小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难

一、定义新运算同学们都比较爱照像，翻开自己的像册，那一张张记忆犹新的笑脸蕴藏着多少欢乐！那么，照片是如何而来的呢？——是通过对底片的冲洗而得.对同一张底片，我们可以提出不同的要求，请照像馆的师傅根据不同的加工程序洗出1寸的、5寸的、7寸的等等各种大小的照片，也可以用彩色底片洗出彩色的或黑白的照片，甚至于给蓝天加上几朵白云，给暮日添上几笔晚霞.这样，对于同一张底片，我们可以通过不同的加工程序，得到不同效果的照片。

对于同学们极为熟悉的数以及加减乘除四则运算，仔细思考一下，不也是把相同的原料，通过不同的加工得到不同的结果吗？加、减、乘、除四种运算就是我们已经规定了的四种不同的加工程序。

例如：其中，“+”“-”“×”“÷”分别代表加、减、乘、除四种运算，并且对于这四种运算，还定义了它们所满足的各种运算律。

那么，除了以上四种运算，我们是否还可以规定其他新的加工程序（新运算）呢？这个新运算，那么对于数a、b，有：下面，我们通过具体的例子进一步熟悉“定义新运算”是怎么一回事。

（1）计算1996*1998，1998*1996；（2）计算1997*7*1，1997*（7*1）；（3）运算“*”有交换律吗？（4）运算“*”有结合律吗？解（1）直接根据运算“*”的定义，代入具体数值，进行计算：（2）（3）虽然由（1），对于1996和1998，有：1996*1998=1998*1996但要说明“*”有交换律，需要证明对任何数a、b，都有a*b=b*a.对于任意两个数a、b，所以a*b=b*a。

所以“*”有交换律。

（4）由（2），（1997*7）*1≠1997*（7*1）所以“*”不满足结合律。

（1）说明，运算“∧”具有结合律，即：（a∧b）∧c = a∧（b∧c）（2）计算，2∧4∧8∧16∧16，（3）计算，16∧2∧8∧16∧4。

解（1）因为：所以（a∧b）∧c = a∧（b∧c）。

故此，运算“∧”满足结合律.（2）2∧4∧8∧16∧16=2∧4∧8∧（16∧16）（利用结合律）=2∧4∧8∧8=2∧4∧（8∧8）=2∧4∧4=2∧（4∧4）=2∧2=1（3）容易说明“∧”具有交换律，所以16∧2∧8∧16∧4=16∧16∧2∧8∧4（利用交换律和结合律）=16∧16∧8∧2∧4=16∧16∧8∧4∧2=1其中，第一步详细过程如下：16∧2∧8∧16∧4=（16∧2∧8）∧16∧4（结合律）=16∧（16∧2∧8）∧4（交换律）=16∧16∧2∧8∧4（结合律）其余各步类同。

定义新运算月日姓名成绩【知识要点】1．定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义，它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，如：“＋、－、×、÷”。

例如a※b=3a－3b，新运算使用的符号是※而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

2．解题关键：要抓住定义的本质，根据规定的新运算与我们学过的四则运算的关系式，将新运算转化我们熟知的四则运算，再进行四则运算就能得出运算的结果。

【典型例题】例１．规定a△b=3×a－2×b，求3△4，4△3。

例2．如果规定a○+b=2×a＋a×b，那么1○+2○+3的值为多少？1○+(2○+3)呢?例3．如果定义：A○＋B=A×B－2，A⊙B=A÷B，求（4○＋3）⊙5的值。

例4．如果2*3=2+3+4，5*4=5+6+7+8，按此规律计算：3*5；5*3?例5．有一个运算符号⊗，使A ，B （A ，B 表示两个数）满足定义A ⊗B=A ×B-b,2⊗3=4，试按此规律计算（3⊗5）+（7⊗9）例6．规定a*b=a ÷b ×2+4，如果已知20*b=12，求b 的值。

随堂小测 月 日 姓 名 成 绩1．若a,b 表示两个数，规定a ★b 表示a 的4倍减去b 的3倍，求7★（3★2）2．已知2*3234,5*45678=++=+++，求6*5+5*6。

3．已知1*3123,6*5678910=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，计算：2*33*2-4. 有两个数是A、B，A△B表A与B的平均数。

（1）求100△20= （2）已知A△6=17，求A。

5.M，N是两个数，M*N=Mx-N÷2，2*4=6计算（6*4）-（4*6）；（7*8）×（3*2）6.对于整数a、b规定运算“*”：*=⨯--+，又知（2*x）*2=0，则x= 。

1a b a b a b【拓展练习】1．小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8=8，9×9×9=59×3=3，（93＋8）×7=837教师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、－、×、÷、（）、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。

定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=263△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。

2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。

求30△（5△3）。

3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。

课题定义新运算年级4年级授课对象编写人时间学习目标运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊的算式。

学习重点、难点正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

教学过程T （测试）1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。

试计算3○4。

2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。

试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。

已知A▽6=17，求A。

S （归纳）我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。

都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。

由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。

对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。

通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

E （典例）例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。

试计算：（1）5△6；（2）6△5。

分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。

这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。

（1）5△6=5×3－6×2=3（2）6△5=6×3－5×2=8显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。

例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。

分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。

6⊕2=6×2＋6＋2=20例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。

分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。

第___讲巧解定义新运算方法与技巧:（1）定义新运算是指用新的符号所定义的运算。

解题时需要按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。

（2）运算符号所表示的运算并不一是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按照题中规定进行运算。

例1:设a,b表示整数（不包括0），规定“*”的运算如下，并请求出169 * 13.a *b = a ÷ b × 2 + 3 × a - b做一做1: 对于正整数a,b，规定“*”的运算如下：a * b = 3 × a + 2 × b – 2求：（1）10 * 20 （2）20 * 10例2:用｛a｝表示a的小数部分，［a］表示不超过a的最大整数，例如｛0.3｝=0.3, ［0.3］=0,［4.5］=4。

记做一做 2: 如果规定 =a × d – b × c,那么例3:对于整数a,b，规定“*”的运算如下：a * b= a × b – a – b + 1,已知（2 * a）* 2=0，求a.做一做 3: a * b表示a的3倍减去b的2倍，即a * b= 3 a - 2 b(1)计算（5 * 4）* 3；（2）已知x *（4 * x）=11,求x例4:“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3=2+3+4,7◎2=7+8；3◎5=3+4+5+6+7;…按此规则，如果n◎8=68，那么，n是多少？做一做 4:规定：6 * 2 = 6 + 66 = 72 2 * 3 = 2 + 22 + 222 = 2461 * 4 = 1 + 11 + 111 +1111 = 1234按此规则，如果x * 5 = 86415，那么x是多少？例5：设“*”的运算规则如下：对任意整数a,b，若a + b≥10，则a * b = 2a + b – 1;若a + b〈10，则a * b = 2ab。

六年级数学培优专题-定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。

它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。

表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。

如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导例1. 设 ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b，试计算5△6，6△5。

解5△6-5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2. 对于两个数a、b，规定a☆b表示3×a+2×b，试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。

思路导航:先做括号内的运算。

解（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79说明本题定义的运算不满足结合律。

这是与常规的运算有区别的。

例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）。

思路导航:原式=6×7--5×6=336-30规定:a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1），其中a，b表示自然数。

定义新运算的解题诀窍
（原创版）
目录
1.新运算的定义和特点
2.解决新运算问题的常用方法
3.具体例题解析
4.总结和建议
正文
一、新运算的定义和特点
新运算是指在数学中，对已知的四则运算（加、减、乘、除）之外的运算。

新运算通常具有特定的定义和运算规则，这使得它们在某些问题中具有独特的优势。

新运算的特点在于它们的创新性和实用性，可以帮助我们更好地理解和解决某些实际问题。

二、解决新运算问题的常用方法
解决新运算问题的方法有很多，以下是一些常用的方法：
1.类比法：通过将新运算与已知的四则运算进行类比，从而理解新运算的运算规则和性质。

2.举例法：通过具体的例子来理解新运算的运算过程和结果，从而找到解决问题的思路。

3.画图法：对于一些复杂的新运算问题，可以通过画图来辅助理解问题，从而找到解决方法。

4.逻辑推理法：通过逻辑推理来证明新运算的正确性或错误性，从而确定问题的解决方案。

三、具体例题解析
例如，有一个新运算“⊕”，定义为：a ⊕ b = a^2 - b^2。

现在有一个问题：求解 3 ⊕ 4 的结果。

我们可以采用以下方法来解决这个问题：
1.根据新运算的定义，将 3 ⊕ 4 转换为数学表达式：3^2 - 4^2。

2.计算表达式的结果：9 - 16 = -7。

3.得出结论：3 ⊕ 4 = -7。

通过以上步骤，我们成功地解决了这个新运算问题。

四、总结和建议
解决新运算问题需要我们具备一定的创新思维和实际操作能力。

在解决这类问题时，我们应该充分利用已知的数学知识，结合新运算的特点，采用适当的方法来解决问题。

定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

定义新运算一、知识要点用新运算符号定义一些别的运算，就是定义新运算。

如用◎表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b＝a×b－(a＋b).这种新运算的意义就是：a◎b是两个数的积减去两个数的和所得到的差。

这就是定义新运算问题。

解决这类问题的关键是理解新运算符号所表示的意义，严格按照规定的计算法则带入计算，已知的数代入，转化为加减乘除的运算，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算。

二、例题精讲【例1】规定a★b＝5a－3b,其中a,b是自然数。

（1）求5★2的值（2）求（3★2）★4的值（3）求（3★2）★（4★3）的值练习1：设a,b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b.（1）求3△2，2△3 （2）这个运算“△”有交换律吗？（3）求（17△6）△2，17△（6△2）。

（4）这个运算“△”有结合律吗？【例2】如果任意两个整数a、b，定义两种运算“△”“▽”：a△b＝a＋b－1, a▽b＝a×b－1，计算4▽（6△8）练习2：如果任意两个整数A、B，定义两种运算“☆”、“★”：A☆B＝2A＋B－2, A★B＝A×3B－A÷B，计算8☆（9★3）【例3】如果2﹡3＝2×3×4,1﹡5＝1×2×3×4×5，计算4﹡（1﹡3）。

思路点拨：先观察，找出规律，然后再计算。

练习3：如果2﹡3＝2＋3＋4,3﹡6＝3＋4＋5＋6＋7＋8，计算19﹡5。

【例4】规定□的运算法则如下，对于任何整数a、b，有：①当a＋b≥10时，a□b＝2×a ＋b－1；②当a＋b＜10时，a□b＝2×a×b；求（1□2）＋（2□3）＋（3＋4）＋（4＋5）＋（5＋6）＋（6＋7）的值？练习4：规定符号“↑(a,b)”表示两个数的和除以两个数的差，例如↑(4,2)＝(4＋2)÷(4－2)＝3；规定符号“↓(a,b)”表示两个数的和乘以两个数的差，例如↓(4,2)＝(4＋2)×(4－2)＝12；那么[↑(12,6)＋↓(12,6)]结果是多少？【例5】规定a△b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋(a＋3)＋…＋(a＋b－1)，其中a,b表示自然数。

奥数：定义新运算1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、▴、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

例题1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

变式训练1.假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。

求 8 ★ 4变式训练2.如果a◎b=a×b-(a+b)。

求6◎（9◎2）例题2、A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，求(1)(3△17) △28 (2)[(1△9) △11] △6。

变式训练1、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：（1）8▽5 (2)(4▽6) ▽7例题3、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

变式训练1.规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5；200*3例题4、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。

用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。

对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。

求下列结果1、羊△狼☆羊2、羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）课堂作业1、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：（1）5 ☆6 （2）6☆8（3）2☆（3☆6）（4）（2☆8）☆102、设m，n都表示自然数，规定m#n=2m+3n，计算4#3，2#20.3、假设a ★ b = ( a + b )÷（a-b）。

教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△ 、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2 和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×，”“÷运”算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例1】若 A* B 表示A 3B A B ，求 5*7 的值。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算【解析】A* B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【答案】 312巩固】定义新运算为 a △b ＝（ a ＋ 1） ÷b ，求的值。

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

6△（3△4） 例题精讲知识点拨教学目标定义新运算【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q+，求3*(6*8)【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。

定义新运算【知识简析】我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。

都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。

由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。

对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。

通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

【精讲精练】{例题1}设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。

试计算：（1）5△6；（2）6△5。

（1）5△6=5×3-6×2=15-12=3（2）6△5=6×3-5×2=18-10=8分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。

这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。

{练习}1.设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。

试计算3○4。

2.设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。

试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）3.有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。

已知A▽6=17，求A。

6⊕2=6×2+6+2=12+6+2=20分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。

{练习}1.对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。

计算3⊕5。

2.对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。

试算6☆4。

3.对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。

如果5⊕x=29，求x。

{例题3}如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。

3△5=3+4+5+6+7=25分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。

定义新运算的解题诀窍摘要：一、引言二、新运算的定义及特点1.新运算的定义2.新运算的特点三、解题诀窍1.分析题目，理解新运算规则2.确定运算顺序3.举例说明新运算的计算过程4.总结解题步骤四、新运算在实际问题中的应用1.实际问题中的新运算案例2.新运算在解决问题中的优势五、结论正文：新运算在数学领域中是一个比较新的概念，很多同学在接触到新运算题目时可能会感到困惑。

其实，只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。

本文将为大家介绍新运算的定义以及解题诀窍。

首先，我们需要了解新运算的定义和特点。

新运算是指在原有四则运算的基础上，通过特定的符号、规则或方法进行拓展，形成的一种新的运算方式。

新运算的特点包括运算规则的复杂性、运算过程的特殊性等。

在解决新运算题目时，有三个诀窍可以帮助我们迅速找到解题思路。

第一，分析题目，理解新运算规则。

在解决新运算题目时，首先要认真阅读题目，理解题目所给出的新运算规则，明确运算的顺序和法则。

第二，确定运算顺序。

根据题目所给的新运算规则，确定各个运算步骤的顺序，遵循先乘除后加减的原则进行计算。

第三，举例说明新运算的计算过程。

通过具体的计算例子，加深对新运算过程的理解，总结出解题的一般步骤。

在实际问题中，新运算也有着广泛的应用。

例如，在计算机科学、密码学、经济学等领域，新运算被用来解决一些复杂数学问题。

通过新运算，我们可以更方便地解决实际问题，提高解决问题的效率。

总之，新运算是一种具有挑战性的数学概念，但只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。

_新定义运算计算技巧新定义运算解题技巧我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

一、定义1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、?、Δ、、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

二、初步例题诠释例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a ×b-a-b 。

求12*4的值。

分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。

求8 ★ 5 。

分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。

这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a 代表数字8，b 代表数字5。

8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。

求6◎（9◎2）。

分析与解：根据定义，要先算括号里面的。

这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

定义新运算姓名分数加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉．除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其它运算，并给出特定的运算规则，这样的运算形式我们一般称之为定义新运算．它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙等，这与四则运算中的“+、-、×、÷”表示的意义是不同的，其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同，解题的关键是通过表达式寻找到运算规则．一、假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5 和13*（5*4）。

解析：这道题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算规定了要先算“小括号”里的。

因此，在 13* （5*4）中，就要先算小括号里的5*4。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=2 65*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13 +10）+（13-10）=26举一反三（15 分）1.设a*b=(a+b)×(a-b),求27*9.解：27*9=（27+9）×（27-9）=36×18=648．2. 设 a*b=a2+2b, 求 10*6 和5*（2*8）。

解：（1）10*6 =102+6×2 =100+12 =112；（2）5*（2*8）=5*（22+8×2） =5*（4+16） =5*20 =52+20×2 =25+40 =65．13.设a*b=3a-b ×2 ，求（25*12）*(10*5).解：（25*12）*（10*5） =（25×3-12× ）*（10×3-5× ） =（75-6）*（30-2.5） =69*27.5=69×3-27.5× =207-13.75 =193.25．二、 设 p 、 q 是两个数,规定:.求.解:因为 ,所以:所以:.举一反三（15 分）1.设 p、 q 是两个,规定 :数30△（5△3）＝30△［52 +（5－3）×2 ］.求5△(6△4).解:因为,所以:所以:2.设 p、q 是两个数，规定p△q＝p 2+（p－q）×2。

第23讲 定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

【例1】★若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【小试牛刀】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【例2】★★P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) 【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++==== 【小试牛刀】已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么 典型例题知识梳理[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=【例3】★★规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。

那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。