小学奥数教师版-5-3-4 分解质因数(一)

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

分解质因数★知识要点质因数：如果一个质数是某个数的约数，称这个质数为这个数的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

分解质因数的两种常用方法：直接分解法和短除法。

★例题精讲例1、将360分解质因数。

直接分解法：短除法：练习1、将10101分解质因数。

例2、将下列8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分？26、39、46、57、85、95、119、161练习2、将12、14、18、45、77、105、175、275这8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分？例3、要使975×935×972×（）这个乘积的最后四位数字为0，在括号内最小应填什么数？练习3、1×2×3×4×……×25的乘积的末尾有几个零？例4、已知a×（b+c）＝221，请将a,b,c分别换成一个质数，使等式成立。

练习4、某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分得份数在5到20之间，那么有多少种分法？例5、下面算式中，不同的字母代表不同的数字。

求算式abc×c=1995。

练习5、有四个孩子，恰好一个比一个大１岁，他们的年龄相乘的积等于3024，问这四个孩子中年龄最大的是几岁？作业1、把77分解质因数：77＝( )。

2、把143分解质因数：143＝( )。

3、把1001分解质因数：1001＝( )。

4、把41041分解质因数：41041＝( )。

5、一个合数能分解成三个不同的质因数，这个合数最小是 ( )。

6、三个连续自然数的积是60，则这三个数分别是（），（），（）。

7、33×34×35×……×50的乘积的末尾有几个零？8、1×2×3×4×5×……×99×100，积的末尾有多少个零？9、一个两位数除310余37.这个数是多少？10、要使486×135×1925×□的结果的最后五位都是零，□中最小填( )。

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

小学数学五年级奥数第23讲分解质因数（一）第23讲分解质因数（一）一、专题简析：1、一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。

2、我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。

其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

二、精讲精练例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。

一共有多少种不同的分法？分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

练习一1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。

有哪几种分法？2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。

共有多少种分法？分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

练习二把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。

1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。

2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各知识点拨教学目标5-4-3.约数与倍数（三）个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。

（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。

（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。

）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。

任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。

5-4-4.完全平方数及应用（一）教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

第2讲 分解质因数一、教学目标1.掌握质因数及分解定义．2.学习短除法分解质因数．3.利用分解质因数解决实际问题．二、知识要点1.定义：质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数．2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数． 例如：30235=⨯⨯．其中2、3、5叫做30的质因数．又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数．分解质因数往往是解数论题目的突破口，可以帮助我们分析数字的特征．3.短除法：短除符号与除式倒过来的符号十分相似，待分解的数放在被除数位置，除数位置放能整除待分解数的一个质数，一直除到商是质数为止．格式如图： ↓被除数待分解2 242 122 6 32 36 2 183 9 34.特殊数分解=⨯；10101371337=⨯⨯⨯．=⨯⨯；1000173137=⨯；1001711131113372017=______×______；2018=______×______；2019=______×______×______×______．三、例题精选【例1】对以下数进行质因数分解．（1）51=_______×_______（2）87=_______×_______（3）3528=______×______×______×______×______×______×______【★★★★★】【解析】51=3×17，87=3×29，3528=2×2×2×3×3×7×7．【巩固1】对以下数进行质因数分解．（1）57=_______×_______（2）91=_______×_______（3）1764=______×______×______×______×______×______【★★★★★】【解析】57=3×19，91=7×13，1764=2×2×3×3×7×7．【例2】如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数分别是多少？【★★★★★】【解析】11和12．因为23是一个质数，23=1×23，故这连个自然数的和应为23，差应为1。

1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。

模块一、偶质数2 【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，例题精讲知识点拨知识框架5-3-2.质数与合数（二）乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【答案】3⨯⨯⨯23753【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【解析】210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

第一单元第5课时分解质因数教学设计合数：三、新知探究—习“方法”任务01：认识质因数，合数写成质因数相乘的形式师：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？课件出示：5=（）×5 28=（）×7师：在5=1×5、28=4×7中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数？反馈：5=1×5，1和5是5的因数。

28=4×7，4和7是28的因数。

师：在这些因数中，哪几个数是质数？反馈：在1、5、4、7中，5和7是质数。

师揭示：像这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

师：在上面的两个算式里，哪个数是哪个数的质因数？反馈：在5=1×5中，5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数；在28=4×7中，7是28的因数，又是质数，所以7是28的质因数。

师：1为什么不是5的质因数？而4为什么不也是28的质因数？反馈：1是5的因数，但不是质数，所以1不是5的质因数。

4是28的因数，但不是质数，所以4不是28的质因数。

师：那么一个数的质因数要符合哪几个条件？引导学生得出：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数。

这时它就是这个数的质因数。

【设计意图：利用乘法算式，让学生逐步探究，让学生明确质因数必须要具备两个条件，它是这个数的因数；它又是质数。

整个过程的探究符合学生的认知规律，培养了学生观察、比较、总结、归纳等思维能力。

】任务02：掌握分解质因数的技能师：你能把30用几个质数相乘的形式表示出来。

课件出示：师：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？反馈：把30写成几个质数相乘的形式，先写成2乘15；15是合数，再把它写成3乘5，这时乘数全部是质数。

师：接下来呢？师：看来要把一个合数写成几个质数相乘的形式，可采用逐步分解的方式。

像这样把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

【设计意图：根据课本出示的方法引导学生进行分解质因数，然后通过说一说，让学生亲身经历分解质因数的过程与方法，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技能。

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

第222324周之作图法解题、分解质因数作图法解题专题简析：用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。

在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。

例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。

抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。

五（1）班原有男、女生各多少人？分析根据题意作出示意图：从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。

练习一1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。

这两根电线原来共长多少厘米？2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。

原来两筐水果各有多少个？3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。

哥哥原来存有多少钱？例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。

红花比紫花多几朵？分析通过线段图来观察：从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。

练习二1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。

奶奶家养的鸡比鹅多几只？2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。

运来的香蕉比苹果少多少筐？3，期末测试中，明明的语文得了90分。

数学比语文和作文的总分少70分。

明明的数学比作文高多少分？例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。

【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。

【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。

第 23 讲分解质因数（一）基础卷1．有 24 个梨平均分给小朋友，每份大于 1 个，小于 24 个，一共有多少种不同的分配方法？有6种分法每人2个 12人每人3个 8人每人4个 6人每人6个 8人每人8个 3人每人12个 2人2． 150 个同学排成长队做操，行数和列数都不能为 1，共有多少种排法？2,753,505,306,2510,1510种3．甲比乙多 2 个苹果，两人苹果数的积是 24，问：甲、乙各有几个苹果？解:设乙x个,那么甲x+2个.x(x+2)=x*x+2x=24,x*x+2x-24=0,(x+1)*(x+1)-25=0,x+1等于5或者-5,得:x=4或者x=-6,x=-6舍去,那么x=4,得x+2=6. 所以甲6个,乙4个.4．公园内有三只小熊猫，恰好一只比一只大 1 岁，它们的年龄之积是 60，问：最小的熊猫几岁？解：设中间一只熊猫X岁，另二只分别是（X+1）岁与（X--1）岁。

根据题意得：（X--1）X（X+1）=60解这个方程得：X=4答：最小的熊猫3岁。

5．三个连续偶数的积是 192，这三个连续偶数的和是多少？192=8×24=8×2×3×4=4×6×8,所以这三个偶数分别为：4、6、8,它们的和：4+6+8=18.6．有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是 210cm 3，求长方体的表面积。

210=5×6×7表面积=2×（5×6+5×7+6×7）=214平方米提高卷1．要使（）×15×19×125×30 的积的末尾有四个 0，括号内最小应是什么数？是8我们要看乘数里有几个5和几个2，所以先把每个乘数分解质因数:15=3×5，125=5×5×5，30=2×3×5，19里既没有2也没有5，现在乘数中共有5个5和1个2，因为积某尾要4个0所以还差3个2。

将一个合数分解为若干个质数的乘积称为分解质因数，此时分解式中因数称质因数.如15=3X5，就是将15分解为两个质因数的积.如果将分解式中相同的质因数合并为它的幂，则任一个大于1的整数N 只能唯一地表示成：（1）（其中均为质数.r1，r2，...，rn 是正整数，它们分别是p1，p2，...，pn 的指数）我们称（1）式为整数N 的“质因数标准分解式”.例如72=2x2x2x3x3=就是72的标准分解式.对整数N 分解时，我们常用短除法.【例1】 有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各自是多少？随堂练习1小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩.林林问他：“你考了多少分？得了第几名？”小明说：“我的年龄、得分和名次相乘的积是4365.”你知道小明的年龄、得分和名次吗？【例2】 下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式..x p ...x x p 121rn r r p N =pn p p <<<...212232⨯随堂练习5幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120粒奶糖，平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖.这个班里共有___位小朋友.【例6】由多于30人少于50人的学生围成一个圆圈，从某人开始连续报数.如果报“30”和“198”的是同一个人时，请问一共有多少个人？随堂练习6某班同学在班主任老师带领下去种树，学生正好平均分成3组，老师与每个学生种树一样多，共种了1073棵树，平均每人种了___棵.课后作业1.把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的约数.（1）146；（2）255；（3）360；（4）400.2.已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？。