1第一讲有理数单元

1.2　有理数1.2.1　有理数学前温故新课早知1.在学习了正数、负数后,我们知道整数有 之分,分数也有 之分. 2.具有相反意义的量可以用 和 分别表示.正负 正负正数 负数学前温故新课早知1. 和 统称为有理数.2.把下列有理数填入相应的大括号里:-5,2,-0.6,0.618,0.整数{ …};分数{ …}.3.有理数的分类整数 分数 -5,2,0-0.6,0.618 整数分数 正整数 零 负整数 正分数　负分数学前温故新课早知4.下列说法不正确的是( )CA.有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数B.一个有理数不是分数就是整数C.一个有理数不是正数就是负数D.若一个数是整数,则这个数一定是有理数有理数的分类【例题】 把下列各数填在相应的大括号内:正数集合{…};负数集合{…};整数集合{…}; 正分数集合{…}; 负分数集合{…}; 分数集合{…}. 解析:弄清楚正数、负数;整数、分数;正分数、负分数的分类标准.6712345A1.下列说法正确的是( )A.正整数和正分数统称为正有理数B.正整数和负整数统称为整数C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D.0不是有理数6712345解析关闭①②是正确的.3.2是大于0的数,是正数,所以③是错误的;自然数包括零与正整数,所以④是错误的答案关闭B6712345C6712345C4.下列说法不正确的是( )A.-3.14既是负数、分数,也是有理数B.0既不是正数,也不是负数,但是整数C.-2 018是负整数,但不是有理数D.0是正数和负数的分界12345675.在0,3,-5,-7.2这四个数中,负整数是( )C A.0 B.3 C.-5 D.-7.26712345-8,3,0,-11,-167123457.把下列各数填在相应的大括号内:。

第一讲 有理数的概念一、正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4︒C 和零上6︒C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．【例】以上几个例子分别记为：4-︒C 和6+︒C ，20+元和20-元，30+米和100-米.2．正数：像30、+6、12、π这样的数叫做正数，正数都大于零；3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、172-．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数．二、有理数的概念及分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数——可化成分数，是有理数三、数轴1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；①原点：表示数0的点；②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.2．数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误：①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．3．数轴与有理数的关系①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．【例】5+与5-互为相反数；5-是5+的相反数；【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5-是相反数”是错误的. 2．相反数的性质：（1）代数性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．【例】2与12，3-与13-，38-与83-．4．负倒数：乘积为1-的两个有理数互为负倒数．【例】2与12-，3-与13，38-与83．【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 五、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质： （1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0．（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局；②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？模块一 正数和负数例题1（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数 B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；（3）在下表适当的空格里打上“√”号．整数 分数 正数 负整数 正分数非负数 非负整数无理数 0.-15-3.+062 14.031π98-模块二有理数的概念及分类例题2a b 0（1）下面图形是数轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A 在数轴上的位置如图所示，点B 也在数轴上，且A 、B 两点之间的距离是2，则点B 表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________． （3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-<D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数模块三数轴例题3例题4模块四 相反数&倒数例题554BA13-1123-2-01-3 122-1-0 1232-1-012 1.3- 2.6 A 3-O 7-6-5-4-3-2-1-01234567我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--（1）2017-的倒数是________，2017与________互为负倒数．（2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_________；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数________．（3）已知a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）A ．a b 11<1<B ．a b 11<<1C ．b a 11<<1D ．b a 111<<（1）2017-的绝对值是_________，|2017|--的相反数是________，|2017|-与________互为倒数．（2）①绝对值不大于3的整数有________；②绝对值大于2而小于5的负整数是________．（3）①若m 、n 满足||||=m n -2+-30，则mn 的值等于________；②||||x y =--7，则xy =________．（4）已知|5|a =，||2b =，则||a b -的值是__________．例题6例题7例题8模块五 绝对值例题91-a 01b（1）下列说法正确的个数（ ） ①()a --表示正数；②||a 一定是正数，||a -一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果||||a b >，则a b >．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 （2）若x 表示有理数，则||x --一定是（ ） A ．正数 B ．负数C ．非正数D ．非负数（3）下列说法正确的是（ ）A ．若a 表示有理数，则a -表示非正数B ．和为零的两数互为相反数C ．一个数的绝对值必是正数D ．若||||a b >，则a b <<0（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________． （3）把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }（1）下列说法正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B ．正有理数和负有理数组成全体有理数C ．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D ．零既不是正数，也不是负数 （2）下列说法不正确的是（ ） A ．绝对值等于本身的数是非负数 B ．倒数等于本身的数有2个 C ．有理数可分为整数和分数D ．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大例题10复习巩固演练1演练2（1）如图，表示数轴正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知点A ，点B 在数轴上，点A 表示数为-2，A 、B 两点的距离为5，则点B 表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．（1）||||x y 2-2+7-3=0，求xy =________．（2）4-27的倒数是________，3.75的负倒数是___________．（3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若||m m >，则0m <；④若||||a b >，则a b >，其中正确的有______．021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演练3演练4演练5 演练610ba。

初中数学 第一章 有理数 知识要点1.1、正数和负数1.叫做正数，根据需要有时在正数前面加上“ ”号.2. 在正数前面加上“”的数叫做负数.都是负数.3. 数 0 既不是 也不是.注：(1)一个数前面的“+”与“-”叫做它的. 其中“”号可省略不写.(2)判断一个数是不是负数，要看是不是在正数前面加上“”号，而不能看它是否带有“”号.(3)正数和负数是表示两种具有的量. 现实生活中有大量这样的量，人们通常习惯将“盈利、上升、收入、零上温度”等规定为，而把“亏损、下降、支出、零下温度”等规定为.如：小王出门做生意，盈利 3000 元记为+3000 元，那么亏损 2000 元记为，0 元表示，盈利－5000 元表示.(4) 0 是正、负数的，其意义不仅表示“”. 如：国际乒联规定一个直径 40 毫米的乒乓球的标准质量为 2.7 克. 若在某次乒乓球检测中，一个乒乓球的质量超过标准质量 0.01 克记作+0.01 克，不足标准质量 0.01 克记作-0.01 克，那么超过标准质量 0.02 克应记作，不足标准质量 0.015 克应记作，0 克表示.1.2、有理数1.2.1、有理数1．、和统称为整数.注：和统称自然数.2．和统称分数.3.和统称有理数.4. 有理数的分类：(1)按定义分：整 有数 理 数分数、 和(2)按符号分：有 理 数注意：(1)对有理数进行分类时一定要注意.(2)常见的不是有理数的数有 和的小数.如：0.0100100010001000010000010000001……(3)如右图，若左圈表示负数，右圈表示分数，那么两圆重叠部分表示数.1.2.2、数轴1. 规定了、和注：(1)数轴是一条.的数轴.负数 分数模板资料 资源共享(2)数轴有三要素：、和.(3)“规定”是说位置、选取和大小根据需要而定.2．任何一个有理数都可以用表示.注：(1)正有理数可用原点的点表示.(2)负有理数可用原点的点表示.(3)零用表示.(4)数轴上的点表示有理数.(5)利用法解决问题可以更加直观.如：①如果一只蜗牛从原点出发，沿数轴先向左爬了 7 个单位，再向右爬了 4 个单位到达终点，那么终点表示的数是.②如果一只蜗牛在数轴上先向左爬了 8 个单位长度，再向右爬了 3 个单位长度，终点表示的数是-1，那么出发点表示的数是.1.2.3、相反数1. 代数定义：只有不同的两个数叫做互为相反数.注：(1)正数的相反数是，负数的相反数是，0 的相反数是.(2)求一个数的相反数就是在这个数前添“”号后再化简.如：a 的相反数是，a-b 的相反数是.2．几何定义数轴上位于两侧(或与重合)且到的距离的两个点所表示的两个数叫做互为相反数.如：在数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为 8，则这两个数是 和 .若距离为 a( a 0 )呢？答： a 和 a . 223．多重符号的化简：(1)一个正数前面有个“-”，则化简时把“-”都去掉.(2)一个正数前面有个“-”，则化简后只剩一个“-”.(3) 0 前面不管有多少个“-”、“+”，化简后仍是.1.2.4、绝对值1. 数轴上表示一个数的点到原点的叫做这个数的绝对值. 数 a 的绝对值记作注：(1)绝对值即“”. 如果数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就之，如果数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就.(2)如果数轴上表示两个数的点离原点的距离相等，那么这两个数.即：的两个数的绝对值相等.(3)绝对值概念的推广：数轴上的两点之间的距离就是表示这两个点的数的 的绝对值.即：①表示数 a 的点 A 与表示数 b 的点 B 之间的距离 AB=或 AB=；②与表示数 m 的点的距离为 a(a＞0)的点有两个：它们表示的数分别是和如：与数轴上表示-1 的点距离 3 个单位长度的点表示的数是.2. 绝对值的取法：正数的绝对值是它，负数的绝对值是它的，0 的绝对值是. ；反. .模板资料 资源共享a (a 0)数学符号表示：|a| 0(a0)，或|a| a(a≥0)，或|a| a(a 0)a (a 0)a (a 0)a (a ≤ 0)注：(1)任何一个有理数的绝对值都是. 即：对于任意有理数 a，都有|a|.(2)若表示两个非负数的式子和为 0(或这两个式子互为相反数)，则这两个式子都等于.如：若|x–3|+|x+y+7|=0，则 yx=.(3)若|a|=a，则 a；若|a|=-a，则 a.3. 有理数的大小比较：(1)大于 0，0 大于，正数负数. 因此异号两数大.(2)两个负数，大的反而.(3)数轴上的两个数，右边的数总数左边的数.注：(1)两数比较大小，可按数的性质符号分类：①两数同号同正：绝对值大的数 大 同负：绝对值大的反而 小.②两数异号：正数负数.③一数为0正数与0：正数 大于 负数与0：负数 小于0 0(2)绝对值最小的数是，绝对值最大的数，因为绝对值具有性.模板资料 资源共享1.3、有理数的加减法1.3.1、有理数的加法1. 有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取的符号，并把相加.(2)绝对值不同的异号两数相加，取的符号，并用减去. 互为的两个数相加得 0.(3)一个数与 0 相加.注：(1)做有理数的加法要经过两个步骤①观察相加两数的符号进而确定和的；②计算和的.(2)口诀：一二三.即：先确定和的，再求各加数的，进而分析确定绝对值还是如：请根据所给条件，利用|a|与|b|表示 a 与 b 的和.① a 0 ， b 0 ，则 a b ；② a 0 ， b 0 ，则 a b ；③ a 0 ， b 0 ，|a| |b|，则 a b ；④ a 0 ， b 0 ，|a| |b|，则 a b .2. 有理数加法运算律(运算律可使计算简便)：⑴加法交换律：两个数相加，交换的位置，不变. 用式子表示为：a+b=. ；⑵加法结合律：三个数相加，先把，或者先把，不变. 用式子表示为：(a+b)+c=.注：在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化的目的，通常看下列规律：(1)相反数结合法——互为的两个数先相加；(2)同号结合法——符号的数先相加；(3)同分母结合法——分母的数先相加；(4)凑整法——如果有几个数相加得到，先把它们相加；(5)同形结合法——整数与、小数与相加；(6)拆项结合法——带分数拆成和，分别.如：若 a 是最小的正整数，b 的绝对值是 2，c 是 a 的相反数，则 a+b+c==.1.3.2、有理数的减法1. 减法的定义：已知两个数的及其中一个，求另一个的运算，叫做减法.2. 有理数的减法法则：减去一个数，等于. 用式子表示为：a-b=.3. 有理数减法的运算步骤：(1)将减法根据法则转化为；(2)根据有理数的，计算出结果.注：(1)有理数的减法运算法则体现了的数学思想，把的运算转化为的运算.模板资料 资源共享在转化中，要同时改变符号：一个是符号由“ ”变为“ ”，另一个是减数的符号变成与原来的符号.(2)有理数的减法没有，被减数和减数不能，也不能简单应用.(3)减去一个正数，差一定被减数，减去一个负数，差一定被减数.如：若 a 0 ， b 0 ，|a| |b|，试判断 a b 的值的正负，答：；4. 有理数的加减混合运算：加减混合运算可以统一为运算. 用式子表示为：a+b-c=.注：(1)加减法可以互化主要表现为省略“”的写法：在求和一个式子中，通常可以把“”省略不写，同时去掉每个加数的，以简化书写形式. 如：–20+(+3)+(–5)+(–7)+(–8)可写成“”的形式.(2)加减混合运算的读法有两种，一是看成几个数的 ，二是按来读.如：–20+(+3)+(–5)+(–7)+(–8)可读作“的和”或“”.(3)加减混合运算过程的实质是运算，其依据是的意义.模板资料 资源共享1.4、有理数的乘除法1.4.1、有理数的乘法1. 有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得 ，异号得，并把相乘.(2)任何数同 0 相乘都得.注：运算步骤：(1)判断积的；(2)确定积的.2. 乘积等于的两个数叫做互为倒数.注：(1)正数的倒数是，负数的倒数是，即：互为倒数的两个数符号.(2)没有倒数. (3)a 的倒数是(其中 a).(4)乘积为 -1 的两个数叫做互为负倒数.如：请求出下列各数的负倒数：-3、5 、0.5、1 3 、b( b 0 ). 答：.343. 多个有理数相乘的法则：(1)几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是时，积是负数；负因数的个数是 时，积是负数.(2)若几个数相乘，如果其中有因数为 0，那么积等于.注：(1)口诀：多个有理数相乘，当家起作用，奇 偶 规律定，一数为零必得.(2)第一个负因数可以不加，但后面的负因数必须加.(3)带分数在进行乘法运算时，必须先化为.(4)绝对值不大于 5 的所有整数的积为.4. 乘法运算律：(1)乘法交换律：两个数相乘，交换的位置，积. 即：a·b=.(2)乘法结合律：三个因数相乘，先把相乘，或者先把相乘，积.即：(a·b)·c=.(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积.即： a·(b+c)=.注：可以逆用分配律简化运. 即：=.1.4.2、有理数的除法1. 有理数的除法法则：⑴除以一个的数等于用式子表示为 a b .(2)两数相除，同号得 ，异号得 ，并把.(3) 0 除以任何一个的数都得 .注：(1)有理数的乘除法仍与加减法类似应先确定，再计算(2)若 a 0 ，则 b.. .模板资料 资源共享2. 有理数的乘除混合运算： (1)乘除混合运算中，往往先将除法化成 (2)乘除混合运算中，一般将小数化为，然后按 ，带分数化为计算出结果. ，以便约分.1.5、有理数的乘方1.5.1、乘方1. 乘方的定义：乘方是求几个因数的积的运算. 其结果叫. 如：a·a·a·a·……·a·a·a=an其中 a 叫 注：当底数是，n 叫，an 读作 或或 时，必须用.n个a将其括起来，否则会改变原意.2. 乘方的性质：负数的幂是负数，幂是正数；正数的任何次幂都是；0的任何正整数次幂都是；一切有理数的偶数次幂都是数(00 无意义，除外).注：若 p、q 互为相反数，则 ( p q)n ( n 为正整数)；若 p、q 互为倒数，则 ( p q)n (n为正整数).3. 特殊数字知识点：相反数是本身的数是；绝对值是本身的数是；绝对值是相反数的数是；倒数是本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；平方等于相反数的数是；立方等于相反数的数是；奇数次幂等于本身的数是；偶数次幂等于本身的数是.3. 有理数的混合运算：(1)先(运算)，再(运算)，最后(运算).(2)同级运算，从 到进行.(3)如有括号，先做的运算，按、、依次进行.1.5.2、科学计数法把一个大于 10 的数表示成 a×10( n )(其中，n 为)的形式，叫做科学计数法.注：(1)10n 就是在 1 后面有个 0.(2)用科学计数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是.(3)去(添)括号法则：当括号前带“+”号时，去(添)括号及“+”后，括号里的各项都，当括号前带“–”时，去(添)括号及“–”后，括号里的各项都.1.5.3、近似数 1.的数称为准确数；的数称为近似数.模板资料 资源共享2. 精确度表示的接近程度. 判断一个近似数的精确度就是看这个数的一位数字在什么数位上就说精确到哪一位；对于带计数单位的近似数的精确度应看单位前的数字一位在．的．数．的哪一位上；科学记数法也看 a 中的一位在．的．数．的哪一位上就是精确到哪一位. 按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位，对于要求精确到的数位比个位高时应先化为再取近似值. 如：35780000(精确到百万位)应为 35．780000=≈.3. 有效数字：一个近似数从左边第一个数字起到数字止，所有的数字都是这个近似数的有效数字. 科学记数法的近似数看“”中的有效数字；带计数单位的近似数只看前的数的有效数字.写有效数字时应将有效数字用“”隔开.如：已知a 12.3 是由四舍五入得到的近似数，则 a 的可能取值范围是.模板资料 资源共享。

第一讲有理数【1.1正数与负数】知识点对应训练知识点1：正数、负数的概念像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。

正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫。

如-6，，…。

“-6”读作。

【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-10，1，-0.5，0，36，52-，15％，-60，531-，22.8解：1、下列各数 -11 ，0.2，81-，74+，1，-1， -a， -30％中，（）一定是正数，（）一定是负数。

知识点2：对“0”的理解。

0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。

它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。

【例2】对于“0”的说法正确的有（）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。

解：2下列说法正确的有（）。

①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非负数；④一个数不是正数就是负数；⑤负数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是它们都具有数量，而且一定是量。

【例3】下面问题中：（1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。

（2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降3kg，记作-3kg（3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500元。

（4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m.（5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m.表述有错误的是（）。

3、用正数和负数表示同一问题中具有相反意义的量。

①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作。

第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。

负数都小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

注意：正数和负数是表示相反意义的量。

如：南为正方向，向南km3表示为km-。

31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。

4、无理数：无限不循环小数，如π。

5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。

人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳一、知识要点1、正数和负数大于的数叫做正数。

在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

数既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。

注意：即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2.不是有理数；正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

3、数轴【重点】用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：1.在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；2.通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；3.选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

4、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b；非零数的相反数的商为-1；相反数的绝对值相等。

一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。

3、相反数的概念a和-a互为相反数。

一个数的相反数是指，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

每个数都有它自己的相反数。

4、相反数的运用在任意一个数前面添加“-”号，这个新的数就表示原数的相反数。

如果两个数a和b互为相反数，那么a+b=0；反之，如果a+b=0，则a和b互为相反数。

第一讲 有理数的基本概念【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【知识梳理】知识点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等 0的数，叫做 ；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做 ．0既不是 ，又不是 。

知识点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：注：⑴正数和零统称为 ；⑵负数和零统称为 ；⑶正整数和零统称为 ；⑷负整数和零统称为 .【例1】下列说法正确的是（ ）A ．a -一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．0-是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数【例2】（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .（2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .（3）某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .（4）向南走200-米，表示 .【例3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例4】检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5与标准质量的差（克） 4+ 7+ 3- 8- 9+最接近标准质量的是_______号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【例5】下面说法中正确的是( )．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．a -一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【例6】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？﹣4.5，6，0，2.4，π，，﹣0.313，3.14，﹣11负 数：（ …）； 非 正 数：（ …）； 正分数：（ …）； 非负有理数：（ …）【例7】（1）在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．（2）①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．一、选择题：1、下列各数中是负整数的是( )A 、2-B 、5C 、12 D 、25-2、在12，π，4，123，0，0.3-&中，表示有理数的有( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、下列各数：74-，1.010010001，833，0，π-， 2.626626662-⋯，0.12&&，其中有理数的个数是()A 、3B 、4C 、5D 、64、如果＋20%表示增加20%,那么-6%表示( )A 、增加14%B 、增加6%C 、减少6%D 、减少26%5、下列判断正确的是( )①＋a 一定不为0；②－a 一定不为0；③a ＞0；④a ＜0A 、①②B 、③④C 、①②③④D 、都不正确6、观察下列一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,则第100个数是( )A 、100B 、－100C 、101D 、－1017、在-，π，0，14，-5，0.333…六个数中,整数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、48、－0.5不属于( )A 、负数B 、分数C 、整数D 、有理数9、在下列集合中,分类正确的是( )A 、正数集合B 、非负数集合C 、分数集合D 、整数集合10、在有理数中,不存在这样的数( )A 、既是整数,又是负数B 、既不是整数,也不是负数C 、既是正数,又是负数D 、既是分数,又是负数11、在－3，－121，0，－73，2002各数中，是正数的有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个12、下列既不是正数又不是负数的是（ ）A 、－1B 、＋3C 、0.12D 、013、飞机上升－30米，实际上就是（ ）A 、上升30米B 、下降30米C 、下降－30米D 、先上升30米，再下降30米14、下列说法正确的是（ ）A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。

苏版初一上册数学第一章《有理数》第1讲有理数（解析+解析）第一部分知识梳理知识点一：正数、负数1、正数：像1、2.5、如此大于0的数叫做正数；2、负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；3、0即不是正数也不是负数，0是一个具有专门意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①、判定一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判定，要严格按照“大于0的数叫做正数；0小的数叫做负数”去识别。

②、正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。

③、所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；④、常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；知识点二：有理数整数和分数统称为有理数。

有理数的分类如下：（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：概念剖析：①、整数和分数统称为有理数，也确实是说假如一个数是有理数，则它就一定能够化成整数或分数；②、正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数③、整数和分数都能够化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数差不多上有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；知识点三：数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐步变大，因此正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

概念剖析：①、画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；②、数轴的方向不一定差不多上水平向右的，数轴的方向能够是任意的方向；③、数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；④、有理数在数轴上都能找到点与之对应，一样地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a -的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。