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课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 3+2x 2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x 3+2x 2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x 3-2x 2+1.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+-.012,00,0122323x x x x x x x 温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 3+2x; (2)f(x)=2x 4+3x 2; (3)f(x)=x 3+x 2.解析：(1)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x).即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x 4+3x 2为偶函数.（3）函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x 3+x 2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】 函数f(x),x ∈R ，若对于任意实数，a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数. 思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+3)(x -］=-x(1-3x ).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-3x ),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+.0)1(,0)1(33x x x x x x变式提升 1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=-31x； （2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-31x -=31x=-f(x). ∴f(x)=-31x是奇函数. (2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R ，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的奇偶性.解析：f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=-<---),0(1),0(0),0(1x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-),0()1(),0(0),0()1(x x x x x =-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,y ∈R,且x,y ≠0,已知函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy)=f(x)+f(y). 求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=12+++nx x m x ,试确定常数m 、n 的值. 解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴12+--nx x x +12++nx x x =0, 即x 2-nx+1=x 2+nx+1,∴2nx=0.∵x ∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.。
2.2.2 函数的奇偶性1．偶函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于任意的x∈A ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．3．奇偶性如果函数f (x )是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x )具有奇偶性． 4．奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称，图象关于y 轴对称的函数一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 的图象关于(0,0)对称． ( ) (2)偶函数的图象一定与y 轴相交．( ) (3)若对函数f (x )有f (－1)＝f (1)，则f (x )为偶函数． ( ) (4)奇函数的图象一定过(0,0)． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．若f (x )是定义在区间[a －2,5]上的奇函数，则a ＝________. －3 [易知a －2＋5＝0，∴a ＝－3.]3．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________．－10 [f (－2)＝2，∴－8a －2b －4＝2，∴8a ＋2b ＝－6，∴f (2)＝8a ＋2b －4＝－10.]【例1】 (1)若函数f (x )的图象如图，则f (x )为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝2|x |； ②f (x )＝x ＋1＋21－x； ③f (x )＝4－x 2＋x 2－4.思路点拨：(1)观察图象的对称性．(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f (x )与f (－x )的关系． (1)偶 [因为函数的图象关于y 轴对称，所以函数是偶函数．] (2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．②定义域要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ＞0，所以－1≤x ＜1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )是非奇非偶函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2－4≥0，得x ∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f (±2)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．1．判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x －2)2＋x2－x；(2)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x <－1)，0(|x |≤1)，－x ＋2(x >1).[解] (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)当x <－1时，f (x )＝x ＋2，－x >1， ∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )； 当x >1时，f (x )＝－x ＋2，－x <－1， f (－x )＝－x ＋2＝f (x )；当－1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，f (－x )＝0＝f (x )． ∴对定义域内的每个x 都有f (－x )＝f (x )，因此f (x )是偶函数.求f (x )；(2)若函数f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋3(x ∈R )是偶函数，求m 的值．思路点拨：(1)已知x <0时的解析式，用奇偶性求x >0的解析式，应通过(－x )进行过渡，但别忽视x ＝0的情况；(2)应用偶函数满足f (－x )＝f (x )．[解] (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)， ∴f (－x )＝x (1－x )． ∵f (x )为R 上的奇函数，∴－f (x )＝x (1－x )， ∴f (x )＝－x (1－x )．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，0，－x (1－x )，x <0，x ＝0，x >0.(2)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即x 2－(m －1)x ＋3＝x 2＋(m －1)x ＋3， ∴2(m －1)x ＝0.∵x ∈R ，∴m －1＝0，得m ＝1.1．(变条件)若将(1)中的“奇函数”改为“偶函数且f (0)＝0”，求f (x )． [解] 设x ∈(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)， ∴f (－x )＝－(－x )[1＋(－x )]＝x (1－x )． 又f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x (1－x )，x ∈(0，＋∞)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x <0，0，x ＝0，x (1－x )，x >0.2．(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求m 的值． [解] f (0)＝3，f (0)≠0，无解．1．本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？[提示]两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)．[提示]已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1)，∵－b≤x1<x2≤－a，∴a≤－x2<－x1≤b，由f (x )在[a ，b ]上单调递增，∴f (－x 2)<f (－x 1)， ∴f (－x 2)－f (－x 1)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在区间[－b ，－a ]上单调递增．3．从图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？[提示] 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．【例3】 已知函数f (x )是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f (a －2)＋f (3－2a )<0，试求a 的取值范围．思路点拨：可将f (a －2)＋f (3－2a )<0移项得f (a －2)<－f (3－2a )，根据奇偶性和单调性转化为研究a －2与2a －3的大小关系，注意定义域．[解] ∵f (a －2)＋f (3－2a )<0， ∴f (a －2)<－f (3－2a )．∵f (x )为奇函数，∴－f (3－2a )＝f (2a －3)， ∴f (a －2)<f (2a －3)． ∵f (x )在[0,1)上为增函数， ∴f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<3－2a <1，a －2<2a －3，解得1<a<2.1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f (x )是奇函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f (x )是偶函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．2．已知定义在[－2,2]上的函数f (x )是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f (2a －1)>f (1)的a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 [由f (x )为偶函数，得f (2a －1)＝f (|2a －1|)， 又f (x )在[0,2]上单调递增，且f (|2a －1|)>f (1)， ∴|2a －1|>1， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2a －1≤2，|2a －1|>1， ∴1<a ≤32或－12≤a <0.]1．定义域在数轴上关于原点对称是函数y ＝f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．(1)若f (x )＝0且y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.1．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝x D．y＝x3，x∈[0,1]A[A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．] 2．已知函数f(x)＝x2－2＋32－x2，则f(x)的奇偶性为________．既是奇函数又是偶函数[要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，±2，0，既关于原点对称又关于∴x＝±2，此时y＝0，因此函数图象为点()y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]3．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x<0时，f(x)＝________.－x3＋1[当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x3＋1.]4．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．[解]∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，∴f(x)在[－2,2]上都递增．由f(m)＋f(m－1)>0，∴f(m)>－f(m－1)＝f(1－m)，由f (x )的单调性知1－m <m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m <m ，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2⇒12<m ≤2，∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.。
