第二章等腰三角形复习

第二章等腰三角形专题5 等腰三角形的边角关系知识解读讨论等腰三角形的三边，只有腰和底边长两个未知数，当告知三角形两边长时，需要分情况讨论，哪个数据是腰长，哪个数据是底边长。

等腰三角形有三个角，要求出三个角的度数，需要三个相等关系，三角形内角和提供了一个相等关系，等腰三角形两个底角相等提供了一个相等关系，因此题日中一般提供一个相等关系即可。

培优学案典例示范一、等腰三角形的边长常需要分情况讨论例1根据下列条件求等腰三角形的周长.（1）两条边长分别为2和5；（2）两条边长分别为3和5.【提示】本题没有说明两条边为腰和底时，只有通过讨论可能存在的两种情况来求解，所得的答案要满足三角形三边的条件.【解答】【技巧点评】（1）没有指明腰和底时，一定要分类讨论，不要丢了解；（2）所得三角形三边的长一定要满足三角形三边的条件。

没有用三边关系定理来检验的答案可能是错误的。

跟踪训练1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A.17cmB.22cmC.17cm或22cmD.18cm二、利用两底角相等，求等腰三角形的角的度数例2 填空题.（1）在ABC∠=︒，求BA=，若50∆中，AB AC∠的度数；（2）在ABC∠=︒，求AB∆中，AB AC=，若50∠的度数；（3）若等腰三角形的一个角为80︒，求顶角的度数；（4）若等腰三角形的一个角为100︒，求顶角的度数。

【提示】本题的各小题中都有三个未知教，除了三个角的和为180︒这个条件外，题目应该还有两个条件才能求出这三个角的度数，准确找出这两个条件，是解决此类问题的关键.【解答】【技巧点评】求角时，一定要看给出的角是否定为顶角或底角，在没有指出所给的角为顶角或底角时，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理，避免漏解或多解。

跟踪训练2.如图2-5-1，在ABC∠=︒，则BDAC==，80∆中，AC AD BD∠的度数是（）图2-5-1A.40︒B.35︒C.25︒D.20︒三、角平分线+平行线=等腰三角形例3如图2-5-2.AD是ABC∆的角平分线，点E在AB上，且AE AC=，EF BC交AC于点F.求证：EC平分DEF∠.【提示】要证明EC平分DEF∆是等腰三角形。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节 等腰三角形的性质【课本相关知识点】1、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角 ，这个定理也可以说成，在同一个三角形中，2、推论：等边三角形的每个内角都等于3、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的 、底边上的中线和高线互相 ，简称等腰三角形的【典型例题】【题型一】利用等腰三角形的性质求角度例1、（1）在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=50°，则∠B=（2）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为（3）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为（4）若等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为温馨提醒：一定要看清题目，是否要分类讨论。

多画图，有助于解题。

例2、如图所示，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，分别以两腰为边向外作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，已知∠DAE=∠DBC ，求△ABC 的三个内角的度数。

【题型二】三线合一中，知“一线”推“二线”（前提一定要在等腰三角形中） 例1、如图，已知△ABC（1）若AB=AC ，∠1=∠2，则 ，（2）若AB=AC ，AD ⊥BC ，则 ，（3）若AB=AC ，BD=DC ，则 ， 【题型三】运用等腰三角形的性质证明线段相等、垂直、角度相等例1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是△ABC 的高，求证：∠BCE=∠CBD例2、如图所示，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

（1）试说明AF ⊥CD（2）在（1）中的结论说明完毕后，还能得出什么新的结论？请你写出三个（不必说明理由）例3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，试说明EF ⊥BC 。

巩 固 练 习1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是2、若等腰三角形的顶角等于50°，则一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 25°B 30°C 45°D 65°注意：记住结论：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半3、如图所示，已知P 、Q 是△ABC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=4、在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，求∠DCE 的度数5、如图所示，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，AD=AE ，∠BAD=40°，求∠CDE 的度数6、如图所示，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管________根 7、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，如果∠BAC=110°，那么∠PAQ=8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的BC 边上的高为h 。

重点和难点本节的重点是等腰三角形的有关概念，等腰三角形是轴对称图形是本节教学中的难点. 说明和建议：1. 由于等腰三角形的概念在小学中已学过，课本直接给出等腰三角形的定义。

教学中可以通过课本中做一做，加深学生对等腰三角形的定义，以及腰、顶点、底角、底边等概念的理解.2. 通过学生动手操作发现等腰三角形的基本性质，认识等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是他的对称轴.课本中的例题加深对这一性质的理解.3. 淡化几何定理的证明格式，通过生活中的实际情境来加深定理的理解.2.2 等腰三角形的性质重点和难点本节的重点是等腰三角形的性质.例2的几何作图是难点.说明和建议：1. 由于上节课作了充分的准备，学生对等腰三角形的性质不会觉得难以理解.2. 课堂中的例题重点放在分析思路，突出等腰三角形性质的应用上.例1较简单，例2根据已知条件作等腰三角形，为分散难点，可作如下分析：从已知底边BC=a和底边BC上的高为h出发，要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶角的顶点A，等腰三角形顶角的顶点在哪里?根据等腰三角形三线合一的性质，A在底边BC 的垂直直平分线上. 因此，先作BC，再作BC的垂直平分线L交BC于点D，然后在L上截取DA=h，连结AB，AC就得到所求作的等腰三角形.2.3 等腰三角形的判定重点和难点本节的重点是等腰三角形的判定方法，例2的说理过程是本章的难点.说明和建议1. 通过学生动手操作发现两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 例1直接应用等腰三角形的判定方法. 例2是等腰三角形的性质和判定的综合应用. 可按以下步骤分析：(1) 等腰三角形底边上的高又是什么线?(2) 两直线平行可得什么结论?(3) 由上知，哪些角相等?这样可根据等腰三角形的判定方法知△BDE是等腰三角形.2.4等边三角形重点和难点本节的重点是等边三角形的性质.难点是等边三角形性质的探索过程.说明和建议：本课例题是等边三角形性质的应用，教师可补充等边三角形的判定方法.重点和难点本节的重点是直角三角形性质和判定方法.难点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.说明和建议：1. 直角三角形内角的特点和用角判定三角形是直角三角形，学生容易理解.课本引出特殊直角三角形即等腰直角三角形.2. 例2有承上启下的作用，既运用直角三角形两锐角互余的性质，又为下节直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作铺垫.3. 例3是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用.先应把实际问题转化为数学问题.通过分析讲解.最后可告诉学生在直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半.2.6 探索勾股定理重点和难点本节的重点是勾股定理及逆定理.难点是用面积证明勾股定理.说明和建议：1. 通过学生动手操作发现直角三角形三条边长的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.然后探索勾股定理的正确性.课文中用四个全等的直角三角形拼成一个正方形.用面积说明勾股定理的正确性，教师可视学生的实际情况用别的拼图方法介绍说明勾股定理.2. 通过课内练习要求学生在数轴上作出无理数.3. 通过学生动手操作发现：勾股定理的逆定理.这个逆定理只要求学生熟悉，会运用即可.2.7 直角三角形全等的判定重点和难点本节的重点和难点是直角三角形全等的判定方法.说明和建议：1. 探索直角三角形的判定方法.用等腰三角形的性质和三角形全等说明直角三角形全等的判定方法.2. 课本中例题用直角三角形全等的判定方法说明角平分线的另一个性质.。

八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.等腰三角形的一边长为3 cm ，周长为19 cm ，则该三角形的腰长为（ ）A.3 cmB.8 cmC.3 cm 或8 cmD.以上答案均不对2.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB 的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.已知等腰△ABC 的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC 的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或64.若a,b 为等腰△ABC 的两边，且满足520a b --=，则△ABC 的周长为 ( ）A.9B.12C.15或12D.9或125.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形6.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ）A ．21B ．21或27C ．27D ．258.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题9.如果等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则这个等腰三角形的底边长是 .10.已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．11.一个等腰三角形的底边长为5 cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3 cm ，则它的腰长是12.如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________13.一副三角形叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度；14.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.三、解答题15.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分求这个三角形的腰长。

第二章 三角形复习题一．选择题1．已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ）A.3B.4C.8D.122．一个等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 10cm ，则该等腰三角形的周长为（ ）A.14cmB.18cmC.24cmD.18cm 或 24cm3.下列长度的各组线段首尾相接能构成三角形的是（ ）A. 3cm 、5cm 、8cmB. 3cm 、5cm 、6cmC. 3cm 、3cm 、6cmD. 3cm 、5cm 、10cm 4．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为22 cm ，AB 比AC 长3 cm ，则△ACD 的周长为（ ） A.19 cm B.22 cmC.25 cmD.31 cm5．如图，ABC ∆中，70A ∠=，点E 、F 在AB 、AC 上，沿EF 向内折叠AEF ∆，得DEF ∆，则图中12∠+∠的和等于（ ） A.70 B.90 C.120 D.140 6．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180 B ．220 C ．240 D ．3007．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝8，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，过点D 作直线平行于BC ，交AB ，AC 于E ，F ，则△AEF 的周长为（ ）A.11B.13C.15D.188．如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若DE=5，BD=3，则线段CE 的长为（ ）A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 9．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．三角形的稳定性C ．长方形的四个角都是直角D ．四边形的稳定性10．BP 和CP 是△ABC 两个外角的平分线，则BPC ∠为（ ） A.12A ∠ B.1902A +∠ C.1902A -∠ D.A ∠11．正方形ABCD内有一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P共有（）A.9个B.7个C.5个D.4个12．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于（）A．140°B．120°C．130°D．无法确定13．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC 的值为（）A．1cm2B．2cm2C．8cm2D．16cm214．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（）A．90°B．75°C．60°D．45°15．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．54°16．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A.AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B.AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C.AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D.∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为（）A．40°B．40°或130°C．40°或140°D．140°18．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC 上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°19．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．520．如图，在ABC ∆中，8cm AB AC ==，D 是BC 上的一点，DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，已知6cm DE DF +=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．212cmB ．248cmC ．224cmD ．264cm21．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交BC 于点N ，交AC 于点F ，则∠MAN 为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50° 22．如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠B =40°，AC 边的垂直平分线交BC 于点E ，连接AE ，则∠BAE 的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°23．如图，在△ABC 中，AC=4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm24．如图，在Rt ABC ∆中90C =∠，AB BC >，分别以顶点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于点D .若5AD =，3CD =，则BC 长是（ ）A ．7B ．8C ．12D ．1325．如图，已知∠ABC =∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ） A ．∠C =∠D B ．∠CAB =∠DBA C ．AC =BD D ．BC =AD26．如图，童威书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，他的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS27．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①②③去28．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A ，B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）A.6B.8C.9D.1029．如图，在射线OA ，OB 上分别截取OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1，B 1B 上分别截取B 1A 2=B 1B 2，连接A 2B 2，…按此规律作下去，若∠A 1B 1O =α，则∠A 10B 10O =（ ）A ．102αB ．92αC ．20αD ．18α30．如图，已知：∠MON=30°，点 ···在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ···在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，若112OA =，则△667A B A 的边长为（ ）A.6B.12C.16D.32二．填空题1．已知 a 、b 、c 是三角形的三边长，若 a=8cm ，b=10cm ，则边长 c 的取值范围是_____. 2．对顶角相等，这个命题的条件是：___________________；结论是：________________． 3．请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:____________________________________.4．若等腰三角形的周长为20cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的腰长是______cm ． 5．已知等腰三角形的两边长是 6 和 8，则它的周长是________________．6．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAD ＝30°，则∠EDC=_____．321,,A AA8．如图，已知△ABC ，CP ，BP 分别平分△ABC 的外角∠ECB 、∠DBC ，若∠A ＝50o ，那么∠P ＝ ．9．如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，等边三角形的高为2，则 OE+OF 的值为____.10．如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，若∠A ＝52°，则∠E 的度数为_____． 11．如图，在△ABC 中，∠A ＝m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2…∠A 2 017BC 和∠A 2 017CD 的平分线交于点A 2 018，则∠A 2 018＝_____度．12．如图，∠MAN 是一个钢架结构，已知∠MAN =15°，在角内部构造钢条BC ,CD ,DE ,……且满足AB =BC =CD =DE =……则这样的钢条最多可以构造________根.13．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为______．14．如图，在ABC ∆中，6AC =，8BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 边于点D ，交BC 边于点E ，在线段DE 上有一动点P ，连接AP 、PC ，则APC ∆的周长最小值为______. 15．如图，点C 为线段AE 上一动点（不与点A ，点E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，以下四个结论，①AD ＝BE ；②CP ＝CQ ；③OB ＝DE ；④PQ ∥AE ，一定成立的结论有_____（请把正确结论的序号填在横线上）．三、解答题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）若∠A ＝40°，求∠DBC 的度数；（2）若AE ＝6，△CBD 的周长为20，求BC 的长．2．根据下面图形，解答问题：（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线（如图1），求∠DAG的度数？（2）在（1）中，若去掉“AB=AC”的条件，其余条件不变（如图2），还能求出∠DAG的度数吗？若能，请求出∠DAG的度数；若不能，请说明理由；（3）在（图2）的情况下试探索△ADG的周长与BC长的关系？3．已知：如图，AE∥CF，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C．求证：（1）AB∥CD；（2）BF=DE．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．5．如图，点C 是线段AB 上除点A 、B 外的任意一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同旁作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交DC 于M ，连接BD 交CE 于N ，连接MN ． （1）求证：AE ＝BD ；（2）请判断△CMN 的形状，并说明理由。

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题等腰三角形的判定教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题等腰三角形的判定是本章的重要内容。

通过学习等腰三角形的判定，学生能进一步理解三角形的性质，并为后续学习其他三角形奠定基础。

本节课的内容包括等腰三角形的定义、性质及其判定方法。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握等腰三角形的判定方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具有一定的观察、分析和解决问题的能力。

但是，对于等腰三角形的判定，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握等腰三角形的定义、性质及其判定方法，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：等腰三角形的定义、性质及其判定方法。

2.难点：如何运用判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，引导学生观察、分析，从而得出结论。

2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT、图片、例题及练习题。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.提前布置预习任务，让学生初步了解等腰三角形的定义和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并思考：这些三角形中，哪些是等腰三角形？等腰三角形有哪些特点？2.呈现（10分钟）教师简要介绍等腰三角形的定义、性质及其判定方法。

通过PPT展示相关知识点，让学生初步掌握等腰三角形的基本概念。

3.操练（10分钟）教师提出几个有关等腰三角形的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。