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《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 四、1、 29；。
本科学位高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处一定可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数为2答案：D2. 极限\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B3. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在(a, b)内一定有最大值，但不一定有最小值C. f(x)在(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在(a, b)内一定有最小值，但不一定有最大值答案：C4. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2, 2)内：A. 有且仅有一个零点B. 有且仅有两个零点C. 有且仅有三个零点D. 没有零点答案：A5. 设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=2a_n+1\)，且\(a_1=1\)，则\(a_n\)的通项公式为：A. \(a_n=2^n-1\)B. \(a_n=2^{n-1}+1\)C. \(a_n=2^n+1\)D. \(a_n=2^{n-1}-1\)答案：A6. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内单调递增B. f(x)在区间[a, b]上单调递增C. f(x)在区间(a, b)内单调递减D. f(x)在区间[a, b]上单调递减答案：A7. 设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\)，则\(a_n\)的极限为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在8. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在区间(0, +∞)内：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B9. 设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间[a, b]上一定连续B. f(x)在区间[a, b]上一定有界C. f(x)在区间[a, b]上一定单调D. f(x)在区间[a, b]上一定有最大值和最小值答案：B10. 函数f(x)=\(\frac{x^2-1}{x}\)在区间(-∞, 0)内的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且\(\int_{a}^{b}f(x)dx=5\)，则\(\int_{a}^{b}2f(x)dx=______\)。
2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。
解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。
大学高等数学上考试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则f(2)的值为：A) -3 B) -1 C) 1 D) 32. 设函数g(x) = (x + 3)^2 - 4，则g(-5)的值为：A) -7 B) -1 C) 3 D) 73. 已知直线L1的斜率为2，过点(3, 4)，则直线L1的方程为：A) y = 2x + 4 B) y = 2x + 5 C) y = 3x + 1 D) y = 3x + 44. 若a·b = 0，且a ≠ 0，则b的值为：A) 0 B) 1 C) -1 D) 无法确定5. 设f(x) = 2x^2 - 3x + 1，g(x) = x - 2。
则f(g(2))的值为：A) -1 B) 1 C) 3 D) 7二、填空题1. 计算lim(x→2) [(x + 1)(x - 2)] / (x - 2)的值： ______2. 若h(x) = (x - 3)^2 - 4，则h(-1)的值为： ______3. 求方程x^2 + ax + b = 0的解，其中a = 2，b = -3。
解为 x = ______4. 设函数y = f(x)的反函数为y = f^(-1)(x)，则f^(-1)(f(3))的值为：______5. 解方程3^x = 27的解为： ______三、解答题1. 计算lim(x→∞) (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + 5x - 2)的值，并说明计算步骤。
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2的导函数。
3. 求方程组：2x + 3y = 53x - 2y = -1的解，并验证解的正确性。
4. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并判断其是极大值点还是极小值点。
5. 证明：若函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)是增函数，则a的值范围为(______, ______)。
《高 等 数 学》课程试题一、填空题 .（每小题3分，共24分） 1. 设=+=)]([,1)(2x f f xx x f 则2. =→xx x 5sin 3sin lim 03. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在0=x 连续，则常数=a4. 曲线x y ln 2=上点（1, 0）处的切线方程为5.设参数方程⎩⎨⎧==ty t x sin 2，则=dxdy 6. 函数x x f 2arctan )(=，则=dy7. ⎰=)(cos x xd 8. ⎰-201dx x =二、选择题 .（每小题3分，共24分）1.设函数⎩⎨⎧<<-≥-+=10,11,42)(22x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →等于（ ）A ．－3B .－1C . 0D .不存在 2. 当)1ln(0x ，，x +→两个无穷小比较时是比x ( )A. 高阶的无穷小量B. 等价的无穷小量C. 非等价的同阶无穷小量D. 低阶的无穷小量3.设)(x f 的一个原函数为)1ln(+x x ，则下列等式成立的是( ) A ．C x x dx x f ++=⎰)1ln()( B.C x x dx x f +'+=⎰]1ln([)(班级：姓名：学号：试题共页加白纸张密封线C.⎰+=+C x f dxx x )()1ln( D.C x f dx x x +='+⎰)(])1ln([ 4. 设函数)(x f y =在0x x =处可导，则必有（ ）A ．0=∆y B. 0lim=∆→y xx C. dy y =∆ D. 0=dy 5．设)12)(1()(+-='x x x f ，则在)1,21(内，曲线)(x f 是（ ）A ．单调增加且是凹的B ．单调增加且是凸的C ．单调减少且是凹的D ．单调减少且是凸的 6．设)0(),1ln(≠+=a ax y ，则二阶导数y ''=（ ） A ．22)1(ax a+ B.2)1(ax a + C. 22)1(ax a+-D. 2)1(ax a+-7．积分=⎰-dx x1121（ ）A ．是发散的 B. 2 C. －2 D . 0 8．设函数⎰-=Φ2)(xtdttex ，则其导数=Φ')(x ( )A ．x xe - B. xxe--；C.232xex -D.232xex --三、求极限.（每小题5分，共10分） （1）3)21(lim +∞→+x x x（2）xx x x sin cos 1lim+-→四、求下列导数或微分. （每小题6分，共12分） （1）求由方程1ln =+y ye x确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy ；（2）求函数xe y sin =在01.0,0=∆=x x 处的微分dy五、求下列积分.（每小题6分，共18分） （1） ⎰+dxeexx 21（2）⎰212ln exdx x（3）⎰20sin πdx x六、设x:,0求证（5分）>1>ex x+七、欲做一个长方体的带盖箱子，其体积为723m，而底面的长与宽成2：1的关系。
一．选择题（将答案代号填入括号内,每题3分，共30分）。
1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.(A）（B）和（C）和（D）和12．函数在处连续，则（）.（A）0 （B) (C）1 （D）23．曲线的平行于直线的切线方程为（）.（A）（B) (C）（D）4．设函数，则函数在点处（)。
（A）连续且可导（B）连续且可微(C）连续不可导（D)不连续不可微5．点是函数的（).（A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线的渐近线情况是（）。
（A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线(C)既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．的结果是（）。
（A) （B）（C）(D）8．的结果是( ）。
（A）（B）(C）（D）9．下列定积分为零的是（）。
(A）（B) (C）（D)10．设为连续函数，则等于( ）。
（A) （B）（C）（D)二．填空题（每题4分，共20分)1．设函数在处连续，则。
2．已知曲线在处的切线的倾斜角为,则.3．的垂直渐近线有条。
4．。
5．.三．计算（每小题5分,共30分）1．求极限①②2．求曲线所确定的隐函数的导数。
3．求不定积分①②③四．应用题（每题10分,共20分）一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C二．填空题1．2．３．２４．５．２三．计算题１①②2。
3. ①②③四．应用题１．略２．《高数》试卷2（上）一。
选择题（将答案代号填入括号内,每题3分，共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是（)。
（A) 和（B) 和(C）和（D) 和2。
设函数,则（）。
（A) 0 (B） 1 (C) 2 （D) 不存在3.设函数在点处可导，且〉0, 曲线则在点处的切线的倾斜角为｛}.（A）0 (B）（C）锐角(D) 钝角4。
曲线上某点的切线平行于直线,则该点坐标是( ).(A) （B）(C) （D）5.函数及图象在内是( ）。
大学高数上试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B2. 函数f(x) = 2x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B4. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，那么f'(x) = __________。
答案：6x + 26. 曲线y = x^3 - 2x + 1在点(1, 0)处的切线斜率是 __________。
答案：27. 函数y = ln(x)的不定积分是 __________。
答案：x ln(x) - x + C8. 级数∑(1到∞) (1/n^2)的和是 __________。
答案：π^2/6三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值点。
答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。
令f'(x) = 0，解得x = 2。
将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3 - 8 + 3 = -2，所以x = 2是函数的极小值点。
10. 计算定积分∫(0到π/2) sin x dx。
答案：根据定积分的计算法则，∫(0到π/2) sin x dx = [-cos x](0到π/2) = 1。
11. 求极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x。
答案：lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
12. 求函数y = e^x - x^2的单调区间。
答案：函数y的导数为y' = e^x - 2x。
令y' = 0，解得x = ln(2)。
《学位考题》第一章1、设x x g xxcos 2)(2sin ≤≤则2)(lim 0=→x g x 2、231.232sin 323sin lim0===→x x x x x 3、212cos lim1 =-→x xx 4、31).31(lim )311(lim e e x x x x x ==+∞→∞→ 5、2).2(lim )21(lim --∞→==-∞→e e xx x x x x 1-x x ≤06、设f(x)= 则x=0为f(x) 连续xxsin x ＞0 解：x=0 f(x)=11sin lim)0(lim 00==+→+→xxf x x 11lim )0(lim 00=-=-→-→x f x x )(lim 0x f x →存在 且=f(0)1 x ≤07、f(x)= 则x=0为f(x) 跳跃 xx 1)1(+ x ＞08、X=0是函数xx f 1arctan )(=的 跳跃 9、 11sin)1(3--+x x x ＜1 F(x)= 则x=1时 f(x) 连续x x ln 232+ x ≥1解：x=1时 3ln 23lim )1(21=+=→x x y x 3ln 23lim 21=++→x x x （ln1=0）311sin)1(3lim 1=--+-→x x x (无穷小乘有介量) 10、设函数f(x)在区间【a,b 】连续，且f(a)＜aF(b)＞b 证),(b a ∈ξ使ξξ=)(f解：ξξξξξ⇔=-⇔=0)()(f f 是f(x)-x 的零点证：设x x f F -=)()(λ①在【a,b 】上连续 ②F(a)=f(a)-a ＜0 F(b)=f(b)-b ＞0)(x f ∴有零点ξ即ξξξξ=⇔=-)(0)(f f第二章)1ln(t x += 1、t t y arctan -= 求dxdy /t=1t t t x +=++=111)1(//22/1t t y +=111122=++tt tX= a(t-sint)2、摆线 2=t 处的切线方程y=a(1-cost) 解：,0y y y =- /)(00x x x x -=①x x =0 /)12()2sin 2(2-=-==a a t ②y y =0 /a a t =-==)2cos 1(2③tt t t a t a dx dy cos 1sin 1)cos ()sin 1(-+=-+= ④/y /dxdy x x ==0/12cos12sin2=-==t ⑤代人：1=-a y 【x-a 12-】3、()()()()()21/21/21/1212.12211212--+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+x x x x x4、[]2.2cos 2sin /x x =5、()()x x x x cos .sin 21sin sin 21/21/-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 6、()()()[]()x x x x x sin .cos .2cos .cos cos //2-==7、()21/1.--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e e x x8、()x e e x x cos .sin /sin =9、x x e x e x e x x x 2/sin cos .sin .sin -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 10、[]xxx x x cos sin cos cos cos ln //-==11、()()⎪⎭⎫⎝⎛+=2.2sin .22sin n x x n n解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+==22sin .22.2cos 2sin / x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2.22sin .222.22cos .22sin 2///x x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=232sin .22.22.22cos .22sin 32/// x x x x12、()[]()()()()n n n x n x --+--=+12!1.212ln 1解：()[]()()()1//12.2121212ln -+=++=+x x x x ()[]()()()()2////1212.212.212ln ++-+=+x x x x()[]()()[]()()()33/22///12.2.1.212.2.112ln --+--=+-=+x x x第三章1、函数()()()()3.2.1.---=x x x x x f 则()x f //在(0,3)上恰有 B 零点。
高等数学上册练习题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]高数练习题一、选择题。
4、11lim1--→x x x （ ）。
a 、1-=b 、1=c 、=0d 、不存在5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。
a 、x 1sinb 、x xsin c 、12--x d 、x ln7、()=--→11sin lim 21x x x （ ）。
a 、1 b 、2 c 、0 d 、219、下列等式中成立的是（ ）。
a 、e n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim b 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→211limc 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211limd 、e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→211lim10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。
a 、是低阶无穷小量b 、是同阶无穷小量c 、是等阶无穷小量d 、是高阶无穷小量11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。
a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .（A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x(B) x(C)1ln(12)2x + (D) x (x +2)14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则（ ）.（A ）0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →=（B ）0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=（C ）0lim ()x xf x →不一定存在（D ）0lim ()x xf x →一定不存在16、下列变量中（ ）是无穷小量。
高数(上)学位练习题一．函数与极限1．设()f x 的定义域[0,1]D =，求下列函数的定义域：(1)2()f x ； (2)(sin )f x ； (3)()(0)f x a a +>；(4)()()(0)f x a f x a a ++->． 2．设()f x 的定义域[0,1]D =，求下列函数的定义域： (1)()x f e ；(2)(ln )f x ；(3)(arctan )f x ；(4)(cos )f x ．3．设1,||1,()0,||1,()1||1,xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x ．4．设20,0,0,0,()(),0,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x 5．设1()1f x x=-，求[()],{[()]}f f x f f f x 6．设2(1)32f x x x +=-+，求()f x ．7．设2211()f x x xx +=+，求()f x ． 8．设1()0)f x x x=+>，求()f x ． 9．设1,||1,()0,||1,x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 求[()]f f x ．10．设2()sin ,[()]1f x x f g x x ==-，求()g x 及其定义域． 11．当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是高阶无穷小． 12．当1x →时，无穷小1x -和(1)31x -，(2)21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 13．当1x →时，两无穷小11xx-+和1 14．当1x →时，无穷小1x -和(1)1(2)2(1是否同阶？是否等价？ 15．当0x →时，试确定下列各无穷小关于x 的阶数： (1)321000x x +；0)x >；0)x >；0)a >；(5)32sin x ；(7)ln(1)x +； (8)1cos x -；sin x x +．16．设0x →时，123(1)1~cos 1ax x +--，求常数a ． 17．设()232x x f x =+-，则当0x →时，则 (Ａ)()f x 是关于x 的等价无穷小；(Ｂ)()f x 是关于x 的同阶但不等价的无穷小； (Ｃ)()f x 是关于x 的高阶无穷小； (Ｄ)()f x 是关于x 的低阶无穷小；18．设数列的通项为1,n n x n=⎨⎪⎪⎩当为奇数,当n 为偶数, 则当n →∞时，n x 是(Ａ)无穷小量；(Ｂ)无穷大量；(Ｃ)有界变量；(Ｄ)无界变量． 19．当0x →时，变量211sin x x是 (Ａ)无穷小；(Ｂ)无穷大；(Ｃ)有界但不是无穷小；(Ｄ)无界但不是无穷大． 20．当0x →时，变量21sinx x是 (Ａ)无穷小；(Ｂ)无穷大；(Ｃ)有界但不是无穷小；(Ｄ)无界但不是无穷大． 21．利用等价无穷小求下列极限：(1)0tan 3lim 2x x x →；(2)()0sin()lim (,)sin n m x x n m x →为正整数；(3)30tan 3sin lim sin x xx →-；(4)0x →．22．求下列极限：(1)22468lim 54x x x x x →-+-+；(2)0lim x x∆→∆；(3)11lim(1n x x n x →--为正整数)； (4)32313lim 13x x x x x →∞+-++；(5)21lim 1x x →-；(6)1111242lim 1111393nn n→∞++++++++； (7)0)n x ≥；(8)22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++++++⎝⎭ ． 23．求下列极限：(1)0sin lim x x x ω→；(2)0tan 3lim x x x →；(3)0sin 2lim sin 5x xx→；(4)0lim cot x x x →；(5)01cos 2lim sin x x x x →-；(6)lim 2sin ()2nn n x x →∞为不等于零的常数；(7)0tan 3lim sin 2x x x→； (8)0lim α+→．(9)0sin lim lnx xx→． 24．求下列极限：(1)10lim(1)x x x →-；(2)10lim(12)xx x →+；(3)21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭；(4)1lim 1()kx x k x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭为正整数；(5)31lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(6)22lim 1xx x →∞⎛⎫-⎪⎝⎭．(7)22cot 0lim(13tan )xx x →+；(8)123lim 6x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭．24．设0,,()0,,x x e f x x a x <⎧=⎨≥+⎩ 求a ，使()f x 在(,)-∞+∞上连续．25．设20,(cos ),()0,,x x x f x x a -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩ 求a 使()f x 在0x =处连续．26．设21sin ,0,(),0,x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 求a 使()f x 在(,)-∞+∞上连续． 27．设1,(),1,x f x ax x <=⎪≥⎩求a 使()f x 在1x =处连续． 28．设sin[(1)],1,2(1)()1,1,a x x x f x x x -⎧>⎪-=⎨⎪+≤⎩求a 使()f x 在1x =处连续．29．设10,(1sin ),()0,2,x x ax f x x ⎧≠⎪+=⎨=⎪⎩ 求a 使()f x 在0x =处连续．30．设()(12)a xf x x =+，若补充定义3(0)f e =，求a 使()f x 在0x =处连续． 31．设11()(2)xf x x x -=-，为使()f x 在1x =处连续，须补充定义(1)f 是多少？31．设()f x =，判定()f x 的间断点1x =的类型．32．求函数2()3f x x =-的连续区间． 33．求函数21()32f x x x =-+的连续区间．34．求函数()f x =的连续区间．35．设1()arctanf x x =，判定()f x 的间断点0x =的类型． 36．设1()cos f x x x=，判定()f x 的间断点0x =的类型．37．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：(1)22132x y x x -=-+，1,2x x ==；(2)tan x y x =，,,0,1,2,2x k x k k πππ==+=±± ； (3)21cos,0y x x ==；(4)1,1,13,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩； (5)111,01xx e y x e -==+；(6)11,0,0,1ln(1),0,x e x y x x x x -⎧⎪>===⎨⎪+≤⎩． 答案：1．(1)[1,1]-；(2)[2,(21)]k k k ππ+∞=-∞+ ；(3)[,1]a a --；(4)若1,[,1]2a D a a ≤=-则；若12a >，则D =∅． 2．(1)(,0]-∞；(2)[1,]e ；(3)[0,tan1]；(4)[2,2]22k k k ππππ+∞=-∞-+ ．3．1,0,[()]0,0,1,0,x f g x x x -∞<<⎧⎪==⎨⎪->⎩ 1,||1,[()]||1,||1.e x g f xx e x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩1，， 4．[()]()f f x f x =，[()]0g g x =，[()]0f g x =，[()]()g f x g x =．5．1[()]1f f x x=-，{[()]}f f f x x =．6．2()56f x x x =-+．7．2()2f x x =- 8．9．()1f x =．10．2()arcsin(1)g x x =-，定义域为．11．23x x -是比22x x -高阶的无穷小．12．(1)同阶不等价；(2)等价． 13．是等价的．14．(1)同阶不等价；(2)等价．15．(1)二阶；(2)12阶； (3)一阶；(4)三阶；(5)三阶；(6)13阶；(7)一阶；(8)二阶；(9)一阶． 16．当0x →时，12231(1)1~3ax ax +-，21cos 1~2x x --，23a =-．17．(Ｂ)1~x e x -．18．Ｄ．19．Ｄ．20．Ａ．21．(1)32；(2)0(),1(),()m n m n m n <=∞>；(3)12；(3)3-．22．(1)23；(2)；（３）n ；(4)1-；(5)；(6)；43；（７）21,01,lim ,12,,2;2n n x a x x x x →∞⎧⎪≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩(8)12．23．(1)ω；(2)3；(3))25；(4)1；(5)2；(6)x ；(7)32；(8)，(9)0．24．(1)1e -；(2)2e ；(3)2e ；(4)ke -；(5)e ；(6)4e -，(7)3e ；(8)32e-．24．1a =．25．1a =．26．0a =．27．12a =．28．4a =．29．ln 2a =．30．32x =． 31．e ．32．无穷型属第二类．32．(,3)(3,4)-∞ ．33．(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ 34．(,1)(1,)-∞-+∞ ．35．跳跃型属第一类．36．可去间断点属第一类．37．(1)1x =可去，补充(1)2f =-，2x =为无穷型属第二类；(2)0,2x x k ππ==+可去，补充(0)1,()02f f k ππ=+=，(0)x k k π=≠为无穷型属第二类，(3)为振荡型属第二类．(4) 跳跃型属第一类，(5)跳跃型属第一类，(6)0x =，跳跃型属第一类，1x =属第二类二．一元函数微分学1．设0()f x '存在，求A ：(1)000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆；(2)0()limx f x A x∆→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．； (3)000()()limh f x h f x h A h→--+=． 2．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是 (Ａ)1lim ()h h f a f a h →+∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦存在；(Ｂ)0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在； (Ｃ)0()()lim2h f a h f a h h →+-+存在； (Ｄ)0()()lim h f a f a h h→--存在．3．设0()1f x '=-，求000lim(2)()x xf x x f x x →---；4．设()f x 有连续的导函数，(0)0f =且(0)f b '=，若()sin ,0,(),0,f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，求常数A ．5．设(),0,()(0),0,f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()f x 在0x =处可导，(0)0f '≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的(Ａ)连续点； (Ｂ)第一类间断点；(Ｃ)第二类间断点；(Ｄ)连续点或间断点不确定．6．设sin sin 2,0,()0,0,x xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩求(0)f '． 7．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(1)1f '=，求0(12)(13)limx f x f x x→+--．8．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(2)1f '=，数列n a 满足lim 1n n a →∞=，求(3)(1)lim1n n n nf a f a a →∞--+-．9．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(0)1f '=，求0(sin )(sin 2)limx f x f x x→-．10．求下列函数的导数： (1)3cos x y e x =，(2)1sin 1cos ts t+=+，(3)2ln cos y x x x =，(4)4(25)y x =+，(5)cos(43)y x =-，(6)23x y e -=，(7)2ln(1)y x =+，(8)2tan y x =，(9)()arctan x y e =，(10)2(arcsin )y x =，(11)ln(y x =+，(12)ln(sec tan )y x x =+，(13)ln tan2x y =，(14)y =，(15)y = 11．设()f x 二阶可导，求下列函数的导数22d d ,d d y yx x(1)2()y f x =，(2)22(sin )(cos )y f x f x =+，(3)ln[()]y f x =， (4)1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，(5)．(ln )y f x =，(6)．sin ()x f e ，(7)()xy f xe =． 12．求下列函数的n 阶导数：(1)111n n n n y x a x a x a --=++++ ，(2)2sin y x =，(3)ln y x x =，(4)x y xe =，(5)y (6)11x y x -=+，(7)ln y x =，(8)113y x=-，(9)(1)x x y e e =+． 13．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：(1)2290y xy -+=，(2)3330x y axy +-=，(3)x yxy e +=，(4)1yy xe =-，(5)221x y -=，(6)tan()y x y =+．14＊．求由下列方程所确定的隐函数的导数22d d yx：(1)2290y xy -+=，(2)1yy xe =-，(3)221x y -=，(4)tan()y x y =+．15＊求由下列参数方程所确定的函数的导数d d y x： (1)23,,x at y bt ⎧=⎨=⎩ (2)(1sin ),cos ,x y θθθθ=-⎧⎨=⎩ (3)sin ,cos ,t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩(4)sin ,cos 2,x t y t =⎧⎨=⎩ (5)2223,13,1at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(6)3,2,t t x e y e -⎧=⎨=⎩ (7)ln(1),arctan ,x t y t t =+⎧⎨=-⎩ 16．用洛必达法则求下列极限(注意用等价无穷小代换)00型：(1)0ln(1)lim x x x →+；(2)0lim sin x x x e e x -→-，(3)sin sin lim x a x a x a→--，(4)sin 3lim tan 5x x x π→，(5)22ln(sin )lim (2)x x x ππ→-，(6)1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+，(7)20ln(1)lim sec cos x x x x →+-．∞∞型：(1)0ln(tan 7)lim ln(tan 2)x x x +→，(2)2tan lim tan 3x xxπ→，(3)0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→，(4)0ln lim ln(sin )x x x +→． ∞-∞型：(1)2121lim 11x x x →⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦，(2)11lim ln ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(3)11lim 1ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦， 0⋅∞型：(1)0lim cot 2x x x →，(2)2120lim x x x e →，(3)1lim 1x x x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4)lim sin x kx x →∞．,1,0∞∞型： (1)tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭，(2)22lim (tan )x x x ππ--→，(3)2lim 1xx a x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(4)210sin lim ϕϕϕϕ→⎛⎫ ⎪⎝⎭， (5)sin 0lim xx x +→，(6)22lim (cos )xx x ππ--→17．求下列函数的单调区间和极值(1)3226187y x x x =--+，(2)223441x x y x x ++=++，(3)(5)y x =-(4)y =(5)ln(1)y x x =-+，(6)22x y x e -=．18．求下列区间在所给区间上的最大值和最小值：(1)1(04)1x y x x -=≤≤+，(2)22tan 2tan (0)2y x x x π=-≤<，(3)221(01)1x x y x x x-+=≤≤+-． 19．求下列各函数的图形的拐点及向上凹和向下凹的区间：(1)234362y x x x x =+--，(2)2ln(1)y x =+，(3)211y x=+． 20．写出曲线1y x x=-与横轴交点处的切线方程． 21．求曲线ln y x x =的平行于直线2230x y -+=的法线方程．22．求曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩对应于6t π=的点处的切线方程．23．求曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的法线方程．答案：1．(1)0()f x '-，(2)(0)f '，(2)02()f x '； 2．Ｄ； 3．1；4．a b +； 5．Ｂ； 6．2； 7．5； 8．2； 9．－1；10．(1)3(sin )x x cox x -；(2)21sin cos (1cos )t t t +++；(3)3sin(43)x -；(4)236x xe --； (5)22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =-；(6)38(25)x +；(7)221x x +；(8)222sec ()x x ；(9)21x xe e +；；；(12)sec x ；(13)csc x ；；；11．(1)22()xf x '，2222()4()f x x f x '''+；(2)22sin 2(sin )(cos )x f x f x ''⎡⎤-⎣⎦， 222222cos 2(sin )(cos )sin 2(sin )(cos )x f x f x x f x f x ''''''⎡⎤⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦；(3)()()f x f x '，22()()()()f x f x f x f x '''-；(4)21f x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭-，4112f xf x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(5)(ln )f x x '，2(ln )(ln )f x f x x'''-；(6)sin sin ()cos x x f e e x '， sin 2sin 2sin sin 2sin sin ()cos ()cos ()sin x x x x x x f e e x f e e x f e e x ''''+-；(7)()(1)x x f xe e x '+，22()(1)()(2)x x x x f xe e x f xe e x '''+++；12(1)!n ，(2)12cos 22n n x π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(3)()1(2)!1ln ,(1)n nn n y x y x--'=+=-；(4)x xne xe +；(5)1(1)(12)(1(1))(1)n mn m m n m x m -----+ ，(6)12!(1)(1)n n n x +-+；(7)1(1)!(1)n n n x --- (8)13!(13)n n n x +-，(9)(12)x n xe e +， 13．(1)y y x -；(2)22x ay ax y --；(3)(1)(1)x y x y y e y x e x x y ++--=--，(4)12y yy e e xe y-=-+-；(5)x y ；(6)222sec ()111sec ()x y x y y ⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭； 14＊．(1)3(1)()y x y x --；(2)23(3)(2)y y e y ---；(3)223y x y -；(4)252(1)y y+-． 15＊(1)32b t a ，(2)cos sin 1sin cos θθθθθθ---，(3)cos sin sin cos t t t t -+，(4)4sin t -，(5)221t t -，(6)223t e -，(7)221(1)t t t ++； 16．00型(1)1，(2)2，(3)cos a ，(4)35-，(5)18-，(6)1，(7)1； ∞∞型(1)1，(2)3，(3)1，(4)1； ∞-∞型(1)12-，(2)1-，(3)12；0⋅∞型(1)12，(2)∞，(3)1，(4)k ；00,1,0∞∞型(1)1，(2)1，(3)1，，(5)1，(6)1； 17．(1)定义域(,)-∞+∞，增区间(,1][3,)-∞-+∞ ，减区间[1,3]-，极大值(1)17y -=，极小值(3)47y =-；(2)定义域(,)-∞+∞，减区间(,2][0,)-∞-+∞ ，增区间[2,0]-，极小值(0)4y =，极大值8(2)3y -=；(3)定义域(,)-∞+∞，增区间1[1,][5,)2-+∞ ，减区间1(,1][,5]2-∞- ，极大值1()82y =，极小值(1)0,(5)y y -==；(4)定义域(,)-∞+∞，增区间[0,1][2,+∞ ，减区间(,0][1,2-∞ ，极大值(1)1y =，极小值(1)0,(2)0y y ==；(5)定义域(1,)-+∞，增区间[0,)+∞，减区间(1,0]-，极小值(0)0y =；(6)定义域(,)-∞+∞，增区间(,1][0,1]-∞- ，减区间[1,0][1,)-+∞ ，极大值1()y e±=，极小值(0)0y =．18．(1)最大值3(4)5y =，最小值(0)1y =-，(2)最大值()14y π=，没有最小值，(3)最大值(0)(1)1y y ==，最小值13()25y =．19．(1)向上凹区间(3,2)-，向下凹区间(,3)(2,)-∞-+∞ ，拐点(3,294),(2,114)-；(2)向上凹区间(1,1)-，向下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞ ，拐点(1,ln 2),(1,ln 2)-；(3)向上凹区间(,)-∞+∞，向下凹区间(，拐点33()44； 20．2(1)y x =±； 21．230x y e ---=； 22．3202y x +-=； 23．210y x -+=；三．不定积分1．设()d arctan xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰， 2．下列等式中，正确的是 (Ａ)()d ()f x x f x '=⎰；(Ｂ)d ()()f x f x =⎰；(Ｃ)d()d ()d f x x f x x=⎰；(Ｄ)d ()d ()f x x f x =⎰ 3．求下列不定积分：(1)2x ，(2)1d x x e x -⎛- ⎝⎰，(3)2352d 3x x xx ⋅-⋅⎰， (4)sec (sec tan )d x x x x -⎰，(5)2cosd 2x x ⎰，(6)d 1cos 2x x +⎰，(7)cos 2d cos sin x x x x -⎰，(8)22cos 2d cos sin xx x x⎰，(9)42232d 1x x x x ++⎰，(10)22212d (1)x x x x ++⎰． 4．求下列不定积分：(1)，(2)t ，(3)2d x xe x -⎰，(4)x ， (5)21d 25x x x x +++⎰，(6)2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰，(7)x ，(8)102tan sec d x x x ⎰，(9)d ln ln ln x x x x ⎰，(10)2arccos xx ，(11)x ，(12)d sin cos x x x ⎰，(13)3cos d x x ⎰，(14)2sin d x x ⎰，(15)sin 2cos3d x x x ⎰，(16)cos cosd 2xx x ⎰，(17)sin 7sin 5d x x x ⎰， (18)3tan sec d x x x ⎰，(19)d x x xe e -+⎰，(20)x ，5．求下列不定积分：(1)2x ，(2)⎰，(3)(4)x ， (5)，(6)．6．求下列不定积分：(1)sin d x x x ⎰，(2)d xxe x -⎰，(3)cosd 2xx x ⎰，(4)2cos d x x x ⎰， (5)2tan d x x x ⎰(6)2d t te t -⎰，(7)sin cos d x x x x ⎰，(8)2(1)sin 2d x x x -⎰， (9)ln d x x ⎰， (10)arcsin d x x ⎰，(11)2ln d x x x ⎰，(12)2arctan d x x x ⎰,(13)ln(1)d x x x -⎰，(14)cos d xe x x -⎰，(15)cos ln d x x ⎰，(16)x ⎰，(17)x ⎰．7．求下列不定积分：(1)3d 3x x x +⎰，(2)223d 310x x x x ++-⎰，(3)21d 25x x x x +-+⎰，(4)2d (1)xx x +⎰，(5)2d 21xx -⎰；(6)d (1)(2)xx x +-⎰，(7)2d 2xx x x --⎰，(8)d (1)(2)(3)xx x x +++⎰，(9)，(10)，(11)31x -，(12)x ，(13)，(14)d 3cos xx +⎰，(15)d 2sin xx+⎰．答案：1．C ； 2．Ｄ；3．(1)35224235x x C ++；(2)xe C -；(3)2532ln 2ln 3xx C ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-；(4)tan sec x x C -+；(5)sin 2x x C ++；(6)1tan 2x C +；(7)sin cos x x C -+；(8)(cot tan )x x C -++；(9)3arctan x x x C -++；(10)1arctan x C x-++．4．(1)231(23)2x C --+；(2)C -；(3)212x e C --+；(4)121(23)3x C --+；(5)21ln(25)2x x C +++；(6)31cos ()3t C ωϕω-++；C ；(8)111tan 11x C +；(9)ln |ln ln |x C +；(10)2arccos 102ln10xC -+；(11)2C +；(12) ln |tan |x C +；(13)3sin sin 3xx C -+；(14)1(2sin 2)4x x C -+；(15)1cos 2cos510x x C -+；(16)13sinsin 322x x C ++；(17)11sin 2sin12424x x C -+;(18)31sec sec 3x x C -+；(19)arctan xe C +；(20)12arcsin23x C ；5．(1)2arcsin 2a x C a ⎛-+ ⎝；(2)1arccos ||C x +；C +；33arccos||C x +；(5)arcsin x C +；(6)1(arcsin ln |2x x C +++．6．(1)cos sin x x x C -++；(2)(1)x e x C --++；(3)2sin4cos 22x xxarc C ++； (4)2sin 2cos 2sin x x x x x C +-+；(5)2tan ln |cos |2x x x x C -+++；(6)21122t e t C -⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(7)11cos 2sin 248x x x C -++； (8)213cos 2sin 2222x x x x C ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭； (9)(ln 1)x x C -+；(10)arcsin x x C ； (11)3311ln 39x x x C -+；(12)322111arctan ln(1)366x x x x C -+++；(13)22111(1)ln(1)242x x x x C ----+:(14)1(sin cos )2x e x x C --+；(15)(sin ln cos ln )2xx x C ++；(16)32)C +；(17)21)3C +． 7．(1)3213927ln |3|32x x x x C -+-++；(2)ln |2|ln |5|x x C -+++；(3)211ln(25)arctan 22x x x C --+++；(4)21ln ||ln(1)2x x C -++；C +；(6)12ln 31x C x -++； (7)21ln |2|ln |1|33x x C -+++；(8)132ln |2|ln |1|ln |3|22x x x C +-+-++；ln(1C +；3ln |1C ++，(11)211)2x x C -+；(12)1)x C -+；(13)1)C +；tanx C ；2tan 1xC ++．四．定积分1．说明下列积分哪一个较大？ (1)11230d ,d M x x N x x ==⎰⎰0， (2)22231d ,d M x x N x x ==⎰⎰1，(3)2221ln d ,(ln )d M x x N x x ==⎰⎰1，(4)4423ln d ,(ln )d M x x N x x ==⎰⎰3，(5)43422222sin cos d ,(sin cos )d ,1x M x x N x x x x ππππ--==++⎰⎰ 23422(sin cos )d P x x x x ππ-=-⎰．2..求函数23d 1z xy x=+⎰关于z 的二阶导数． 3．求d d xx x ⎰．4．设00sin d cos d t tx t ty t t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ 求d d y x ．5．求由2400sin cos d d 011yx tt t t t t+=++⎰⎰所确定的隐函数关于x 的导数y '． 6．当x 为何值时函数220()d 1x xxeI x x x -=+⎰有极值？7．求下列各导数：(1)32d d x x x ⎰，(2)cos 2sin d cos()d d x x t t x π⎰． 8．求下列极限：(1)2cos d limxx t t x→⎰，(2)()2220030d limd xt xx t e tte t→⎰⎰．(3)(arctan )d limxx t t ．9．计算下列定积分：(1)122d (115)x x -+⎰，(2)320sin cos d πϕϕϕ⎰，(3)30(1sin )d πθθ-⎰， (4)226cosd u u ππ⎰，(5)212d t te t -⎰，(6)21e ⎰；(7)4sin d x x x ππ-⎰，(8)325425sin 21x x x x -++⎰，(9)12x ⎰，(10)22cos cos 2d x x x ππ-⎰，(11)22x ππ-⎰，(12)x π⎰．(13)12123d 310x x x x ++-，(14)221d (1)xx x +⎰，(15)10d (1)(2)xx x +-⎰．10．求下列定积分：(1)x ，(2)y ，(3)1x ，(4)0(0)a x x a >⎰，(5)1(6)1-⎰，(7)41⎰，(8)1(9)0．11．求下列定积分： (1)1d tte t ⎰，(2)0sin d x x x π⎰，(3)ln 2d xxe x -⎰，(4)2sin d x x x π⎰，(5)1ln d ex x x ⎰，(6)120arcsin d x x ⎰，(7)10ln(1)d e x x -+⎰，(8)10arctan d x x x ⎰，(9)221log d x x x ⎰，(10)324d sin x x xππ⎰，(11)20cos d xe x x π⎰． 12．求函数20()(1)(2)d xI x x x x =--⎰的极值和拐点．13．求函数2031()d 1xx I x x x x +=-+⎰在区间[0,1]上的最大值和最小值．14．计算下列广义积分并判断其敛散性： (1)41d x x +∞⎰，(2)0d (0)axe x a +∞->⎰，(3)22d 1x x x +∞-∞+⎰，(4)2d 22x x x +∞-∞++⎰， (5)2d ln ex x x+∞⎰，(6)30d (1)x x x +∞+⎰，(7)2d x xe x +∞-⎰，(8)1⎰ (9)220d (1)x x -⎰，(10)10⎰(11)21⎰，(12)1e ⎰． 15．求由下列各组曲线所围成的图形的面积：(1)22,y x x y ==，(2)23y x =-，2y x =，(3)2,23y x y x ==+， (4)1,,2y y x x x===，(5)222,8y x x y =+=(两部分的面积)， (6)2,,2y x y x y x ===，(7),,1x x y e y e x -===，(8)ln ,ln ln y x y a b b a =>>轴及直线y=,y=(0)，(9)2y px=与其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线．(10)224(1),4(1)y x y x =+=-． 16．求下列各曲线所围成的图形的面积：(1)2cos a ρθ=，(2)2(2cos )a ρθ=+，(3)33cos ,sin x a t y a t⎧=⎨=⎩ 17．求下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：(1)3cos ,1cos ρθρθ==+，(2)2,cos2ρθρθ==．18．求位于曲线xy e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积． 19．求抛物线4y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．20．设曲线21:1(01)L y x x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)L y ax a =>分成面积相等的两部分，求a 的值．21．设由曲线32,(0)y x y ax a ==>所围成的图形的面积等于由曲线32,y x y ax ==和直线()x b b a =>所围成的图形的面积，求,a b 之比．22．设1S 为由曲线221,(0)y x y ax a =-=>及y 轴所围成的图形在第一象限部分的面积，2S 为由曲线221,(0)y x y ax a =-=>及直线1x =所围成的图形的面积，求常数a ，使12S S S =+最小．23．设1S 为由曲线s i n (0),s i n (0)22y x x y t t ππ=≤≤=≤≤及y 轴所围成的图形的面积，2S 为由曲线s i n (0),s i n (0)22y x x y t t ππ=≤≤=≤≤及直线2x π=所围成的图形的面积，求常数t ，使12S S S =+最小．24．设1S 为由曲线sin ,0y x y ==及(0)2x t t π=≤≤轴所围成的图形的面积，2S 为由曲线sin ,1y x y ==及直线(0)2x t t π=≤≤所围成的图形的面积，求常数t ，使12S S S =+最小．25．求下列弧段的长度：(1)ln y x x =≤(2)),13y x x =-≤≤，(3)半立方抛物线232(1)3y x =-被抛物线23x y =截得的一段弧的长度，(4)星形线33c o s ,sin x a x y a x ⎧=⎨=⎩的全长，(5)摆线(s i n )(1c o s )x at t y a t =-⎧⎨=-⎩一拱的长度，(6),0a e θρθϕ=≤≤，(7)341,43ρθθ=≤≤，(8)心形线(1cos )a ρθ=+的全长，(9)421142x y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 12x ≤≤；(10)21123x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23x ≤≤，(11)211ln 12103)t x t t t y t +⎧=+⎪-≤≤⎨⎪=-⎩．(12)21ln(1),02y x x =-≤≤，答案：1．(1)M N >；(2)M N <；(3)M N >；(4)M N <；(5)P M N <<．2．6622(15)(1)z z -+． 3． 4．tan t ．5．24cos (1)sin (1)x y x x +-+． 6．当0x =． 7．2；(2)22sin cos(cos )cos cos(sin )x x x x ππ--．8．(1)1；(2)24π；(3)0．9．(1)51512；(2)14；(3)43π-；(4)68π-；(5)121e --；(6)1)(7)0；(8)0；(9)3324π；(10)23；(11)43；(12)(13)145ln2136π+；(14)ln(15)2ln 23-．10．(1)2π；2)π+；(3)14π-；(4)416a π；；(6)16；(7)222ln 3+；(8)12ln 2-；(9)1)a ． 11．(1)1；(2)π；(3)1(1ln 2)2-；(4)24π-；(5)21(1)4e +；(6)14-；(7)1；(8)1(2)4π-；(9)324ln 2-；13ln 22+；(11)21(1)2e π-．12．极值17(1)12y =-，拐点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，4112,381⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．最小值(0)0I =，最大值(1)I =14．(1)13；(2)1a ；(3)发散；(4)π；(5)1；(6)12；(7)12；(8)1；(9)发散；(10)π；(11)83；(12)2π． 15．(1)13；(2)323；(3)323；(4)3ln 22-；(5)442,633ππ+-；(6)76；(7)12e e +-；(8)b a -；(9)2163p ；(10)163． 16．(1)2a π；(2)2180a π；(3)238a π．17．(1)54π；(2)6π+ 18．2e ． 19．283a ．20．3a =．21．43b a =．22．1a =．23．4t π=． 24．6t π=．25．(1)131ln 22+；(2)43；(3)3285192⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)6a ；(5)8a ；1)a e ϕ-；(7)35ln 212+；(8)8a ；(9)3316；(10)3912；(11)13ln 232+；(11)1ln 32-．五．微分方程1．求下列微分方程的通解：(1)ln 0xy y y '-=，'=(3)22tan d sec tan d 0sex x y x y xe y +=(4)()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=． 2．求下列微分方程的特解： (1)2sin ln ,|x y x y y y e π='==，(2)0cos d (1)sin d 0,|4xx y x e y y y π-=++==．3．求下列微分方程的通解：(1)sin cos x y y x e -'+=，(2)tan sin 2y y x x '+=，(3)2(1)2cos 0x y xy x '-+-=， (4)2d (6)2d yy x y x-=． 4．求下列微分方程的特解：(1)d sin ,|1d x y y x y x x x π=+==，(2)213d 231,|0d x y x y y x x=-+==． 5．求下列伯努利方程的通解： (1)4d 11(12)d 33y y x y x +=-，(2)3d [(1ln )]d 0x y y xy x x -++=． 6．求解下列微分方程：(1)sin y x x ''=+，求通解，(2)0xy y '''+=，求通解，(3)2()1y y '''+=，00|0,|0x x y y =='==，求特解．7．求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=，(2)40y y '''-=，(3)6130y y y '''++=，(4)22d d 420250d d x xx t t-+=． 8．求下列微分方程的特解：(1)00440,|2,|0x x y y y y y ==''''++===，(2)004290,|0,|15x x y y y y y ==''''++===． 9．求下列微分方程的通解：(1)22xy y y e '''+-=，(2)5432y y y x '''++=-，(3)4cos y y x x '''+=． 10．求下列微分方程的特解：(1)00325,|1,|2x x y y y y y ==''''-+===， (3)200633109,|,|77xx x y y y e y y ==''''-+===．答案：1．(1)Cxy e =；(2)arcsin arcsin y x C =+；(3)tan tan x y C ⋅=；(4)(1)(1)xye e C +-=．2．(1)ln tan2xy =；(2)(1)sec x e y +=3．(1)sin ()x y x C e -=+；(2)2cos 2cos y C x x =-；(3)2sin 1x C x +-；(4)3212x Cy y =+． 4．(1)1cos xy xπ--=；(2)23312xy x x e --=-．5．(1)3112xCe x y =--；(2)23222ln 33x x x C y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．6．(1)3121sin 6y x x C x C =-++，(2)12ln ||y C x C =+，(3)ln()ln 2x x y e e -=+-． 7．(1)212x x y C e C e -=+，(2)412x y C C e =+；(3)312(cos sin )x y e C x C x -=+； (4)5212()t x C C t e =+． 8．(1)2(2)x y x e-=+；(2)23sin5x y e x -=．9．(1)212x x x y C e C e e -=++；(2)41211182xx y C e C e x --=++-； (3)1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++． 10．(1)275522x x y e e =-++；(2)9211()27x xx y e e e =+-．。
