[原创]高三数学冲刺过关(2)

2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）数 学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数()31i 2i-=A. 1i -B. 1i --C. 1i +D. 1i -+ 2. 已知集合()}{,10A x y x y =-+=，()}{22,1B x y xy =+=，则集合A B 的子集个数为A. 4B. 3C. 2D. 13．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是 一个刍童，其上，下底面都为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为A ．3B ．283C ．3D ．5234. 已知以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆与直线40x y ++=有且仅有一个公共点， 则椭圆的长轴长为A ．B ．C ．D ．5. 在△ABC 中，M 是AC 边上一点，且12AM MC =，N 是BM 上一点，若19AN AC mBC =+，则实数m 的值为A ．13-B ．16-C ．16D ．13 6. 欧拉函数()(n n ϕ∈N *)的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个 数，例如，()11ϕ=，()42=ϕ. 若m ∈N *，且()1213mi i ==∑ϕ，则()m ϕ=A ．3B ．4C ．5D ．6 7. 已知正实数y x ,满足121=+yx ，则y x xy --22的最小值为 A ．2 B. 4 C. 8 D. 98. 已知函数()()()e ln 11,011ln 1,0ex x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，若()()2e 2e 0x xf f -+≤，则实数x 的取 值范围为 A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．[]ln 2,0-D ．(],ln 2-∞-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测. 某班级体温检测员对 一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是 A ．乙同学体温的极差为0.3℃ B ．甲同学体温的中位数与平均数相等 C ．乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D ．甲同学体温的第60百分位数为36.5℃ 10. 已知函数()cos()0,26f x x ππ⎛⎫=+>-<<- ⎪⎝⎭ωϕωϕ，其图像上相邻的两个最高点之 间的距离为π，)(x f 在,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则下列说法不．正确．．的是 A.ϕ的最大值为π4- B. )(x f 在[]0,π上的图像与直线1=y 没有交点C. )(x f 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有对称轴 D. )(x f 在,34ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有一个零点11. 函数32()1f x x ax x =--+，则下列结论正确的是 A. 若函数()f x 在11,23⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，则411≤≤-aB. 若函数()f x 的对称中心为()1,2-，则23=a C. 当1a =时，若()f x m =有三个根321,,x x x ，且321x x x <<，则161691-<m x D. 当1a =时，若过点()1,n -可作曲线)(x f y =的三条切线，则27640<<n12. 已知正四面体ABC P -的棱长为1，E N M ,,分别为正四面体棱PA AC BC ，，的中 点，F 为面ABC 内任意一点，则下列结论正确的是 A. 平面EBC 截正四面体ABC P -的外接球所得截面的面积为3π8B. 若存在μλ,，使得PN PM PF μλ+=，则线段CF 长度的最小值为43 C. 过点P 作平面//α平面EBC , 若平面 α平面1l ABC =，平面 α平面2l PAC =， 则21,l l 所成角的正弦值为33D. 平面EMN 与平面ABC 夹角的余弦值为33 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知n ∈N *且1n >，32nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，写出n 的一个值为 . 14. 已知函数()sin 2cos 2f x x x =-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线与直线102x =垂直，则0tan x = . 15. 已知点C 的坐标为()2,0，点A ，B 是圆O 22:10x y +=上任意两个不同的点，且满足0AC BC ⋅=，设P 为线段AB 的中点，则CP OP +的最大值为 .16. 在1，2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为 .EPDCBA四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（10分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知n ∀∈N *，0n a >，212n n n a a S +=.（1）求n a ；（2）求证：1n n a a +<. .18. (12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠= ，120ADP ∠= ，点E 为PA 的中点．（1）求证：//BE 平面PCD ； （2）若平面PAD ⊥平面ABCD ， 求直线CD 与平面PAC 所成角的正弦值．19.（12分）某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等. 某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结果如下表所示.（1）从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率； （2）用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为X ，问k (0k =，1，2，…，10)为何值时，()P X k =的值最大？20. （12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin 22A C B-=. （1）证明：a +2c b =； （2）若△ABC 的面积为S ，求2Sb的最大值.21. （12分）已知双曲线:C 112422=-y x ，直线l 过C 的右焦点F 且与C 交于N M ，两点.（1）若N M ，两点均在双曲线C 的右支上，求证：NFMF 11+为定值； （2）试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标； 若不过定点，请说明理由.22. (12分)已知函数()2221ln 1(1)x f x a x x x⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭. （1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）证明：当102a <<时，对任意11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，总有()212x a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>.2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. BCD 10. BCD 11. ACD 12. ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 5或者()*41k k+∈N14. 115.16. 3140四、解答题：本题共6小题，共70分．17.（10分）（1）解: 由题意知，221111122a a S a+==，又1a>，得11a=.当2n≥时，由212n n na a S+=，得()()21112n n n n nS S S S S---+=-，得2211n nS S--=.则数列{}2n S是首项为211S=，公差为1的等差数列.所以()211nS n n=+-=.又0nS>，则nS=当2n≥时，1n n naS S-=-=又11a=满足上式，所以na=（2）证明：由于11nnaa+==<，又na0>，所以1n na a+<.18. (12分)（1）证明：取PD 中点F ，连结,CF EF ． 因为点E 为PA 的中点，所以//EF AD 且1=2EF AD ， 又因为//BC AD 且1=2BC AD ，所以//EF BC 且=EF BC ， 所以四边形BCFE 为平行四边形. 所以//BE CF .又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．（2）在平面ABCD 中，过D 作DG AD ⊥，在平面PAD 中，过D 作DH AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以DG ⊥平面PAD . 所以DG DH ⊥，所以,,DA DG DH 两两互相垂直.以D 为原点，向量DA ，DG，DH的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -（如图），则()4,0,0A，C ，(P -，()0,0,0D ,所以(AC =- ，(AP =- ，()=DC ，设(),,x y z =n 是平面PAC 的一个法向量，则0,0,AC AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即30,60,x x⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，得=n ．设直线CD 与平面PAC所成角为θ．则sin cos ,θ===DC n ， 所以直线CD 与平面PAC 所成角的正弦值为7． 19.（12分）（1）解：设事件A 为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有2100C 个基本事件，事件A 共有240C 个基本事件，则()2402100C 26C 165P A ==. （2）解：由题意，X 服从二项分布，且使用该软件的概率为6031005=， 则310,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以()10103255k kkP X k C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0k =，1，2，…，10).设()()101011111032C 55132C 55kkkk k k P X k t P X k ----⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3112k k -=(0k =，1，2，…，10). 若1t >，则 6.6k <，()()1P X k P X k =>=-； 若1t <，则 6.6k >，()()1P X k P X k =<=-. 所以6k =时，()P X 最大. 20. （12分） （1）证明：由cos2sin 22A C B -=，得cos cos 2sin cos 2222A CB B B -=， 由于A BC ++=π，则coscos sin 2222B A C A C π++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故cos sin 2sin cos sin 2222A C A CB BB -+==. 所以()1sin sin sin 2A CB +=，即sin sin 2sin AC B +=. 由正弦定理得2a c b +=. （2）解：由（1）得2a c b +=，则()222222cos 22a c ac ba cb B ac ac+--+-==2312b ac=-223122b a c ≥-+⎛⎫ ⎪⎝⎭12=. 当且仅当a c b ==时，等号成立.由于0πB <<，则π03B <≤，sin 2B ≤.所以222211sin sin sin 2222a c B ac B S Bb b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭=≤=4≤. 所以2Sb的最大值为4.另法: 由（1）得2a c b +=，则()222222cos 22a c ac ba cb B ac ac+--+-==2312b ac=-223122b a c ≥-+⎛⎫ ⎪⎝⎭12=. 当且仅当a c b ==时，等号成立.由于0πB <<，则π03B <≤，tan 2B ≤.由23cos 12b B ac=-，得()221cos 3ac b B =+.所以2221sin 2sin cos 3sin 33222tan 41cos 4422cos 2B Bac B S B B B b b B ==⨯=⨯=+4≤. 所以2Sb.21. （12分）（1）解：由()0,4F , 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,直线MN ：4x ty =+,代入22312x y -=，整理得：22(31)24360t y ty -++=,由120y y ∆>⎧⎨<0⎩解得：33t ⎛∈- ⎝⎭由韦达定理：1222431t y y t -+=-，1223631y y t =-,由126MF ty ==+，同理,226NF ty =+.11MF NF ∴+12112626ty ty =+++ 12212122()12412()36t y y t y y t y y ++=+++222222481231144288363131t t t t t t -+-=-++--2212123636t t --=--13=为定值. 另法:由1MF y ==，同理,2NF y =. 由于120y y <,不妨设120,0y y ><,则2112121111y y MF NF y y y y ⎫-+=-=⎪⎭. 由()()222211212222443643131t y y y y y y t t ⨯⎛⎫-=+-=-- ⎪--⎝⎭()22144131t t +=-,得21y y -=.所以211221113136331y y t MF NF y y t --+===-为定值. （2）由题意：圆的方程为222212121212()()()()224x x y y x x y y x y ++-+--+-=即2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=由对称性可知：若存在定点，则必在x 轴上令0y =，有2121212()0x x x x x x y y -+++=由（1）可知121228()831x x t y y t -+=++=-, 1212(4)(4)x x ty ty =++212124()16t y y t y y =+++22223696163131t t t t =-+--22121631t t --=- 代入方程后有：22228201203131t x x t t -++=--, 即228(4)(2)031x x t -++=-, 令22040x x +=⎧⎨-=⎩即2x =-. 故圆过定点(2,0)-. 22.（12分）（1）解：当12a =时，()22211ln 1(1)2x f x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，()f x 的定义域是()0,+∞， 则()333112ln 2ln '2(1)2(1)x x f x x x x x x-=-+-=+-. 当01x <<时，()0'f x <；当1x >时，()0'f x >，故()f x 的单调递减区间为()0,1上，单调递增区间为()1,+∞.（2）证法1：当102a <<时，111a->， 由于y =2(1)x -在()1,+∞上单调递增，则11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，有221(1)2x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>. 要证()212x a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，只要证()2(1)f x x ≥-，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 只要证221ln 10x a x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 只要证()21ln 0a x x --≥，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，（*）设()2()1ln g x a x x =--，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 22212(1)1121252(2)(21)'()20a ax a a a a a g x ax x x x ax ax ----+--=-=>==> ()g x ∴在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 21111111()(1)(1)1ln(1)2ln(1)(1)1ln(1)g x g a a a a a a a a ⎛⎫∴>-=----=---=---- ⎪⎝⎭令11,1t t a-=>，下面证明1ln 0,(1)t t t -->>， 设()1ln ,(1)h t t t t =-->， 则11'()10,(1),t h t t t t-=-=>>， ()t h ∴在()1,+∞上单调递增.()(1)0h t h ∴>=，则1ln 0,(1)t t t -->>. ∴11(1)1ln(1)0a a---->. ()2()1ln 0g x a x x ∴=-->，（*）式成立，命题得证.证法2：当102a <<时，111a->， 由于y =2(1)x -在()1,+∞上单调递增，则11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，有221(1)2x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>. 要证()212x a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，只要证()2(1)f x x ≥-，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 只要证221ln 10x a x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 只要证()21ln 0a x x --≥，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，（*） 可证1ln ,(1)x x x ->>，证明如下：设()1ln (1)h x x x x =-->， 则11'()10(1),x h x x x x-=-=>>， ()x h ∴在()1,+∞上单调递增.()(1)0h x h ∴>=，则1ln (1)x x x ->>， 要证（*）成立，只要证()211a x x -≥-，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 只要证()11a x +≥. 显然()11(11)1a x a a+>-+=，命题得证.。

2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{}0，1，3，5，6，8 ，A ＝{}3，5，8 ，B ＝{}2 ，则()∁U A ∪B ＝( ) A ．{}0，1，2，6 B ．{}0，3，6 C ．{}1，2，5，8 D ．∅2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－23．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法( )A ．6B ．12C ．18D ．24 4.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中，就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为8 cm ，圆柱部分高度为6 cm ，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm 3的木质材料做成，其总质量为70 g ，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为( )A ．2.2 cmB ．2.4 cmC ．2.6 cmD ．2.8 cm5．从边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个点，其中这4个点中任意两点间的距离都相等的概率为( )A ．15B ．17C ．335D ．1356．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：h ＝m ·a t .若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果四舍五入取整数)( )A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天7．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的一点，则AP → ·AB →的取值范围是( ) A ．[2，6] B ．[2，4] C ．(2，4) D ．(0，4)8．已知定义在R 上的奇函数f ()x 满足f ()π＋x ＝f ()－x ，当x ∈()0，π 时，f ()x ＝sin xx 2－πx ＋π，则下列结论正确的是( )A ．π是函数f ()x 的周期B ．函数f ()x 在R 上的最大值为2C ．函数f ()x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上单调递减 D ．方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为3π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线的方程为x 216 －y 29＝1，则下列说法正确的是( )A ．焦点为(±7 ，0)B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0C ．离心率e ＝54D ．焦点到渐近线的距离为410．函数f ()x ＝A sin ()ωx ＋φ ()ω>0，A >0 的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2 B ．A ＝6C ．φ＝－π4D ．f ()0 ＝－311．已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则( ) A ．e a －e b >1 B ．a e －b e <1C ．9a －1b≤4 D ．2log 2a －log 2b ≥212．下列命题中，说法正确的是( )A ．已知随机变量服从二项分布B (n ，p )，若D (X )＝20，E (X )＝30，则p ＝23B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ≤0)＝12－pD ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1).若(a ＋b )⊥(a －b )，则x ＝________．14．在各项都为正数的等比数列{}a n 中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则T n 取最小值时，n 的值是________．15．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数，则△MFN 的面积为________．16．过曲线y ＝x ＋1x(x >0)上一点P 作该曲线的切线l ，l 分别与直线y ＝x ，y ＝2x ，y 轴相交于点A ，B ，C .设△OAC ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1＝________，S 2的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C .(1)求角A 的大小．(2)若sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313，求tan B 的值．18．(12分)已知首项为32的等比数列{}a n 的前n 项和为S n (n ∈N *), 且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).19．(12分)华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查了100个2021年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30(1)龄有关？(2)若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．附：χ2＝n ()ad －bc 2()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d .20．(12分)如图，在三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，∠BAA 1＝60°，E 是棱BB 1的中点，CA ＝CB ，F 在线段AC 上，且AF ＝2FC .(1)证明：CB 1∥平面A 1EF ；(2)若CA ⊥CB ，平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，求二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值．21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－12，点D 在线段AB 上，且AD →＝13 AB → ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE ||OD | 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝x e x .(1)求f (x )在x ＝－2处的切线方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＝a 有两个实根x 1，x 2，当－1e <a <－2e2 时，求证：|x 1－x 2|＜(e 2＋1)a ＋4.2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)1．答案：A解析：由题设知：∁U A ＝{0，1，6}，而B ＝{}2 ， ∴()∁U A ∪B ＝{0，1，2，6}．故选A. 2．答案：A解析：a －i1＋i ＝()a －i ·()1－i ()1＋i ·()1－i＝a －1－()a ＋1i 2 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0 ，a ＝1.故选A.3．答案：C解析：从六科中选考三科的选法有C 36 ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有C 33 ，因此考生的选考方法有C 36 －2C 33 ＝18种．故选C. 4．答案：A解析：由题可得该陀螺的总体积为700.7＝100 cm 3， 设底面半径为r ，则可得πr 2×6＋13 πr 2×()8－6 ＝100，解得r ＝ 15π≈2.2 cm.故选A.5．答案：D解析：从边长为1的正方体的8个顶点中选取4个点，共有C 48 ＝70种情况，满足4个点中任意两点间的距离都相等的有ACB 1D 1，BDA 1C 1这2种情况，所以4个点任意两点间的距离都相等的概率为135，故选D.6．答案：B解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧10%＝m ×a 1020%＝m ×a 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝2，m ＝5%，∴50%＝5%×a t ， ∴a t＝10，即2t 10＝10，∴t ＝10log 210，∴t ≈33， 故选B. 7.答案：B解析：如图所示，D 为AB 的中点，AP → ·AB → ＝|AP → ||AB →|cos ∠BAP ，当P 在B 时，AP → 在AB →方向上的投影AB 最大， ∴(AP → ·AB →)max ＝2×2＝4，当P 在C 时，AP → 在AB →方向上的投影AD 最小， (AP → ·AB →)min ＝2×1＝2， ∴AP → ·AB →的取值范围是[2，4].8．答案：D解析：∵f ()x 是R 上的奇函数，∴f ()－x ＝－f ()x ，∵f ()π＋x ＝f ()－x ＝－f ()x ≠f ()x ，故π不是函数f ()x 的周期，且f ()x ＋2π ＝－f ()x ＋π ＝f ()x ，故2π是函数f ()x 的周期，故A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝sin x >0且单调递增，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递减，则f ()x 单调递增，故C 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 时，y ＝sin x >0且单调递减，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递增，则f ()x 单调递减；且f ()0 ＝f ()π ＝0，又f ()x 是奇函数且周期为2π，∴f ()x max＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝44π－π2 ≠2，故B 错误；由f ()π＋x ＝f ()－x 可得f ()x 关于x ＝π2对称，方程f ()x －12 ＝0的根等价于y ＝f ()x 与y ＝12的交点的横坐标，根据f ()x 的单调性和周期可得，y ＝f ()x 与y ＝12 在()0，π 有两个关于x ＝π2 对称的交点，在()2π，3π 有两个关于x ＝5π2对称的交点，在()－2π，－π 有两个关于x ＝－3π2 对称的交点，所以方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为π2 ×2＋5π2×2＋⎝⎛⎭⎫－3π2 ×2＝3π，故D 正确．故选D.9．答案：BC解析：对A ，焦点为(±5，0)，故A 错误；对B ，渐近线方程为x 216 －y 29＝0⇒3x ±4y ＝0，故B 正确；对C ，e ＝c a ＝54，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为d ＝3×542＋32 ＝3，故D 错误；故选BC.10．答案：ABD解析：由已知，T 2 ＝8.5－6.5＝2，所以T ＝4＝2πω ，解得ω＝π2 ，所以f ()x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ . 又f ()8.5 ＝f ()0.5 ＝0，所以A sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ ＝0，则π4 ＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π4＋k π，k ∈Z ①. 又f ()5 ＝3 ，即A sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋φ ＝3 ，所以A cos φ＝3 ②.由①②可得A ＝6 ，所以f ()x ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π4 .故f ()0 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫－π4 ＝－3 .故选ABD. 11．答案：ACD解析：对A ，由a >0，b >0，且a －b ＝1可得a >b >0，则e a －e b ＝e b ()e a －b －1 ＝e b ()e －1 ，∵b >0，∴e b>1，又e －1>1，∴e b()e －1 >1，即e a－e b>1，故A 正确；对B ，令a ＝2，b ＝1，则a e －b e ＝2e －1>1，故B 错误；对C ，9a －1b ＝⎝⎛⎭⎫9a －1b ()a －b ＝10－⎝⎛⎭⎫9b a ＋a b ≤10－2 9b a ·a b ＝4，当且仅当9b a ＝a b时等号成立，故C 正确；对D ，2log 2a －log 2b ＝log 2a 2b ＝log 2()b ＋12b＝log 2⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋2 ≥log 2⎝⎛⎭⎫2 b ·1b ＋2 ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时等号成立，故D 正确．故选ACD.12．答案：BCD解析：A 选项：⎩⎪⎨⎪⎧np （1－p ）＝20np ＝30 ，两式相除得1－p ＝23 ，故p ＝13，故A 错误；B 选项：由D (aX ＋b )＝a 2D (X )知，当a ＝1时D (X ＋b )＝D (X )，故B 正确；C 选项：由ξ～N (0，1)可知P (ξ≤0)＝12，且P (ξ≤－1)＝P (ξ≥1)＝p ，所以P (－1<ξ≤0)＝P (ξ≤0)－P (ξ<－1)＝12 －p ，故C 正确；D 选项：P （X ＝k ）P （X ＝k ＋1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k ＋110×0.8k ＋1×0.29－k ＝k ＋14（10－k ），P （X ＝k ）P （X ＝k －1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k －110 ×0.8k －1×0.211－k ＝4（11－k ）k令⎩⎪⎨⎪⎧k ＋14（10－k ）≥14（11－k ）k ≥1 ，解得395 ≤k ≤445，又k ∈Z ，故k ＝8，故k ＝8时概率最大，故D 正确．故选BCD. 13．答案：±2解析：(a ＋b )＝(1＋x ，3)，(a －b )＝(1－x ，1)，(a ＋b )⊥(a －b )＝(1－x )(1＋x )＋3＝1－x 2＋3＝4－x 2＝0，所以x ＝±2. 14．答案：9解析：由T 12＝T 6得T 12T 6＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝()a 9a 10 3＝1故a 9a 10＝1，因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，所以等比数列{}a n 是递增数列，故0<a 9<1<a 10， 则T n 取最小值时，n ＝9. 15．答案：2解析：设∠MAF ＝θ，||AF ＝a ，||BF ＝b ，由抛物线定义可得||AM ＝a ，||BN ＝b ， 且180°－2∠AFM ＋180°－2∠BFN ＝180°，故∠AFM ＋∠BFN ＝90°， 故∠MFO ＋∠NFO ＝90°即MF ⊥NF .由余弦定理得||MF 2＝2a 2(1－cos θ)，||NF 2＝2b 2(1＋cos θ)，S △MAF ＝12 a 2sin θ，S △NBF ＝12b 2sin θ因为△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数， 所以有12 a 2sin θ·12b 2sin θ＝1，即a 2b 2sin 2θ＝4，所以(S △MFN )2＝(14 ||MF 2 ||NF 2)＝a 2b 2sin 2θ＝4，所以△MFN 的面积为2.16．答案：2 (0，2)解析：由y ＝x ＋1x ，得y ′＝1－1x 2 ，设P (x 0，x 0＋1x 0 )(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝1－1x 20，∴曲线在P 处的切线方程为y －x 0－1x 0 ＝(1－1x 20 )(x －x 0).分别与y ＝x 与y ＝2x 联立，可得A (2x 0，2x 0)，B (2x 0x 20 ＋1 ，4x 0x 20 ＋1 )，取x ＝0，可得C (0，2x 0 )，又O (0，0)，∴△OAC 的面积S 1＝12 ×2x 0 ×2x 0＝2；OA ＝4x 20 ＋4x 20 ＝22 x 0，点B 到直线x －y ＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 20 ＋1－4x 0x 20 ＋12 ＝2x 0x 20 ＋1 .∴△OAB 的面积S 2＝12 ×22 x 0×2x 0x 20 ＋1 ＝2x 20 x 20 ＋1 ＝21＋1x 20∈(0，2).17．解析：(1)因为b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C ， 所以由正弦定理，得b (b ＋c )＝a 2－c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0<A <π，故A ＝2π3 .(2)由(1)知，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，则C －π6 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6 . 因为sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313 ，所以cos ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝23913 ， 故tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝123因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－C ＝tan ⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝tan π6－tan ⎝⎛⎭⎫C －π61＋tan π6tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝13－1231＋13×123＝37 .18．解析：(1)设等比数列{}a n 的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3 ＋ 2S 2 ＝4S 4－S 3，即2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3 ＝－12 ，又a 1＝32，所以等比数列{}a n 的通项公式为a n ＝32 ×(－12 )n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12 )n ，所以S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12 n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n （2n ＋1），n 为奇数，2＋12n （2n －1），n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1 ＝136 ；当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2 ＝2512 ，故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.19．解析：(1)列联表χ2＝100×()12×36－24×28236×64×40×60＝2524 ≈1.042<2.706，所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关．(2)由9×1236 ＝3，9×2436 ＝6，即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人．所以X 所有可能的取值为0，1，2，3P ()X ＝0 ＝C 03 C 36 C 39 ＝521 ，P ()X ＝1 ＝C 13 C 26C 39 ＝1528 ，P ()X ＝2 ＝C 23 C 16 C 39 ＝314 ，P ()X ＝3 ＝C 33 C 06C 39＝184 ，所以X 的分布列为：所以E ()X ＝0×521 ＋1×1528 ＋2×314 ＋3×184 ＝1所以X 的数学期望值为1.20．解析：(1)连接AB 1交A 1E 于点G ，连接FG .因为△AGA 1∽△B 1GE ，所以AG GB 1 ＝AA 1EB 1＝2，又因为AF FC ＝2，所以AF FC ＝AGGB 1，所以FG ∥CB 1，又CB 1⊄平面A 1EF ，FG ⊂平面A 1EF ，所以CB 1∥平面A 1EF .(2)过C 作CO ⊥AB 于O ，因为CA ＝CB ，所以O 是线段AB 的中点．因为平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，平面CAB ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CO ⊥平面ABA 1.连接OA 1，因为△ABA 1是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以OA 1⊥AB .如图以O 为原点，OA → ，OA 1，OC →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，3 ，0)，C (0，0，1)，B (－1，0，0)，F (13 ，0，23)，由AA 1＝BB 1，得B (－2，3 ，0)，BB 1的中点E ⎝⎛⎭⎫－32，32，0 ，A 1E ＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，0 ，A 1F ＝⎝⎛⎭⎫13，－3，23 . 设平面A 1FE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1F ·n 1＝0A 1E ·n 1＝0 ，即⎩⎨⎧x 13－3y 1＋23z 1＝0－32x 1－32y 1＝0 ， 得方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3z 1＝5 ，即n 1＝(－1，3 ，5).平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2||n 1||n 2 ＝52929 ， 所以二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值为52929. 21．解析：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝222c ＝2a 2＝b 2＋c 2 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1c ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1； (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由AD → ＝13 AB → 得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2x 1＋x 23y 3＝2y 1＋y 23 ，设|OE ||OD | ＝λ，则结合题意可知，OE → ＝λOD → ，故E (λx 3，λy 3)，将点E (λx 3，λy 3)代入椭圆方程可得λ2⎝⎛⎭⎫x 23 2＋y 23 ＝1，即1λ2 ＝x 23 2 ＋y 23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2322 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1＋y 23 2， 整理可得，1λ2 ＝49 ⎝⎛⎭⎫x 21 2＋y 21 ＋49 ⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2 ＋19 ⎝⎛⎭⎫x 22 2＋y 22 ， 又∵点A ，B 均在椭圆上，且k OA ·k OB ＝－12 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21 2＋y 21 ＝1x 22 2＋y 22 ＝1k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－12 ， ∴λ＝355 ，即|OE ||OD | 为定值355. 22．解析：(1)∵f (x )＝x e x ，f (－2)＝－2e2 ，∴f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(－2)＝－1e 2 ， 故x ＝－2时的切线方程是y ＝－1e 2 (x ＋2)－2e 2 ， 即y ＝－1e 2 x －4e 2 ； (2)证明：由(1)知：f (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，∵f (－1)＝－1e ，f (－2)＝－2e 2 ， 当－1e ＜a ＜－2e 2 时，方程f (x )＝a 有2个实根x 1，x 2，则x 1，x 2∈(－2，0)， 令g (x )＝f (x )＋1e 2 x ＋4e 2 (－2＜x ＜0)， 则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋1e 2 ， 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故g ′(x )在(－2，0)递增，故g ′(x )＞g ′(－2)＝0，故g (x )在(－2，0)递增，故g (x )＞g (－2)＝0，故g (x 1)＞0，故a ＝f (x 1)＝g (x 1)－1e 2 x 1－4e 2 ＞－1e 2 x 1－4e 2 ， 故－(e 2a ＋4)＜x 1，故x ∈(－2，0)时，x e x ＞x ，故a ＝f (x 2)＞x 2，故|x 1－x 2|＜a ＋e 2a ＋4＝(e 2＋1)a ＋4.。

一、单选题1. 某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x (单位：年)与当年所需要支出的维修费用y (单位：万元)有如下统计资料：x 23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为则该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用估计为（ ）A ．12.9万元B ．12.36万元C ．13.1万元D ．12.38 万元2. 设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 如图，已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B．C．D ．5.已知，则等于（ ）A．B．C．D．6.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．B．C．D．7. 已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（ ）A．若，则必有B ．若，则必有C ．若，则必有D ．若，则必有8. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（ ）天津市耀华中学2022届高三下学期高考前冲刺(二)数学试题(1)天津市耀华中学2022届高三下学期高考前冲刺(二)数学试题(1)二、多选题三、填空题A．B．C．D．9. 双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C ．若，则D ．若，则10. 下列说法正确的是（ ）A ．数据7，5，3，10，2，6，8，9的中位数为7B．已知 ，，若，则， 相互独立C．已知一组数据，， ，……，的方差为3，则， ，……，的方差为3D ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则11.在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）A．B．C．D．12. 如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且，则（）A．平面EGHF B．平面ABCC ．平面EGHF D ．直线GE ，HF ，AC 交于一点13. 已知全集，是的子集，满足，，则集合=______.14. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．四、解答题15. 已知函数当时，不等式的解集是______；若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值范围是______．16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点．(1)求证：平面．(2)若底面，且，求点到平面的距离．17. 中华民族是一个历史悠久的民族，在泱泱五千年的历史长河中，智慧的华夏民族在很多领域都给人类留下了无数的瑰宝.比如，在数学领域中：十进位制记数法和零的采用；二进位制思想起源；几何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分数运算法则和小数；负数的发现；盈不足术；方程术；最精确的圆周率--“祖率”；等积原理--“祖暅”原理；二次内插法；增乘开方法；杨辉三角；中国剩余定理；数字高次方程方法--“天元术”；招差术，这些累累硕果都是华夏民族的祖先们为人类的智慧宝库留下的珍贵财富.近代中国数学也在一直向前发展，涌现了苏步青､华罗庚､陈省身､吴文俊､陈景润､丘成桐等国际顶尖数学大师，他们在微分几何学､计算几何学､中国解析数论､矩阵几何学､典型群､自安函数论､整体微分几何､几何定理机械化证明､拓扑学､哥德巴赫猜想研究､几何分析等诸多领域取得了杰出成就.这些数学成就和数学大师激励了一代代华夏儿女自强不息，奋勇前进.为增强学生的民族自豪感，培养学生热爱科学､团结协作､热爱祖国的优良品德，以及培养学生的思维品质，改变学生的思维习惯，提高学生对数学学习的兴趣，某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》.经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后，学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了200名高一学生进行调查，得到统计数据如下：对数学兴趣浓厚对数学兴趣薄弱合计选学了《中国数学史》10020120末选学《中国数学史》合计160200(1)求列联表中的数据的值，并确定能否有的把握认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；(2)在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人对数学兴趣薄弱减1分，每有一人对数学兴趣浓厚加2分.设得分结果总和为，求的分布列和数学期望.附：18. 如图，在中，，P为边上一动点，交于点D，现将沿翻折至．(1)沿翻折中是否会改变二面角的大小，并说明理由；(2)若，E是的中点．求证：平面，并求当平面平面时四棱锥的体积．19. 已知函数.(1)求的最大值；(2)证明:对任意的，都有；(3)设，比较与的大小，并说明理由.20. 如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.（1）求证：；（2）若四边形为正方形，求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.。

图1 图2 图3 图4数列的应用【考点导读】1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】1．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 251 行 ，第 5 列。

2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含 2221n n -+ 个互不重叠的单位正方形.3．若数列{}n a 中，311=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a 13n . 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为2- 。

5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = 6- 。

【范例导析】例1．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13 ，记为()113f = ；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211213n n ---+倍。

（1）当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？并求()f n 的表达式； （2）记n S 为数列(){}f n 的前n 项的和。

当从B 口得到16112195的倒数时，求此时对应的n S 的值.分析：根据题意可以知道()f n =()1f n -⋅()()211213n n ---+，所以可以采用迭乘法求出()f n 的表达式，这样就可以解决题目中的问题。

高三数学冲刺专题练习——排列组合概率1. 概率1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为 .【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125， 则两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=， 则有2425p =，解可得25P =． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题．2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解．【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4424A =种不同投法， 而恰好有两袋垃圾投对的投法数为246C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244P ==． 【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题．3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 .【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可． 【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，剩下两名同学的选择有23A 种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为21244349416C C A ⋅⋅=． 【点评】本题考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是能用排列组合的知识将满足条件的选择方案数计算出来．4．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 . 【分析】本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算【解答】解：不同的分组数为3227421052!C C C a ==甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有122542152!C C C =种（2）若甲、乙分在2人组，有3510C =种，故共有25种， 所以25510521P ==． 【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的5．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 .【分析】所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．【解答】解：所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是2011206=． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．6．把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为.【分析】利用插空法和古典概型可解决此题．【解答】解：根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共2 1155C=种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有(1，1，10)，(1，10，1)，(10，1，1)，(2，2，8)，(2，8，2)，(8，2，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(4，4，4)，(5，5，2)，(5，2，5)，(2，5，5)共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有551342-=（种)，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有1936C-=（种)，∴甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为61 427=．【点评】本题考查插空法和古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．7．2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.【分析】分郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，四类分别求出每地至少安排一名专家和甲，乙被安排在不同地点工作的排法种数，从而得出答案．【解答】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有155C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有2510C=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有3510C=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有455C=种排法；所以每地至少安排一名专家共有51010530+++=种不同的排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有122C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有11236C C⋅=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有12236C C⋅=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有13232C C ⋅=种排法； 所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有266216+++=种不同的排法， 所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为1683015=． 【点评】本题考查古典概型及其计算公式，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A ，B ，C 三个项目的意向如表：扶贫项目 ABC选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为 .【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【解答】解：由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以． 由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法． （3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有211223()10A C C +=种方法．故基本事件共有241016++=种． 甲乙选同一种项目的共有246+=种． 故甲乙选同一项目的概率63168P ==． 【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 9．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为 .【分析】分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：设{A=游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为112321431236C CC AA⨯=个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有22326C A⨯个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有12326C A⨯=个基本事件．P∴（A）661363+==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数2101-60岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”．按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是35（用分数作答）．【分析】由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．【解答】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，)B，(1，3，4)，(1，3，)B，(1，4，)B，(2，3，4)，(2，3，)B，(2，4，)B，(3，4，B，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1，2，)B ，(1，3，)B ，(1，4，)B ，(2，3，)B ，(2，4，)B ，(3，4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为63105= 故答案为：35【点评】本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 .【分析】根据等差数列前n 项和公式得出首项与公差m 的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论． 【解答】解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m 的等差数列， 设“男”分的橘子个数为1a ，其前n 项和为n S ，则51545802S a m ⨯=+⨯=， 即1216a m +=，且1a ，m 均为正整数， 若12a =，则7m =，此时530a =， 若14a =，6m =，此时528a =， 若16a =，5m =，此时526a =， 若18a =，4m =，此时524a =， 若110a =，3m =，此时522a =， 若112a =，2m =，此时520a =， 若114a =，1m =，此时518a =， ∴ “公”恰好分得30个橘子的概率为17． 【点评】本题考查了等差数列的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．12．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为 .【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有42214-=种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有224⨯=种，42147P ∴==． 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．13．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为 . 【分析】利用古典概型、排列组合直接求解．【解答】解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个， 基本事件总数2721n C ==，买到隐藏款包含的基本事件个数11166m C C ==， ∴买到隐藏款的概率62217m P n ===． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 6831024． 【分析】分类讨论，依据独立重复试验公式即可求得恰好得10分的概率． 【解答】解：抛掷一枚硬币，得1分的概率为12，得2分的概率为12， 恰好得到10分可分为6种情况：5个2分，共抛掷5次，概率为55511()232C ⨯=； 4个2分，2个1分，共抛掷6次，概率为466115()264C ⨯=； 3个2分，4个1分，共抛掷7次，概率为377135()2128C ⨯=； 2个2分，6个1分，共抛掷8次，概率为28817()264C ⨯=；1个2分，8个1分，共抛掷9次，概率为19919()2512C ⨯=； 10个1分，共抛掷10次，概率为1011()21024=；故恰好得到10分的概率是1153579168332641286451210241024+++++=，故答案为：6831024． 【点评】本题考查了独立重复试验的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．15．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是120． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66A 种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66720A =种结果， 满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高， 则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有3333A A 种结果， ∴后排每人均比前排同学高的概率是36172020=， 故答案为：120【点评】本题考查等可能事件的概率，站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．2. 排列组合1．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 32 种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若角排在一或五，有12A 种方法，再排商、徵，有22A 种方法，排宫、羽用插空法，有23A 种方法，利用乘法原理可得：12222324A A A =种， 若角排在二或四，同理可得：有222228A A =， 根据分类计数原理可得，共有24832+=种，故答案为：32．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势．2．从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有600个．【分析】根据题意，分当0被选用，且用两次；当0被选用，但用一次；当0没被选用三种情况讨论求解即可．【解答】解：当0被选用，且用两次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选2个位置放0，再从剩下的5个数中选2个数字排在其他两个位置上，故有223560C A=个；当0被选用，但用一次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选1个位置放0，再从剩下的5个数字中选2个数字，进而从选出的两个数字中选一个为出现两次的数字，最后在剩下的三个位置上选一个位置放置选出的2个数字中出现1次的数字，进而完成任务，故有12113523180C C C C=个；当0没被选用，则从1，2，3，4，5选3个数字，再从中选一个出现两次的数字，最后将其他两个数字选2个位置排序，故有312534360C C A=个所以，一共有60180360600++=个．故答案为：600．【点评】本题考查排列组合，考查学生推理能力，属于中档题．3．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有246C=种选法，②、将3名学生分为2组，有233C=种分法，③，进而将2组全排列，对应2个社团，有222A=种情况，则恰有2个社团没有同学选报的报法数有63236⨯⨯=种； 故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种； 故答案为：36【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．4．设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，则集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”元素个数为 130 ．【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由{1i x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”， 由于||i x 只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：2352⨯； ②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：3252⨯； ③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：452⨯．∴总共方法数是：23324555222130⨯+⨯+⨯=．故答案为：130．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +为奇数的不同排列方法有 180 种．【分析】按照分类讨论，先选后排的步骤，求出结果． 【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c 为奇数，d e 为偶数时，有323336A A ⨯= 种； 若a b c 为偶数，d e 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种； 故a b c d e +为奇数的不同排列方法有共36144180+=种， 故答案为：180．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．6．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 40 种．【分析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有361120A ⨯=种情况， 由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有1120403⨯=种；故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．7．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 29 种不同选取方法【分析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分5种情况讨论： ①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C =种， ②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C ⨯⨯=种， ③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种．故答案为：29．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．8．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是34．（用数字作答）【分析】根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有11339C C=种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有223318C A=种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有336A=种情况，则一共有1918634+++=种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．9．分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有246C=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有336A=种分配方法，则有6636⨯=种不同的分配方案；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．10．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有40种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，②，六名学生按女男女男女男排列，分析每种情况的安排方法数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3名男生和3名女站成一排，男生、女生各不相邻，则有2种情况；①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40【点评】本题考查排列组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【分析】不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，由此可得结论． 【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法， 故所求的取法共有332116441245601672472C C C C --=--= 故选：C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 .种【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可． 【解答】解：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低的，3，8两处是最高点，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8， 则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：①第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共2510C =种情况；②第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置， 余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置， 余下的号和8号放入最后两个位置，此时共226345C C =种情况；。

2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

考前冲刺卷(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax2+x+a,命题p:∃x0∈R,f(x0)=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是( C )(A)[-,](B)(-,)(C)(-∞,-)∪(,+∞)(D)(-∞,-]∪[,+∞)解析:因为p为假命题,所以￢p为真命题,即不存在x0∈R,使f(x0)=0, 故Δ=1-4a2<0,解得a>或a<-,故选C.2.欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当θ=π时,就有e iπ+1=0.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( C )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由题意,=cos(-)+isin(-)=cos -isin =--i,则表示的复数在复平面对应的点为(-,-),位于第三象限,故选C.3.已知θ∈(,),则2cos θ+等于( A )(A)sin θ+cos θ(B)sin θ-cos θ(C)cos θ-sin θ(D)3cos θ-sin θ解析:因为θ∈(,),所以2cos θ+=2cos θ+ =2cos θ+=2cos θ+sin θ-cos θ=sin θ+cos θ.故选A.4.若(x+2)(-x)5展开式的常数项等于-80,则a等于( A )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4解析:(-x)5的展开式的通项为T k+1=()5-k·(-x)k=(-1)k a5-k·x2k-5, 当2k-5=-1,即k=2时,T3=a3·x-1,当2k-5=0,即k=不成立,则多项式的常数项为x·a3·x-1=10a3=-80,得a3=-8,得a=-2,故选A.5.已知抛物线C1:y=x2的焦点F也是椭圆C2:+=1(m>0,n>0)的焦点,记C1与C2在第一象限内的交点为A,且|AF|=,则椭圆离心率为( A )(A)(B)(C)(D)3解析:因为抛物线C1:y=x2的焦点坐标为(0,1),可得n-m=1,因为抛物线C1的准线方程是y=-1,且A是抛物线与椭圆在第一象限内的交点,由|AF|=及|AF|=y A+1可知y A=,x A=,故A(,),代入椭圆方程可知+=1,解得m=3,n=4.所以椭圆的离心率为e===.故选A.6.已知数列{a n}是公比不为1的等比数列,S n为其前n项和,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,则S3等于( C )(A)5 (B)6 (C)7 (D)9解析:数列{a n}是公比q不为1的等比数列,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,可得a1q=2,18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2,a1=1,则S3==7.故选C.7.下列函数既是奇函数,又在[-1,1]上单调递增的是( C )(A)f(x)=|sin x|(B)f(x)=ln(C)f(x)=(e x-e-x)(D)f(x)=ln(-x)解析:对于A,由于函数f(x)=|sin x|为偶函数,不符合题意;对于B,f(x)=ln 的定义域为(-e,e),且f(-x)=ln =-ln =-f(x)为奇函数,设t==-1+,在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=ln 在(-e,e)上为减函数,不符合题意;对于C,由f(x)=(e x-e-x)得f(-x)=-(e x-e-x)=-f(x)为奇函数,且f′(x)=(e x+e-x)>0,则f(x)=(e x-e-x)在R上为增函数,符合题意;对于D,f(x)=ln(-x)的定义域为R,f(-x)=ln(+x)=ln()=-ln(-x)=-f(x)为奇函数,设t=-x=,在R上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=ln(-x)在R上为减函数,不符合题意;故选C.8.已知坐标平面xOy中,点F1,F2分别为双曲线C:--y2=1(a>0)的左、右焦点,点M在双曲线C的左支上,MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D,且D为MF2的中点,点I为△OMF2的外心,若O、I、D三点共线,则双曲线C的离心率为( C )(A) (B)3 (C) (D)5解析:设点M在第二象限,设M(m,n),F2(c,0),由D为MF2的中点,O,I,D三点共线知,直线OD垂直平分MF2,则直线OD的方程为y=x,故有=-a,且·n=·,解得m=,n=. 将M(,),即(,)代入双曲线的方程可得-=1,化简得c2=5a2,即e=.当M在第三象限时同理可得e=.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知集合A={1,2},集合B={0,2},设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则下列结论中不正确的是( ABD )(A)A∩C= (B)A∪C=C(C)B∩C=B (D)A∪B=C解析:因为A={1,2},B={0,2},所以C={0,2,4}.所以A∩C={2},A∪C={0,1,2,4},A∪B={0,1,2},B∩C=B.故选ABD.10.已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,有以下结论,正确的是( ABD )(A)l∶r=4∶3(B)圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3(C)圆锥的轴截面是锐角三角形(D)圆锥轴截面是钝角三角形解析:A,由题得=π,所以=,所以l∶r=4∶3,所以该结论正确;B,由题得===,所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3,所以该结论正确;C,由题得轴截面的三角形的三边长分别为r,r,2r,顶角最大,其余弦为cos α==-<0,所以顶角为钝角,所以轴截面三角形是钝角三角形,所以该结论错误;D正确.故选ABD.11.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)的图象,则下列说法错误的是( ACD )(A)f(x)=-sin 2x(B)f(x)的图象关于x=-对称(C)f()=(D)f(x)的图象关于(,0)对称解析:将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin(2x+)的图象,故A符合题意; 当x=-时,f(x)=1,为最大值,故f(x)的图象关于x=-对称,故B不符合题意;f()=-sin =-sin =-,故C符合题意;当x=时,f(x)=-sin =-≠0,故f(x)的图象不关于(,0)对称,故D 符合题意.故选ACD.12.已知函数f(x)=-lo x,若0<a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),则下列说法一定正确的是( AB )(A)f(x)有且只有一个零点(B)f(x)的零点在(0,1)内(C)f(x)的零点在(a,b)内(D)f(x)的零点在(c,+∞)内解析:因为y=,y=-lo x均为(0,+∞)上的单调增函数,故f(x)为(0,+∞)上的增函数.因为f(1)>0,f()<0,由零点存在定理可知f(x)有且只有一个零点且零点在(,1)内,故AB正确.因为f(a)f(b)f(c)<0,故f(a),f(b),f(c)的符号为两正一负或全负,而0<a<b<c且f(x)为(0,+∞)上的增函数,故f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0或者f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则零点在(c,+∞)内,若f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,则零点在(a,b)内.故CD错误.故选AB.第Ⅱ卷本卷包括填空题与解答题两部分,共90分.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=则f(f())= .解析:因为函数f(x)=所以f()=2-1=1,所以f(f())=f(1)=2.答案:214.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则|a+2b|= ;a与a-2b的夹角为.解析:因为|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,所以|a+2b|====2,|a-2b|====2,所以cos<a,a-2b>====.因此<a,a-2b>=.答案:215.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中抽取一个同学的数学成绩ξ,记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A,记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)= .(结果用分数表示)附:X满足:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.68;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.95;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.99.解析:由题意,P(A)=0.475,P(B)=×(0.99-0.68)=0.155,P(AB)=×(0.95-0.68) =0.135,所以P(B|A)==.答案:16.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1,高为2的圆锥,当正四棱柱体积最大时,该正四棱柱的底面边长为.解析:如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面,设正四棱柱的高为h,底面边长为a,则O,O1分别为AC,A1C1的中点,所以A 1C1=a,EF=2,△SA1C1∽△SEF,所以=,即=,所以a=(2-h)(0<h<2).因此正四棱柱的体积V=a2h=[(2-h)]2h=(h3-4h2+4h).令V′=(3h2-8h+4)=(h-2)(3h-2)=0,得h=,或者h=2(舍).当0<h<时,V′>0,当<h<2时,V′<0,故当h=时,V有最大值,此时a=(2-)=.答案:四、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=-a n+n(n∈N*).(1)求证:数列{a n-}为等比数列;(2)求数列{a n-1}的前n项和T n.(1)证明:2S n=-a n+n,当n≥2时,2S n-1=-a n-1+n-1,两式相减,得2a n=-a n+a n-1+1,即a n=a n-1+.所以a n-=(a n-1-),所以数列{a n-}为等比数列.(2)解:由2S1=-a1+1,得a1=.由(1)知,数列{a n-}是以-为首项,为公比的等比数列.所以a n-=-()n-1=-()n,所以a n=-()n+.所以a n-1=-()n-.所以T n=-=[()n-1]-.18.(本小题满分12分)在某电视台举行的跑男节目中,某次游戏比赛分两个阶段,只有上一阶段的通过者,才能继续参加下一阶段的比赛,否则就被淘汰,每组选手每通过一个阶段,本组积分加10分,否则为0分.甲、乙两组明星选手参加了这次游戏比赛,已知甲组选手每个阶段通过的概率均为,乙组选手每个阶段通过的概率均为.(1)求甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰的概率;(2)设甲、乙两组选手的最后积分之和为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)记“甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰”为事件A,则P(A)=×(1-)××(1-)=.(2)X所有可能取值为0,10,20,30,40,且P(X=0)=(1-)×(1-)=,P(X=10)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)=+=,P(X=20)=(1-)×()2+×(1-)××(1-)+()2×(1-)=++=,P(X=30)=()2××(1-)+×(1-)×()2=+==,P(X=40)=()2×()2=.则X的分布列为X 0 10 20 30 40P所以X的数学期望E(X)=0×+10×+20×+30×+40×=.19.(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M 为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值.(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以AF⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以AF⊥平面ABCD.所以AF⊥BD.(2)解:取AD中点O,EF中点K,连接OB,OK.于是在△ABD中,OB⊥OD,在正方形ADEF中OK⊥OD,又平面ADEF⊥平面ABCD,故OB⊥平面ADEF,进而OB⊥OK,即OB,OD,OK两两垂直,分别以OB,OD,OK所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(,0,0),D(0,,0),C(,3,0),E(0,,1),M(,,0),F(0,-,1),所以=(-,-,1),=(-,-,0),=(0,0,1),设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=-5,则y=,则n=(-5,,0).设直线MF与平面CDE所成角为θ,则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为sin θ=|cos<,n>|===.20.(本小题满分12分)如图,直线l为经过市中心O的一条道路,B,C是位于道路l上的两个市场,在市中心O正西方向的道路较远处分布着一些村庄,为方便村民生活,市政府决定从村庄附近的点A处修建两条道路AB,AC,l与OA 的夹角为(OA>3 km,∠OAC为锐角).已知以2 km/h的速度从O点到达B,C的时间分别为t,(1+)t(单位:h).(1)当t=1时:①设计AB的长为3 km,求此时OA的长;②修建道路AB,AC的费用均为a元/km,现需要使工程耗费最少,直接写出所需总费用的最小值;(2)若点A与市中心O相距(6+4)km,铺设时测量出道路AC,AB的夹角为,求时间t的值.解:(1)①当t=1时,OB=2,OC=2(1+)=2+6.因为AB=3,∠AOC=,在△AOB中,由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos ,即27=OA2+12-2OA·2×,解得OA=3+.②在△AOC中,由余弦定理可知AC2=OA2+OC2-2OA·OCcos = (3+)2+(2+6)2-2(3+)(2+6)×=63+18-18,所以AC=.所以修建道路AB,AC的总费用的最小值为(+3)a元.(2)设∠BAO=θ,在△ABO中,由正弦定理可得==.同理在△ABC中,=,且BC=BO,∠ACB=-θ.所以=.所以=,整理可得sin θcos θ=,θ∈(0,),tan θ∈(0,),sin θ≠0,cos θ≠0.所以==,解得tan θ=2-.在△ABO中,BO====2.所以t==1 h.21.(本小题满分12分)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A1(-a,0)和B2(0,b)的直线与原点间的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若方程为y=kx+m的直线L与椭圆C相交于不同两点A,B,设点M(2,0),直线AM与BM的斜率分别为k1,k2且k1+k2=0,判断直线L是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由题意可知,直线A1B2的方程为bx-ay+ab=0.依题意得解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)联立消去y可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以k1+k2=+==0,所以x2y1+x1y2-2(y1+y2)=0,即x2(kx1+m)+x1(kx2+m)-2(kx1+kx2+2m)=0,即2k·-(m-2k)·-4m==0,所以k+m=0,故直线L的方程为y=kx-k=k(x-1),所以直线L过定点(1,0).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-+axln x,其中e为自然对数的底数.(1)当a≥0时,求证:x≥1时,f(x)>0;(2)当a≥-时,讨论函数f(x)的极值点个数.(1)证明:由f′(x)=x-+a(ln x+1),易知f′()=0,设g(x)=f′(x),则g′(x)=,当a≥0时,g′(x)>0,又f′()=g()=0,所以0<x<时,g(x)<0;x>时,g(x)>0,即f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)上递增;所以当x≥1时,f(x)≥f(1)=->0.(2)解:由(1)可得,①当a≥0时,f(x)当且仅当在x=处取得极小值,无极大值,故此时极值点个数为1;②当-≤a<0时,易知g(x)在(0,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,所以g(x)min=g(-a)=-+aln(-a),又设h(a)=-+aln(-a),其中-≤a<0,则h′(a)=1+ln(-a)≤0,对-≤a<0恒成立,所以h(a)单调递减,h(a)≤h(-)=0(当且仅当a=-时取等号),所以(ⅰ)当a=-时,g(x)≥0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故此时极值点个数为0;(ⅱ)当-<a<0时,>-a>0,g(x)在(-a,+∞)上递增,又g()=0,所以当-a≤x<时g(x)<0,当x>时,g(x)>0,即f(x)总在x=处取得极小值;又当x→0且x>0时,g(x)→+∞,所以存在唯一x0∈(0,-a)使得g(x0)=0,且当0<x<x0时,g(x)>0,当x0<x<-a时,g(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值;故此时极值点个数为2,综上,当a=-时,f(x)的极值点个数为0;当-<a<0时,f(x)的极值点个数为2;当a≥0时,f(x)的极值点个数为1.。

四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）统编版测试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（）A．B．C．D．第(2)题牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为（为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（）A．B．C．D．第(3)题设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．第(4)题已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（）A．B．C．D．第(5)题的展开式中的系数是（）A．B．0C．35D．70第(6)题若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为（）A．B．C．或D．或第(7)题动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（）A．B．C．D．第(8)题已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中正确的有（）A．在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好B．已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1C．已知随机变量，若，则D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则第(3)题已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的有（）A．函数的解析式为B．函数的最小正周期为C ．函数在区间上单调递减D ．是函数图象的一个对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若直线是曲线与曲线的公切线，则___________，___________.第(2)题已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且项的系数为，则______．第(3)题设是首项为的等比数列，是其前项和，若，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．(1)证明：平面；(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．第(2)题京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?第(3)题设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若f（x）有两个极值点，，求a的取值范围．第(4)题已知正项数列满足，．(1)若，请判断并证明数列的单调性；(2)若，求数列的前项和．第(5)题如图，已知椭圆，点是抛物线的焦点，过点F作直线交抛物线于M，N两点，延长，分别交椭圆于A，B两点，记，的面积分别是，.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时直线的方程.。