“定义”新运算
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奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,例如“+ -、x、卞、>、V”等。
表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如b=3a-3b,新运算使用的符号是☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。
值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。
、例题与方法指导例1、设ab都表示数,规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍,即a A b=4X a-3 >b, 试计算5A6,6A5。
解5A6=5X4-6 X=20-18=26A 5=6X4-5 X=24-15=9说明例1定义的△没有交换律,计算中不得将△前后的数交换。
例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3X a+2X b,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。
思路导航:先做括号内的运算。
解:(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=955^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3、已知2A3=2X3X4,4A2=4X5, 一般地,对自然数a、b,a A b表示a X (a+1) X (a+b-1).计算(6A3) - (5A2)。
思路导航:原式=6X7--5 6=336-30规定:a A =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4、已知3=1+2+3=6,求100 的值。
已知x△ 10=75,求x.思路导航:(1)原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,所以:10X+(1+2+3■…+9)=7510x+45=7510x=30x=3例5、定义运算:a© b=3a+5ab+kb,其中a, b为任意两个数,k为常数。
定义新运算新运算是一种数学运算方式,通过对数字进行特定的计算规则和操作,得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义:新运算是一种基于数字的运算方式,其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换,产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点:1. 创新性:新运算采用了全新的计算规则和操作方式,与传统的四则运算不同,具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性:新运算具有多种不同的运算规则和操作方式,可以根据需要进行选择和应用,适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性:新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展,具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛:新运算可以在各个领域和行业中应用,如科学研究、工程设计、数据分析等,能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用:1. 科学研究:新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中,可以处理大量的实验数据,分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计:新运算可以用于工程设计中的优化问题,通过对不同参数的组合和变换,找到最优解决方案。
3. 数据分析:新运算可以应用于大数据分析中,通过对庞大的数据集进行排列和组合,发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域:新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策,通过对市场数据的分析和计算,提供决策支持和风险评估。
总之,新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式,通过对数字的排列、组合和变换,产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域,在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
定义新运算知识要点基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
例题讲解模块一、直接运算型1、若*A B 表示()()3A B A B +⨯+,求5*7的值。
2、“△”是一种新运算,规定:a △b =a ×c +b ×d (其中c ,d 为常数),如5△7=5×c +7×d 。
如果1△2=5,2△3=8,那么6△1OOO 的计算结果是________。
3、对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”:6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
4、对于非零自然数a 和b ,规定符号⊗的含义是:a ⊗b =m a b 2a b⨯⨯⨯+(m 是一个确定的整数)。
如果1⊗4=2⊗3,那么3⊗4等于________。
5、[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= .6、如果规定a ※b =13×a -b ÷8,那么17※24的最后结果是______。
7、“*”表示一种运算符号,它的含义是:()()111x y xy x y A *=+++ ,已知()()11221212113A *=+=⨯++,求19981999*。
8、一般我们都认为手枪指向谁,谁好像是有危险的,下面的规则同学们能看懂吗 规定:警察小偷=警察,警察小偷=小偷. 那么:(猎人小兔)(山羊白菜)= .模块二、反解未知数型9、如果a△b表示(2)a b-⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a△5=30时, a= .10、规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .11、如果a⊙b表示32a b-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=12、对于数a、b、c、d,规定,< a、b、c、d >=2ab-c+d,已知< 1、3、5、x >=7,求x的值。
定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.如:2+3=5 2×3=6都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+,求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来:先计算A +3B 的结果,再计算A +B 的结果,最后两个结果求乘积。
由 A *B =(A +3B )×(A +B )可知: 5*7=(5+3×7)×(5+7) =(5+21)×12 = 26×12 = 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b =(a +1)÷b ,求的值。
定义新运算新运算是一种数学运算,旨在拓展数学领域的计算方法,以应用于更广泛的场景。
本文将探讨新运算的定义及其应用领域,包括数值运算、集合运算和符号运算等方面。
首先,我们从数值运算方面来定义新运算。
传统数学运算包括加法、减法、乘法和除法等,而新运算将进一步扩展这些运算符号,并引入更多的数学概念。
例如,我们可以定义一种新的运算符号,表示取余数。
在传统运算中,我们使用“%”表示取余数,而在新运算中,我们可以引入符号“|”来表示取余数。
这将使得我们在处理实际问题时更加灵活和方便。
在集合运算方面,新运算也有着独特的定义和应用。
传统的集合运算包括并集、交集和差集等,而新运算将引入更多的集合操作符号。
例如,我们可以定义一种新的符号,表示集合的对称差。
在传统集合运算中,对称差需要通过交集和差集来计算,而在新运算中,我们可以引入符号“△”来直接表示集合的对称差。
这将大大简化集合运算的复杂度。
除了数值运算和集合运算,新运算还可以应用于符号运算。
传统的符号运算包括代数运算和逻辑运算等,而新运算将引入更多的符号概念和运算规则。
例如,我们可以定义一种新的符号,表示求导操作。
在传统的符号运算中,求导需要通过极限的概念来进行计算,而在新运算中,我们可以引入符号“′”来直接表示求导操作。
这将极大地简化符号运算的复杂性,并提高计算效率。
另外,新运算还可以应用于图论、代数几何和数论等多个数学分支。
例如,在图论中,我们可以定义一种新的运算符号,表示图的连通。
在传统的图论中,判断图的连通性需要通过图的遍历算法来计算,而在新运算中,我们可以引入符号“∼”来表示图的连通性。
这将使得图论的研究更加简洁和高效。
综上所述,新运算是一种通过引入新的运算符号和运算规则来拓展数学领域的计算方法。
它可以应用于数值运算、集合运算和符号运算等多个方面,并在计算效率和简洁性上提供更好的解决方案。
虽然新运算还处于初级阶段,但随着数学的发展和需求的增加,它有望得到更广泛的应用。
每日十分钟“定义新运算”1、定义新运算:规定运算:1++-=*b a ab b a ,则4*)3(-=举一反三:(1)用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a 、b ,都有a ☆b=ab+ a 2, 则(-3)☆2 =(2)规定一种新运算:a * b =22a b b ab--,则5 *(-2)= (3)、现规定一种新运算“*”:a *b =b a ,如3*2=23=9,则(21)*3= 2、定义计算“∆”,对于两个有理数a ,b ,有a ∆b=a +b-a b ,例如:-3∆2=5,则(-2∆3) ∆0= 举一反三:(1)定义一种新运算:x*y=,如2*1==2,则(4*2)*(﹣1)= .(2)定义新运算“※”:对于任意有理数a 、b ,都有a ※b=2a 2+b.例如3※4=2×32+4=22,那么当m 为有理数时,m ※(m ※2)=(3)用“⌦”定义新运算: 对于任意的有理数a 、b , 都有 a ⌦b = b 2 +1.如7⌦4 = 42 +1 = 17. 那么 5⌦3 = ,当m 为有理数时, 则m ⌦(m ⌦2) =(4)、如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =aba b +,求2﹡(-3)﹡4的值 3、设一种运算程序是x ⊗y =a (a 为常数),如果(x +1)⊗y =a +1;x ⊗(y +1)=a -2.已知1⊗1=2,那么2012⊗2012=解:由x ⊕y=a ,(x+1)⊕y=a+1,x ⊕(y+1)=a-2,及1⊕1=2,得2⊕1=2+1=3,2⊕2=3-2=1,3⊕2=2,3⊕3=0,4⊕3=1,4⊕4=-1,5⊕4=0,5⊕5=-2,6⊕5=-1,6⊕6=-3,…∴2012⊕2012=-2009.故答案为-20094、用“«”“»”定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a «b =a ,和a »b =b ,例如:3«2=3,3»2=2,则(2012 »2011)«(2010»2009)=5、,,,a b c d 为有理数,现规定一种运算:a c b d =ad bc -,那么当2(1)x - 45=18时, x 的值是多少?6、 “!”是一种数学运算符号,1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24, 5!= ……则!98!100=继续巩固:1、把(-12)-(-13)+(-14)-(+15)+(+16)统一成加法的形式是,写成省略加号的形式是 ,读作.2、已知有理数a,b,c在数轴上的位置如下图所示,(1) 用 < ,>,= 填空: a+c 0, c-b 0, b+a 0 abc 0(2) 化简:a c c b b a++--+。
定义新运算知识要点:定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础,用某种新的符号来表示新运算。
见到这种新的运算符号所定义的运算后,就按照它所规定的“运算程序”进行运算,直到得出最后的结果。
运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算,不得随意改变运算顺序,这是最关键的一点。
运算时,有括号的先算出括号里的值,再算出括号外的值,在没有确定新定义运算具有交换律,结合律之前,不能运用运算定律解题。
运算的符号可以是※,也可以是○,□。
§。
等,符号的种类是次要的,符号定义的运算运算程序才是主要的。
例1:设a、b是两个自然数,定义a*b=2a+4b,计算4*5是多少?开心一练:1设a、b是两个自然数,定义a*b=3a+5b,计算6*3是多少?2 对于自然数,定义a*b=3a+2b,求(1)10*11(2)11*10例2:定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算(1)8*10(2)(3*4)*5开心一练:1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算(1)4*6 (2)(4*6)*52对于整数a、b,设a*b=3a+b-1,求(1)4*(3*5)(2)(4*3)*53规定a△b=3a-b,求10△(2△5)。
例3:设a*b=4a-3b,求(1)5*(3*2)(2)x*(2*x)=15,求x。
开心一练:1已知a*b=a×b+a,如果(3*x)*2=18求x。
2设a*b=5a+4b,求(1)4*(3*2)(2)已知x*(4*x)=122,求x。
例4:对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23,求3*2的值。
开心一练:1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28,求5*2的值。
2 对于整数a、b,设a*b=3a-bx,已知5*4=7,求x。
例5:设a、b都表示数,规定a♦b=3×a-2×b (1)求3♦2,2♦3。
定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、△、⊙等,这是与四则运算中的“+、-、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的。
但它在没有转化前,是不适合于各种运算定律的。
【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。
【思路导航】这题的新运算被定义为:a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此,在13*(5*4)中,就要先算小括号里的(5*4)。
练习1:1.将新运算“*”定义为:a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。
3.设a*b=3a-b×1/2,求(25*12)*(10*5)。
例2、设p、q是两个数,规定:p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)=3△【4×6-(4+6)÷2】=3△19=4×19-(3+19)÷2=76-11=65练习2:1.设p、q是两个数,规定p△q=4×q-(p+q)÷2,求5△(6△4)。
2.设p、q是两个数,规定p△q=p2+(p-q)×2。
求30△(5△3)。
3.设M、N是两个数,规定M*N=M/N+N/M,求10*20-1/4。
例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么7*4=________;210*2=________。
第一讲定义新运算一、知识梳理定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义,从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※,〇,△……与+、-、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题,必须先理解定义的含义,遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
二、方法归纳基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
三、课堂精讲【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1.规定a*b=(b+a)×b,求(2*3)*5 ?2.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。
例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14。
根据上面定义的运算,18△12等于几?例2.如果3*2=3+33=36 ;2*3=2+22+222=246 ;1*4=1+11+111+1111=1234,则4*5的值为多少?【规律方法】观察规律,得出运算的规则。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B3.如果1#5=5,2#4=4+44,3#3=3+33+333,……计算4#3的值.4.已知: 23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,……求(44)÷(33)的值。
例3.x、y是自然数,规定x▽y=4x—3y,如果5▽a=8,那么a是几?【规律方法】根据新运算列出方程,解方程。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B5.如果a△b表示(a-2)×b,例如3△4=(3-2)×4=4,那么当( a△2)△3=12时, a等于几?6.规定a⊕3=a+(a+1)+(a+2),若x⊕5=45,求x的值。
定义新运算配套习题
1. 【难度:☆】设a △2b a a b =⨯-⨯,那么,5△6=______,(5△2)△3=_____.
2. 【难度:☆】如果a △b 表示(2)a b -⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a △5=30时, a =.
3. 【难度:☆】如果
1※2=1+11
2※3=2+22+222
3※4=3+33+333+3333
计算(3※2)×5。
4. 【难度:☆】对于数,,,a b c d ,规定,,,2a b c d ab c d <>=-+.已知1,3,5,x <>=7,求x .
5. 【难度:☆☆】我们规定:符号Θ表示选择两数中较大数的运算,例如:5Θ3=3Θ5=5,
符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3,计算:(0.60.61)(0.100.101)(0.320.32)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Θ+∆-Θ的结果是多少?
6. 【难度:☆☆】有A ,B ,C ,D 四种装置,将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5;装置B ∶将输入的数除以2;装置C ∶将输入的数减去4;装置D ∶将输入的数乘以3。
这些装置可以连接,如装置A 后面连接装置B 就写成A·B ,输入1后,经过A·B ,输出3。
(1)输入9,经过A·B·C·D ,输出几?
(2)经过B·D·A·C ,输出的是100,输入的是几?
7. 【难度:☆☆】(2007年走美杯)一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为()S n ,
为偶数的那些数字的和记为()E n ,例如()134134S =+=,()1344E =.
那么()()12(100)S S S +++= ______;()(1)(2)100E E E +++ =______.
8. 【难度:☆☆】定义a b *为a 与b 之间(包含a 、b )所有与a 奇偶性相同的自然数的
平均数,例如:714=(7+9+11+13)4=10*÷,1810=(18+16+14+12+10)5=14*÷.在算术(1999)=80**的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立,那么所填的数
是多少?
9. 【难度:☆☆☆】如有a # b 新运算, a # b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的
余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#x ))=5,则x 可以是
________(x 小于50).
答案及详解
1. 56552613=⨯-⨯=△
52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△
2. 依题意,得(2)530a -⨯=,解得8a =.
3. 通过观察发现:a ※b 中的b 表示加数的个数,每个加数数位上的数字都由a 组成,都由一个数位,依次增加到b 个数位。
(5※3)×5 =(5+55+555)×5=3075
4. 根据定义,有21357x ⨯⨯-+=,解得6x =.
5. 这道题把定义新运算和我们上一讲学过的循环小数结合在一起,先根据新运算的含义比 较大小,在运用循环小数的计算得出结果,
(0.60.61)(0.100.101)(0.320.32)0.60.100.320.4∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Θ+∆-Θ=+-=
6. (1)9+5=14,14÷2=7,7-4=3,3×3=9
(2)逆推,100+4=104,104-5=99,99÷3=33,33×2=66
7. 可以换个方向考虑。
数字1在个位出现10次,在十位出现10次,在百位出现1次,共 21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次,在十位也出现10次,共20次。
所以,1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501;
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
8. 1999=(19+99)2=59*÷,所以方格中填的数一定大于80.如果填的是个奇数,那么只能是80259101⨯-=;如果填的是个偶数,那么这个数与60的平均数应该是80,所以只能是80260100⨯-=.因此所填的数可能是100和101.
9. 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚 举与筛选的方法.
第一步先把(21#x )看成一个整体y .对于21#y =5,这个式子,一方面可把21作被除数,则y 等于(21-5)=16的大于5的约数,有两个解8与16;另一方面可把21作除数,
这样满足要求的数为26,47…,即形如21N +5这样的数有无数个.但必须得考虑,这些解都是由y 所代表的式子(21#x )运算得来,而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的,也就是余数必须比被除数与除数都要小才行,因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8,与16.
第二步求:(21#x )=8与(21#x )=16.对于(21#x )=8可分别解得,把21作被除数时:x =13, 把21作除数时为:x =29,50,…形如21N +8的整数(N 是正整数). 对于(21#x )=16 ,把21作被除数无解,21作除数时同理可得:x =37,58……所有形如21N +16这样的整数.(N 是正整数). 所以符合条件的答案是13,29,37.。