数学：1.5《定积分的概念》PPT课件(新人教A版-选修2-2)

i－1 i 在小区间 上任取一点 ξi(i＝1,2， …， n)为了计算方便， ， n n
取 ξi 为小区间的左端点，用以点 ξi 的坐标
i－1i－1 f(ξi)＝ － 1 n 为 n
1 其一边，以小区间长度 Δx＝n为邻边的小矩形面积近似代替第 i
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第一章
1.5
1.5.1、
高考调研
新课标A版 · 数学 · 选 修2-2
【解析】
(1)分割，将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形：
n－1 1 1 2 0， ， 用分点n， ， … ， 把区间 [0,1] 等分成 n 个小区间： n n n i－1 i n－1 n 1 2 ， ，…， ， … ， ， ， . n n n n n n i－1 i 简写作 (i＝1,2，…，n)． ， n n
要点 1 连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间Ⅰ上的图像是一条连续不断的 曲线，那么就把它称为区间Ⅰ上的连续函数．
第7页
第一章
1.5
1.5.1、
高考调研
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要点 2 曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线
y＝f(x)
1．5 定积分的概念
第4页
第一章
导数及其应用
高考调研
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1．5.1 1.5.2曲边Leabharlann 形的面积 汽车行驶的路程第5页
第一章
导数及其应用
高考调研
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课 时 学 案
课 后 巩 固
课 时 作 业

[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点
b
(1)当 f(x)≥0 时，af(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与 曲线 y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算af(x)dx 时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边 梯形的三条直边 x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从
而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S
而得到定积分的值：
b
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx＝S；当 f(x)<0 时，af(x)dx＝－S.
2．定积分的性质
b
(1)akf(x)dx＝
b
k a
f(x)dx(k 为常数)．
b
b
b
(2)a[f1(x)± f2(x)]dx＝
②
(2x2－x＋1)dx＝
2x2dx－
xdx＋
1dx，
0
0
0
0
因为已知0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，
又由定积分的几何意义知：
e

1dx
等于直线
x＝0，x＝e，y＝0，y＝1
所围成的图形的
0
e
面积，所以01dx＝1×e＝e， 故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.
0
即02xdx＝12×22＝2.
2
2
∴原式＝ 4－x－22dx－ xdx＝π－2.
0
0
当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何 意义求定积分，但要注意定积分的符号．
[活学活用]
3
计算 ( 9－x2－x3)dx的值． －3

牛刀小试
1 ．求由曲线 y ＝ ex ，直线 x ＝ 2 ， y ＝ 1 围成的图形的面积
时，若选择x为积分变量，则积分区间为( A．[0，e2] B．[0,2] )
C．[1,2]
[答案] B
[解析]
x y＝e 解方程组 y＝1
D．[0,1]
x＝0 ，可得 y＝1
，
所以积分区间为[0,2]，故应选B.
么定积分
b a
曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积． _____________
3．定积分的性质
a
b k f(x)dx b a ① kf ( x )d x ＝ __________________( k为常数)；
b f1(x)dx± f2(x)dx b a ② [ f f ； 1(x)± 2(x)]dx＝________________ b a
π π
5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
1 1 2 (1) xdx________________ x dx(图1)；
0 0
1 2 (2) xdx________________ xdx(图2)；
0 1
2 2 2 (3) 4 － x d x ________________ 2dx(图3)．
0 0
[答案] (1)> (2)< (3)<
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和

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第一章
§1.5
1.5.1
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
(1)分割：如图，将区间[a，b]任意分割成n个小区间， 其分点记为x1，x2，„，xn－1.令x0＝a，xn＝b，即a＝ x0<x1<x2<x3<„<xn＝b.每个小区间记为[xi－1，xi]，i＝ 1,2,3，„，n. (2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi(xi－
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§1.5
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1.(1)曲边梯形 答 案 (2)小曲边梯形 矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 (3)分割 近似代替 求和 取极限 2.分割 近似代替 求和 取极限
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§1.5
1.5.1
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(3)求和：在整个区间[a，b]上变力F所做的功就近似地 表示为W≈ f(ξi)Δxi.
i＝1 n n
(4)取极限：W＝lim f(ξi)· Δxi.
n→∞i＝1
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§1.5
1.5.1
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变式训练2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 6 的速度v(t)＝ 2 ，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路 t 程．
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§1.5
1.5.1
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答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a

(2)求曲边梯形面积的方法和步骤： ①分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：
n－1 1 1 2 0， ， ， ， „， 记第 ，1， n n n n
i
i－1 i 个区间为 „， ，n(i＝1,2， n
(3)求和：sn＝ Δsi
i＝1
n
i－1 t ＝ g· n ·n t· i＝1 gt2 ＝ n2 [0＋1＋2＋…＋(n－1)] 1 1 2 ＝ gt 1－n. 2 (4)取极限：s＝ 1 1 2 1 2 lim 2gt 1－n＝2gt . n→∞
n
求变速直线运动的路程问题，方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和步骤类似于求曲
ΔSi， 即在局部小范围内“以直代曲”， 则有
i－1 ΔSi≈ΔS′i＝f n Δx.
③求和 各个小矩形的面积求和， 图②中阴影部分的面积 Sn 为 Sn＝ ΔS′i
i＝1 n i－1 n
＝ f
i＝1
n
Δx，从而得到
曲边梯形的面积 S≈Sn.
④取极限 如图③所示，可以看到，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时， Sn 趋向于 S，从而有 S＝ .

n
＝1＋
1 1 1 lim 31－n1－2n n→∞
1 4 ＝1＋ ＝ . 3 3 4 所以所求的曲边梯形的面积为3.
分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四 个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→
i－1 it 在 „， 可取 ξi 使 t，n上任取一时刻 ξi(i＝1,2， n)， n

������ =1
1 ������
������ ������
, ,…,
������-1 ������ ������
,
������
,…,
������-1 ������
,1 ,
������
������
∑ f(ξ i)Δx= ∑
������
n
1 ������ 2 1 = 3 ∑ i +2= ������ ������=1 6 1
做一做
在区间[a ,b]上的函数 f(x)<0,如图,若阴影部分面积为 S,则 ������ f(x)d x= . ������
解析 :∵f(x)<0,∴-f(x)>0,根据图象的对称性,有 ������ ������ ������ S= ������ [-f(x)]d x=- ������ f(x)d x.∴ ������ f(x)d x=-S. 答案 :-S
1 ������
Δ������→0������=1
1
������ →∞ 6
2+
1
������
+ 2 = +2= .
3 3
1
7
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探究二利用定积分的几何意义求定积分
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3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������

)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边

(1)当
f(x)是偶函数时，a-
f(x)dx＝
a
20af(x)dx；
(2)当 f(x)是奇函数时，-aa f(x)dx＝0.
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名师解题
利用定积分的几何意义巧求面积
例4 善于思考的小王发现：半径为a，圆心在原点的
圆,如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩
到原来的b倍，就得到一种新的图形——椭圆．他受祖冲
令 y＝ 1－x－12≥0， 则 (x－ 1)2＋ y2＝ 1(0≤ x≤ 1， y≥ 0)，
由定积分几何意义知 S1＝01 1－ x－12dx
＝1π·12＝π.
4
4
对于
S2＝01 xdx， 由其几何意义知
S2＝12×
1×
1＝1， 2
故01[ 1－ x－12－x]dx＝S1－S2＝π4－12.
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi
－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个
n
小区间 [xi－1， xi ]上任取一点
ξi(i＝
1,
2，…，
n)，作和
式∑ i＝1
f(ξi)Δx＝___∑ i_＝n_1_b_－_n_a_f_(_ξ_i)____，当 n→∞时，上述和式无 限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上 的 __定__积__分___，
令 g＝ a2－x2(0≤x≤a)， 得 x2＋g2＝a2(0≤x≤a，g≥0)，
依题意，得a 0
a2 － x2dx＝ πa2， 4
∴ S1＝ba0a
a2－x2 dx＝b·πa2＝πab. a4 4

1x2dx
0
(1x3) 3
1 0

1 3
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
a
f (x规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当

i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du