下载文档原格式
章节名称:第四章 级数 学时安排：12学时教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定方法。
教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念,以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定 教学重点：幂级数的研究 教学难点：幂级数收敛圆 教学手段：课堂讲授 教学过程： §1、复数项级数 1,复数列的极限：1）定义:设),2,1}({ =n n α为一复数列，其中n n n ib a +=α,又设ib a +=α为一确定的复数。
如果任意给定0>ε，相应地能找到一个正数)(εN ,使εαα<-n 在N n >时成立，那么α称为复数列),2,1}({ =n n α在∞→n 时的极限.记作αα=∞→n n lim 。
也称复数列),2,1}({ =n n α收敛于ib a +=α。
2）定理1：复数列),2,1}({ =n n α收敛于ib a +=α的充要条件是a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim2，级数的概念：1）设),2,1}({}{ =+=n ib a n n n α为一复数列，表达式++++=∑∞=n n nαααα211称为无穷级数，其最前面n 项的和n n s ααα+++= 21称为级数的部分和。
2）如果部分和数列}{n s 收敛，那么级数∑∞=1n n α称为收敛。
并且极限s s n n =∞→lim 称为级数的和；如果数列}{n s 不收敛，那么级数∑∞=1n n α称为发散。
3）定理2:级数∑∞=1n n α收敛的充要条件是级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=1n n b 都收敛。
注意：定理2将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题，而由实数项级数∑∞=1n n a 和∑∞=1n nb收敛的必要条件0lim =∞→n n a ，0lim =∞→n n b可得0lim =∞→n n α，从而推出复数项级数∑∞=1n n α收敛的必要条件是0lim =∞→n n α4)定理3：如果∑∞=1n n α收敛,那么∑∞=1n n α也收敛，且不等式≤∑∞=1n n α∑∞=1n nα成立.注意：a)如果∑∞=1n n α收敛,那么称∑∞=1n n α为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数为条件收敛。
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
精心整理页脚内容习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-132i-（（（2（（（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+....3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）z==精心整理页脚内容11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；（=（1n a z -++证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，10n a z -+++=为实系数代数方程的一个根，则也是。
