的应用。

七. 教学反思
本节课采用的是“探究式”的讲解方式，学生可以主动思考、提问、探讨，能够更好的理解和掌握超几何分布的基本概念和计算方法。

同时，通过具体的实例，可以使学生将所学知识之间的关系更加深入理解，理论与实践结合的方式能够培养学生的分析和解决实际问题的能力，有助于提高学生的数学思维能力。

关于超几何分布与二项分布的教学设计目录1．研究背景 (1)2．新《课标》的理念基础 (1)3．教学设计 (1)3．1学习内容分析 (1)3．2学情分析 (2)3．3学习目标 (2)3．3．1知识、技能目标 (2)3．3．2过程、方法目标 (2)3．3．3情感态度与价值观目标 (2)3．3．4教学重难点分析 (2)3．3．5教法、学法分析 (3)4．教学过程 (3)4．1超几何分布 (3)4．1．1复习引入 (3)4．1．2讲解新知 (4)4．1．3应用举例 (5)4．1．4反馈练习 (5)4．1．5归纳总结 (6)4．2二项分布 (6)4．2．1复习引入 (6)4．2．2探索新知 (6)4．2．3例题说明 (7)4．2．4练习巩固 (7)4．2．5归纳小结 (8)5．总结 (8)5．1教学过程小结 (8)5．2教学内容小结 (9)5．3整式教学流程图 (11)6．教学反思 (12)参考文献 (13)摘要：离散型随机变量是高一数学选修课中的内容之一，在高中数学中占有重要地位，其中包括两种重要的分布：超几何分布与二项分布．这两种分布是本节课要重点介绍的内容．学生能分清楚这两种分布所对应的随机变量的意义，并能准确地判断出随机变量所服从的分布类型是非常重要的．因此，本教学设计的目的是：使学生易于深刻理解两种分布，并发现两种分布所对应的随机变量的意义，准确判断出随机变量的分布类型．它们之间最明显地区别在于是否有放回，并且二项分布的每次试验相互独立，不受其它试验结果的影响．二项分布是无限的总体个数，而超几何分布是有限的．深刻理解这两种分布模型，有助于提升学生对学习的自主性、积极性．增强学生发现问题，分析问题和解决问题的能力．关键词：超几何分布；二项分布；n次独立重复试验；随机变量1.研究背景对于学生的教学，应该从学生自身已有的生活经验、理性的知识程度和感性的生活认知出发，设计出适合本年级学生学习知识的教学方案，因此，国家教育部也强调数学教材应该源于生活，归于生活，最后将其应用于生活．这样可以教学中比较繁琐的内容变得简化，更易于理解．《标准》中也指出：数学活动应该建立在已有经验的基础上．新课改让老师们更有机会去大胆创新，寻找到更有益于学生学习的方法，在课本中学习真理，在实践中检验真理[1]．创新出能使学生对知识产生浓厚的学习兴趣的教学设计方案．2.新《课标》的理念基础新课标的修改，体现出要更加注重培养学生的综合素质，学生学习的自主性，探究性和积极性．学生的学习过程应当是生动的，活泼的，这应该体现在课堂学习氛围中，教师应当在教学设计中多下功夫，目的是使学生对学习产生浓厚的兴趣，在课堂上交流合作，勤于思考，积极发言．建立一个完善、亲近学生的评价体系[2]．3.教学设计3．1学习内容分析本节课是高一数学选修3-2中离散型随机变量的两种重要模型，主要介绍了书中第二章中的一些内容，共分为两个课时：第一个课时，开头首先复习巩固了离散型随机变量的概念和分布列及其性质特征，紧接着通过创设问题情境，引出了超几何分布．在这一课时中，主要是介绍超几何分布的定义及其基本性质；第二个课时，主要介绍了二项分布及其实际应用．在这节课中，通过借助实例和探究学习，使同学能够准确掌握两种分布的定义与基本特征，从而能正确区分两种分布，并加以运用在实际问题中．3．2学情分析由于学生已经具备一定的知识基础和心理认知．也具备了一定的逻辑判断能力和计算能力．所以先让同学们分别感受超几何分布和二项分布的基本特征，然后让学生体会二者的区别与联系，最后准确的区分二者，并在实际问题中能熟练应用知识[3]．3．3学习目标3．3．1知识、技能目标（1）进一步了解超几何分布与二项分布产生的实际背景，在学习超几何分布和二项分布的时候，不仅要对公式熟练应用，而且更要理解它们的推导过程，并且要将它们的联系与区别熟记于心，进一步构建并完善学生的知识体系；（2）掌握两种分布的基本性质，要能准确区分出两种分布，更重要的是能准确运用两种分布解决实际问题[4]；3．3．2过程、方法目标（1）通过自主学习，熟悉本节课的基本知识与思维逻辑方法，建构和完善知识体系[5]；（2）借助实例，通过合作交流与自主探究学习，在与同学的讨论交流中获得对两种分布的基本特征的认识，从而使学生的知识框架能够更完整的构建，这样，学生对本节课的知识也就有了更进一步的了解，在以后知识的运用过程中也会更加得心应手．3．3．3情感态度与价值观目标通过举出生活中的一个实例，使学生将注意力关注到该问题上，主动思考该问题；这样有助于鼓励学生积极主动参与进来；通过自主探究、相互合作交流，从而形成良好的激发思维和理性思考问题的品质；通过学生自主回答相关题目，增强学生的自信心，提升学生自我激励与竞争向上的品质[6]．3．3．4教学重难点分析重点：学生能够体会超几何分布和二项分布的定义；深刻掌握二者的基本性质；并且熟悉它们之间的联系和区别，能熟练区分二者．难点：学生能够充分理解超几何分布与二项分布的概念，掌握两种分布的公式，能运用公式解决一些简单的概率问题，熟悉两种分布之间的区别与联系[7]．3．3．5教法、学法分析教法：依据教师对学生已有知识经验的了解，结合此了解，通过讲授法，讨论法等，培养学生正确的思维能力，熟练掌握全面的、认真的考虑问题的方法．教师通过引导学生，使学生接受引导并观察思考问题，激发学生的主观能动性．学法：现在的课堂一定要进行改革，打破固定模式，将教师端菜变成学生点菜，鼓励他们积极地进行探究讨论，培养他们分析和解决问题的能力，提升思维活跃性，有易于之后对数学的学习[9]．4.教学过程4．1超几何分布4．1．1复习引入4．1．2讲解新知（1）创设情境在香蕉质量检测中，经常通过抽样分析新鲜香蕉与腐败香蕉的分布．现在有一批香蕉共有100箱，其中有5箱香蕉是腐败的，如果随机取出10箱香蕉，那么腐败的香蕉数的概率分布是怎样的？提出问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？学生：分小组讨论问题，探索实例．教师：层层追问，让学生讨论解决此问题的方法，教师点拨完善．（2）讲解新知，概念形成如果从100件产品里随机抽取10件来，我们都知道等可能基本事件的个数为10100C ．{}2=X 表示随机事件“其中抽到2件不合格品”，依据分步计数原理有89525C C 种类似的，可以求得X 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X 的概率分布如下表所示：，：足满别分和),m in(,,...,3,2,1,0M n l l r l r ==就称X 服从超几何分布，记作4．1．5归纳总结（1）要想服从超几何分布必须有不放回的前提，并且超几何分布的模型是由两种有显然差别的产品构成．（2）当随机变量X 服从超几何分布时，我们只需要知道n M N 和,,这三个参数的地表示出随机变量X 的分布列．学生：请一位同学进行总结，其他同学补充．教师：完善并巩固本节课所学知识，并对本节课的知识研究线索有一个全面的认识，掌握研究方法，为今后学习其他知识奠定基础． 4．2二项分布4．2．1复习引入（1）引例：某学校的素质拓展活动中，有位学生参加投壶游戏，他进行了6次次投壶中投中的次数，求X 的分布列．阅读并回答本例题，思考交流能得出什么结论？（2）n 次独立重复试验①概念：一般地，任何一次试验之间都是相互独立的并且可以重复进行的，就称这种试验为n 次独立重复试验．说明：相互独立，即)()()()(n 21n 21A P A P A P A A A P =，其中第i 次试验的结果用),,2,1(n i A i =来表示．②性质：1）若条件相同，那么试验可以重复进行的；2）每次试验结果固定，发生或不发生；3）随机一次试验中，事件有相同的发生概率，且各次试验的结果不会相互影响． 先观察后思考：n k p p C k X P k n k k ,,2,1,0)1()(n =-==-，表三 则称随机变量X 服从二项分布， 简记为),,(~p n B X 其中p 为成功的概率． 4．2．3例题说明例1．以下两个题目中所给出的随机变量X 服从二项分布吗？（1）按照次序分别向上抛掷4枚质地不同的硬币，正面向上的次数X ;（2）有一名篮球运动员定点投篮，假若他每次投中的概率是稳定的，则他投10次中投中的次数X ；例2．古代有很多人喜欢玩投壶游戏，已知某人定点投壶的投中率为7.0，如果他每次投壶的投中率都是一样的，那么在他10次投壶游戏中：（1）恰好投中8次的概率？（2）至少投中8次的概率？4．2．4练习巩固练习：已知：一个经验丰富的老人能向人们提供正确建议的概率是93.0，三个中学生能向人们提供正确建议的概率都是6.0，那么三个中学生能否代替一个经验丰富的老人呢？4．2．5归纳小结（1）表四（2）二项分布模型的理论应用．（3）辨析超几何分布模型与二项分布模型，包括它们之间的联系和区别． 联系：超几何分布和二项分布都属于离散型分布；区别：在总容量方面．超几何分布必须满足有限个总体个数，而二项分布必须满足无限个总体个数；满足超几何分布，抽样必须是不放回的，而满足二项分布，抽样必须是有放回的．5. 总结5．1教学过程小结本节课内容主要分为两个课时．第一个课时，先温习上节课所学到有关随机变量等内容的性质，然后，导入一个日常生活中比较常见的问题，引起同学们对本节课的学习兴趣，从而引出超几何分布的概念，最后加以练习运用．在第二个课时中，我们先回顾了上节课所学的内容，然后通过引例引出n 次独立重复试验，进而引出二项分布的定义，并结合例题加以熟悉掌握．最后，总结归纳二项分布与超几何分布的联系与区别．在整个教学过程当中，主要强调激发学生的自主学习性，课堂积极性和探究思考的能力．从而使学生能更深刻的掌握知识，奠定知识基础，运用到实际生活当中．5．2教学内容小结5．3整式教学流程图1．超几何分布2．二项分布6.教学反思本章以超几何分布和二项分布这两个具体的概率模型为重点内容，使学生在有关分布的内容上有了清晰的认知．面对一些随机现象也能够认识其本质．在本节课的学习中，通过概念讲授和结合实例的方法，学生进一步认识到超几何分布和二项分布所刻画的随机现象，并感悟出这两种模型的共同特点．本节课的教学目标是学生对超几何分布与n次独立重复试验以及二项分布的概念有深刻的理解，并熟练掌握，并且能够将超几何分布与二项分布概念模型区分开来，并能用这两种分布概率模型解决一些实际问题．为实现这个教学目标，本课的教学过程分为两个课时，第一个课时，首先，教师引导学生复习回顾随机变量、离散型随机变量、分布列以及性质，紧接着通过现实生活中的一个实际问题引出一个紧扣超几何分布的概率问题，激发学生的求知欲望;稍后给出例题和练习题让学生稳固新知，运用新知．第二课时与第一课时运用了相似的教学方法，复习回顾——n次独立重复试验——二项分布——例题引入——巩固练习．通过层层递进的问题，引导学生充分认识二项分布这个概率模型，理解二项分布概念的内涵与外延，最后，整体总结了超几何分布与二项分布的区别与联系．通过本节课的学习，不仅使学生熟练掌握课堂知识，而且对他们的自主探究能力有了更深的培养，提升了他们的主观能动性，有助于之后的学习．参考文献[1]孙名符，谢海燕．新高中数学课程标准与原教学大纲的比较研究[J]．数学教育学报，2004，13(1):62-67．[2]冷婵．高中数学教师对概率统计及其教学认识调查研究[D]．大连:辽宁师范大学，2008．[3]中华民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)．北京:人民教育出版社，2003．[4]皮连生．教学设计:心理学的理论与技术[M]．北京:高等教育出版社，2000:1-6．[5]张祖忻．教学设计—基本原理与方法．上海外语教育出版社[M]，1992:10-13．[6]向黎．教学设计:揭示教学的审美存在[D]．湖南:湖南师范大学，2009．[7]郭成．课堂教学设计[M]．北京:人民教育出版社，2006:4-24．[8]王琳琳．概率古典定义教学中应该注意的问题[J]．金融理论与教学，2010(4):34-37．[9]史宁中，孔凡哲，秦德生．统计的意义、思想、方法及其课程教学设计—数学教育热点问题系列访谈录之二[J]．小学青年教师，2005(4):53-58．[10]李月琴．高中数学统计部分教学研究[D]．河北:河北师范大学，2007(6)．[11]王玉香．高中新课程下统计教学的问题研究[D]．重庆:西南大学，2010．[12]Hald A．The Mixed Binomial Distribution and the Posterior Distribution of p and a ContinuousPrior Distribution[J]．Journal of the Royal Statistical Society，1986，30(2):359-367．。

高三二轮复习教学设计1 超几何分布与二项分布知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。

过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。

情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。

教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计学案1 超几何分布与二项分布导学目标：1.明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布.2.能准确运用两种概率分布分析解决实际问题.自主梳理一、超几何分布的概念与基本公式1. 总产品数N 件，次品M 件，从中取n 件，其中含次品X 件，则X ~H(n ，M ，N).2. 概率与均值公式：()),min(2,1,0,)(n M k C C C k X P nNkn MN k M ===--，.N nM EX = 3. 判断一个随机变量是否服从超几何分布的关键要素二、n 次独立重复试验的特征每次试验相同条件、相互独立、两种结果（发生与不发生）、事件发生概率不变.三、二项分布的的概念与基本公式1. n 次独立重复试验中，事件A 发生概率为p ，事件A 发生的次数为X ，则X~B(n ，p).2. 概率与均值公式：.)2,1,0(,)1()(np EX n k p p C k X P kn k k n ==-==-，3. 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键要素四、课前热身袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。

7.4.2 超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识梳理知识点 超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝ ，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2．均值：E (X )＝ .题型探究探究一 超几何分布的辨析例1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝__________.反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )A ．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB ．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C ．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X探究二 超几何分布的概率例2．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是( )．A ．2449B ．125C ．130D ．1600反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．探究三超几何分布与二项分布间的关系例3.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.跟踪训练3.从6试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．当堂检测1．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为__________．2．把X，Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是__________．3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率为__________．4．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？参考答案知识梳理知识点 超几何分布1．C k M C n －k N －M C n N 2．nM N题型探究例1．【答案】1415【解析】由题意知X 可取0,1,2，服从超几何分布H (2,3,10)，即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415. 跟踪训练1.【答案】ABD【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量X 服从超几何分布．而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．例2．【答案】A【解析】由题意知服从超几何分布，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为C 130C 120C 250＝2449. 跟踪训练2．【答案】35【解析】由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为C 13C 12C 25＝35. 例3.解：设抽到次品的件数为X ，则X 服从超几何分布H (2,5,50)．于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245，即出现次品的概率为47245. 跟踪训练3.解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从超几何分布H (3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56，或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56. 当堂检测1．【答案】1825【解析】由题意知X 可取0,1,2且服从超几何分布H (2,4,100)．所以2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825. 2．【答案】2449【解析】由题意可设遗传基因X 失效单位的个数为ξ，则ξ服从超几何分布H (2,30,50)．则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为P (ξ＝1)＝C 130C 120C 250＝2449.3．【答案】35【解析】由题意可设随机变量X 表示“选出的彩电中乙型彩电的台数”，则X 服从超几何分布H (2,2,5)．则两种型号都齐全的概率为P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35. 4．解：设随机变量X 表示“抽出的中奖票的张数”，则X 服从超几何分布H (n,2,50)．∴P (X ≥1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞0.5. 解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.。

4.2.3二项分布与超几何分布（二）超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．(2)记法：X～H(N，n，M)．(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X 的分布列如下表所示．(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；(3)其概率计算可结合古典概型求得．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的模型是不放回抽样．()(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点．()(3)超几何分布中的参数是N，n，M.()(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．() 2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝103．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C23C37C510表示()A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率4．高二·一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X, 则X～________.——合作探究·释疑难——类型1 超几何分布的辨析【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．规律方法判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.[跟进训练]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.类型2 超几何分布的概率及其分布列【例2】袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．规律方法求超几何分布的分布列的步骤[跟进训练]2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．类型3 超几何分布与二项分布间的联系[探究问题]1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．规律方法在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何[3．100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列．——课堂小结·提素养——必备素养1．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道N ，n ，M ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．2．注意超几何分布与二项分布的区别与联系前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量试验时，超几何分布可与二项分布互化．学以致用1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.2845 B.1645 C.1145 D.17452．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.17213．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X 的分布列为P (X ＝r )＝________.4．(一题两空)已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．53人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．参考答案——情景导学·探新知——新知初探超几何分布(1)C k M C n －k N －M C nN(3)C k M C n －k N －M C nN C s M C n －s N －M C n N初试身手1．【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．【答案】A【解析】根据超几何分布概率模型知，A 正确． 3．【答案】B【解析】根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B. 4．【答案】H (50,5,15)【解析】由超几何分布的定义可知，X ～H (50,5,15)．——合作探究·释疑难——类型1 超几何分布的辨析【例1】 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X 的概率分布，所以不属于超几何分布问题． [跟进训练] 1．【答案】①②【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X 服从超几何分布．②中随机变量X 服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．类型2 超几何分布的概率及其分布列【例2】解：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. [跟进训练]2．解：设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11.P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为类型3 [探究问题]1．[提示]超几何分布适合解决一个总体(共有N 个个体)内含有两种不同事物A (M 个)、B (N —M 个)，任取n 个，其中恰有X 个A 的概率分布问题．2．[提示]独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．【例3】 解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X ～H (40,2,12)．∴P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴X 的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2，且Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，310， P (Y ＝k )＝C k 2⎝⎛⎭⎫1－3102-k ⎝⎛⎭⎫310k ， 所以P (Y ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫7102＝49100， P (Y ＝1)＝C 12·310·710＝2150， P (Y ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫3102＝9100. ∴Y 的分布列为[跟进训练]3．解：任取一件得到次品的概率为10100＝0.1，有放回的取出5件，相当于5次独立重复试验，故ξ～B (5,0.1)，所以ξ的分布列为学以致用1．【答案】B【解析】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 18C 210＝1645.2．【答案】C【解析】设取出红球的个数为X ，易知X ～H (9,3,5)．∴P (X ＝2)＝C 25C 14C 39＝1021，故选C.3．【答案】C r 5C 4－r 5C 410，r ＝0,1,2,3,4【解析】P (X ＝r )＝C r 5C 4－r 5C 410，r ＝0,1,2,3,4.4．【答案】316495 3299【解析】由题意可知ξ～H (100,2,20)．则P (ξ＝0)＝C 020C 280C 2100＝316495，P (ξ＝1)＝C 120C 180C 2100＝3299.5．解：(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X ～H (7,3,3)． ∴P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的分布列为。