2017-2018学年福建省莆田市第九中学高二数学上期中考试(理)试题(含答案)

2017-2018学年（上）期中考试卷高二数学（文）一、选择题1．命题p：“∃x 0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为（）A. ∀x∈R，x2﹣1≤0B. ∀x∈R，x2﹣1＞0C. ∃x0∈R，x02﹣1＞0D. ∃x0∈R，x02﹣1＜02．命题“若a b，则a1b”的逆否命题是（）.A. 若a1b，则a bB. 若a1b，则a bC. 若a1b，则a bD. 若a1b，则a b3．设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件4．命题的值不超过，命题是无理数，则（）．A. 命题“”是假命题B. 命题“”是假命题C. 命题“”是假命题D. 命题“”是真命题5．在等比数列中，已知，则（）a58a a aa 7a an1291011A.10B.50C.25D.756．已知，则的最小值为（）A. B. C. D.x2x67．不等式的解集为（）x1A. x|x2或x1B. x|x2或1x3C. x|2x1或x3D. x|2x1或1x38．在ABC中，23,22,，则等于（）a b B A452A. B. C. 或 D. 或636633- 1 -9．若等差数列的前项和 满足 ， ，则 （ ）anS 4 4 S 6 12SSnn2A.1B. 0C. 1D. 310．在ABC 中，角 A , B ,C 对边分别为 a ,b ,c ， A 60 ,b1这个三角形的面积为 3 ，则a（ ） A. 2B. 10C. 2 3D. 13x 0,11．已知 x , y 满足（ k 为常数），若 zx 2y 最大值为3，则 k =(){ y x , x y k .A. 1B. 2C. 3D. 412．若对任意的 x∈[﹣1，2]，都有 x 2﹣2x+a≤0（a 为常数），则 a 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣3] B ．（﹣∞，0]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]二、填空题13．不等式 的解集为______．14．已知点 满足 ，则 的最大值为__________．15.若不等式 ax 2bx 2 0 的解集为 ( 2 1) ，则 a+b=__________．，416．下表给出一个“三角形数阵”：1 8 1 4 3 8 18 ， 3，，16332……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记 第i 行第 j 列的数为 a，则 a 83________i j三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，点是的中点．- 2 -求证：平面．2318．已知函数f x x x x.求函数f x的最小正周期3sin sin cos219．已知实数x，y满足.求ω＝x2＋y2的最大值和最小值20．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.（l）计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数；（2）若从年龄在中的广场舞者任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.21．在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C2a c cos B，（1）求B的大小；（2）若b7，a c4，求a,c的值.- 3 -522．已知数列是递增的等差数列，且，a.a a2a46n32（1）求数列的通项公式；ana（2）求数列的前n项和．2nn1高二数学（文）参考答案1．B【解析】命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故选：B．点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.2．C【解析】命题若“p”则“q”的逆命题是“q”则“p”，所以“若a b，则a1b”的逆否命题是：“若a1b，则a b”，本题选择C选项.3．A【解析】由“”解得或,故“”能使“”成立；“”成立时，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.4．B【解析】命题为假，，命题为真，是无理数，“”为真命题，“”为真命题，- 4 -“ ”为假命题，“ ”为假命题．故选 ．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的 真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据 “p∨q”“p∧q”“非 p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 5．C 【解析】 试题分析：() ( )25，选 C. a 8 aaaa aa a22910118 117 12考点：等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列 问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时 需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、 减少运算量”的方法. 6．D【解析】 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故选 D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时， 一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验 证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能 否同时成立） 7．B【解析】不等式即：x 3 x 2x 1转化为高次不等式：(x−3)(x+2)(x−1)<0利用数轴穿根法解得x2或1x3，- 5 -本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．8．D23sina ba sin B43【解析】由正弦定理得，所以，又，Aa bsinsin A sin B b2222所以，所以或。

福建省厦门第一中学2017—2018学年度上期中考高二年理科数学试卷满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是 （ ）A ．0>-b aB ．bc ac <C ．22b a >D ．ba 11<2．已知命题p ：“若ab ＝1，则a ＋b ≥2”，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题p 的逆命题是“若ab ≠1，则a ＋b <2” B ．命题p 的逆命题是“若a ＋b <2，则ab ≠1” C ．命题p 的否命题是“若ab ≠1，则a ＋b <2” D ．命题p 的否命题是“若a ＋b ≥2，则ab ＝1”3.已知数列{}n a 满足：11112n n a a ++=+，且22a =，则4a 等于 （ ）A. B. 11 C. 12 D. 234. {}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A.-10B. -5C. 0D. 55. 如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为 ( )A.1762海里/时 B ．346海里/时C.1722海里/时D ．342海里/时6. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为.,,c b a 若c b a ,,成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ）A.41 B.43C.42D.327.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值 范围是 ( )A. 2(,0)2-B. 3(,0)2- C. 32(,)22-- D. 22(,)22-9. 已知()20{,|20}360x y D x y x y x y +-≤⎧⎪=-+≤⎨⎪-+≥⎩，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥ ()2,,210;P x y D x y ∀∈-+≤：()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤-- ()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥： 其中真命题的是 ( )A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC ，则c bb c+的最大值是 ( )D. 411.已知等差数列{}n a 满足20152017201620170,0a a a a +>+<,12323412n n n n T a a a a a a a a a ++=+++,若对任意正整数n ,恒有n k T T ≤,则正整数k 的值是 ( )A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．已知各项都为整数的数列{}n a 中， 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a = ( )A. 201732⋅B. 20172+2 C. 20172+1 D. 20172二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 命题p 的否定是“对∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 是 ． 14. 用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．15．在△ABC 中，B ＝60°，AC ，则AB ＋2BC 的最大值为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =， 2n n a n a =-， 211n n a a +=+，则100S =__________．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17.已知2()2f x ax bx =++,关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,2-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若0m >，解关于x 的不等式23(1)2()m m x m f x -+-++<18. 已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题“p q ∧”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 0a B A =（1）求A ；（2）当2a b ==时， 求ABC ∆的面积．20. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满sin sin [cos cos()]sin A B A B C π+=--⋅.（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=ABC ∆面积的最大值.21. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-.{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25,b b 的等比中项.（1）求,n n a b ； （2）若()112222n n a b a b a b n t +++≥-+，求实数t 的取值范围.22. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围； （3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．福建省厦门第一中学2017—2018学年度上期中考高二年理科数学试卷答 案 卷一、选择题：1-5．CCBCA 6-10.BAADD 11-12.CD211sin 22S bc A ===，即2sin a A =，222222cos 2cos 4sin()4,63c b b c a a a A A A A A b c bc bc ππ+-++==+=+=+≤=取等.11. 由20152017201620a a a +=>得20160a >,由201620170a a +<得20170a <,所以等差数列{}n a 的公差0d <,故2016n ≤时0n a >,2017n ≥时0n a <,所以2014n ≤时120n n n a a a ++>, 2015201620170a a a <,2016201720180a a a >,当2017n ≥时120n n n a a a ++<,又()2015201620172016201720182016201720152018a a a a a a a a a a +=+()2016201720162017a a a a =+>0,所以2016n =时n T 最大,12. 12211112232122n n n n n n n n n a a a a a a +++++--<+++=⋅=-++，即 2321321n n n n a a +⋅<-<⋅+-，又2n n Z a a +-∈，则有232n n n a a +=-⋅.则320152017201713120172015()()23(222)2a a a a a a =+-++-=++++=二、填空题13. 00(0,1x x ∃∈+∞>+ 14. 615. 16. 130615. 由正弦定理可知，sin(120),sin ,sin sin AC ACAB A BC A B B=-= 则有AB ＋2BC =2sin(120)4sin 5sin )A A A A A ϕ-+=+=+≤.16. 由题设可得2211n n a a n ++=+，取1,2,3,,49n =⋅⋅⋅可得23456798992,3,4,,50a a a a a a a a +=+=+=⋅⋅⋅+=，将以上49个等式两边分别相加可得23456798992504912742a a a a a a a a +++++++⋅⋅⋅++=⨯=；又3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=，所以10011274311306S =++=.三、解答题17. 解：（1）根据题意得220ax bx ++=的两根为2,121=-=x x ，且0a < 由根与系数的关系可求得1,1a b =-=所以2()2f x x x =-++． （2）原不等式可化为23(1)2()m m x m f x -++++<，即223()0x m m x m -++<，即2()()0x m x m --<，又0m >，所以当2m m <，即01m <<时，2m x m <<； 当2=m m ，即1m =时，原不等式的解集为∅； 当2m m >，即1m >时，2m x m <<．综上所述，当01m <<时，原不等式的解集为{}2x m x m <<，当1m =时，原不等式的解集为∅，当1m >时，原不等式的解集为{}2x m x m <<．18.解：（1）命题p 为真命题时：令()2-f x x a =，根据题意，只要[]1,2x ∈时，()min 0f x ≥即可，也就是1-01a a ≥⇒≤；命题q 为真命题时，()24420a a ∆=--≥，解得2a ≤-或1a ≥；“p q ∧”为真命题，即,p q 都为真命题，则有(,2]{1}21a a a a ≤⎧⇒∈-∞-⎨≤-≥⎩1或. （2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，因为命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩,当命题p为假，命题q 为真时，1121或a a a a >⎧⇒>⎨≤-≥⎩.综上：(2,1)(1,)a ∈-⋃+∞19.解：(1)由正弦定理可得：sin cos 0sin sin cos 0a B A A B B A =⇔=，又sin 0B >，则有sin 0A A =，即tan A =又(0,),A π∈则有3A π=.（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==， 3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=，因为三角形的边0c >，所以3c =，则ABC S ∆=1sin 2bc A =．20.解：（1）依题意得sin sin (cos cos )sin A B A B C +=+法一：由正余弦定理可得：222222()22b c a a c b a b c bc ac+-+-+=+.化简整理可得：222()()()a b a b a b c ++=+，又0a b +>，则22290a b c C +=⇒=︒，即为直角三角形.法二：由正弦定理知：sin()sin()cos sin cos sin B C A C A C B C +++=+，展开化简得(sin sin )cos 0A B C +=，又sin sin 0A B +>，则cos 090C C =⇒=︒，即为直角三角形.（2）1a b c a b =++=+≥，当且仅当a b =时取等，≤1124ABC S ab ∆=≤，即ABC ∆面积的最大值为14，当且仅当a b =时取等.21.解：（1）1n =时，1111211a S a a ==-⇒=，1n >时111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-⇒=，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即12n n a -=.设{}n b 的公差为0d ≠，依题意有1231333b b b b d ++=+=，2253,b b b ⋅=即21111()(4)(2)0b d b d b d b d +⋅+=+⇒=，解得10,1b d ==，即1n b n =-.（2）由（1），可知， 12,1n n n a b n -==-，从而()112n n n a b n -=-⨯，令1122n n n T a b a b a b =+++，即()()122112222212n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，③×2，得()()231212222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，④ -④，得()231222212n n n T n --=++++--⨯()()221222212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 即(2)22nn T n =-+，故题设不等式可化为()22(2)nt n n -≥-，（*）当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t R ∈；当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n 是递增数列，所以8t ≤， 综上， t 的取值范围是[]2,8.22.解：（1）1n =时，111a S ==，1n >时121n n n a S S n -=-=-，所以*21()n a n n N =-∈. 则有11n n b b +-=，即{}n b 是以2为首项，1为公比的等差数列，即1n b n =+，(1)(3)222n n n n n B n -+=+=. （2）依题意得112(),n n n n B B b b ++-=-即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=，且111b B a == {}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，112n n b b -=, 11(12)(21)12n n n b B b -==--, 所以111111111n n n n n n n n n n n n b b B B a a B B B B B B +++++++-===-， 则31211223112231111111111111111(1)21n n n n n n n b b b a a a a a a B B B B B B B B b b ++++++++=-+-++-=-=-<-， 则111,3b ≤即13b ≥（3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=-，当1n =时，上式也成立，则21242,22n n n n A n B ++=--=-，所以2124222221n n n n n A n nB ++--==---. 法一：假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列，即 111122212121212121t t s s s t t s A A A t s s tB B B +=⇔+=⇔=+-----. 又有2112121s t s t =+>--，即2120s s --<，设*()221,2,s f s s s s N =--≥∈.则有(1)()220sf s f s +-=->，即数列{()}f s 单调递增， 又(2)10f =-<，(3)10f =>，则有()0f s <⇒ 2.s =当2s =时，21121213t s t s =-=--，即2310,3t t t --=≥.同理可证当3t ≥数列{231}tt --递增，当3t =时2312t t --=-舍去，当4t ≥时4231212130t t --≥--=>，即2310tt --=无解，综上所述，不存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列.法二：11111(1)2102121(21)(21)n n n n n n n n n A A n n n B B +++++-+-=-=>----，即数列{}n n A B 单调递增. 2[1,2)21n n n A nB =-∈-，又111123()222s t s t A A A B B B +=+<=， 又123312431131,,3272A A A B B B ==<=>，则2,s =所以11523t s t s A A A B B B =-= 又3434115265,73153A AB B =<=>，34t ⇒<<，则这样的t 不存在. 综上所述，不存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列.。

2023-2024学年福建省泉州高二上册期中质量监测数学模拟试题一、单选题1．直线310x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°【正确答案】C【分析】根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.【详解】由题：直线310x +=的斜率为k =所以倾斜角为120°.故选：C此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.2．若直线2x +（a +2）y +4＝0与直线（a ﹣1）x +2y +2＝0平行，则实数a 的值为（）A ．﹣3B ．2C ．2或﹣3D ．23-【正确答案】A【分析】本题先根据两条直线平行建立关于实数a 的方程并求解，再排除重合现象即可得到答案.【详解】解：∵直线2(2)40x a y +++=与直线(1)220a x y -++=平行，∴(2)(1)22a a +-=⨯，解得：2a =或3a =-，当2a =时，直线2440x y ++=与直线220x y ++=重合，∴2a =舍去；当3a =-时，直线240x y -+=与直线4220x y -++=平行，∴3a =-成立.故选：A.本题考查借两条直线平行求参数，是基础题.3．三棱柱111ABC A B C -中,N 是1A B 的中点,若CA a =，CB b = ，1CC c = ,则CN =A ．()12a b c+- B ．()12a b c++ C ．12a b c++ D ．()12a b c++ 【正确答案】B【详解】若AB 中点为D ，()()11111122222CN CD DN CA CB CC a b c =+=++=++ .故选B.4．若直线30mx ny ++=在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线23x y -=的倾斜角的2倍，则（）A ．4,3m n =-=-B ．4,3m n ==C ．4,3m n ==-D ．4,3m n =-=【正确答案】D【分析】根据直线30mx ny ++=在y 轴上的截距可求得n ，设直线30mx ny ++=的倾斜角为θ，求出tan 2θ即直线30mx ny ++=的斜率，即可求出m .【详解】令0x =，则31y n=-=-，所以3n =，设直线230x y --=的倾斜角为θ，则直线30mx ny ++=的倾斜角为2θ，因为直线23x y -=的斜率为12，所以1tan 2θ=，故22tan 14tan 211tan 314θθθ===--，则直线30mx ny ++=的斜率4tan 233m m n θ=-=-=，所以4m =-.故选：D.5．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，1BB 的中点，则1A 与面MBD 的距离是（）．A ．66a B ．36a C ．34a D ．63a 【正确答案】A【分析】以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则可得到点1,,,A M B D 的坐标以及,BD BM的坐标，再求出平面BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案.【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,),(0,0,),(,0,0),(0,,0),2aA a MB a D a 所以(,,0),(,0,),2a BD a a BM a =-=- 设平面BDM 的法向量(,,)n x y z = ，则00n BD n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即002ax ay aax z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩设1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1(1,1,2),(0,0,)2a n MA ==|2|6266a d ⨯=则点1A 到平面MBD 的距离为66a .故选:A6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（）A．10-B．6C．10D．2【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出BM 与NA 所成的角的余弦值.【详解】依题意可知1,,CA CB CC 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设11BC CA CC ===，则()()1111,0,0,,0,1,0,1,0,,,1222A N B M ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,0,1,,,1222AN BM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设直线BM 与NA 所成角为θ，则34cos 10AN BMAN BMθ⋅===⋅.故选：C7．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b ∈R且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（）A ．72B ．4C ．1D ．5【正确答案】C由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值.【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1.故选：C.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=和圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）A ．4-B 1-C ．6-D 【正确答案】A【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出||||PM PN +的最小值.【详解】圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()2,3A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，∴若M '与M 关于x 轴对称，则PM PM '=，即||||||||PM PN PM PN '+=+，由图易知，当,,P N M '三点共线时||||PM PN '+取得最小值，∴||||PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，∴2||3144AC --=-=-.故选：A.二、多选题9．已知直线l 1：3x ﹣y ﹣1＝0，l 2：x ＋2y ﹣5＝0，l 3：x ﹣ay ﹣3＝0不能围成三角形，则实数a 的取值可能为（）A ．1B ．13C ．﹣2D ．﹣1【正确答案】BCD【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.【详解】因为直线l 1的斜率为3，直线l 2的斜率为12-，所以直线12,l l 一定相交，交点坐标是方程组3125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，解得交点坐标为.(1,2)当0a =时，直线3l 与横轴垂直，方程为：3x =不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a ≠时，直线3l 的斜率为.1a当直线l 1与直线l 3的斜率相等时，即1133a a =⇒=，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 2与直线l 3的斜率相等时，即1122a a =-⇒=-，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 3过直线12,l l 交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有12301a a --=⇒=-，故选：BCD本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.10．已知椭圆2212:1,,259x y C F F +=分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为15C ．若1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-【正确答案】ACD【分析】求出椭圆的离心率可以判断A ；根据椭圆的定义可判断B ；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C ；设出点P 的坐标，得到斜率，进而结合点P 的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.【详解】由221259x y +=，可知5,3,4a b c ===，对于A ：45ce a ==，故A 正确；对于B ：记12||,||PF m PF n ==，则10m n +=，12F PF △的周长为1212|||210818PF PF F F m n c ++=++=+=，故B 错误；对于C ：12||,||PF m PF n ==，()()2222210118642m n mn m n m n m n +=⎧⎡⎤⇒=+-+=⎨⎣⎦+=⎩，所以12192F PF Smn ==，故C 正确；对于D ：设()()()(),5,5,0,5,0P x y x A B ≠±-，则221259x y +=，,55PA PB y y k k x x ==+-，于是22229125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故D 正确.故选：ACD.11．已知直线l 的方向向量()101n =-，，，()3A =-2,1,为直线l 上一点，若点P (-1，0，-2)为直线外一点，则P 到直线l 上任意一点Q 的距离可能为（）A ．2BCD ．1【正确答案】AB首先求得(3,1,1)AP =-- ，再求得n AP ⋅ 的值，设出n 与AP的夹角为,[0,]θθπ∈，利用向量数量积求得cos θ的值，进而求得sin θ的值，利用sin d AP θ=求得点P 到直线l 的距离d ，利用P 到直线l 上任意一点Q 的距离要大于等于d ，从而求得结果.【详解】由题设条件可知，(3,1,1)AP =--，所以1(3)0(1)(1)14n AP ⋅=⨯-+⨯-+-⨯=-，设n 与AP的夹角为,[0,]θθπ∈，则cos n APn APθ⋅==-⋅所以sin θ==所以点P 到直线l的距离为sin d AP θ= P 到直线l 上任意一点Q故选：AB.该题考查的是有关空间距离问题，涉及到的知识点有利用向量解决点到直线的距离问题，属于简单题目.12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体11AC CB 为“鳖臑”C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥【正确答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；B 选项，由AC BC ⊥，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11A C C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，对；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，错；D 选项，因为BC ⊥平面11AAC C ，则BC AF ⊥，1AF AC ⊥且1AC BC C = ，则AF ⊥平面1A BC ，∴1AF A B ⊥，又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，所以则1A B EF ⊥，对；故选：ABD ．三、填空题13．与x 轴相切，且圆心坐标为()1,2--的圆的标准方程为_______________【正确答案】()()22124x y +++=【分析】根据圆的圆心坐标结合与y 轴相切可得到该圆的半径可得答案.【详解】∵圆心坐标为()1,2--，又与y 轴相切，∴圆的半径为2，∴圆的标准方程为()()22124x y +++=.故答案为.()()22124x y +++=14．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y ＝2的距离相等，则点P 的坐标为__________．【正确答案】31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】∵点P 在直线30x y +=上∴设点P 的坐标为(3,)a a -∵点P 到原点的距离与点P 到直线的32x y +=的距离相等=∴15a =±∴点P 坐标为31(,)55-或31(,55-故31(,)55-或31(,)55-四、双空题15．已知两点(3,0)A ，(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则12y x +-的范围是_____，22(1)x y ++的范围是_____.【正确答案】5,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎝⎦256,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦根据,A B 坐标画出线段AB ，可知12y x +-的几何意义为(),x y 与()2,1C -连线斜率，22(1)x y ++的几何意义为(),x y 与()1,0D -距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.【详解】根据题意画出线段AB 如下图所示：直线AB 的方程为43120x y +-=，12y x +-的几何意义为(),x y 与()2,1C -连线斜率，51,2AC BC k k ==-，所以15,[1,)22y x +⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦；22(1)x y ++的几何意义为(),x y 与()1,0D -距离的平方，由点到距离公式可知165DF ==，4,DA DB =所以22256(1),1725x y ⎡∈⎤++⎢⎥⎣⎦，故5,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；256,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题考查了斜率公式及距离公式几何意义的简单应用，注意本题求的是距离平方形式，属于中档题.五、填空题16．在三棱锥-P ABC 中，PA AB ⊥，PA ＝4，AB ＝3，二面角P AB C --的大小为30 ，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为_________．【分析】过M 作MN PA ⊥于N ，MO ⊥平面ABC 于O ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，连接MQ ，则MQO ∠为二面角P AB C --的平面角，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线AM 、直线PB 的方程可得直线AM 与PB 的交点坐标可得答案.【详解】如图，过M 作MN PA ⊥于N ，MO ⊥平面ABC 于O ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，连接MQ ，则MQO ∠为二面角P AB C --的平面角，由30∠= MQO ，得MQ ＝2MO ．又MO ＝MN ，所以MQ ＝2MN ，在△PAB 中，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则直线AM 的方程为y ＝2x ，直线PB 的方程为43120x y +-=，所以直线AM 与PB 的交点坐标为612,55R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 的轨迹为线段AR 5=．六、解答题17．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4350x y -+=垂直；②直线的一个方向向量为(4,3)a =- ；③与直线3420x y ++=平行．已知直线l 过点(1,2)P -，_________________．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆225x y +=相交于P ，Q ，求弦长PQ ．【正确答案】(1)3450x y ++=(2)4【分析】（1）根据直线与直线的平行或垂直关系于斜率的关系求解；（2）利用直线被圆截得的弦长公式求解.【详解】（1）选①：因为直线4350x y -+=的斜率为143k =，因为直线4350x y -+=与直线l 垂直，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选②：因为直线的一个方向向量为(4,3),a =- 所以直线l 的向量为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选③：因为3420x y ++=的斜率为34k =-，又因为直线l 与3420x y ++=平行，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.（2）圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y ++=的距离为1d ==,所以4PQ ==.18．已知：ABC 中，顶点()A 2,2，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是x y 0+=，边AC 上的高BE 所在直线的方程是x 3y 40++=．()1求点B 、C 的坐标；()2求ABC 的外接圆的方程．【正确答案】（1）(4,0)(1,1)B C --，（2）或229117044x y x y ++--=【详解】（1）由题意可设1122(,),(,)B x y C x y ,则的中点.因为的中点必在直线CD 上,代入有①又因为B 在直线BE 上，所以代入有11340x y ++=②由①②联立解得(4,0)B -.则,因为C 在直线CD 上，代入有③又因为直线,所以有,则有④根据③④有(1,1)C -.（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤同理可得直线的中垂线为⑥,由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为法二：（2）设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，其中2240D E F +->．因为三角形的三个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：()22222220440110D E F D F D E F ++++=--+⎧⎪⎪⎨=++-+=⎪⎪⎩解得941147D E F ==-=⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎪⎩∴ABC 外接圆的方程为229117044x y x y ++--=．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC .小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小．【详解】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，∴O 是BD 中点，∵E 为棱1DD 的中点，∴1//OE BD ，∵1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴1//BD 平面EAC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB = ，()2,0,1AE =- ，()2,2,0AC =- ，设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，取1x =，得()1,1,2n = ，设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则11sin AB n AB nθ⋅===⋅ ，∴直线1AB 与平面EAC所成角的正弦值为2．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上.（1）若122F F =P 的坐标为3,2，求椭圆E 的方程；（2）若点P 横坐标为2a ，点M 为1PF 中点，且2OP F M ⊥，求椭圆E 的离心率.【正确答案】（1）22164x y +=（2）2113e =-【分析】（1）由题意2c =P 点坐标代入方程，可求解出a ，可得椭圆方程；（2）将P 点横坐标代入椭圆方程可得P 的坐标，可得1PF 的中点M 的坐标，再由20OP F M ⋅= ，可得a ，c 的关系式，从而求解离心率．【详解】解：（1）设椭圆E 焦距为2c ，则12222c F F ==，所以2222c a b =-=.①又点P 3,2在椭圆E ：22221x y a b +=上，所以22321a b +=.②联立①②解得2264a b ⎧=⎨=⎩或2211a b ⎧=⎨=-⎩（舍去）.所以椭圆E 的方程为22164x y +=；（2）设椭圆E 焦距为2c ，则()1,0F c -，()2,0F c ，2a x =代入22221x y a b +=得2234b y =，不妨设点P 在x 轴上方，故点P 坐标为322a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又点M 为1PF 中点，故点M 坐标为23,44a c b ⎛⎫- ⎝⎭，所以26344a c b F M ⎛-= ⎝⎭ ，322a b OP ⎛= ⎝⎭，由2OP F M ⊥得20OP F M ⋅= ，即604242a c a -⋅+=，化简得22630a acb -+=，将222b ac =-代入得223640c ac a +-=，即23640c c a a ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，所以23640e e +⋅-=，解得13e =-±，因为()0,1e ∈，所以椭圆E 的离心率为13e =-.本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE 得到如图2所示的几何体.（1）求证：AB ⊥平面ADC ；（2）若1AD =，二面角C AB D --，求二面角B AD E --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）12（1）先由已知条件得到DC ⊥平面ABD ，所以有DC AB ⊥，又因为AD AB ⊥即可证明AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知二面角C AB D --的平面角为CAD ∠，且DC AD ⊥，所以有CD AD =，从而求出CD ，因为ABD DCB ，所以由AB CD AD BD=可以解出AB 的值，然后建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出面ABD 和面ADE 的法向量，则两平面法向量的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.【详解】（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥，又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D ⋂=，所以AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠，又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥，依题意tan CAD ∠因为1AD =，所以CD =AB x =()0x >，则BD =由题意知ABD DCB ，所以AB CD AD BD =，即1x =解得x =AB，BD =，3BC ==，如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，)B，()C ，36,022E ⎫⎪⎪⎝⎭，A ⎝⎭，所以36,022DE ⎫=⎪⎪⎝⎭，DA =⎝⎭ ，由（1）知平面ABD 的法向量()0,1,0n = ，设平面ADE 的法向量(),,m x y z = ，由00m DE m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0220x y +=⎪⎪=，令x =，得y =，z =所以m = ，所以1cos ,2n m n m n m ⋅==- ，由图知二面角B AD E --的平面角为锐角，所以二面角B AD E --的余弦值为12.本题主要考查了证明线面垂直，考查了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题.22．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向A 处，有一360︒全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【正确答案】(1)不在(2)17.5米【分析】（1）以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB 方程，判断直线AB 与圆O 的位置关系即可；（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A 的直线l 与圆O 相切时的直线方程即可.【详解】（1）以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的直角坐标系则(0,0),(20,20)O A ，观景直道所在直线的方程为10y =-依题意得：游客所在点为(5,0)B -则直线AB 的方程为520205y x +=+，化简得45200x y -+=，所以圆心O 到直线AB 的距离4d =<，故直线AB 与圆O 相交，所以游客不在该摄像头监控范围内.（2）由图易知：过点A 的直线l 与圆O 相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l 过A 且恰与圆O 相切，①若直线l 垂直于x 轴，则l 不可能与圆O 相切；②若直线l 不垂直于x 轴，设:20(20)l y k x -=-，整理得20200kx y k --+=所以圆心O 到直线l 的距离为4d ==，解得34k =或43k =，所以直线l 的方程为320(20)4y x -=-或420(20)3y x -=-，即34200x y -+=或43200x y --=，设这两条直线与10y =-交于D ，E由1034200y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得20x =-，由1043200y x y =-⎧⎨--=⎩，解得 2.5x =-，所以17.5DE =，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.。

南京市第九中学、第十三中学2024-2025学年高二年级第一次质量调研数学（时间：120分钟 满分：150分）2024年10月11日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．若1i 1zz =+-，则z =（ ）A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i -D ．1i +2．已知一组数据：3，5，7，x ，9的平均数为6．则该组数据的40百分位数为（ ） A ．6B ．5.5C ．5D ．4.53．已知三个单位向量a ，b ，c 满足a b c =+，则向量b ，c 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点(),P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则2y x -的最小值为（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．235．已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为()1,2P ，则过()111,Q a b ，()222,Q a b 两点的直线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．210x y --=C ．210x y --=D ．210x y +-=6．设直线l 的方程为()cos 3x y θθθ++=∈R ，则直线l 的倾斜角α的取值范围为（ ） A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．，π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，D 是棱BC 上的动点，直线1A D 与平面ABC 所成角的最大值是45°，点P 在底面ABC 内，且1A P =则点P 的轨迹长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π8．已知圆221:220C x y x y +--=，设其与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于M ，N 两点．已知另一圆2C的半径为1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（ ）A ．20B ．C ．10D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的有（ ） A ．若A 与B 对位，则()1P AB =B ．若A 与B 互斥，()13P A =，()12P B =，则()56P A B += C ．若()13P A =，()12P B =，且()16P AB =，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，()13P A =，()23P B =，则()19P AB =10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（ ） A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +的最小值是1C ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，()OA OB OP +⋅为定值 D ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它藴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线()()22:118C x y -+-=就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 上两点间距离的最大值为B ．若点(),P a a 在曲线C 内部（不含边界），则33a -<<C ．若曲线C 与直线y x m =+有公共点，则66m -≤≤D ．若曲线C 与圆()2220x y rr +=>有公共点，则72r ≤≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知4sin 25a =-，则tan 2πtan 4aa =⎛⎫+ ⎪⎝⎭______． 13．若直线2y x a =+和直线12y x b =-+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b +=______． 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离为：()1212,d x x A B y y =-+-．己知点M 在圆22:1O x y +=上，点N 在直线:390l x y +-=上，则(),d M N 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知直线()()1:31410l x y -+-=，()2:3420l x y ++=，点A 和点B 分別是直线1l ，2l 上一动点． （1）若直线AB 经过原点O ，且3AB =，求直线AB 的方程； （2）设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离． 16．（本题满分15分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin sin 3c B b C =+⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求C ；（2）若6b =，且ABC △的面积为ABC △的周长． 17．（本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC ⊥，4DC BC ==，8AB =，AD =（1）证明：BD PA ⊥；（2）若PAD △为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离． 18．（本题满分17分） 己知以点()2,0C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于另一点B ． （1）求证：AO BO ⋅为定值（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程．（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分別是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标． 19．（本题满分17分）已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x =--交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-． （1）求a 的值；（2）求MON △的面积;（3）若圆C 与x 轴交于A ，B 两点，点Q 是圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于R 、S 两点，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．参考答案12．－4 13．12 14．3－103 15．（本题满分13分）已知直线l 1：3(x －1)＋4(y －1)＝0，l 2：3x ＋4(y ＋2)＝0，点A 和点B分别是直线l 1，l 2上一动点． （1）若直线AB 经过原点O ，且|AB |＝3，求直线AB 的方程； （2）设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离． 【答案】(1)43y x =；(2)110． 【解析】（1）将()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=化为一般式方程，得，12:3470,:3480l x y l x y +-=++=,则两直线平行，故两直线的距离为3d AB ===． . . . . . . 3分因为3AB =，所以AB 和两直线垂直． 因为12,l l的斜率为34-，所以43AB k =． 又因为直线AB 经过原点O ，所以直线AB 的方程为43y x =． . . . . . .6分 （2）因为12,l l 互相平行，所以线段AB 的中点P 的轨迹为873402x y -++=，即13402x y ++=， 所以点P 到原点O 的最短距离即点O 到直线13402x y ++=的距离． . . . . . .10分因为点O 到直线13402x y ++=110=． 所以点P 到原点O 的最短距离为110． . . . . . .13分16．（本题满分15分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin B ＝b sin(C ＋π3)．（1）求C ；（2）若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长．【答案】(1)π3C =；(2)10+ 【解析】（1）在△ABC 中，由πsin sin()3c B b C =+及正弦定理，得πsin sin sin sin()3C B B C =+， . . . . . .2分而B ∈(0，π)，所以sin 0B >，所以sin()sin 3C C π+=，即1sin sin 2C C C +=，sin C C =，又()0,C π∈，所以sin C ≠0，从而cos C ≠0，因此tan C =π3C =． . . . . . .6分（2）由（1）及三角形面积公式，得1sin 2ab C ==4a =， . . .10分由余弦定理得c === . . .14分所以△ABC 的周长为10a b c ++=+ . . . . . .15分 17．（本题满分15分）在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝4，AB ＝8，AD ＝42．（1）证明：BD ⊥PA ；（2）若△PAD 为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离．【答案】(1)证明见解析；．【解析】（1）因为//4AB BC AB CD DC BC ⊥==，，，所以BD =，又因为8AD AB ==，所以222AD BD AB +=，则AD BD ⊥． . . . . . .2分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ． . . . . . .5分因为PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PA ． . . . . . .6分（2）取AD 中点O ，连结PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，如图所示． . . . . . .9分因为PA AD PD PO =====由（1）知BD ⊥平面PAD ，由PD ⊂面PAD 可得BD PD ⊥，在Rt PBD △中，1162PBD S =⨯=△，而14482BCD S =⨯⨯=△，11833P BCD BCDV PO S-=⋅=⨯=． . . . . . .12分 设点C 到平面PBD 的距离为h ，由P BCD C PBD V V --=得1163h ⨯=，解得h =，所以点C 到平面PBD . . . . . .15分 18．（本题满分17分）已知以点C (t ，2t )(t ＞0)为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于另一点B ． （1）求证：|AO|·|BO|为定值．（2）设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．【解析】（1）由题意可得圆的方程为：()222224x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，化简可得22402x tx y y t--=+， . . . . . .2分 分别令y ＝0和x ＝0，可得与坐标轴的交点分别为：()2,0A t ，40,B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以|AO|·|BO|=428t t⋅=为定值． . . . . . .4分（2）如图所示，OM ON =，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C ，H ，O 三点共线， . . . . . .6分 又OC 的斜率22k t=， ()2221t ⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭， 解得2t =±， 又0t >，所以2t =， 可得圆心()2,1C ，∴圆C 的方程为：()()22215x y -+-=． . . . . . .10分（3）如图所示，由（2）可知：圆心()2,1C ，半径r =，()0,2B ， 设点B 关于直线20x y ++=的对称点为(),B x y '， 则BB '中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，且()21122022y xx y -⎧⋅-=-⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,2B '--， . . . . . .13分则PB PQ PB PQ B Q ++≥''=， 又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r -=='则PB PQ +的最小值为 . . . . . .15分 此时直线B C '的方程为：2xy =， 点P 为直线B C '与直线l 的交点，则220x y x y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得4323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点42,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． . . . . . .17分19．（本题满分17分）已知圆C ：(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝－x －1交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为－13．（1）求a 的值； （2）求△MON 的面积；（3）若圆C 与x 轴交于A ，B 两点，点Q 是圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交l ：x ＝－4于R 、S 两点．当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)2a =-；(2)12MONS=；(3)过定点，()4-． 【解析】（1）由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． . . . . . .2分 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PCk k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-． . . . . . .4分（2）由2a =-，则圆心()2,0C -，C ∴到直线=1y x --距离为2d ==， . . . . . .6分MN ∴== . . . . . .8分又O 到直线=1y x --的距离为2，MN 边上的高为2．11222MONS∴=⨯=． . . . . . .10分 （3）由圆C 与x 轴交于,A B 两点，得()()3,0,1,0B --， 不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠， 在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --， 因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k=-+， 在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， . . . . . .12分则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的半径平方为2232k k ⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以，以线段RS 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k-++--=， . . . . . .14分由()243031xyx⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得4xy⎧=-+⎪⎨=⎪⎩因此，当点Q变化时，以RS为直径的圆恒过圆C内的定点()4-． . . . . . .17分。

福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，4a =，45A =︒，60B =︒，则边b 的值为（ ）A ．B ．2+C 1D ．12．椭圆221y x m +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12C ．2D ．4 3．已知函数()ln f x x x =+，则()1f '的值为（ ）A ．1B ．-2C ．-1D ．24．已知,,,a b c d 为实数，且c d >，则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期T π=，把函数()y f x =的图象向左平移η个单位长度()0η>，所得图象关于原点对称，则η的一个值可能为（ ）A ．2πB ．38πC ．4πD ．8π 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD 7．关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x 且1215x x -=，则a =（ ）A ．52B ．3C ．52- D ．-3 8．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，M 是椭圆上一点，N 是1MF 的中点，若1ON =，则1MF 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．59．执行如图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为（ ）A ．12-B ．58-C ．54- D ．1 10．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C．y = D．y x = 11．过椭圆22221x y a b+=，()0a b >>的左焦点1F ，作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点.若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）AB ．12 CD ．13 12．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a的值是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC ∆中，若)222ABC S b c a ∆=+-，则角A = ．14．数列{}n a的通项公式是n a =，若前n 项和为20，则项数n 为 ．15．在锐角ABC ∆中，若2C B =，则c b的范围为 ． 16．已知x y 、满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知命题:p 不等式1x a ->的解集为R ；命题()1:a q f x x-=在区间()0,+∞上是增函数．若命题“p q ∨”为假命题，求实数a 的取值范围 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知1cos 4C =-． （Ⅰ）求sin 2C 的值； （Ⅱ）若6ab =，且22213sin sin sin 16A B C +=，求,,a b c 的值． 19．如图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE SB ⊥于点E ，过E 作EF SC ⊥于点F ．（1）求证：AF SC ⊥；（2）若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG SD ⊥．20．已知,x y 满足约束条件1343530x x y x y ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩（1）求55y z x +=+的取值范围． （2）若目标函数z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值；21．已知函数()323f x x ax x =--（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,x a ∈上的最小值和最大值；（2）若()f x 在[)1,x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=，()0a b >>:l y x =-+点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,M t 的直线l '（斜率存在时）与椭圆C 交于P Q 、两点，设D 为椭圆C 与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =，求实数t 的取值范围.高二文科数学期中考答案一、选择题1-5:ABDCB 6-10:ACCCD 11、12：CA二、填空题13．3π 14．440 15． 16．49 三、解答题17．解：:0p a <；:1q a >由题知命题“p 或q ”为假命题，即p 为假命题，且q 假命题．所以：01a ≤≤18．（Ⅰ）∵cos 12sin 2C C =- ∴2111cos 54sin 2228C C ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=== 又∵1cos 4C =-，∴C 为钝角，2C 为锐角∴sin 24C =（Ⅱ）∵22213sin sin sin 16A B C +=，∴由正弦定理得：2221316a b c +=① 又由余弦定理得：2222cos a b c ab C +=+即22212a b c ab +=-② ∴由①、②得283c ab = ∵6ab =，∴4c =，2213a b +=∴可解得2,3,a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩ ∴所求,,a b c 的值为2,3,4a b c ===或3,2,4a b c ===19．证明：（1）∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA BC ⊥，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥.∴BC ⊥平面SAB ，∴BC AE ⊥，又SB AE ⊥，∴AE ⊥平面SBC .∴AE SC ⊥，又EF SC ⊥，∴SC ⊥平面AEF ，∴AF SC ⊥.（2）∵SA ⊥平面AC ，∴SA DC ⊥.又AD DC ⊥，∴DC ⊥平面SAD ，∴DC AG ⊥.又由（1）有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂面AEF ，∴SC AG ⊥，∴AG ⊥平面SDC ，∴AG SD ⊥.20．解：（1）5555y y z x x +--==+--，可看作区域内的点(),x y 与()5,5D --连线的斜率， 由图可知，BD CD k z k ≤≤，即426515z ≤≤ （2）一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ax y =+平行于直线3530x y +=时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值.此时满足条件的点即最优解有无数个. 又35BC k =-，∴35a -=-， ∴35a =. 21．解：（1）由题知：()30f '=，得4a =.所以()3243f x x x x =-- 令()23830f x x x '=--=，得3x =或13x =-（舍去），又()16f =-，()318f =-，()412f =-，所以()max 6f x =-，()min 18f x =-（2）可知：()23230f x x ax '=--≥在[)1,+∞上恒成立， 即312a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上恒成立， 所以0a ≤22．解：（1）221124x y += （2）0k =时，22t -<<0k ≠时，0∆>，22412t k <+①，取PQ 中点H ，223,1313kt t H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭由DH PQ ⊥得213t k =+②由①②可得∴()1,4t ∈综上，()2,4t ∈-.。

福建省莆田第九中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简，从而求得，在复平面内对应的点坐标为，即可得结果.详解：因为复数所以，在复平面内对应的点坐标为，在复平面内对应的点在第二象限，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简，求出展开式中的系数分别为，从而可得结果.详解：因为，展开式的通为，令，可得展开式中的系数分别为，所以含项的系数为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3. 已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可. 详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.4. 的展开式的中间项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：原式张开一共有5项，故只需求出第三项即可.详解：由题可得展开式的中中间项为第3项，故：，选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5. 某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.6. 已知复数，若，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限【答案】C【解析】分析：首先根据复数模的计算公式，结合题中的条件，得出实数所满足的等量关系式，从而求得的值，进一步求得复数，根据其在复平面内对应的点的坐标，从而确定其所在的象限，得到结果.详解：根据题意可知，化简得，解得或，当时，，当时，，所以对应的点的坐标为或，所以对应的点在第一象限或第三象限，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数模的计算公式，复数在复平面内对应的点，属于简单题目.7. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：消去参数t，得所求曲线方程为：x2+y2=1，x≠0，由此能求出曲线图形．详解：因为参数方程（为参数）所以消去参数得x2+y2=1，x≠0，且，故所表示的图像为B.点睛：本题考查曲线图形的判断，涉及到参数方程与普通方程的互化、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.9. 设是复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】分析：先求出z的表达式，在代入问题计算即可.详解：由题可设，则，所以，故，则或，选C.点睛：考查复数和共轭复数的关系，复数的除法运算，属于基础题.10. 已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导，然后将x=0代入得斜率为2可求出a值，再由切点既在曲线上也在切线上看的b值，再令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可.详解：，，所以切点为（0，-b）代入切线方程可得b=2，所以，令可得f（x）在（-2,1）单调递增，在递减，故令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可，故，f（0）=-2，f（1）=，故答案为选A.点睛：考查导函数对零点的分析，其中认识到为符合方程，令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根的转化思维为此题关键，属于中档题.11. 随机变量的概率分布为，其中是常数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.12. 已知定义在上的奇函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，g′（x）=，，因为函数f（x）满足2f（x）-xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，可得：故选：D.点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在直角坐标系中，若直线（为参数）过椭圆（为参数）的左顶点，则__________．【答案】.【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程，可得，故左顶点为，直线（为参数）化为普通方程，可得，又点在直线上，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.14. 设复数满足，则的虚部为__________．【答案】2.【解析】分析：把题中给出的式子，两边同时乘以，之后利用复数的除法运算法则，求得结果，从而确定出其虚部的值.详解：由得，所以的虚部为2，故答案是2.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的虚部，这就要求对运算法则要掌握并能熟练的应用，再者就是对有关概念要明确.15. 某商品的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则__________．【答案】.【解析】分析：根据回归直线过样本中心点，求出平均数，代入回归直线方程，求出，从而得到答案.详解：根据题意得，，因为回归直线过样本中心点，所以有，解得，所以答案是.点睛：该题考查的就是回归直线的特征：回归直线过样本中心点，即均值点，所以在求解的过程中，需要分别算出样本点的横纵坐标，代入回归直线方程中，求得对应的参数的值. 16. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：（I）先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；详解：f′（x）=e x[x2+（-a+2）x-a+2]，考虑到e x＞0恒成立且x2系数为正，∴f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立．∴（-a+2）2-4（-a+2）≤0，∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] .点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力．属于基础题．17. 在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为__________（取）．【答案】.【解析】分析：先用定积分求出阴影部分的面积，再根据几何概率计算公式即可得.详解：由题得阴影部分的面积：，矩形面积为：2，所以这两点中都不落在阴影部分的概率为：，故这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为1-0.09=0.91，故答案为：0.91点睛：本题考查几何概型，明确测度比为面积比的关键，是基础题18. 现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）【答案】360.【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。

福建省莆田第九中学2017—2018学年高二上学期第二次月考（12月)数学(理) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为1,0F ，离心率等于12,则C 的方程是( ) A 。

22134x y B.22143x y C.22142x y D.22143x y2.数列na 是等差数列，12324aa a ，18192078aa a ，则此数列的前20项和等于( )A.160B.220 C 。

200 D 。

180 3。

命题(]:,0p x ∀∈-∞，21x≤，则( ）A 。

p 是假命题；(]0:,0p x ⌝∃∈-∞，021x B 。

p 是假命题；(]:,0p x ⌝∀∈-∞，21x≥ C 。

p 是真命题；(]:,0p x ⌝∃∈-∞，021x D 。

p 是真命题；(]:,0x ⌝∀∈-∞，21x≥4.已知函数22fxx ax b，则“12a”是“13ff "的（ ）A.充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5。

设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A 。

若OAF △(O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ )A.24yx=± B.28yx=± C 。

24yxD 。

28yx6.已知命题：[]2:"1,2,0"p x xa ∀∈-≥，命题2:",220"q x R xax a ∃∈++-=,若命题“p 且q "是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.1a ≤-或1a B.1a ≤-或12a ≤≥ C.1a ≥ D 。

1a7.若直线4mxny 和22:4O xy ⊙没有交点，则过点,m n的直线与椭圆22194x y 的交点个数为( )A 。

．．．．．已知直线(():110l y a ++=∈R 与圆221x y +=，则下列结论正确的是（．直线l 必过定点l 与C 可能相离25A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的正弦值为77 C．侧面积为243平方米（1）求点O 到平面PBC 的距离；（2）若//OH 平面PAB ，求直线22．P 为圆()22:236A x y ++=上一动点，点点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；24y x --可表示点(),P x y 与点(Q 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为圆心到直线距离2421k k d k-+=+12．ACD【分析】当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，结合余弦定理即可判断根据题意，计算直线PA 与直线PB 斜率乘积即可判断根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离利用正弦定理和三角恒等变换，把,αβ用α所以222225,9,4a b c a b ===-=，(5,0A -对于A ：当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，因为钝角，因此存在P 使得12π2F PF ∠=，故A 正确；对于B ：设(),(5)P x y x ≠±，在221259x y +=上，于是有所以229(125x y y y -故答案为:1.【详解】，交1PF 于点Q ，∵PA 是1F PF ∠2AF ，2||PQ PF =，12F 的中点，1QF AO ∴∥，且QF 112||2PF PQ PF PF a +=+=，222．(1)22195x y +=(2)证明见解析，256【分析】（1）依题意可得BQ PQ =轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，从求出（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，直线由T 、S 、1A 三点共线得003y x +则000000233x x x y y y+-=+1213x x y -=+121233my n my n y y +-+-=+2m =+22(3)mn m n =--6m=.。

2017-2018学年上学期期中考试九年级数学试卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成；一、选择题 （本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。

1、在﹣5，0，﹣2，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．0D ．12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列计算正确的是（ ）A ．532x x x =+B ．2x ·63x x =C ．()532x x =D ．235x x x =÷4、下列调査中，适合采用全面调査（普査）方式的是 ( )A ．对嘉陵江水质情况的调査B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调査C ．对某班50名同学体重情况的调査D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査5、对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．开口向下B ．对称轴是1x =-C ．顶点坐标是(1,2)D ．与x 轴有两个交点 6、若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ）A.1-B.1C.21-D.21 7、将抛物线y =(x －4)2＋2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的 表达式为（ ）A ．y =(x －3)2＋5B ．y =(x －3)2－1C ．y =(x －5)2＋5D ．y =(x －5)2－18、共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9、在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D10、下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）A ．50B ．60C ．64D ．7211、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连结BM ，则BM 的长是（ ）A.4B. 13+C. 23+D. 712、在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记为a ，若数 a 使关于x 的分式方程3233ax x x+=---的解是正实数，且使得二次函数y =﹣x 2+（2 a ﹣1）x +1的图象，在x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则满足条件的所有a 之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13、据报道，西部地区最大的客运枢纽系统﹣﹣重庆西站，一期工程已经完成90%，预计在年内建成投入使用。