2010线性代数试题与答案

A . PAB. APC. QAD. AQ全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案1.已知2阶行列式a ? m， b 1 b 2n ,则b 1 b 2(B )b 1 b 2C 2a 〔a ?C 2A . m n B. n mC. m nD. (m n)2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA , AC CA ，则 ABC ( D )ABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA .3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且|A| 1 , |B| 2，则行列式||B|A|之值为（A ）A.8B. 2C. 2D. 8||B|A| | 2A| ( 2)3|A|8 .a 11a 12a 13a 113a 〔2 a 131 0 0 1 0 04 . Aa 21a 22 a 23， Ba 21 3a ?2a 23， P3 0，Q 3 1 0，则B (B)a 31a 32a 33a 313a 32a 330 0 10 0 1一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） b ib 2b 1 b 2a 1a 2A . ACBB. CABC. CBAD. BCAC 2m n n m .an a 12 a 131 0 0 an 3a 12 a 13AP a 21a 22a 230 3 0 a 213a 22 a 23Ba 31a 32a 330 0 1a 313a 32 a 335.已知A 是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩（A ）=2B. 若A 中存在2阶子式不为0,则秩（A ）=2相关相关的一个极大无关组.C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为 6. F 列命题中错误的是（C ）A . 只含有1个零向量的向量组线性相关B .由3个2维向量组成的向量组线性C. 由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性7.已知向量组3线性无关,线性相关，则（D ）A . 1必能由2，3，线性表出 B.2必能由1, 3,线性表出C.3必能由1, 2,线性表出D.必能由3线性表出注:8.设A 为m n 矩阵，m n ，则方程组Ax =O 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D ）注：方程组Ax =O 有n 个未知量.9.设A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A . A T B. A 2 C. A 1 D. A| E A T | |（ E A ）T | | E A|，所以A 与A T 有相同的特征值.10 •二次型f （X 1,X 2,X 3） X 12 X ；近2X 1X 2的正惯性指数为（ C)A . 0B. 1C. 2D. 3f （X i ,X 2,X 3）（X i X 2）2 x f y i 2 y f ，正惯性指数为 2.二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）11 .行列式2007 2008的值为2009 2010--------------------------12.设矩阵 A 2 011, B 01，则A T B -------------------------------------------------------A .小于 mB.等于 mC.小于nD.等于n2007 2008 2009 20102000 2000 2000 20007 8 9 1013 •设 (3, 1,0,2)T ,(3,1, 1,4)T ，若向量 满足 2 3，贝V ____________3 2 (9,3, 3,12)T (6, 2,0,4)T(3,5, 3,8)T •14 .设A 为n 阶可逆矩阵，且| A| 1,则| | A 1 | _______________________n|A 11|A|15 .设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程 组Ax =o 的解，贝y |A | _______________ .n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则| A| 0.16.齐次线性方程组X1 X2 X3 0的基础解系所含解向量的个数为2x 1 x 2 3X 3基础解系所含解向量的个数为 nr 3 2 1 .117•设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3，则矩阵尹必有一个特征值为2 2x 0的特征值为4,1, 2，则数x由 1x0412，得 x 2.a 1/,2 019 .已知A 1/" b 0是正交矩阵，则a b _______________________________0 0 120 .二次型 f (x 1, x 2, x 3) 4x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3 的矩阵是三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54 分）18.设矩阵Aab ca b c1 1 1 解：D2ab 22c2 ab 22cabc abc3..333.332.22a ab bc ca b ca b cabc(b a)(c a)1 b a1 c aabc(b a)(c a)(c b).22. 已知矩阵B (2,1,3) , C(1,2,3)，求( 1) A B T C ;(2) A 2 .22 4 6解: (1) AB TC1 (1,2,3) 123 ；33 6 92(2)注意到 CB T (1,2,3) 113，所以32 4 6 A 2 (B T C)(B T C) B T (CB T )C 13B T C 13A 13 1 2 3 . 21.计算行列式Da 2 a a 3b cb 2c 2的值.b b 3c c 32 11 1解：A (1, 2 ,3, 4)1 2 1 1 3 0 3 11 111 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 12 1 1 0 1 1 03 0 3 1 0 3 32 2 11 11 111 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 ， 向量组的秩为 3， 1 , 2,4是一个0 0 0 0极大无关组,3 1 212 31 424．已知矩阵 A 01 2， B2 5 ．（1）求 A 1； （ 2）解矩阵方程 AX B00 11 31231 0 0 1 20 10 3解： （ 1 ）(A,E) 01 20 1 0 0 10 01 200100 10 01 0011 0012 112 10 1001 2，A 10 1 20 0100 10 01121 1 4 4 9（2） X A 1B0 1 2 2 5 0 11 ．0 011313、 1x 12x 2 3x 3425．问 a 为何值线性方程组2x 2 ax 32 有惟一 解？有无穷多解？并在有解2x 12x 23x 36时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．1 23 4 12 341 234解：( A,b) 02a 2 0 2 a 2 0 2a 2 ．2 23623 20 0a 3012 a 3时， r(A,b) r(A) 2 n ，有无穷多解，此时 (A,b) 0 2 00a 3时， r （A,b ） r （A ） 3 ，有惟一解，此时1( A,b)0 0 34 a2 10 12 02 0010 02 00 02 02 10 10 01 0002 0 1 ， 10x 1x 2 x 32 1； 343200数. 1 0 0 21 00 2 3 2 0 1 3/2 0 0 0 0 0 0 02x 1 22 1， X 2 1 ?X 3，通解为12X 3 X 3k 3/2 ,其中k 为任意常26 .设矩阵A 2 0 00 3a 的三个特征值分别为1,2,5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P,0 a 3 1 0 0 使 P 1AP 0 2 0 0 0 52 0 0解：由 |A|0 3a 0 a 32 3 a 2(9 a 2) 1 2 5，a 3得 a 2 4，对于 1 1,解(E A)x 0 :X 1 X2X 3X 3对于 2 2，解（E A ）x 0 :0 1 0 x 1 x 1 0 0 1 ， x 2 0，取 p 2X 3 0对于 3 5，解（E A ）x 0 :3 0 0 1 0 0 X1 0 0E A 0 2 2 0 1 1 , X2 x3，取p3 1 .0 2 2 0 0 0 X3 X3 10 1 0 1 0 0令P (P1, P2 ,P3) 1 0 1 则P是可逆矩阵，使P 1AP 0 2 0 .1 0 1 0 0 5四、证明题(本题6分)27 .设A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明(A B) 1 A 1 B 1.证：A, B, A B均为n阶正交阵，则A A 1, B T B1, (A B)T(A B) 1，所以(A B) 1 (A B)T A T B T A 1 B 1.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1 .设3阶方阵A ( 1，2，3),其中i ( i 1,2,3)为A的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，则|A| ( C )|A| 1( 1, 2, 3)l 1( 1 2 2, 2, 3)1 6 .A. 12B. 6C. 6D. 122•计算行列式3 0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 0 2 3 2 3A. 180B. 120C. 120D. 1803.若A 为3阶方阵且|A 1| 2，则|2A| ( C )A.1B. 2C. 4D. 821 31 |A| -, |2A|2 |A| 8 三 4 .224. 设1, 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B )A . 1，2, 3，4线性无关 B.1，2, 3，4线性相关C.1可由2, 3, 4线性表示 D.1不可由2, 3, 4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2，得 r(A) 4 .6 .设A B 为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) 3 0 2 03 0 22 10 53 032 10 53 ( 2)2 02 1022 3 2 33(2) 30A . A 与B 相似B. |A| |B|C. A 与B 等价D. A 与B 合同注：A与B有相同的等价标准形.7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A 2E| ( D )A. 0B. 2C. 3D. 24A 2E的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24 .8 .若A B相似，贝y下列说法错误.的是(B )A. A与B等价B. A与B合同C. |A| |B|D. A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.9 .若向量(1, 2,1)与(2,3,t)正交，则t ( D )A. 2B. 0C. 2D. 4由内积2 6 t 0 ,得t 4.10 .设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(B )A. A正定B. A半正定C. A负定 D . A半负定对应的规范型2z2 z；0 zj 0，是半正定的.、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）3211 •设 A 01 , B2 1 1，则 AB0 1 0243 2 2 1 1 AB 0 1 0 1 02412 .设A 为3阶方阵，且|A| 3 , 则I3A 1] _______________________13 1 31 31|3A 1 3 |A 1 3|A|33 9 •13 .三元方程 x 1 x 2 x 3 1的通解是 _____________________14 .设 （1,2,2），则与 反方向的单位向量是 ___________________15.设A 为5阶方阵，且r （A ） 3，则线性空间W {x|Ax 0}的维数是 _____________________1 II II13（1,2,2）.1W {x|Ax 0}的维数等于Ax 0基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 .16.17 .若A B 为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) __________________________Ax 0只有零解，所以A 可逆，从而r(AB) r(B) 3 .2 1 018.实对称矩阵 1 0 1所对应的二次型 仁咅飞入) _________________________ .0 1 11 119 .设3元非齐次线性方程组 Ax b 有解1 2 ， 22，且r(A) 2，则Ax b 的 33通解是 _______________ .1 1 1(1 2) 0是Ax 0的基础解系，Ax b 的通解是2 k 0 032f （X 「X 2,X 3）2 X32x 1 x 2 2x 2X 3.120 •设2，则A T的非零特征值是 ________________31由T (1,2,3) 2 14，可得A2( T ) T 14 T 14A，设A的非零特征值3是，则2 14 ，14 •三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）21 .计算5阶行列式D 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 01 0 0 0 2解：连续3次按第2行展幵2 0 0 10 2 0 0 D 2 0 0 2 010 0 22 0 0 1 0 0 1 4 322.设矩阵X满足方程0 1 0 X 0 0 1 2 0 1 ,求X.0 0 2 0 1 0 1 2 02 0 0 1 0 0 1 4 3解:记A 0 1 0， B 0 0 1 C 2 0 1 ，贝yAXB C0 0 2 0 1 0 1 2 01/2 0 0 1 0 0A 10 1 0 ，B 10 0 10 0 1/2 0 1 08 3 24 .4 3 10 0x 2 3x 3 x 4 123 .求非齐次线性方程组 3x 1 x 2 3x 3 4x 44 的通解. X 1 5X 2 9X 3 8X 41 1 3 1 1 1 1 3 1 1 解：(A,b) 3 1 3 4 4 0 4 6 7 11 598 04671 4 4 12 44 1 0 3/2 0 1 3/2 00 03/4 5/4 7/4 1/4 ,0 05 3 3 X 1 —X 3X 44 2 4X 21 4 3X 3 2 3 7 X 4，通解为 X 3X 3X4X 45/4 3/2 3/4 1/43/2 7/4k 1k 20 1 0 01k 1, k 2都是任意常数.24 .求向量组 1(1,2, 1,4),2(9,100,10,4),3( 2, 4,2, 8)的秩和一个极大无关组.解: ( T , T , T ) 21004 1 10 24 4 81 92 1502 0410 1 102 0 190 1 1 20 81 92 1 9 2 1 9 2 0 10 0 0 0 0 0 01 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0向量组的秩为2,1 , 2是一个极大无关组.25.已知A2 1 25 a 3的一个特征向量(1,1, 1)T ,求a,b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.解：设所对应的特征值，则A，即，从而1a2 b1 ，可得 a 3，b0，1；对于1，解齐次方程组 E A)x 0：EA 1 1，0x1 x2 x3 x3x3，x3基础解系为属于1的全部特征向量为，k 为任意非零实数．26．，试确定 a 使r( A)2．解：2 2 a2四、27．22，a0时r(A) 2．证明题(本大题共 1 小题，6 分)3是Ax b ( b 0)的线性无关解，证明 3 1 是对应齐次线性方程组Ax0 的线性无关解．证：因为i, 2, 3是Ax b的解，所以 1 是Ax 0的解；k1 k20得k i 0 ，只有零解k i k2 0，所以2 i，3 i线性无关.k20全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（，）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）an a12 a13 2an 2a12 2a131.设行列式a21 a 22 a23 =4,则行列式 a21 a22 a 23=（）a31 a32 a33 3a31 3a 32 3a33A.12B.24C.36D.482. 设矩阵A, B, C, X为同阶方阵，且A, B可逆，AXE=C,则矩阵X=( )A. A®B.CAB-1C.^1A-1CD.C B A13. 已知Y+A E=0,则矩阵A-1=( )A. A- EB.- A-E002 4. 设 1, 2, 3 , 4, 5是四维向量，则()A.1, 2, 3, 4,5一定线性无关 B.1, 2 , 3, 4,5一定线性相关C. 5一定可以由1, 2, 3,4线性表示 D. 1一定可以由2, 3, 4,5线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则()B. A =EC.r (A )=n D.0<r ( A )<( n )6. 设A 为n 阶方阵，r ( A )< n ,下列关于齐次线性方程组 Ax =0的叙述正确的 是()A.Ax =0 只有零解B.Ax =0 的基础解系含 r (A ) 个解向量C.Ax =O 的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =O 没有解7. 设 1, 2是非齐次线性方程组 Ax =b 的两个不同的解，则( )A. i 2是Ax =b 的解B. i 2是Ax =b 的解C. 3 1 2 2是 Ax =b 的解D. 2 1 3 2是 Ax =b 的解3908. 设 1， 2， 3为矩阵 A = 0 4 5 的三个特征值，则 1 2 3=( )A.A =0A.20B.24002C.28D.309.设P为正交矩阵，向量,的内积为（，）=2，贝y（P ,P）=（A. 1B.12C. 3D.2210.二次型f (X1, X2, X3)= x-X2X22x1X2 2x1X3 2x2X3 的秩为( ) 2A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。

010线性代数期末试题及参考答案一． 解答：1．（F ）（）2．（T ）3．（F ）。

如反例：，。

4．（T ）（相似矩阵行列式值相同）5．（F ）二． 解答：1．选B 。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。

A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与，，等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。

由，)。

4．选D 。

A 错误，因为，不能保证；B 错误，的基础解系含有个解向量；C 错误，因为有可能，无解；D 正确，因为。

5．选A 。

A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。

三． 解答：1．（按第一列展开） 2． ；（=）AA n λλ=100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000010001B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1α2α3α052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=()112()3A E A E -⇒+=-n m <()(|)R A R A b =0=Ax ()A R n -()(|)1R A n R A b n =<=+b Ax =()R A n =,P Q 1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--== ,A B ()!11n n +-3153*A 3233A3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。

因为，。

4． 。

因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．（ 四． 解答：1．解法一：。

将与组成一个矩阵，用初等行变换求。

=。

故 。

解法二：。

，因此。

2．解：，， 。

124,,ααα3122ααα=+124| |0A ααα=≠()()TTk 42024321--+()3=A R 1322ηηη-+6=a ())02=⇒=A A R AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-A E -A (|)A E A -1(|())E A E A --()|A E A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22112124323310000121313,r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112014323010000123r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121120222110100001322r r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭3r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭23r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523100301010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1001()103325B A E A -⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------==111111*********1T A αβA A 42-=()()11()()()()()()44n n n T T T T T T T T A Aαβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=-3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。

线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。

1。

设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。

—（m+n) C。

n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。

130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。

13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。

–6 B。

6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。

B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。

|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。

设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。

有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。

有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。

所有r-1阶子式都不为0 B。

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1=A Tの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。

线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。

m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。

130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。

13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。

120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。

设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。

6C。

2 D. –24。

设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。

A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。

｜A|≠0时B=C5。

已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。

2C。

3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。

有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。

有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。

设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。

2010线性代数试题及答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。

答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。

答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。