2018年高考数学总复习专题10.3抛物线试题

第7讲抛物线,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2017·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2017·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2017·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2., )——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 因为|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)． 因为N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种情况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2； 当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2, )1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22.3．(2016·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2017·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2017·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2017·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2017·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

考点38 抛物线【考纲要求】（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.； （3）了解抛物线的简单应用； （4）理解数形结合的思想． 【命题规律】抛物线是历年高考命题的重点热点，考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质．预计2018年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低．也可能以解答题出现在大题，综合考查直线与抛物线的位置关系及与其它知识的交汇． 【典型高考试题变式】 （一）抛物线的定义及应用【例1】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A ．27 B ．3 C ．25D ．2 【答案】B【解析】如图所示，因为FQ PF 4=，故34PQ PF=，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．【方法技巧归纳】涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解，如根据抛物线定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． 【变式1】【变为利用定义求焦点到坐标轴的距离】若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】设抛物线的焦点为F ，则||10MF =，于是由抛物线的定义知|10|1M x MF +==，所以9M x =，即为M 到y 轴的距离．【变式2】【变为求多条线段和】如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）A ．10n +B ．20n +C ．210n +D ．220n + 【答案】A（二）抛物线的方程【例2】【2013全国新课标Ⅱ卷】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【答案】C【解析】由题意知：(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，则由抛物线的定义知，52M p x =-，设以MF 为直径的圆的圆心为5(,)22M y ，所以圆方程为22525()()224M y x y -+-=，又因为点（0，2），所以4M y =，又因为点M 在C 上，所以162(5)2pp =-，解得2p =或8p =，所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．【方法技巧归纳】求抛物线的标准方程应注意以下几点：（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种；（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【变式1】【变为利用抛物线的性质求方程】过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = D ．24y x = 【答案】C【变式2】【变为与双曲线交汇条件下求抛物线的方程】过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218y x -=的一条渐近线平行，并交其抛物线于A B 、两点，若AF BF >，且3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x = 【答案】C【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为22y x = ，所以设直线为222p y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设()00,A x y ，根据032p AF x =+= ，解得： 032p x =-，因为AF BF > ，所以02px > ， ()0223y p =- ，即()283232p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，解得： 2p = 或4p = （舍），即抛物线方程为24y x = ，故选C ．（三）抛物线的几何性质【例3】【2016新课标Ⅰ卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B【方法技巧归纳】（1）涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离，常可相互转化；（2）应用抛物线几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【变式1】【变为抛物线通径的应用】已知点00(,)P x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B【解析】因为点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，所以点P 是抛物线W 通径的一个端点，所以012px ==，故选B ． 【变式2】【变为利用抛物线的对称性的应用】已知抛物线22(0)y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线,CA CB ，,A B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点，CAB ∆的面积为24，则p =＿＿＿＿＿＿．A ．24y x =B ．24y x =-C ．28y x =D ．28y x =- 【答案】D【解析】（1）由抛物线的对称性知,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭， ,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1422422CAB p S p ∆⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭，解得4p =，直线AB 方程为2x =，所以所求抛物线标准方程为28y x =-，故选D ． （四）直线与抛物线的位置关系【例4】【2015新课标Ⅰ卷】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+（a＞0）交与,M N 两点．（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【答案】（10y a --=0y a ++=；（2）存在．【解析】（1）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a ．∵12y x '=，故24x y =在x =曲线C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=．故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，曲线C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=． 故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=．【方法技巧归纳】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，解题时一般要用到判别式或根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．对于抛物线22(0)y px p =>来说，若过抛物线的焦点，则可直接使用公式12AB x x p =++；若不过焦点，则必须用一般弦长公式()()221212||14AB k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦．【变式1】【变为非探索性问题即证明定点问题】过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【答案】（1）24y x =；（2）1(,0)4． 【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2p F ，故可设直线AB 的方程为2p x my =+， 由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >，可得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-，∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --，∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=，∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4． 【变式2】【变为探索点的位置】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 【答案】（1）212y x =；（2）无关，证明见解析． 【解析】（Ⅰ）由题意，211||||2182222MONp p S OA MN p =⋅⋅=⋅⋅==△， 6p =∴， 抛物线C 的标准方程为212y x =． （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my ay x=+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性，不妨设0m >，（ⅰ）0a <时，12120y y a =->∵， 12y y ∴，同号，又11||||t AM AN =+=+ 2221222222212()111441111()11441y y m t m y y m a a m +⎛⎫===-⎪+++⎝⎭∴， 不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”； （ⅱ）0a >时，12120y y a =-<∵， 12y y ∴，异号． 又11||||t AM AN =+=+22122212()11()y y t m y y -=+∴212122212()411()y y y y m y y +-=+2221144481144m a m a +=•+22111311a a m ⎛⎫- ⎪=+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关，【数学思想】1．函数思想的渗透由于抛物线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等．2．方程思想的渗透求抛物线的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与双曲线的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与抛物线的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．3．分类讨论思想的渗透若题中的涉及到抛物线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答． 4．转化与化归思想转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义抛物线上的点到焦点的距离与焦点到准线的距离相互转化，往往能使问题得到快速的解决． 【处理集合问题注意点】1．利用抛物线定义判断动点的轨迹时易忽视定义中定点F 不在定直线l 上； 2．求抛物线的方程或利用抛物线的性质时，易忽视抛物线的焦点位置；3．求与抛物线相关的最值问题或取值范围问题时，易忽视抛物线方程中变量的取值范围； 4．应用抛物线的定义时，易忽视参数p 的意义；易忽视抛物线方程的标准形式． 5．解答直线与抛物线位置关系综合题时，易忽视直线与抛物线对称轴平行的情况中，造成考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误． 【典例试题演练】1．【2017届陕西省渭南市高三下学期第二次教学质量检测（二模）】抛物线218y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．12 C ．14D ．4 【答案】D【解析】抛物线变标准式28x y =，可知4p =，焦点到准线的距离为p ，故选D ． 2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考】抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12 BC ．1 D【答案】B【解析】抛物线焦点为（0,1），渐近线为0x =，则焦点到的渐近线的距离为=，故选B ． 3．【2017届河北武邑中学高三理上学期调研四】若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ） ABC ．12D ．14【答案】B【解析】∵抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，∴1322x +=，∴1x =，∴1x =时，y =MFO ∆的面积为1122⨯=，故选：B ． 4．【2017湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校联考二】若抛物线22y px =的焦点到双曲线2218x y p-=的渐进线的距离为4p ，则抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x = B ．28y x = C ．216y x =或216y x =- D ．28y x =或28y x =- 【答案】A【解析】由题意，得抛物线22y px =的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭到双曲线2218x y p -=的渐进线0±=的距离为4p =，解得8p =，即抛物线的标准方程为216y x =，故选A ．5．【2017届重庆市第一中学高三文12月月考】已知点()5,0A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（ ） A ．4 B ．3 C． D ．2【答案】A6．【2017河南省豫南九校质量考评八】设抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若4MF =，则直线l 的方程为（ ）A ．221y x =+B ．31y x =+C ．21y x +D ．232y x =+ 【答案】B【解析】由题意可知()0,1F ，直线:1l y kx =+代入抛物线方程24x y =并化简可得244x kx =+，即2440x kx --=，则124x x k +=-，故点()22,21P k k -+，由题设()22,M k k -，由抛物线的定义可知214MF k =+=，解之得3k =±，则直线l 的方程为31y x =+，故选B ．7．【2017河北省衡水中学押题卷I 】焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--，故选A ．8．【2017三湘名校教育联盟大联考三】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线2y ax =上的两点()()1122,,,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，则m 的值为（ ） A ．32 B ．52C ．2D ．3 【答案】A【解析】由题可知()()221122,2,,2A x x B x x ，中点坐标为22121222,22x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．,A B 关于直线y x m =+对称，则AB 中点在直线上，且直线AB 与直线y x m =+垂直．可得2222121221212222,122x x x x x x m x x ++-=+=--．可化为221212121,22x x x x m x x ++=++=-，又1212x x =-，可得()222121212524x x x x x x +=+-=，则221212322x x m x x +=+-=，故选A ．9．【2017湖南省长沙市长郡中学5月模拟】已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为（ ） A．2 B ．56 C．3-D．2 【答案】A【解析】因为()1,0F ，设直线():1AB y k x =-，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121x x =，由抛物线的定义可得1212222111x x AF x BF x x +-=+-=++，则2AF BF-＝2222222211111x x x x x +=-+++，令21x t -=，则21x t =+，所以221122AF t BF t t -=+++＝11111122t t≥+++＝()221=-，故选A ．10．【昭通市2017届高三复习备考统一检测（第二次）】已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________． 【答案】32【解析】设该点的横坐标为0x ，由题及抛物线的定义可得000033++2222p x x x x ==⇒=． 11．【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________． 【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p pAF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=12．【2017届天津河西区第二次模拟】已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的最短距离为＿＿＿＿＿＿． 【答案】5413．【2017甘肃高台县一中检测三】设抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线与A B 、，则||4||AF BF +的最小值为___________． 【答案】92【解析】设抛物线22y x =的焦点为1(,0)2F 当AB x ⊥轴时，||4||145AF BF +=+=，当直线AB 有斜率时，可设直线AB 的方程为1()2y k x =-，代入抛物线方程得22224(42)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212142,4x x k x x +=+=，1212115||4||4()4222AF BF x x x x +=+++=++≥5922=，当且仅当1241x x ==即1211,4x x ==时||4||AF BF +有最小值92．14．【江西省抚州市2017届高三4月模拟】已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于,A B 两点，抛物线的焦点为F ，则·FA FB 的值为__________． 【答案】-11【解析】设()()()1122,,,,2,0A x y B x y F ，将22y x =-代入28y x =可得24848x x x -+=，即2410x x -+=，所以12124,1x x x x +==，则()()1222x x --＝()121224x x x x -++＝1843-+=-，又112222,22y x y x =-=-，故()()1212411y y x x =--＝()()12124141418x x x x --+=-+=-，由于()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，则()()1212223811FA FB x x y y ⋅=--+=--=-． 15．【甘肃省肃南县第一中学2017届高三下学期期中考试】已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点()0,4D ，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且DA DB <，求DA DB的最小值.【答案】（I ）28x y =;（21.【解析】由222P y x x py =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得2220x py p =-= 12122,3,x x p y y p ∴+=∴+=12416,4MN y y p p p ∴=++==∴= ∴抛物线C 时，方程28x y =（2）设动圆圆心()()()0012:,,,0,,0P x y A x B x ，则2008x y =，且圆()()()22220000:4P x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得： 22002160x x x x -+-=，解得10204,4x x x x =-=+， ∴()()22000022200000416832161832832416x DA x x x DBx x x x x -+-+===-++++++， 当00x =时，1DA DB=，当00x ≠时，0000016321,0,82328DA x x DBx x x =->∴+≥++， 16132221,211882DA DB≥-=-=--<+，所以DA DB的最小值为21-.16．【2017山西省太原市届三模】已知动点C 到点()1,0F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ， B 两个不同点，且5OA OB ⋅=，证明：直线l 经过一个定点．【答案】（1）24y x =；（2）见解析．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由2,{4y kx m y x=+=得()222240k x km x m +-+=，∴ 12242kmx x k -+=， 2122m x x k⋅=． 5OA OB ⋅=， ∴1212x x y y += ()()2212121=k x x km x x m ++++2245m kmk +=， ∴ 22450m km k +-=， ∴ m k =或5m k =-．0km <， m k =舍去， ∴ 5m k =-，满足()1610km ∆=->，∴直线l 的方程为()5y k x =-，∴直线l 必经过定点()5,0．17．【2017云南省毕业生复习统一检测二】已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆22430F x y x +-+=：的圆心F ．经过点F 的直线l 交抛物线E 于,A D 两点，交圆F 于,B C 两点， ,A B 在第一象限，,C D 在第四象限．（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l ，使2BC 是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）28y x =；（2）240x y --=或240x y +-=． 【解析】（1）根据已知设抛物线E 的方程为22(0)y px p =>．∵圆F 的方程为()2221x y -+=，∴圆心F 的坐标为()2,0F ，半径1r =．∴p22=，解得4p =，∴抛物线E 的方程为28y x =．当2k =±时， ()22224840k x k x k -++=化为2640x x -+=，∵()264140∆=--⨯⨯>，∴2640x x -+=有两个不相等实数根．∴2k =±满足题意，即直线()22y x =±-满足题意．∴存在满足要求的直线l ，它的方程为240x y --=或240x y +-=．18．【2017届三省高三上学期百校大联考】已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =，其中O 为坐标原点． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为（-3,0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212112m k k +-为定值． 【答案】（1）2y x =，（2）见解析．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组223y px x my ⎧=⎨=+⎩，消元得2260y pmy p --=， 所以122y y pm +=，126y y p =-．又2121212122()9664y y OA OB x x y y y y p p=+=+=-=，所以12p =，从而2y x =． （2）因为1111136y y k x my ==++，2222236y y k x my ==++， 所以1116m k y =+，2216m k y =+， 因此222222*********()()2m m m m k k y y +-=+++-222212121111212()36()2m m m y y y y =++++- 222121212221212()2212362y y y y y y m m m y y y y ++-=++- 又122y y pm m +==，1263y y p =-=-，所以2222221211622123622439m m m m m m k k -++-==+⨯+⨯-=即22212112m k k +-为定值． 19．【2017河北省衡水中学二摸】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D . （1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.【答案】（1）24y x =（2）2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 【解析】(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫+⎪⎝⎭，则 33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -．由204y x x my x ==+⎧⎨⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-．设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-． 由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x+==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d≤<===， ()2202241,,2,22t t x t d t t t -⎛=∈=-==-⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭.。

课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为：y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C ．32D ．52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P － －1 ＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12³43³6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选 C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016²山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12²2p ²p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6， 所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( ) A ．8 B ．192 C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017²广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3 x 1＋2 ＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45． 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→²FB ―→＋FC ―→²FD ―→的最大值等于( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→²FB ―→＝－(|FA ―→|²|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→²FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→²FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→²FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→²FB ―→＋FC ―→²FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ³1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，y1－y2 x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．所以k AB＝。

抛物线专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()A.5x 23+5y22=1B.x 29+y25=1C.x 23−y22=1D.5x 23−5y22=1D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1，0)，而A中椭圆的半焦距c=35-25=15=55，B中椭圆的半焦距c=9-5=2，C中双曲线的半焦距c=3+2=，D中双曲线的半焦距c=35+25=1，且焦点在x轴上，满足题意.2C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=() A.1 B.2 C.3 D.4A【解析】∵x2=2y，∴y'=x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B1，12，∵x2=2y的焦点F0，12，准线方程为y=-12，∴直线l的方程为y=12，∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线x 26−y22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A.33B.332C.63D.62A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线x 26−y22=1的两条渐近线y=±33x所围成的三角形的面积等于12×23×3=33.4C：y2=4x的焦点为F，直线y=3(x-1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若AF=m FB，则实数m的值为()A.3B.32C.2D.3D【解析】如图，联立抛物线与直线方程，得y=3(x-1)，y2=4x，解得x A=3，x B=13，∵所给直线经过抛物线的焦点F，且其准线为x=-1，∴A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为43，根据抛物线定义可有|AF|=3|FB|，结合已知条件AF=m FB，可得m=3.5F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q-1，32，与C交于点P，则点P的坐标为()A.(1，2)B.(2，22)C.(3，23)D.(4，4)D【解析】由题意，得抛物线的准线方程为x=-1，F(1，0).设E(-1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|=|FQ|，即y-32=(-1-1)2+322，解得y=4，所以k EF=4-0-1-1=-2，k PQ=12，所以直线PQ的方程为y-32=12(x+1)，即x-2y+4=0.由x-2y+4=0，y2=4x，解得x=4，y=4，即点P的坐标为(4，4).二、填空题(每小题5分，共20分)6.若抛物线y2=4x上的两点A，B到焦点的距离之和为6，则线段AB的中点到y 轴的距离为.2【解析】由|AF|+|BF|=x A+x B+p=x A+x B+2=6，得x A+x B=4，则AB的中点横坐标为x A+x B2=2，即线段AB的中点到y轴的距离是2.7F1，F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为.x=-2【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a −y23a=1，抛物线的准线为x=-2a，联立x2a2-y23a2=1，y2=8ax得x=3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF1|+|PF2|=12，|PF1|-|PF2|=2a得|PF2|=6-a，∴|PF2|=3a+2a=6-a，解得a=1.∴抛物线的准线方程为x=-2.8.若抛物线C1：y2=4x与抛物线C2：x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3，则抛物线C2的方程为.x2=2y【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3，得x A+1=3，解得A点坐标为(2，2)，代入x2=2py(p>0)，得p=22，所以抛物线C2的方程为x2=y.9F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足AF=2FB，则弦AB的中点到准线的距离为.94【解析】设|AF|=2m，|FB|=m，m>0，由已知可得x A=2m-1，x B=m-1，则|y A| |y B|=22m-12m-1=2，解得m=32.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为32+32=94.三、解答题(共25分)10.(12分)如图，直线l与抛物线y2=x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与x轴相交于点M，且y1y2=-1.(1)求证：M点的坐标为(1，0)；(2)求证：OA⊥OB；(3)求△AOB的面积的最小值.【解析】(1)设M点的坐标为(x0，0)，直线l的方程为x=my+x0，代入y2=x得y2-my-x0=0，①∵y1，y2是此方程的两根，∴y1y2=-x0，∴x0=-y1y2=1，即M点的坐标为(1，0).(2)∵y1y2=-1，∴x1x2+y1y2=y12y22+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0，∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m，y1y2=-1，且|OM|=x0=1，于是S△AOB=12|OM||y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=12m2+4≥1，∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1.11.(13分双曲线y 2a −x24=1(a>0)的离心率为5，抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.(1)求抛物线C的方程；(2)过M(-1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.【解析】(1)双曲线的离心率e=1+4a2=5，又a>0，∴a=1，双曲线的上顶点为(0，1)，又p>0，∴抛物线的焦点为(0，1)，∴抛物线方程为x2=4y.(2)由题知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k(x+1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y=14x2，∴y'=12x，∴切线l1，l2的斜率分别为x12，x22，当l1⊥l2时，x12·x22=-1，∴x1x2=-4，由y=k(x+1)，x2=4y得x2-4kx-4k=0，∴Δ=(-4k)2-4(-4k)>0，∴k<-1或k>0.①由x1x2=-4k=-4，∴k=1，满足①，即直线l的方程为x-y+1=0.[高考冲关](20分钟45分)1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B 在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为324，则点A的坐标为()A.(0，±2)B.(0，2)C.(0，±4)D.(0，4)A【解析】由题意可得x B=p4，又点B到抛物线准线的距离为324，所以p4+p2=324，解得p=2，抛物线方程为y2=22x，又因为x B=24，所以y B=±1，y A=±2，故A(0，±2).2.(5分C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若PF=3QF，则|QF|=()A.52B.83C.3D.6B【解析】设Q在x轴上方且到准线l的距离为d，则|QF|=d.∵PF=3QF，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为-(2d)2-d2d=-3.又F(2，0)，∴直线PF的方程为y=-3(x-2)，与y2=8x联立可解得x=23或x=6(舍去).故|QF|=d=23-(-2)=83.3.(5分)过曲线C1：x 2a −y2b=1(a>0，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px(p>0)于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为() A.5B.5-1 C.5+1 D.5+12D【解析】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c，0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a，又NF2⊥NF1，|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得x+c=2a，则x=2a-c ，过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，由勾股定理y 2+4a 2=4b 2，即4c (2a-c )+4a 2=4(c 2-a 2)，得e 2-e-1=0，解得e=5+12(负值舍去).4.(5分M 是抛物线y 2=2px (p>0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y 轴的位置关系是 . 相切 【解析】如图，准线l 与x 轴交点为N ，过MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，垂足为点E ，交y 轴于点B ，过点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为点D ，交y 轴于点C ，则|MD|=|MF|，|ON|=|OF|，∴|AB|=|OF |+|CM |2=|ON |+|CM |2=|DM |2=|MF |2，∴这个圆与y 轴相切.5.(5分A ，B 为抛物线C ：y 2=4x 上的两个动点，且A ，B 位于x 轴异侧，若OA ·OB =5，同时抛物线C 的焦点F 到直线AB 的距离为2，则△AOB 的面积为 .20 2 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1=y 124，x 2=y 224，直线AB 的斜率k AB =y 1-y2x 1-x 2=4y 1+y 2.OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=116(y 1y 2)2+y 1y 2=5，由A ，B 位于x 轴异侧，得y 1y 2=-20(舍去正数4)，则直线AB 的方程为y-y 1=4y 1+y 2(x-x 1)，化简得y=4y1+y 2(x-5)，则直线AB 恒过点(5，0)，又由抛物线C 的焦点F (1，0)到直线AB 的距离为2，得AB 的倾斜角为30°或150°，不妨设为30°，则4y 1+y 2=33，得y 1+y 2=4 3，则|y 1-y 2|= (y 1+y 2)2-4y 1y 2= 48+80=8 2，所以△AOB 的面积为12×5×8 2=20 2.6.(10分)已知点P 为抛物线y 2=4x 上的动点，点Q 在y 轴上，且PQ ⊥y 轴，A (2，a )，求PQ+PA 的最小值.【解析】点A(2，a)可能在抛物线内部，也可能在抛物线的外部，所以要分类讨论.①当|a|≤22时，点A(2，a)在抛物线内部(包含边界)，直接过点A向y轴作垂线，与抛物线的交点即为PQ+PA最小时的点P，此时(PQ+PA)min=2；②当|a|>22时，点A(2，a)在抛物线外部，由抛物线的定义知PQ=PF-1，得PQ+PA=PF+PA-1，则A，P，F三点共线时，PQ+PA取得最小值，即(PQ+PA)min=|AF|-1=2-1.7.(10分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于点G，∴A(3，6p)，F p2，0，|AF|=3+p2.当点D在焦点F的右侧时，如图所示.∴|FD|=|AF|=3+p2.∵△ADF为正三角形，∴|FG|=12|FD|=32+p4.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-p2，∴3-p2=32+p4，∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当点D在焦点F的左侧时，|FD|=|AF|=3+p2，此时点D在x轴负半轴，不成立，应舍去.∴C的方程为y2=4x.(2)设A(x1，y1)，|FD|=|AF|=x1+1，∴D(x1+2，0)，∴k AB=-y12.由直线l1∥l，可设直线l1的方程为y=-y12x+m，联立方程y=-y12x+m，y2=4x，消去x得y1y2+8y-8m=0.①由l1和C有且只有一个公共点，得Δ=64+32y1m=0，∴y1m=-2，这时方程①的解为y=2m，代入y=-y12x+m得x=m2，∴E(m2，2m).点A的坐标可化为1m2，-2m，直线AE方程为y-2m=2m+2mm2-1m2(x-m2)，即y-2m=2mm2-1(x-m2)，∴y=2mm2-1x-2m3m2-1+2m，∴y=2mm-1x-2mm-1，∴y=2mm-1(x-1)，∴直线AE过定点(1，0).。

高中数学高考总复习抛物线习题 ( 附参照答案 ) 一、选择题1． (2010 湖·北黄冈 )若抛物线 2 x2 y2y ＝ 2px 的焦点与椭圆＋＝1 的右焦点重合，则 p 的值6 2为()A．－ 2 B ． 2C．－ 4 D ．4[答案 ] D[分析 ] 椭圆中， a 2＝ 6，b2＝ 2，∴ c＝ a2－ b2＝ 2，p∴右焦点 (2,0)，由题意知2＝ 2，∴ p＝ 4.2．已知点 M 是抛物线 y2＝ 2px(p>0)上的一点， F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关系是 ( )A ．订交B ．相切C．相离 D ．以上三种情况都有可能[答案 ] B[分析 ] 如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE ，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B；由点 M 作准线 l 的垂线 MD ，垂足为 D ，交 y 轴于点 C，则 MD＝MF ，ON＝OF，∴AB＝ OF ＋ CM＝ ON＋ CM2 2＝DM＝ MF，22∴这个圆与 y 轴相切．3．(2010 山·东文 )已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A ． x＝ 1B ． x＝－ 1C．x＝ 2 D ．x＝－ 2[答案 ] B[分析 ] 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点 ( x1＋x2，y1＋ y2 y1＋ y2＝ 2，∵ A、2 2 )，∴ 2B 在抛物线 y 2＝ 2px 上，y 12＝ 2px 1 ①∴y 22＝ 2px 2 ②①－②得 y 12 －y 2 2＝ 2p( x 1－x 2 )，∴ k ＝ y 1－y 2 ＝ 2p ＝ p＝ 1，∴， p ＝2，∵ k ABABx 1－x 2 y 1＋y 2 2∴抛物线方程为 y 2＝4x ，∴准线方程为： x ＝－ 1，应选 B.x 2 － y 2＝ 1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点F 的距离等于 2，抛物线 y24．双曲线 9 4＝2px(p>0) 过点 A ，则该抛物线的方程为 ()A ． y 2＝ 9xB ． y 2＝4xC ．y 2＝4 13xD ．y 2＝2 13x1313[答案 ]C[分析 ]∵双曲线 x 2 y 2的渐近线方程为2－ ＝ 1y ＝ ± x ，F 点坐标为 ( 13，0)，设 A 点坐标9 43 222 2＝ 2? x ＝9，y ＝ ±62为( x ，y)，则 y ＝ ±13 ＋3x13 13 ，代入 y ＝ 2px3x ，由 |AF|＝ 2?x －得 p ＝ 2 13，所以抛物线方程为y 2＝ 4 131313 x ，所以选 C.5．已知点 P 是抛物线 2＝ 2x 上的一个动点， 则点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到该抛物线 y 准线的距离之和的最小值为()A. 17 B ． 329 C. 5D.2[答案 ] A[分析 ]记抛物线 y 2＝ 2x 的焦点为 F1， 0 ，准线是 l ，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F2的距离等于它到准线 l 的距离，所以要求点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值，能够转变为求点P 到点 (0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，联合图形不难得悉相应的最小值就等于焦点 F 与点 (0,2)的距离，所以所求的最小值等于1 2＋ 22＝17，选 A.226．已知抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线， 垂足为 M ，若△ AMF 与△ AOF (此中 O 为坐标原点 ) 的面积之比为 3 1，则点 A 的坐标为 ()A ． (2,2 2)B ．(2，－ 2 2)C ．(2， ± 2)D ．(2， ±2 2)[答案 ]D[分析 ]如图，由题意可得， |OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝ |AM|，∵△ AMF与△AOF (其中 O 为坐标原点)的面积之比为3∶ 1，1∴ S△AMF ＝2× |AF|× |AM|× sin ∠ MAF＝ 3，S △AOF12× |OF|× |AF|× sin π－∠ MAF22∴ |AM |＝ 3，设 A y0 ， y 0，∴ y0 ＋ 1＝ 3，4 4y 02解得 y 0＝ ±2 2，∴ 4 ＝ 2，∴点 A 的坐标是 (2， ±22)，应选 D.7． (2010 河·北许昌调研 )过点 P(－ 3,1)且方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的光芒经直线 y ＝－ 2反射后经过抛物线 y 2＝ mx ， (m ≠ 0)的焦点，则抛物线的方程为()A ． y 2＝－ 2xB ． y 2＝－ 3x2C ．y 2＝ 4xD ．y 2＝－ 4x[答案 ] D[分析 ]→设过 P(－ 3,1)，方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的直线上任一点 Q(x ， y)，则 PQ ∥ a ，x ＋ 3 y －1∴ 2 ＝－5 ，∴ 5x ＋ 2y ＋ 13＝ 0，此直线对于直线 y ＝－ 2 对称的直线方程为 5x ＋ 2(－ 4－ y)＋ 13＝ 0，即 5x － 2y ＋ 5＝ 0，此直线过抛物线y 2＝ mx 的焦点 Fm，0 ，∴ m ＝－ 4，应选4D.8．已知 mn ≠ 0，则方程是 mx 2＋ ny 2＝1 与 mx ＋ ny 2＝0 在同一坐标系内的图形可能是( )[答案 ] A[分析 ]22＝1 2＝－ mC 、D ；∴若 mn>0，则 mx ＋ ny 应为椭圆， y n x 应张口向左，故清除mn<0，此时抛物线2m B ，选 A.y ＝－x 应张口向右，清除n9． (2010 山·东聊城模考 )已知 A 、 B 为抛物线 C ：y 2＝4x 上的不一样两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 → →) FA ＝－ 4FB ，则直线 AB 的斜率为 (23 A ． ±B ． ±3234 C ．±D ．±43[答案 ] D[分析 ]→ → →→∵FA ＝－ 4FB ，∴ |FA|＝4|FB|，设 |BF|＝ t ，则 |AF |＝ 4t ，∴ |BM|＝ |AA 1|－ |BB 1|＝ |AF|－ |BF|＝3t ，又 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ 5t ，∴ |AM |＝ 4t ，4 4∴ tan ∠ ABM ＝ ，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为 ± .3310．已知抛物线 C 的方程为 x 2＝1y ，过点 A(0，－ 4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有2公共点，则实数 t 的取值范围是 ()A ． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )B. －∞，－ 2 ∪222 ，＋∞C ．( －∞，－ 2 2)∪ (2 2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2 2)∪ ( 2，＋∞ )[答案 ]B21 ①x ＝ y[分析 ]由题意知方程组2无实数解x ＋ y＝1 ②t － 4由②得 y ＝4x－ 4，代入①整理得，t24x ＝ 16，2x － ＋ 4＝0，∴2－ 32<0tt∴ t> 2或 t<－ 2，应选 B.22[评论 ]可用数形联合法求解，设过点A(0，－ 4)与抛物线21 x＝ y 相切的直线与抛物线2切点为 M(x 0， y 0)，则切线方程为 y －y 0＝4x 0(x － x 0)， ∵过 A 点，∴－ 4－ 2x 02＝ 4x 0(0－ x 0)，∴ x 0＝ ± 2，∴ y 0＝4，∴切线方程为 y －4＝ ±4 2x －8，令 y ＝ 0 得 x ＝ ± 2，即 t ＝± 2，2222由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－2 或 t> 2 .二、填空题11．已知点 A(2,0) 、B(4,0) ，动点 P 在抛物线 2→ →y ＝－ 4x 上运动，则 AP ·BP 获得最小值时的点 P 的坐标是 ______．[答案 ] (0,0)[分析 ]设 P－ y 2→y 2→y 2→ →y 24 ，y ，则 AP ＝ －－ 2，y ， BP ＝ －－ 4， y ， AP ·BP ＝ －－ 24 4424 5 2 － y2y ＋ 8≥ 8，当且仅当 y ＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为 (0,0)．－4 ＋ y ＝ 16 ＋ y4212． (文 )(2010 泰·安市模拟 )如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l ，交抛物线于A 、B 两点，且 |FA|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 设抛物线准线为 l ，作 AA 1⊥ l ，BB 1⊥ l ，FQ ⊥ l ，垂足分别为 A 1 、B 1、Q ，作 BM⊥AA 1 垂足为 M ，BM 交 FQ 于 N ，则由条件易知∠ ABM ＝ 30°，设 |BF |＝ t ，则 |NF|＝ t， |MA|2＝t ＋ 3，∵ |AM |＝ |QN|，∴ 3－ t ＋ 3＝ p － t，∴ p ＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝ 3x. 22 2 2(理 )(2010 泰·安质检 ) 如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的焦点的直线 l 挨次交抛物线及其准线于点 A 、 B 、 C ，若 |BC|＝ 2|BF|，且 |AF|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 解法 1：过 A 、 B 作准线垂线，垂足分别为A 1 ，B 1，则 |AA 1|＝ 3， |BB 1|＝ |BF|，∵ |BC|＝ 2|BF |，∴ |BC |＝2|BB 1|，∴ |AC|＝ 2|AA 1|＝ 2|AF |＝6，∴ |CF |＝ 3，∴ p ＝1 |CF |＝3，∴抛物线方程为y 2＝3x.22解法 2：由抛物线定义， |BF|等于 B 到准线的距离， 由|BC|＝ 2|BF|得∠ BCB 1＝30°，又 |AF| ＝3，进而 A p ＋ 3，3 3 在抛物线上，代入抛物线方程 3y 2＝ 2px ，解得 p ＝ .2 2 22评论：还能够由 |BC|＝ 2|BF|得出∠ BCB 1＝30°，进而求得 A 点的横坐标为1 p|OF|＋ |AF |＝223 或 p ，∴ p3 p 3＋ 3－ 2 ＋ ＝3－，∴ p ＝ .2 222213．已知 F 为抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A 、B 两点．设|FA|>|FB|，则 |FA|与 |FB|的比值等于 ________．[答案 ] 3＋ 2 2[分析 ] 分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A 1， B 1，则由条件知，|AA 1|＋ |BB 1|＝ |AB|，12＋ 2|AA |＝4|AB|2 ，解得，|AA 1|－ |BB 1|＝2 |AB||BB 1|＝ 2－ 24 |AB|∴|AA 1 |＝3＋ 2 2，即|FA|＝ 3＋ 2 2.|BB 1 ||FB |14． (文 )若点 (3,1) 是抛物线 y 2＝ 2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 p ＝ ________.[答案 ] 2[分析 ]设弦两头点 P 1(x 1， y 1)， P 2(x 2， y 2) ，y 12＝ 2px 1 y 1－ y2＝2p＝ 2，则，两式相减得， y 22＝ 2px 2x 1－ x 2 y 1＋ y 2∵ y 1＋ y 2＝ 2，∴ p ＝ 2.(理 )(2010 衡·水市模考 )设抛物线 x 2＝ 12y 的焦点为 F ，经过点 P(2,1) 的直线 l 与抛物线相交于 A 、B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则 |AF |＋ |BF|＝ ________.[答案 ] 8[分析 ]过 A 、 B 、 P 作准线的垂线 AA 1、 BB 1 与 PP 1，垂足 A 1、 B 1、 P 1，则 |AF|＋ |BF|＝ |AA 1|＋ |BB 1 |＝ 2|PP 1|＝ 2[1 － (－ 3)] ＝ 8.三、解答题2 23，抛物线15． (文 )若椭圆 C 1： x ＋y2＝ 1(0<b<2) 的离心率等于C 2： x 2＝ 2py(p>0)的焦4 b2点在椭圆 C 1 的极点上．(1)求抛物线 C 2 的方程；(2)若过 M(－ 1,0)的直线 l 与抛物线 C 2 交于 E 、 F 两点，又过 E 、 F 作抛物线 C 2 的切线l 1、 l 2，当 l 1⊥l 2 时，求直线 l 的方程．[分析 ](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝ 2，半焦距 c ＝ 4－b 2，由离心率 e ＝ c＝24－b＝ 3得， b 2＝1.a 2 2∴椭圆的上极点为 (0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴ p ＝ 2，抛物线的方程为 x 2＝ 4y.(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 1)，E(x 1， y 1)，F(x 2， y 2)，1 2 1 x ，∵ y ＝ x，∴ y ′ ＝4211∴切线 l 1， l 2 的斜率分别为 2x 1， 2x 2，1 1当 l 1⊥ l 2 时， x 1·x 2＝－ 1，即 x 1 ·x 2＝－ 4，2 2y ＝k x ＋1 由得： x 2－ 4kx － 4k ＝ 0，x 2＝ 4y由 ＝ (－ 4k)2－ 4×( － 4k)>0，解得 k<－ 1 或 k>0.又 x 1·x 2＝－ 4k ＝－ 4，得 k ＝ 1.∴直线 l 的方程为 x －y ＋ 1＝ 0.→→ →→→→(理 )在△ ABC 中， CA ⊥ CB， OA＝ (0，－ 2)，点 M 在 y 轴上且 AM ＝1 ＋ CD )，点 C( AB2在 x 轴上挪动．(1)求 B 点的轨迹 E 的方程；(2)过点 F 0，－1的直线 l 交轨迹 E→→4于 H、E 两点， (H 在 F、G 之间 )，若 FH＝1 HG ，2求直线 l 的方程．[分析 ] (1)设 B(x， y)， C(x0,0)， M(0， y0)，x0≠0，→→π∵ CA⊥ CB，∴∠ ACB＝，2∴2 y0＝－ 2x0·1，于是 x0 ＝ 2y0①－ x0→→→M 在 y 轴上且 AM＝1(AB＋ AC)，2所以 M 是 BC 的中点，可得x0＋ xx0＝－ x ②＝ 02 ，∴y0＝yy＋ 0 ③＝ y0 22把②③代入①，得y＝ x2(x≠ 0)，所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 y＝ x2(x≠0)．(2)点 F 0，－1 ，设知足条件的直线l 方程为：41y＝ kx－4，H (x1， y1)， G(x2， y2)，1由 y＝ kx－4 消去 y 得， x2－ kx＋1＝ 0.y＝ x2 4 ＝k2－ 1>0? k2>1，→ 1 → 1 1∵FH＝2HG，即 x1，y1＋4 ＝2(x2 － x1， y2－ y1)，1 1∴x1＝2x2－2x1? 3x1＝ x2.1 2 3，∵ x1＋ x2＝ k， x1x2＝，∴ k＝±34故知足条件的直线有两条，方程为： 8x ＋ 4 3y ＋ 3＝ 0 和 8x － 4 3y － 3＝ 0.16． (文 )已知 P(x ， y)为平面上的动点且 x ≥0，若 P 到 y 轴的距离比到点 (1,0)的距离小1.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A 、 B 两点，问能否存在这样的实数m ，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点．[分析 ](1)由题意得：x － 12＋ y 2－ x ＝ 1，化简得： y 2＝ 4x (x ≥ 0)．∴点 P 的轨迹方程为 y 2＝ 4x( x ≥0) ．(2)设直线 AB 为 y ＝k(x －m)， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， y ＝k x －m由，得 ky 2－ 4y － 4km ＝ 0，y 2＝ 4x∴ y 1＋ y 2＝4k ， y 1·y 2＝－ 4m.∴ x 1·x 2＝ m 2，∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点，∴ OA ⊥ OB ，∴ x 1·x 2＋ y 1·y 2＝ 0.即 m 2－ 4m ＝ 0? m ＝ 0 或 4.当 k 不存在时， m ＝ 0 或 4.∴存在 m ＝ 0 或 4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[评论 ](1)点 P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线 l ：x ＝－ 1 的距离相等．∴ P 点轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，∴ p ＝ 2，∴方程为 y 2＝ 4x.(理 )已知抛物线 y 2＝ 4x ，过点 (0，－ 2)的直线交抛物线于 A 、 B 两点， O 为坐标原点．→ →的方程． (1)若 OA ·OB ＝4，求直线 AB(2)若线段 AB 的垂直均分线交x 轴于点 (n,0)，求 n 的取值范围．[分析 ] (1)设直线 AB 的方程为 y ＝kx － 222 2(k ≠ 0)，代入 y ＝ 4x 中得， k x － (4k ＋ 4)x ＋4＝ 0①4k ＋4 4设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1＋ x 2＝ k 2 ， x 1x 2＝ k 2.y 1y 2＝( kx 1－ 2) ·(kx 2 －2)＝ k 2x 1x 2－ 2k(x 1＋ x 2)＋ 4＝－8k .→ → 4 82∵ OA ·OB ＝ (x 1 ，y 1) ·(x 2， y 2)＝ x 1x 2＋y 1y 2＝ k 2－ k ＝4，∴ k ＋ 2k － 1＝ 0，解得 k ＝－ 1± 2. 又由方程①的鉴别式＝ (4k ＋ 4)2－ 16k 2＝32k ＋ 16>0 得 k>－ 1，∴ k ＝－ 1＋ 2，2∴直线 AB 的方程为 ( 2－ 1)x － y － 2＝ 0.(2)设线段 AB 的中点的坐标为 ( x 0， y 0)，则由 (1) 知 x 0＝ x 1＋x 2 ＝ 2k ＋ 22 k 2 ， y 0＝ kx 0－ 2＝2，k∴线段 AB 的垂直均分线的方程是2 ＝－ 1 x － 2k ＋ 2 y － k 2.k k2k ＋ 2 2 2令 y ＝ 0，得 n ＝ 2＋ k 2＝k 2＋ k ＋ 21 12 3＝ 2 k ＋ 2 ＋ 2.又由 k>－1且 k ≠ 0 得1<－ 2，或 1 >0，2k k∴ n>2 0＋12 2＋ 32＝ 2.∴ n 的取值范围为 (2，＋ ∞ )．2的焦点为 F ，过点 K(－ 1,0) 的直线 l 与 C 17． (文 )(2010 全·国Ⅰ )已知抛物线 C ： y ＝ 4x 订交于 A 、 B 两点，点 A 对于 x 轴的对称点为 D .(1)证明：点 F 在直线 BD 上；→ → 8，求△ BDK 的内切圆 M 的方程．(2)设 FA ·FB ＝9[分析 ] 设 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)， D(x 1，－ y 1)， l 的方程为 x ＝my － 1(m ≠ 0) (1)将 x ＝ my － 1(m ≠0)代入 y 2＝ 4x 并整理得y 2－ 4my ＋ 4＝ 0，进而 y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1y 2＝ 4① 直线 BD 的方程为 y － y 2＝y 2＋ y 1( x －x 2)x 2－ x 1即 y － y 2＝ 4 x －y 2 2－y 1 4y 2令 y ＝ 0，得 x ＝ y 14y 2＝ 1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上．(2)由 (1) 知，x 1＋ x 2＝ (my 1－ 1)＋ (my 2－ 1)＝ 4m 2－2， x 1x 2＝( my 1－ 1)(my 2－ 1)＝ 1→→→ →因为 FA ＝ (x 1－ 1，y 1)，FB ＝ (x 2－ 1，y 2)，FA ·FB ＝ (x 1－ 1，y 1) ·(x 2－ 1，y 2)＝ x 1x 2－ (x 1＋ x 2)＋ 1＋ 4＝ 8－ 4m 2，故 8－4m 28 4＝ ，解得 m ＝ ± ，93直线 l 的方程为 3x ＋ 4y ＋ 3＝ 0,3x － 4y ＋ 3＝0. 进而 y － y ＝ ±24 4m － 4×4＝ ±7，21343故 y 2－ y 1＝ ±7因此直线 BD 的方程为 3x ＋ 7y － 3＝ 0,3x － 7y － 3＝0.因为 KF 为∠ BKD 的角均分线，故可设圆心M (t,0)，(－ 1<t<1) ，M(t,0)到直线 l 及 BD 的距离分别为 3|t＋ 1|， 3|t－ 1|，5 4由3|t＋1|＝3|t－1|得 t＝1或 t＝9( 舍去 )，故圆 M 的半径为 r＝3|t＋1|＝2，5 4 9 5 3所以圆 M 的方程为x－12＋ y2＝4.9 9(理 )(20102 2＝ 9上随意两个不一样的点，揭·阳市模考 )已知点 C(1,0)，点 A、B 是⊙ O：x ＋ y→ →且知足 AC·BC＝ 0，设 P 为弦 AB 的中点．(1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)尝试究在轨迹 T 上能否存在这样的点：它到直线 x＝－ 1 的距离恰巧等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明原因．[分析 ]→ → 1|AB|，(1)法一：连接 CP，由 AC·BC＝ 0 知， AC⊥ BC，∴ |CP |＝ |AP|＝ |BP |＝2由垂径定理知|OP|2＋ |AP|2＝ |OA|2，即 |OP|2＋ |CP |2＝9，222 2设点 P(x， y)，有 (x ＋ y ) ＋[( x－ 1) ＋ y ]＝ 9，法二：设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)， P(x， y)，依据题意知，x12＋ y12＝ 9， x22＋ y22＝9,2x＝ x1＋ x2,2y＝ y1＋ y2，∴4x2＝ x12＋ 2x1x2＋ x22,4y2＝ y12＋2y1y2＋y22故 4x2＋ 4y2＝ (x12＋ y12)＋ (2x1x2＋ 2y1y2)＋ (x22＋ y22)＝18＋ 2(x1x2＋ y1y2)①→→又∵ AC·BC＝ 0，∴ (1 －x1，－ y1) ·(1－ x2，－ y2)＝ 0∴(1－ x1)× (1－ x2)＋ y1y2＝0，故 x1x2＋ y1y2＝ (x1＋x2)－ 1＝ 2x－ 1，代入①式得，4x2＋ 4y2＝18＋ 2(2x－ 1)，化简得， x2－ x＋ y2＝ 4.(2)依据抛物线的定义，到直线x＝－ 1 的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2＝2px 上，此中p＝ 1，∴ p＝ 2，故抛物线方程为 y2＝ 4x，2y2＝ 4x得， x2＋ 3x－4＝ 0，由方程组x2－ x＋ y2＝ 4解得 x1＝ 1， x2＝－ 4，因为 x≥0，故取 x＝ 1，此时 y＝±2，故知足条件的点存在，其坐标为(1，－ 2) 和(1,2)．。

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn-与12Cnn+取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8 解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。

2018年高考数学一轮复习圆、椭圆、抛物线的最值特色训
练（浙江版带答案）
5 c 十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
1．【2018年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线只有一个共点，则的取值范围为（）
A B c D
【答案】c
【解析】直线化简为，圆心到直线的距离为，整理为，即，整理为，设，所以，解得或（舍），即，解得，故选c 2．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）
A B c D
【答案】B
3．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）
A B
c D
【答案】D
点睛与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
4．【2018届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）。

抛物线一、选择题1.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·= ()A.5B.6C.7D.8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程求得F(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M,N的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选D.由题意知直线MN的方程为y=(x+2),F(1,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立有可得或所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=. 【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1),由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,因为∠AMB=90°,所以·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+[k(x·[k(x2-1)-1]1-1)-1]=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:23.(2018·北京高考文科·T10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的综合应用,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】由已知,直线l:x=1,又因为l被抛物线截得的线段长为4,抛物线图象关于x轴对称,所以点(1,2)在抛物线上,即22=4a×1,解得a=1.故抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0).答案:(1,0)。

第九章 平面解析几何 9.6 抛物线试题 理 北师大版1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 准线方程为x ＝－1.根据题意，可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．(2017·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2016·西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( )A. 3 B．2 3 C．6 2 D．3答案 C解析∵抛物线方程是y2＝－8x，∴抛物线的焦点为F(－2,0)，准线方程是x＝2(如图)，∴d 1＋d 2的最小值是焦点F 到直线x ＋y －10＝0的距离，即(d 1＋d 2)min ＝|－2＋0－10|1＋1＝6 2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p2AB |－p ＋p24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12a ＋b32a ＋b＝33， 即|MN ||AB |的最大值为33.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2016·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，|MN |＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点F (0，14m)．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m )．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[10分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．(2017·昆明质检)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ， 可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4 B ．4 C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5．(2016·江西南昌第一次模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是线段PF 与C 的一个交点，若|FP |＝3|QF |，则|QF |等于( ) A.83 B.52 C ．3 D ．2 答案 A解析 如图所示，过点Q 作QM ⊥l ，设l 与x 轴交于点K ，由抛物线定义知，|MQ |＝|QF |， 由△PMQ ∽△PKF ，得|MQ |：|KF |＝|PQ |∶|PF |＝2∶3， 所以|QF |＝|MQ |＝23|KF |＝23×4＝83， 故选A.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |， 当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22，故选B. 7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 答案 2解析 如图， 由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°， ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3.从而|AB |＝6.10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3. 因为点M 在圆上， 所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又点P ，Q 在抛物线上，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，代入得y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2， ∴|x 1x 2|＝y 1y 224p2＝4p 2.又|x 1x 2|＝4， ∴4p 2＝4，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，①设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ，并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b ，②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意得，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a .又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2， ∴b ＝4，y 1y 3＝－8， ∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3| ＝1＋n 2·y 1＋y 32－4y 1y 3＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2. 当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时， |PR |取最小值4 2.13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)，∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－kk，即B (1－2k k 2，1－k k)，∴k BQ ＝k1－2k，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2k k 2＋1，1－k2k 2＋1)，∴k AQ ＝－1k， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k1－2k －1k ＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。