二项分布和超几何分布的区别(含答案)

§超几何分布与二项分布的区别与联系1、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。

2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,...,.k N K M N M n NC C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。

注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去； 二是产品数是有限个为N （总数较少）.当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.一、 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。

（1） 求X 的分布列；（2） 求()E X 和()D X二、 当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布【例2】 从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.()【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。

超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。

它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。

本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。

一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。

具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。

其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。

超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。

2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。

3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。

例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。

二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。

二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。

2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。

关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。

如何快速识别“二项分布”与“超几何分布”在离散型变量综合题型中，如何快速地识别“二项分布”与“超几何分布”两种分布列的区分应按下述步骤进行快速识别：（一）从抽样方法来区分。

若在题干中出现明显的“放回抽样”、“不放回抽样”、“一次性抽取几件”、“n次独立重复试验”等字眼时，“放回抽样”、“n次独立重复试验”对应“二项分布”，“不放回抽样”对应“超几何分布”，“一次性抽取几件”可以理解为“不放回地抽取一件，连续抽取几次”，这样就对应“超几何分布”了。

（二）若是没有明显的字眼特征，则第二步马上应“从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分”注意：题中若出现“用频率估计概率”、“以样本推断总体”等字眼时，应判断为“总体数N不确定”，适用“二项分布”。

这是因为：“用频率估计概率”本身“概率”就是发生的可能性大小，具有不确定性，“以样本推断总体”中的“推断”就是“估计、大概”的意思，具有不确定性。

例：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y 分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。

第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明白的，但其中有多少件次品M是不明白的，有的同学按照样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一前提，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。

按照概率定义，“用频率估计概率”这一前提应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，因为每次的概率都是0.2，因而，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。

二项分布与超几何分布
的区别
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。

概率为()k n K M N M n N
C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。

概率为()()1n k k k n P X k C p p -==-，其中M p N
=. 区别：（1）二项分布是做相同的n 次试验（n 次独立重复试验），
（2）当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。

在废品为确定数M 的足够多的产品中，任意抽取n 个（由于产品个数N 无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n 次独立重复试验）中含有k 个废品的概率当然服从二项分布。

在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是①产品个数应无限多，否则无返回地抽取n 件产品是不能看作n 次独立试验的.②在产品个数N 无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。

（3）实际上，在以样本估计总体时，从样本中无返回地任意抽取n 件，当然废品件数X 服从超几何分布的；而从总体中无返回地任意抽取n 件，理想认为．．．．
废品件数X 服从二项分布的。

二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件?X=k ?发生的概率为：P(X=k)= n N k n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,??,m ；其中，m =min ?M,n ?,且n ? N , M ? N . n,M,N ? N?为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n ?M N2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,?,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X ? B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件✍每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.✍各次试验中的事件是相互独立的；✍每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；✍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X 表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)=C33 C103=1120, P(A2)=C32?C71C103=740,P(A3)= C31?C72C103=340; 所以，P =P(A1)+ P(A2)+ P(A3)= 31 120.(2)X=0，1，2，3; X服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C = 310 ; P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） = 3101423C C C = 110 ; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)= 3101433C C C = 130; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C= 1120; EX = nM N = 3 310= 0.9 说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：X B(3, 31 120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14 ，则X B(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34 .。

吉林教育·教学7／2013二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。

其分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。

超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。

实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。

二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。

这就是二者之间的区别。

本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。

其分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。

超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。

实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。

二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。

这就是二者之间的区别。

本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。

从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。

二项分布与超几何分布的区别与联系1.定义：（1）超几何分布：设有总数为N件的两类．．物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为()m n mM N MnNC CP X mC --== (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.（2）二项分布：若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) ，于是得到X的分布列(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做X～B(n，p).2.本质区别：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.温馨提示：(1)超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．(2)当题目中出现“用样本数据估计×××的总体数据”是均为二项分布;(3)二项分布与超几何分布两者之间存在着联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.概率论中的二项分布与超几何分布都是古典概型。

【典例】某批n 件产品的次品率为2％，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问： （1）当500,5000,50000n =时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【解】（1）在放回的方式抽取中，每次抽取时都从这n 件产品中抽取，从而抽到品的概率都为0.02.可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数X ～(3,0.02)B ,恰好抽到1件次品的概率为1223(1)0.02(10.02)30.020.980057624=.P X C ==⨯⨯-⨯⨯≈在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X 是随机变量，X 服从超几何分布，X 的分布与产品的总数n 有关，所以需要分3种情况计算：①500n =时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500⨯2％=10，合格品的件数为490件。

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的答复就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1〕独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：结综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

二项分布和超几何分布，五分钟让你再也不迷糊！有一次被学生问到：老师您给我讲讲二项分布和超几何分布的区别吧。

我想，二项分布和超几何分布的区别大着呀，没道理会把它们弄混。

但是既然学生提出来了，就说明这样的疑惑的确存在，我们今天就来捋一捋，让疑者不疑，不疑者更明。

发生条件的不同二项分布：描述n次独立重复试验，而且该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生（也常说试验成功或失败）。

“独立”强调的是各次试验互相不干扰，“重复”强调的是每次试验中事件发生与否的概率保持不变。

超几何分布：描述由N个物件（其中有M个指定物件）中抽出n 个物件。

随机变量的不同二项分布的随机变量ξ是n次独立重复试验中试验成功的次数k。

超几何分布的随机变量ξ是抽出的n个物件中抽到指定种类的物件的个数m。

概率：在二项分布中，P(ξ=k)= C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).在超几何分布中，P(ξ=m)= C(M, m) * C(N-M, n-m) / C(N,n).用一个“抽取合格品/次品”（换成双色小球也是一样）模型来对比上述两种分布：现有N件产品，其中M件合格品，N-M件次品。

1.从中抽取一件产品，为合格品的概率是？p=M/N2.每次抽取一件产品，抽完放回，抽n次(这里的n与N无关)，共抽到k次合格品的概率是？C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中p为第1问里的p.3.每次抽取一件产品，抽完不放回，抽n次(这里的不大于N)，共抽到m次合格品的概率是？C(M, m) * C(N-M, n-m) / C(N,n)对于第3问中的情况，和1次性抽出n件产品，其中有m件合格品的概率是一样的。

能不能像第2问一样，用分步做乘法的方法来写概率呢？也可以的，不过因为不放回，产品总数在递减，每次抽到合格品的概率受之前抽到合格品还是次品的结果影响，所以不是独立重复实验了！为了帮助大家进一步看清楚，我举一个数目较小的具体例子来演示，3件产品，其中2件合格品，1件次品。

二项分布与超几何分布比较文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。

下面举例进行对比辨析。

1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。

所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的3个条件成立时应用的)。

超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。

练习题：1.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。

求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列。

2.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。

某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。

若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：（I2人是低碳族的概率；（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。

如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求.ξE3.在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.（Ⅰ）求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求ξ的分布列和数学期望．4.(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．5.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．6.7.。

低碳 非低碳 来自 B 小区,求这族4人中恰族t 2人是低碳比例二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用广泛的概率模型，实际中的 许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，理解并区分两个概 率模型是至关重要的。

下面举例进行对比辨析。

1•有放回抽样：每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是 相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

2. 不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不 同的，此种抽样为超几何分布模型。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主 要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。

所以，在解有关二项分布和超几何 分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的（特别注意：二项分布是在n 次独立重复试验的3个条件成立时应用的）。

超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2 ）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立 重复）。

练习题：1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取 3次，每次取1个球。

求:（1） 有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列；（2） 不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列。

2.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人 们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克）耗电度数X .785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数X 0.785等。

某班同学利 用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。

若生活习 惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自 小区总人数的比例P 数据如下：（II ） A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。

如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记 表示25个人中低碳族人数，求 E .3. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组 选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5 人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.(I)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(U)设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望．4. (2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B类、C类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.(1) 求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2) 若检验员一天抽检3次，以软示一天中需要调整设备的次数，求E 的分布列.5. 甲、乙两人参加2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才能入选.(1) 求甲答对试题数E的概率分布；(2) 求甲、乙两人至少有一人入选的概率.(2oi2*an一模)甲、乙两名同学在§次與语口语测试中的咸绩统计如留的莖叶團所凤(1) 现莫从中选派一人泰加英话口语竞赛，从两同学的平均成議和方差分析，派谨参加更合适I(2) 若解频率视为槪率，前学生甲在今后的三次英语口语孟赛成麵进行预测，i己这三次成攝中鬲干汕分的次数为◎求电的分布列及數学期璽昭”(?t：样本数据“吁―> 龈的万差s*=-y L(x1~x r+ix^_x T+"-+(x ~r T] F其中工表示稈本均值丿6.7.仙⑷BI川aw为了蘇檢魅频瓢漏麟忆从械甦帳机齡了眩同勒这附禅鼬媒用数[婷叶跚示⑴竝睢薛赭解査蛹賊虽(2)处睢薛中耿选俯師学柚析髓冊楠込册城關司学中糊低千釉冊U瓠求血般狮期。

超几何分布与二项分布[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==（0,1,2,,k m = ）进行处理就可以了.二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A…………………………1分事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ)由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===.………………8分故X 的分布列为……………9分X 0123P3011032161(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=.……………13分2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。