专题9：几何三大变换之对称探讨

几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。

对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。

几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。

下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。

一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。

平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。

例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。

当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。

二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。

旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。

当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。

例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。

无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。

三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。

翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。

当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。

例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。

当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。

四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。

尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。

当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。

例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。

无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。

综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。

平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。

初中学习资料整理总结专题9：几何三大变换之轴对称探讨一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

故可得选项A与其他图形的对称性不同。

故选A。

例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。

故选C。

例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。

几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。

本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。

一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。

1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。

平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。

2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。

旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。

3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。

图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。

这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。

二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。

对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。

直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。

2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。

平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。

3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。

点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。

对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。

三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。

以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。

例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。

2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。

初中三⼤⼏何变换---对称对称，我们熟知的三⼤⼏何变换之⼀，⼏何题中往往都有它的⾝影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．我们将从基本性质说起，到⼀些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．本⽂从性质说起：关于对称的性质，⼤概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应⾓相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．01对应⾓相等由对称得到的对应⾓相等尤其适合⽤在求⾓度的问题中，练习参考以下1-3题：2019江西中考2019邵阳中考2018兰州中考对称的图形中可能会有特殊⾓，⽽此时特殊⾓带来的不仅仅是其本⾝，也可能会连带其他⾓也变成特殊⾓．4、5有关30°特殊⾓，6、7有关60°特殊⾓．2018毕节中考2019辽阳中考2019潍坊中考2018遵义中考2019黄冈中考02对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会⽤到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题⽬分类值得商榷，但此处只需强调⼀点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．2019朝阳中考2018威海中考2019杭州中考03对称点连线被对称轴垂直平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直⾓三⾓形，或可得三垂直全等或相似，或可⽤三⾓函数，但终可求线段长．2018襄阳中考2018青海中考2019淮安中考2017资阳中考2019重庆中考【⼩结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直⾓三⾓形．知识点都熟，但也要了解与问题的搭配，⽅能有的放⽮．。

解析几何中关于对称问题的一点探讨解析几何是一门数学分支学科，它是采用数学方法分析和研究中一些基本问题，而其中最重要的一个问题就是对称。

“对称”是一种形式上存在的均衡性现象，也是一种特殊的逻辑性现象，在多种自然界的现象中都能看到类似的现象，而且它也是解析几何中重要的一个概念。

在解析几何学中，“对称”这一概念可以说是最重要的概念之一，它可以被用来描述一个几何体所具有的某些特质。

关于对称的定义可以有多种，一般来说，它指的是一个几何体中的一些特性，比如说它的面积、边角度、关系等，只要有些特性在指定的空间范围内展示出的一种对称性，就可以说它是一个对称的几何体或图形。

而且，对称也可以指特定空间体系中的一种两元关系，比如在二维空间中，两个相邻的点可以构成一条直线，使得这条直线上任意两个点实际上都是对称的。

在解析几何学中，对称有多种不同的类型。

比如说，水平对称，即X轴对称；垂直对称，即Y轴对称；中心对称，即坐标原点对称；曲线对称，即沿着一条曲线进行对称；旋转对称，即沿着某条轴线旋转对称。

此外，还有轴对称、型对称以及投影对称等等。

在解析几何学中，对称可以被用来描述一个几何体所具有的特质，也可以被用来求解一些问题，比如在解决投影问题中，可以利用投影对称的性质来求解测量问题。

同时，对称也可以被运用来求解满足一定条件下的几何体的体积问题。

例如，如果几何体是一个对称的球体，则可以应用关于对称的概念，从而求出球体的体积；而如果几何体是一个对称的六面体，则可以利用关于六面体的对称特性，来求出它的体积。

在解析几何学中，可以将对称分为几种层次来进行分析，其中最基本的就是“轴对称”，即一个几何体可以被沿着一个轴线或轴向旋转，使其在同一个象限或不同象限以达到一定的对称效果。

而在表面上的对称关系则被称为“型对称”，即一个几何体可以被沿着一个由两个点确定的轴对称地变换，以使其同一部分的形状平行地移动或旋转，而全体的形状不发生变化的状态称为“型对称”状态。

几何变换的对称与旋转几何变换是对图形进行改变的一种方法，其中对称和旋转是两种常见的变换方式。

在这篇文章中，我们将探讨几何变换中的对称和旋转，并深入了解它们的定义、性质以及在实际生活中的应用。

一、对称变换对称变换是指将一个图形进行镜像翻转的操作。

具体来说，对称变换将图形中的每个点关于某一条直线、平面或中心点翻转，使得原图形与翻转后的图形完全重合。

对称变换有以下几个重要的性质：1. 线对称：当图形的每个点关于某一条直线进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

2. 平面对称：当图形的每个点关于某一平面进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

对称变换在生活中广泛应用，例如在建筑设计中，对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性。

另外，在艺术和设计领域，对称变换也经常被运用于图案设计和装饰。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕某一中心点进行旋转的操作。

旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，具体角度可以是任意值。

通过旋转变换，图形将保持形状不变，但位置及方向发生改变。

旋转变换有以下几个重要的性质：1. 中心旋转：旋转变换是以一个中心点为基准进行的，图形中的每个点都绕着该中心点进行旋转。

2. 旋转角度：通过改变旋转的角度，可以实现不同程度的旋转变换，包括90度、180度、270度以及任意角度。

旋转变换在科学研究和实践中具有广泛的应用。

例如，在地图制作中，通过旋转变换可以将地图上的各个实际位置与相对方向准确展示出来。

此外，在计算机图形学中，旋转变换也是三维模型呈现和动画效果实现的重要手段之一。

三、对称与旋转的联系和区别对称变换与旋转变换在几何变换中有着密切的关系，同时也存在一些区别。

对称变换是将图形镜像翻转，通过直线或平面来实现；而旋转变换是围绕中心点进行旋转，改变图形的位置和方向。

对称变换保持图形的形状不变，只是改变了位置；而旋转变换保持图形的形状和位置不变，只是改变了方向。

四、几何变换的实际应用几何变换在现实生活中有着广泛的应用，以下是部分例子：1. 建筑设计：对称变换可以帮助设计师创造对称美感的建筑结构，旋转变换可以实现建筑物在不同角度的呈现。

【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

空间几何的对称和对称变换在日常生活中，我们经常会看到对称的事物，比如水滴、翅膀、建筑物等等，这些都是空间几何中的对称形状。

在空间几何中，对称是一个很重要的性质，它反映了我们周围的世界的一种特殊关系。

本文将从对称的概念、性质和对称变换三个方面进行探讨。

一、对称的概念对称是一种几何性质，它涉及到形状、大小、位置等多个方面。

在空间几何中，对称的定义比较明确：一个平面图形或立体图形，如果存在对称轴或对称中心，就称为对称图形。

对称轴是一个直线，可以把平面图形或立体图形对称成自身。

如果存在一个平面分割图形使得两个部分互相重合，就称这个平面为对称轴。

对称中心是一个点，可以把平面图形对称成自身。

如果存在一个点，可以过这个点作任意一条直线，这条直线分割出的部分互相相等，就称这个点为对称中心。

二、对称的性质对称具有一些重要的性质，有助于人们更好地理解和利用对称。

1. 对称性质是普遍存在的无论是自然界中的生物体，还是人类自己的建筑艺术和日用品等，都展现出对称性质。

人类在设计和创造事物时，经常会利用对称来达到美学和实用的双重效果。

2. 对称性质可以变形尽管对称图形本身不能与自身相似，但对称图形在经过一些变形后仍然具有对称性质。

比如把正方形沿对角线旋转45度，即可变成另一个正方形，尽管它不是与原正方形相似，但仍然具有对称性质。

3. 对称性质与角度、长度和面积无关对称性质不受角度、长度和面积的限制，在变形的过程中，对称性质是不会发生改变的。

比如从平面矩形变成平面正方形，虽然面积有所变化，但对称性质并未改变。

三、对称变换对称变换是指把图形按照对称性质进行变换，使得变换前后的图形是相同的。

对称变换可以分为三类：1. 翻转翻转是指将一个平面图形或立体图形沿对称轴翻转180度，得到一个与原图形相同但方向相反的镜像图形。

在平面几何中，翻转有两种情形：水平翻转和竖直翻转。

2. 平移平移是指将一个平面图形或立体图形沿直线平移一定的距离，仍得到一个与原图形相同但位置不同的图形。

几何变换与对称性的教学技巧几何变换和对称性是数学中重要的概念，也是学生们在初等数学学习中常常遇到的内容。

如何巧妙地教授几何变换和对称性，引发学生的兴趣和理解力，是每位数学教师共同面临的问题。

本文将探讨几何变换与对称性的教学技巧，以供教师们参考和借鉴。

一、简明清晰的定义和解释在教学几何变换和对称性时，首先需要给学生一个简明清晰的定义和解释。

对于几何变换，可以简单地解释为将一个图形通过平移、旋转、翻转等操作，得到一个新的图形。

对于对称性，可以解释为图形中的一部分能够沿着某条轴线进行镜像，使得整个图形具有对称性。

通过简明清晰的定义和解释，学生可以更好地理解几何变换和对称性的概念。

二、利用图形演示和实物模型为了让学生更加直观地理解几何变换和对称性，教师可以利用图形演示和实物模型的方式进行教学。

通过使用计算机软件或几何工具，展示不同类型的图形变换操作，如平移、旋转和翻转等，让学生看到图形在变换过程中的变化。

此外，教师还可以准备一些小型的实物模型，让学生自己进行图形变换操作，通过亲身实践，增强学生对几何变换和对称性的理解。

三、提供足够的例题和练习为了让学生熟练掌握几何变换和对称性的运用，教师需要提供足够的例题和练习。

例题可以是一些简单易懂的图形变换和对称性的问题，引导学生进行思考和解答。

而练习题则可以涵盖不同难度和类型的几何变换和对称性题目，让学生在不断练习中掌握这些知识和技巧。

同时，教师可以设计一些拓展性的练习题，培养学生的思维和创新能力。

四、引导讨论与合作学习在教学几何变换和对称性的过程中，教师可以引导学生进行讨论和合作学习。

通过设置问题和情境，让学生进行小组讨论和合作解决问题，可以增加学生的参与度和学习效果。

通过讨论和合作学习，学生可以相互交流和分享各自的思考过程和解决方法，提高彼此的理解和思维能力。

五、结合实际应用和趣味性为了增强学生对几何变换和对称性的学习兴趣，教师可以将其与实际应用和趣味性相结合。

几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。

几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。

在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。

例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。

二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。

在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。

例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。

三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。

在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。

例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。

在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。

例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。

对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。

在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。

点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。

例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。

轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。