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常见的新定义数列问题近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题． 一、等和数列【例1】 （2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，且这个数列的前21项和21S 的值为 ．【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等和数列，公和为m ，则由等和数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为1111a m a a m a --，，，，，即 11n a a m a ⎧=⎨-⎩，，1122n n a m S mn ⎧-⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，， 【解析】 因为12a =，公和为5m =，所以18523a =-=，2121125522S -=+⨯=． 二、等积数列【例2】 （2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{}n a 是等积数列，且102a =，公积为6，则1592005a a a a ⋅⋅⋅⋅=（ ）A ．5022B ．5012C ．5023D ．5013【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等积数列，公积为m ，则由等积数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为 1111m m a a a a ，，，，，即11n a a m a ⎧⎪=⎨⎪⎩，，【解析】 由()2005114n =+-⋅可得：501n =，又因为102a =，公积为6，所以13a =，50215920053a a a a ⋅⋅⋅⋅=，故选C ．三、等方比数列n 为奇数；n 为偶数． n 为奇数； n 为偶数． n 为奇数；n 为偶数．【例3】 （2007·湖北）若数列{}n a 满足212n na p a +=，（p 为正常数，*n ∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=，则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=±，即数列{}n a 公比不一定为q ，则命题乙不成立，故选B ．四、绝对差数列【例4】 （2006·北京）在数列{}n a 中，若12a a ，是正整数，且12n n n a a a --=-，345n =，，，，则称{}n a 为“绝对差数列”．⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前10项）；⑵若“绝对差数列”{}n a 中203a =，210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，123n =，，，，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．【解析】 ⑴13a =，21a =，32a =，41a =，51a =，60a =，71a =，81a =，90a =，101a =．（答案不唯一）；⑵在“绝对差数列”{}n a 中，因为203a =，210a =，所以自第20项开始，203a =，210a =，223a =，240a =，253a =，…，即每个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在，而当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n x b →∞=．⑶证明 根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项．证明如下：假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对任意的n ，都有1n a ≥，从而当12n n a a -->时，()12113n n n n a a a a n ---=--≤≥，当12n n a a --<时，()21213nn n n a a a n ---=--≤≥，即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1；令212122212n n n nn n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩，，123n =，，，，则()101234n n C C n -<<-=，，，由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在0k C <，这与()0123n C n >=，，，，矛盾．所以{}n a 必有零项．若第一次出现的零项为第n 项，记()10n a A A -=≠，则自第n 项开始，第三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即30n k a +=，31n k a A ++=，32n k a A ++=，0123k =，，，，．所以“绝对差数列”{}n a 中总含有无穷多个为零的项．五、对称数列【例5】 （2007·上海）若有穷数列1a ，2a ，12n a a a ，，，（n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．⑴已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234b b b b ，，，成等差数列，14211b b ==，，试写出{}n b 的每一项；⑵已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121k k k c c c +-，，，构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？⑶对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211222m -，，，，成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．【解析】 ⑴设{}n b 的公差为d ，则4132311b b d d =+=+=，解得3d =，所以数列{}n b 为25811852，，，，，，． ⑵21121121k k k k k S c c c c c c --+-=+++++++()1212k k k k c c c c +-=+++-，()222141341350k S k -=--+⨯-， 所以当13k =时，21k S -取得最大值． 21k S -的最大值为626．⑶所有可能的“对称数列”是：①22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，；②2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，2200720082008122221S =+++++-．当15002007m <≤时，212220092008122222m m m m S ----=+++++++12200912200921222221m m m m m m ----=-+-=+--．对于②，当2008m ≥时，2008200821S =-． 当15002007m <≤时，1220082008221m m S +-=--． 对于③，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20092008223m m S -=+-． 对于④，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20082008222m m S -=+-．六、一阶差分数列【例6】 （2007·青岛质检）对于数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的“一阶差分数列”，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ．⑴若数列{}n a 的通项公式()2*51322n a n n n =-∈N ，求{}n a ∆的通项公式；⑵若数列{}n a 的首项是1，且2n n n a a ∆-=， ①证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； ②求{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴依题意1n n n a a a +∆=-，所以()()2251351311542222n a n n n n n ⎡⎤∆=+-++-=-⎢⎥⎣⎦．⑵①因为2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122n n n a a +=+， 所以111222n n n na a ++=+，又因为1122a =， 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列； ②由①得：()1112222n n a nn =+-=． 所以1222n n n na n -=⋅=⋅．所以1232n n S a a a n =++++⋅．错位相减得：()121n n S n =-⋅+．七、周期数列【例7】 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T m a a +=对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为“周期数列”，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*112n n n x x x n n +-=-∈N ≥，，如果11x =，2x a =()10a a ≠≤，，当数列{}n x 周期为3时，则该数列的前2008项的和为（ ） A ．668B ．669C ．1338D ．1339【解析】 由题知，3211x x x a =-=-，432111x x x a a x =-=--==，所以11a a -=+或11a a -=-，因为1a ≤，0a ≠，所以1a =，即得：123456110110x x x x x x ======，，，，，，，即数列{}n x 自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值1，1，0． 而200836691=⨯+，所以2008266911339S =⨯+=，选D ．。
神奇的数列波那契公元1202年，意大利数学家斐波那契（1170—1250）在所著的《算法之书》中，提出了一下又取得问题：有一对刚诞生的幼兔（雌雄各一只）。
经过一个月长成成年兔。
每对成年兔每个月生下一对新幼兔（雌雄各一只）。
假设兔子永远按着上述规律成长、繁殖，并不会死去，问到第12个月时共有多少对兔子？1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……这就是著名的斐波那契数列也叫做兔子数列。
该数列有很多奇妙的属性：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8×8的方格切成四块，拼成一个5×13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
计算机绘制的斐波那契螺旋自然界中的斐波那契数列最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。
蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。
如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。
当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。
曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。
在生活中我们会遇到许多这样的数列。
1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?2、开始有三个数为1、1、1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。
数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。
本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。
解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n例2． 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.242n a a a +++ 解析：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则： 6223221)21(232)222(322323)1(1224221--⋅=---=-+++=+++∴-⋅=⇒-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关•这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为a n a1（n 1）d（a n a i q n1）或前n项和S n an2 bn（S n a（1 q n））,首先要证明它是等差（比）数列,必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列例1.设等差数列a n的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260解若等差数列a n 前m项、次m项、又次m项和分别为S，9，S3,贝U S1，S2，S3也成等差数列.事实上，m(a1 a m)m(a2m 1 a3m)m[a1 a2m 1 ) (a n2 a3m)] S1 S3222m(2a m 1 2a2m)2 m(a m 1 a2m)2S2.22所以S，Sa，S3成等差数列因为30，70，S3m- 100成等差数列，所以30+S3m- 100=140,即£^210.故应选（C）.1 21 1例2.设｛a n｝是等差数列，b n（）3n，已知b| b2b3,b1 b2b3，求等差2 8 8数列的通项公式.解•/ ｛a n｝成等差数列，•••｛b n｝成等比数列，••• b；=bb.由bb2b3」,得b2 = -.8 217 1从而有b计b3= , b1b3=.8 417 1•- b1, b3是方程x —x + —8 40两根.解得b2,b3 £ 或b1 8，b3 2.8 8••• a i =— 1, d =2 或 a =3, d =— 2.故 a n =a i +( n — 1) d =2n — 3 或 a n =5— 2n .例3. 一个数列｛ n .a n ｝,当n 为奇数时，a n =5n +1;当n 为偶数时，a n =22,求这个数列的前 2m 项的和.解：••• a1, as ,a5,…，a 2m — 1成等差数列，a 2 ,a 4,比， ,a 2m 成等比数列,•-(a 1 a 3a 2m 1 )(a 2 a 4a2m )m(a 1a 2m 1) 亠m 12ma 2 25m m 2 .2例4.设数列a 1,a 2, , a n ,,前n 项和S 与a n 的关系是S n ka n 1 (其中k 是与n无关的常数，且 k 工1).(1) 试写出由n,k 表示的a n 的表达式；(2)若ii m S 1，求k 的取值范围.nn1解：(1)当 n=1 时，由 a 1 S 1 ka 1 1,得 a 1(k 1);1 k当 n >2 时，由 a n S n S n 1 (ka .1) (ka n 11) ka n ka n 1，得a n ka n 1 k 1若 k =0,则 a n =1( n =1)或 a n =0( n \ 2).1k若kT 则｛列是首项为讥，公比为厂的等比数列，所以an例5.已知数列｛ a n ｝的前n 项和的公式是S n12(2n 2 n).(1)求证: ｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公(2)记b n sin a n sin a n 1 sin a n 2 ,求证：对任意自然数n,都有b n证明：(1)当n =1时，a 1 S i;当n 》2时,4(2)：T im S n1, lim a n nn n nv 1，解得 k v1)n% '盼乜n)悝［2(n仔(n1)］二(4n 1).…a n(4n 1). a n a n 1 12存4n 1)訝 *1) 1］3(2) 只要证明｛ b n ｝是首项为2,公比为一1的等比数列.8•••｛ a n ｝是首项为—，公差为4 的等差数列.3bi sina i sina 2 sina 3.7 . 11 sin sin sin 4 12 12二(丄)(cos 兰cos 土 ) ，和2 2 12 12 8b nsin a n 2 sin(a n 1 ) sin a n 1 b n 1 sin a n 1 sin a n 1 sin a n 1 • ｛b n ｝是首项为丄2，公比为—1的等比数列，• 8b n£1)n1例6.设｛a n ｝是正数组成的数列，其前 n 项和为S, 并且对于所有自然数 n , a n 与2的等差中项等于 S 与2的等比中项 (1)写出数列｛a n ｝的前3项; (2)求数列｛a n ｝的通项公式(写出推证过程)；b n n).解(1 )•2蔦 2 - 2S n , S n (a n 82)-2 8a S 11 2 佝 2),得 a 12(a 1 >0) ； a ?8S 2S1£ ® a)2 2,8解得: a 21b(a 2 > 0) ； a 3S 3 S 2— @382)2 8, 解得：a 310( a 3 > 0)(2)1 2当 n >2时，an & Sn1-(a n 2)28(a n12),1aa(3)令 bn—(_^—)(n N)，求 lim bb ?2a n a n 1n2即 8a n (a n 2)(a . 12)2，即(a n 2)2 (am 2)2 0.(a n a n 1)(a n a n 1 4) 0.a na n 1 > 0, a na n 1 4.{ a n }是首项为 2,公差为4的等差数列,例7.已知数列｛a n ｝满足条件：a 1 1,a 2 r(r >o ),比数列.设 b na 2n 1 a 2n (a 1,2,a i(n 1) d 4n 2.(3)b nbi b 21/4 n 2 4n 21 ( )1 2(—2 4 n 2 4n 2 4n 2 1 1 b n n 2(), lim(b 12 4n 2 nb 2b n ) 1.(1) 求出使不等式 a n a n 1 a n1a n 2 > a n 2a * 3(n N)成立的q 的取值范围;(2) 求b n 和li m n1——，其中SS nb 1 b 2b n(3)219.21,q 1，求数列2log 2 b n 1 的最大项和最小项的值解:(1) n rq1rq> rq n(2)a n 1 a n 2 a n 2a n a n 1a n又b 1 a 1 a 21log 2 b n1,r >0, q >0, b n 1 b nb n 1｛b n ｝是首项为a 2n 2 a 2n 1 a 2nlimn1 S n1 q严(° 1 r0,(q 1)q 1),(3)log 2[(1 r)q n] log 2 b n log 2[(1 r)q n 1]gb n 1 记C nlog 2 b n 1 q 1 < 0「0< q <15a 2n 1q a 2n q a 2n 1a 2n1 + r ，公比为q 的等比数列， b n ，则有 C 20 W C n W C 21.log 2 b n故｛c n ｝的最大项为C 21=2.25，最小项为C 20 = — 4.(1 r)q n 13例8.设A 为数列｛a n ｝前n 项的和， 代(a n 1)(n N).数列｛b n ｝的通项公式为 2b n 4n 3( n N).且｛Sha n —1｝是公比为q (q >0)的等1).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若d a i，a2，a3，a n bibb， ,b n，，则称d 为数列｛a n｝与｛b n｝的公共项•将数列｛a n｝与｛b n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d n｝，证明数列｛d n｝的通项是d n 32n1(n N);(3)设数列｛dn｝中的第n项是数列｛b n｝中的第r项，B为数列｛b n｝前r项的和，D n为数列｛d n｝前n 项的和，T n=B —D,求ii m Tn4 .n(a n)3解：(1)当n=l 时，由a1(a11),得a i=3；23 a当n A 2 时，由a n A n A n 1 -(a n a n 1),得亠3(n > 2)2 a n 1••• ｛a n｝是首项为3,公比为3的等比数列，故a n3n(n N).(2)证｛d n｝是等比数列显然d1=a3=27,设a i=3k是数列｛b n｝中的第m项，贝U 3k 4m 3(k, m N).a k 13k 1 3 3k3(4m 3) 4(3m 2) 1;a k 2是数列｛b n｝中的第m+1项.d n2T9n c2n 3 /3 (n N).(3) 由题意,32n14r3, r32n1 33(32n 1).44又B r r(b1b r)3(32n1)(732n1) D27(32n 1) 28D n8T n B r D934n2n15 36 ndm 1 d m 9, • ｛d n｝是首项为27,公比为9的等比数列a k 1不是数列｛b n｝中的项.而a k 2 k 2 k3 9 3 9(4m 3) 4(9m 6) 33k 23kT n故limn。
数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。
二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列1112,,,6323的一个通项公式为（）A、1nB、6nC、3nD、4n3、判断下列数列的增减性（）①11111,,,,2481632K K②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341n n +K K K K ，，，， 例4：作出数列11111,,,,,()248162n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。
试一试：1、P 8 T 22、已知数列{}n a 中；123,6,a a ==且21n n n a a a ++=-，则数列的第100项为3、已知数列{}n a 中，223n a n n =-+，则数列n a 是增还是减数列4、已知数列{}n a 中，276n a n n =-+，求数列{}n a 的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展1、已知数列{}n a满足1120090,);n a a n N a 则等于++==?（ ） A 、0 B、- CD 、2 2、数列{}n a 满足13n n a a ++=，若320082,a a =则等于 。
3、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n ?（1）求数列{}n a 的通项公式（2）证明：数列{}n a是递减数列自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P9 AT5、6。
数列的概念教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学过程一．揭示课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第一章 数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数:2π- 25π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数：41,31,21,1…… ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100 ⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．对概念的理解数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？ 教师提出问题：1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？2： -1，1，-1，1是否为一个数列？遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）2．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为（板书）（1）列举法． 简记为 ．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 41,31,21,1…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法 认识数列的通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如 （1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围 （答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）（答：A ）A B C D二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ （答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
如 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
等差数列前n项和公式的应用等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的研究，将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力．一、分析公式的结构特征难得出下面的结论：中间项．2．当n是偶数时，a1与a n的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数．根据上述结论，可得：性质1等差数列{a n}中．S2n-1=(2n－1)a n；S2n=n(a n＋a n+1)．(因为a n是前2n－1项的正中间；a n，a n+1是前2n项的正中间两项)例1 (1)等差数列中，若a8=5，则S15=________．(2)等差数列{a n}中，若a6=a3＋a8，S9=________．解(1)依性质1，得S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8，而a8=5，∴S15=15×5=75．(2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)．整理得 a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0，而a5=a1＋(5－1)d，∴a5=0．由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．例2设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由．解依题意，有∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)，故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大．二、注意公式的变形我们有：例3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为 [ ]A．30 B．170 C．210 D．260解已知S m=30，S2m=100，求S3m=？均成等差数列．则∴S3m=210．故选(C)．S3m－S2m成等差数列．性质3等差数列中依次每m项和S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列．例4等差数列{a n}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3，证明由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列，。
判定等差数列的方法本文介绍判定等差数列的方法，目的在于深刻理解等差数列的定义，灵活运用有关知识，为解有关数列的综合题奠定基础．那么怎样判定等差数列呢？一、定义法如果一个数列{a n}满足a n+1－a n＝常数，则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证数列是等差数列，只需证明a n+1－a n＝常数，这种方法叫做定义法．例1 已知数列{a n}是等差数列，而数列{b k}的通项公式为证明设数列{a n}的公差为d，则有二、通项公式法大家知道，等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．反之如果数列{a n}的通项公式为a n ＝a1＋(n－1)d，则数列{a n}是等差数列．这样，数列{a n}为等差数列的充分必要条件是a n＝a1＋(n－1)d．因此通项公式也是判定等差数列的好方法．求证：数列{b n}是等差数列．证明设等比数列{a n}的公比是q，由a n＞0知q＞0，于是三、等差中项法三数a，A，b成等差数列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中项．反之，若2A＝a＋b，则a，A，b成差数列．因此，我们常用后一结论来判定等差数列．例3 已知x，y，z成等差数列，求证x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差数列．证明∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3．而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3，∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列．有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再求解．至于证明时选用哪个方法，应因题而异．解因为数列的第k项大，必须前k项非负，而从第k＋1项起以后各项都是负数，因此k适合下列条件：由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，所以，13.2＜k≤14.2．由于k为自然数，故k＝14，即该数列前14项的和最大．。
判定等差数列的方法
本文介绍判定等差数列的方法，目的在于深刻理解等差数列的定义，灵活运用有关知识，为解有关数列的综合题奠定基础．那么怎样判定等差数列呢？
一、定义法
如果一个数列{a n}满足a n+1－a n＝常数，则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证数列是等差数列，只需证明a n+1－a n＝常数，这种方法叫做定义法．例1 已知数列{a n}是等差数列，而数列{b k}的通项公式为
证明设数列{a n}的公差为d，则有
二、通项公式法
大家知道，等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．反之如果数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d，则数列{a n}是等差数列．这样，数列{a n}为等差数列的充分必要条件是a n＝a1＋(n－1)d．因此通项公式也是判定等差数列的好方法．
求证：数列{b n}是等差数列．
证明设等比数列{a n}的公比是q，由a n＞0知q＞0，于是
三、等差中项法
三数a，A，b成等差数列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中项．反之，若2A＝a＋b，则a，A，b成差数列．因此，我们常用后一结论来判定等差数列．例3 已知x，y，z成等差数列，求证x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差数列．
证明∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)
＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y
＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)
＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)
＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3．
而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3，
∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．
故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列．
有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再求解．至于证明时选用哪个方法，应因题而异．
解因为数列的第k项
大，必须前k项非负，而从第k＋1项起以后各项都是负数，因此k适合下列条件：
由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，
所以，13.2＜k≤14.2．
由于k为自然数，故k＝14，即该数列前14项的和最大．。
