太原理工大学高等数学复习题四

数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。

A 卷一、选择题1. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列结论正确的是( ).A. 11()n n n u u +∞+=+∑一定收敛. B.1lim1n n nu u ρ+→∞=<. C. 1n ρ<. D. n +∞=. 2.设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0(,)f x y 在0y y =处导数大于零. B. 0(,)f x y 在0y y =处导数等于零. C. 0(,)f x y 在0y y =处导数小于零.. D.0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 3.设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<<⎩，则以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于( ).A.21π+ B.1-. C.22π. D.2π. 4.设D 为由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成，则D2d σ=⎰⎰( ). A. 2. B. 3. C. 4. D.1.5.若函数(,)x f x y ，(,)y f x y 连续是(,)f x y 可微的（ ）.A.必要条件B.充要条件C.既不是充分又不是必要条件D.充分条件 二、填空题1.微分方程26(1)x y y y x e -'''--=+的特解形式为 .(不求特解)2.二重积分222316(cos 1)x y x y yx d σ+≤++=⎰⎰.3.若级数1(1)nn n a x +∞=-∑在5x =-处收敛，则级数1(1)n n n a x +∞=-∑在6x =处 .（绝对收敛，条件收敛，发散）4.函数22u x yz =-在点(1,2,2)-处的梯度(1,2,2)gradu - .5. 2y x =在空间几何中表示 图形. 三、计算题1.求曲线x t =，2,y t =-3z t =与平面24x y z ++=平行的切线方程。

太原理工大学有限元复习题一、简答题1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。

弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等。

因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。

2、理想弹性体的五点假设？答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。

3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。

对于轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便得多。

当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。

4、梁单元和杆单元的区别？答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于另外两个方向。

主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。

杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。

5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。

6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。

7、有限单元法的收敛性准则？答：完备性要求，协调性要求。

完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。

或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。

单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。

协调性要求。

如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。

第2页共3页7.向量组()2,6,3,11=β，()1,2,1,22-=β，()2,,1,13--=a β的秩为2，则=a （）（Ａ）0；（Ｂ）2-；（Ｃ）1；（Ｄ）2.8.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0)(=x AB （）（Ａ）当m n >时仅有零解；（Ｂ）当m n >时必有非零解；（Ｃ）当n m >时仅有零解；（Ｄ）当n m >时必有非零解.9.设2-=λ是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵1-+A A 有一特征值为（）（Ａ）1；（Ｂ）0；（Ｃ）25；（Ｄ）25-.10.设,,A B C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且A 可逆，则（）(A)矩阵C 行向量组与A 的行向量组等价；(B)矩阵C 列向量组与A 的列向量组等价；(C)矩阵C 行向量组与B 的行向量组等价；(D)矩阵C 列向量组与B 的列向量组等价.11-15题为判断题，正确打√，错误打×：11．如果矩阵A 与B 等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价.（）12．如果向量组321,,ααα只有一个极大线性无关组，则321,,ααα线性无关.（）13．若n 阶方阵A 的0=A ，则对任何n 维向量组,......,,21n ααα则,......,,21n A A A ααα一定线性相关.（）14．已知()33⨯=ija A 为可逆矩阵，交换A 的第一、二列后所得的矩阵记为B ，那么交换1-A 的第一、二行后所得的矩阵即为1-B.（）15．如果A 是可逆矩阵，且|2|||E A A -=，则2=λ一定不是A 的特征值.（）。

上机练习题一、求非线性方程的根。

1、 求方程()cos 0f x x x =-=在0 1.5x =附近的是根，要求精度满足3110k k x x -+-<.(牛顿切线法)>> NewtonIterationx0=1.5 del=0.001 N=20k x(k)0 1.500000 1 0.784472结果：0.7395192、 求方程32()0.80f x x x =--=在01x =附近的是根，求出具有四位有效数字的根近似值..(简单迭代法))(1n n x x ϕ=+312)8.0()(+=x x ϕ程序clear clcphi=inline('(x^2+0.8)^(1/3)'); %迭代函数 x0=input('x0='); del=input('del='); N=input('N='); n=1;fprintf('\n %2d %f ',0,x0); while n<N x=phi(x0); if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n 近似解=%f \n',x); return endfprintf('\n %2d %f ',n,x); n=n+1; x0=x; endfprintf('\n \n %f d 次迭代后未达到精度要求. \n',N);运行结果 x0=1del=0.00001N=200 1.000000 1 1.216440 2 1.316116 3 1.363004 4 1.385180 5 1.395688 6 1.400671 7 1.403034 8 1.404155 9 1.404687 10 1.404939 11 1.405059 12 1.405116 13 1.405143 14 1.405155近似解=1.405162二、求解线性方程组（直接法或迭代法）1、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----22118118344108318311231224321x x x x x使用高斯-赛德尔迭代法求解代码clear clcn=input('n=');%矩阵的阶数 A=input('A=');%系数矩阵 b=input('b='); x=input('x=');%自变量 epsilon=input('\n 精度='); N=input('\n 最大迭代次数N=');fprintf('\n %d:',0);for i=1:nfprintf('%f',x(i));end%以下是迭代过程for k=1:N%这是第k步迭代，迭代前的向量在x0[]中，迭代后的向量在x[]中； normal=0;for i=1:nt=x(i);x(i)=b(i);for j=1:nif j~=ix(i)=x(i)-A(i,j)*x(j);endendx(i)=x(i)/A(i,i);temp=abs(x(i)-t);% 求范数于迭代在同一个循环中；if temp>normalnormal=temp; %这里用的是无穷范数endend%第i不迭代结束；fprintf('\n %d: ',k);for i=1:nfprintf('%f',x(i));%输出迭代过程endif normal<epsilonreturnendendfprintf('\n \n 迭代% d 次后仍未求得满足精度的解\n',N);结果n=4A=[2,2,1,-3;-2,1,-1,-3;8,-1,3,8;10,4,4,3]b=[8,1,-1,8]x=[1,-1,2,-2]精度=0.001最大迭代次数N=100:1.000000-1.0000002.000000-2.0000001: 1.000000-1.0000002.000000-2.000000>>故原方程的解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2211x。

高数第七版习题4-3答案
高数第七版习题4-3答案：探究函数的极限和连续性
在高等数学中，函数的极限和连续性是非常重要的概念。

通过习题4-3的答案，我们可以更深入地探究这些概念的应用和意义。

首先，我们来看函数的极限。

在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某
个值时，函数的取值趋向于的一个值。

通过习题4-3的答案，我们可以看到如
何利用极限的性质来求解一些复杂的函数极限，比如利用夹逼定理、洛必达法
则等方法来求解不定型的极限。

这些方法不仅可以帮助我们更好地理解函数的
极限，还可以在实际问题中应用，比如在物理、工程等领域中。

其次，我们来探讨函数的连续性。

函数的连续性是指函数在某个区间内没有间
断点，即函数在这个区间内的图像可以被画出来而不需要抬起笔。

通过习题4-
3的答案，我们可以学习到如何判断一个函数在某个点或某个区间内是否连续，以及如何利用连续函数的性质来求解一些复杂的问题。

函数的连续性在实际问
题中也有着重要的应用，比如在经济学中，连续函数可以用来描述一些经济模型，而在工程学中，连续函数可以用来描述一些物理现象。

总之，通过高数第七版习题4-3的答案，我们可以更深入地理解函数的极限和
连续性的概念，以及它们在实际问题中的应用。

这些知识不仅可以帮助我们更
好地理解数学，还可以为我们将来的学习和工作提供帮助。

希望大家在学习高
等数学的过程中能够认真对待这些概念，从中获益良多。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)的n阶导数为（）A.e^xB.ne^xC.(n-1)e^xD.e^(x+n)4.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的二阶导数值为（）A.1B.0C.-1D.无限大5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的泰勒展开式的前三项为（）A.xx^3/6B.x+x^3/6C.xx^3/3D.x+x^3/3二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。

（）2.函数f(x)=x^33x在x=0处取得极大值。

（）3.函数f(x)=e^x的n阶导数仍为e^x。

（）4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为0。

（）5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为xx^3/6。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是______。

2.函数f(x)=x^33x的极大值点为______。

3.函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为______。

5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容及其应用。

2.简述拉格朗日中值定理的内容及其应用。

3.简述泰勒公式的内容及其应用。

4.简述牛顿-莱布尼茨公式的内容及其应用。

5.简述高斯-赛德尔迭代法的内容及其应用。

第 1 页 共 5 页 线性代数（A 卷）太原理工大学 线性代数 试卷（A ）适用专业：2016级理工、文、经管等专业 考试日期：2017.6.25 时间：120 分钟 共 8 页一、本题共15小题，每小题2分，共30分。

1-8题为填空题：1．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++00043z ky kyx z y kx 有非零解，则=k _________. 2．二次型3231212322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f +++++=的秩为2，则t =_______.3．若可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=d d c b b a AB ，则矩阵=B . 4．设四阶方阵1(α=A 2α 3α)4α且=β+1α-2α3α4α+，则方程组β=Ax 的一个解向量=x . 5．方程组⎩⎨⎧=-+=++37431321321x x x x x x 与132321=++x x x 的公共解为 .6. 已知T 是线性空间2R 上的线性变换，并且)3,2()0,1(-=T ，)2,3()1,0(-=T ,则=)3,2(T .7. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，则齐次线性方程组0=*x A （*A 为A 的伴随矩阵）的基础解系中所含解向量的个数为 .8. 设3阶方阵A 与B 相似且A 的特征值为2,1,1-,则=+*E B 3 .第 2 页 共 5 页 线性代数（A 卷）9-15题为选择题：9. 设4阶矩阵],,,[432γγγα=A ，],,,[432γγγβ=B ，其中432,,,,γγγβα均为4维列向量，且已知1,4==B A ，则=+B A （ ）．（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40．10. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321A ，则 （ ）．（A ）对任意非零向量()Tb b b b 321,,=，方程组b Ax =都无解；（B ）对任意非零向量()T b b b b 321,,=，方程组b Ax =都有唯一解；（C ）对任意非零向量()Tb b b b 321,,=，方程组b Ax =都有无穷多解；（D ）存在非零向量()Tb b b b )1(3)1(2)1(1)1(,,=及()Tb b b b )2(3)2(2)2(1)2(,,=使方程组)1(bAx =有解，而方程组)2(b Ax =无解．11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32100000a a a A ，321,,a a a 互不相等，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B ，且BA AB =，则（ ）成立．（A ）E B = ； （B ）aE B =； （C ）0=B ； （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332211000000b b b B ． 12. 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若E AB =，则 （ ）. (A) 秩m A r =)(，秩m B r =)(； (B) 秩m A r =)(，秩n B r =)(；(C) 秩n A r =)(，秩m B r =)(； (D) 秩n A r =)(，秩n B r =)(．13. 已知4维向量组4321,,,αααα满足：秩),(21αα=秩2),,(321=ααα，秩3),,(421=ααα，那么，向量组4321,,αααα+的秩为 （ ）． （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1.14. 下列命题正确的是 （ ）． (A) 设A 为n 阶方阵，则A 可以经过初等变换化为TA ；(B) 如果矩阵A 与B 等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价；(C) 如果向量组321,,ααα只有一个极大线性无关组，则321,,ααα线性无关； (D) 若矩阵A 和B 的乘积AB 可逆，则A 和B 都可逆.第 3 页 共 5 页 线性代数（A 卷）…………15. 设B A ,是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （ ）．T 相似； （B ）1-A 与1-B 相似； 与T +B B 相似； （D ）1-+A A 与1-+B B 相似.二、本题共2小题，满分24分。