浙教版八年级数学上册期末复习专题2等腰三角形(含答案)

2.2 等腰三角形1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(C ) A. 12 B. 16C. 20D. 16或202．若等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为(D ) A. 11 B. 16 C. 17 D. 16或17(第3题)3．如图，在△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，则AC ＝__5__．4．已知一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎨⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为__5__．5．在课题活动课上，小明已有两根长分别为5 cm ，10 cm 的火柴棒，现打算做一个等腰三角形模型，则小明取的第三根火柴棒的长度为__10____cm.(第6题)6．如图，AB ，AC 是等腰三角形ABC 的两腰，AD 平分∠BAC ，则△BCD 是等腰三角形吗？试说明理由．【解】 △BCD 是等腰三角形．理由如下： ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CA D.∵AB ，AC 是等腰三角形ABC 的两腰， ∴AB ＝A C.在△ABD 与△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS )．∴BD ＝C D. ∴△BCD 是等腰三角形．(第7题)7．如图，AC 平分∠BAD ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，连结B D.请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．【解】 等腰三角形有△ABD 和△BC D.理由如下： ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠DAC ＝∠BA C. ∵CD ⊥AD ，CB ⊥AB ， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°. 又∵AC ＝AC ， ∴△ACD ≌△ACB (AAS )． ∴AD ＝AB ，CD ＝C B.∴△ABD ，△BCD 都是等腰三角形．8．已知等腰三角形ABC 的底边BC 的长为8，且|AC －BC |＝2，则腰AC 的长为(A ) A ．10或6 B ．10 C ．6 D ．8或6【解】 若AC －BC ＝2，则AC ＝10；若BC －AC ＝2，则AC ＝6，均满足三角形的三边关系．9．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是110°或70°．【解】当等腰三角形的顶角是钝角时，如解图①，此时顶角的度数是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，如解图②，此时顶角的度数是90°－20°＝70°.(第9题解)10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断这个三角形的形状．【解】∵a2＋2ab＝c2＋2bc，∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2bc＋b2，∴(a＋b)2＝(b＋c)2，∴a＋b＝±(b＋c)．∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b＝b＋c，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．11．如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．(第11题)【解】分类讨论：若以AB为腰，B为顶角顶点，可作出点C1，C2；若以AB为腰，A为顶角顶点，可作出点C3；若以AB 为底边，可作AB 的中垂线交l 2于点C 4. 故共有4个满足题意的等腰三角形．12．有一个等腰三角形，三边长分别为3x －2，4x －3，6－2x ，求这个等腰三角形的周长．【解】 当3x －2＝4x －3时，解得x ＝1.∴3x －2＝1，4x －3＝1，6－2x ＝4，显然不能组成三角形． 当3x －2＝6－2x 时，解得x ＝85.∴3x －2＝145，6－2x ＝145，4x －3＝175，能组成三角形，周长为145＋145＋175＝9. 当4x －3＝6－2x 时，解得x ＝32.∴4x －3＝3，6－2x ＝3，3x －2＝52，能组成三角形，周长为3＋3＋52＝172. 综上所述，这个等腰三角形的周长为9或172.13．(1)如图①，△ABC 是等边三角形，△ABC 所在平面上有一点P ，使△PAB ，△PBC ，△PAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个？在图中画出来．(2)如图②，正方形ABCD 所在的平面上有一点P ，使△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个？在图中画出来．(第13题)【解】 (1)10个．如解图①，当点P 在△ABC 内部时，P 是边AB ，BC ，CA 的垂直平分线的交点；当点P 在△ABC 外部时，P 是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点，每条垂直平分线上得3个交点．故具有这样性质的点P 共有10个．(第13题解①)(2)9个．如解图②，两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个．故具有这样性质的点P共有9个．(第13题解②)。

浙教版八年级数学上册同步练习：专题提升二等腰三角形的分类讨论问题专题一遇边不确定的分类问题1．已知等腰△ABC的底边BC＝8cm，AC-BC＝2cm，则腰长AC的长为（）A．10cm或6cm B．10cmC．6cm D．8cm或6cm2．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是____________．3．（齐齐哈尔中考）有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为____________.专题二遇角不确定的分类问题4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°5．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个6．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是____________．7．如图：已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为____________．8．（宿迁中考）如图，在长方形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为____________.专题三遇高位置不确定的分类问题9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）A．32.5°B．57.5°C．65°或57.5°D．32.5°或57.5°10．为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长．专题四遇数据对应关系不确定的分类问题11．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成21cm，12cm两部分，则等腰三角形的腰长为____________．专题五动态几何引起的分类问题12．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，AB＝AC＝2.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．13．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A.（1）求∠A和∠B的度数；（2）如图2，BD是△ABC中∠ABC的平分线．①写出图中与BD相等的线段，并说明理由；②直线BC上是否存在其他的点P，使△BDP为等腰三角形，如果存在，请在图3中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．14．若经过等腰三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称原等腰三角形为和合等腰三角形，简称和合三角形．（1）如图，已知等腰直角△ABC，∠A＝90°.求证：等腰直角△ABC是和合三角形；（2）若等腰△DEF有一个内角等于36°，那么请你画出简图说明△DEF是和合三角形；（要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数）（3）请直接写出一个和合三角形各内角的度数____________.[（1）（2）出现过的除外]参考答案1.A2.16或173.20或204.B5.C6.120°7.15°、30°、120°、75°8.4或29.D10.分三种情况计算，不妨设AB＝10米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AB×CD＝30，即×10×CD＝30，CD＝6（米），①当AB为底边时，AD＝DB＝5（米）（如图1），AC＝BC＝（米）；②当AB为腰且三角形为锐角三角形时（如图2），AB＝AC＝10（米），AD＝＝8（米），BD＝2（米），BC＝＝2（米）；③当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图3），AB＝BC＝10（米），BD＝＝8（米），AD＝10＋8＝18（米）．AC＝（米）．11.14cm12.能构成等腰三角形．①若AE＝AM，则∠AME＝∠AEM＝45°，∵∠C＝45°，∴∠AME＝∠C，又∵∠AME＞∠C，∴这种情况不成立，②若AE＝EM，∵∠B＝∠AEM＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135°，∠MEC＋∠AEB＝135°，∴∠BAE＝∠MEC，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝，∵BC＝＝2，∴BE＝2－.③若MA＝ME，则∠MAE＝∠AEM＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°，∴AE平分∠BAC，∵AB＝AC，∴BE＝BC＝1.13.（1）∵AB ＝AC ，∠B ＝2∠A ，∴∠C ＝∠B ＝2∠A ，又∵∠C ＋∠B ＋∠A ＝180°，∴5∠A ＝180°，∠A ＝36°，∴∠B ＝72°；（2）①∵BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°＝∠A ，∴∠BDC ＝72°＝∠C ，∴BD ＝AD ＝BC ；②当BD 是腰时，以B 为圆心，以BD 为半径画弧，交直线BC 于点P1（点C 除外），此时∠BDP ＝21∠DBC ＝18°.以D 为圆心，以BD 为半径画弧，交直线BC 于点P3（点B 除外），此时∠BDP ＝108°.当BD 是底时，则作BD 的垂直平分线，和BC 的交点即是点P2的位置．此时∠BDP ＝∠PBD ＝36°.14.（1）证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC ＝45°，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAD.∴△ABD 和△ACD 是等腰三角形，∴△ABC 是和合三角形．（2）当顶角为36°时，如图2，当底角为36°时，如图3，综上所述，△DEF 是和合三角形．（3）∠A＝，∠B＝∠C＝.。

小专题(二)等腰三角形中的分类讨论类型1对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论、在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等、1、等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论、判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边、2、(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长、解：(1)周长为19 cm或20 cm.(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.3、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长、解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形、设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧x ＋12x ＝9，12x ＋y ＝12或⎩⎨⎧x ＋12x ＝12，12x ＋y ＝9.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5.故腰长是6 cm ，底边长是9 cm 或腰长是8 cm ，底边长是5 cm .类型3 几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝80°，求∠CAD 的度数、解：①如图1，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时， ∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，∴CA ＝CB .∴△CAB 是等腰三角形、 又∵CE ⊥AB ，∴CE 是∠ACB 的平分线、∴∠ACE ＝∠BCE . ∵∠ACB ＝50°，∴∠ACE ＝25°. 同理可得∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝∠ADE －∠ACE ＝40°－25°＝15°；图1 图2②如图2，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同①的方法可得∠ACE ＝25°，∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝180°－(∠ADE ＋∠ACE )＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°. 故∠CAD 的度数为15°或115°.类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论5、(下城区校级期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为258或5或8秒、解析：①当AD ＝BD 时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD 2＝AC 2＋CD 2，即BD 2＝(8－BD )2＋62， 解得BD ＝254 cm .则t ＝2542＝258(秒)；②当AB ＝BD 时，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm )， 则t ＝102＝5(秒)；③当AD ＝AB 时，BD ＝2BC ＝16 cm ， 则t ＝162＝8(秒)、综上所述，t 的值可以是：258，5，8.6、(杭州期中)如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒、(1)当t ＝2秒时，求PQ 的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？ (3)若Q 沿B →C →A 方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间、解：(1)BQ ＝2×2＝4(cm )，BP ＝AB －AP ＝8－2×1＝6(cm )， ∵∠B ＝90°，∴PQ ＝BQ 2＋BP 2＝42＋62＝213(cm )、 (2)根据题意，得BQ ＝BP ， 即2t ＝8－t ， 解得t ＝83.∴出发时间为83秒时，△PQB 是等腰三角形、(3)分三种情况：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示， 则∠C ＝∠CBQ ， ∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°. ∴∠A ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AQ .∴CQ ＝AQ ＝5 cm . ∴BC ＋CQ ＝11 cm . ∴t ＝11÷2＝5.5(秒)、②当CQ ＝BC 时，如图2所示， 则BC ＋CQ ＝12 cm . ∴t ＝12÷2＝6(秒)、③当BC ＝BQ 时，如图3所示， 过B 点作BE ⊥AC 于点E ， 则BE ＝AB·BC AC ＝6×810＝4.8(cm )、∴CE ＝BC 2－BE 2＝3.6 cm .∴CQ ＝2CE ＝7.2 cm . ∴BC ＋CQ ＝13.2 cm . ∴t ＝13.2÷2＝6.6(秒)、由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形、。

2.2 等腰三角形 （巩固练习）姓名 班级第一部分1、在等腰三角形中,已知有两边长为2和6,则此等腰三角形的周长是 .2、一个等腰三角形的周长为14 cm,,且一边长为4 cm,,则它的腰长为 .3、如图,已知AC 平分∠BAD,CD ⊥AD 于D,CB ⊥AB 于B.请找出图中的等腰三角形,并说明理由.4、如图3,在△ABC 中,CD 与BE 分别是AB,AC 边上的高,且CD=BE.试判断△ABC 的形状,并说明理由.5、如图4,AD 是等腰三角形ABC 的顶角的平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,且它们关于AF 对称,则BE=CF.请说明理由.6、如图5, BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,请分别作出E,F 关于直线BD 的对称点.图2图4 DFECBA图5图3第二部分1.如图1,点D 是△ABC 的边BC 上一点,且AB=AC,BD=AD,则图中有 个等腰三角形.2.如图1,等腰三角形ABD 的顶角是 ,底边是 .3. 在△MNP 中, 若MN=NP,则此等腰三角形的两个底角是： .4.等腰三角形有两边长分别为1cm,2cm,则它的腰长是 . .5.如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 ．6.下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线；④等腰三角形的对称轴有三条. 其中正确的说法有 .(填序号)7. 等腰三角形的底边长是8, 则它的腰的取值范围是 .解析：根据”三角形两边之和大于第三边”, 若设腰长为x, 则2x>8, ∴x>4.8. 已知：线段m 、n.用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m, 腰等于n (保留作图痕迹，不写作法、不证明)9.如图7, ∠A=∠D,∠1=∠2,E 是AD 的中点.则△EBC 是等腰三角形吗?请说明理由.图7nm 图1参考答案第一部分5、如图4,AD是等腰三角形ABC的顶角的平分线,点E,F分别在AB,AC上,且它们关于AF 对称,则BE=CF.请说明理由.【解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角的平分线,∴直线AD是等腰三角形ABC的对称轴.∵B,C 和E,F 是两对对称点,当将图形沿AD 对折时,点B 与点C 重合,点E 与点F 重合, ∴线段BE 与线段CF 重合, ∴BE=CF.6、如图5, BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,请分别作出E,F 关于直线BD 的对称点.【解】∵BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线, ∴直线BD 是等腰三角形ABC 的对称轴.∴当把图形沿直线BD 对折时, AD 与DC, BA 与BC 重合, ∴E 的对称点E 1在BC 上, 且BE 1=BE, F 的对称点F 1在AD 上, 且DF 1=DF.如图, 点E 1, F 1分别是E, F 关于直线BD 的对称点.第二部分1.如图1,点D 是△ABC 的边BC 上一点,且AB=AC,BD=AD,则图中有 个等腰三角形.答案：22.如图1,等腰三角形ABD 的顶角是 ,底边是 .答案：∠ABD AB3. 在△MNP 中, 若MN=NP,则此等腰三角形的两个底角是： .答案：∠NMP ∠NPM4.等腰三角形有两边长分别为1cm,2cm,则它的腰长是 . .答案：2cm解析：若AB 为底,则由AB 的长是BC 的2倍可知,两腰之和等于底边,此时三角形不存在;故AB 为腰. ∵AB+BC+AC=40, ∴5BC=40,则BC=8,AB=2BC=16.答案：B5.如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 ．解析：当腰长为7时三角形才存在, 则周长为7+7+4=18. 答案：186.下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等腰DFF 1E 1ECB A图1DFCA图5三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线；④等腰三角形的对称轴有三条. 其中正确的说法有.(填序号)解析：轴对称图形的对称轴是一条直线,故②错误. 一般的等腰三角形的对称轴只有一条,故④错误.答案：①③7. 等腰三角形的底边长是8, 则它的腰的取值范围是.解析：根据”三角形两边之和大于第三边”, 若设腰长为x, 则2x>8, ∴x>4.答案：x>4.8. 已知：线段m、n.用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m, 腰等于n (保留作图痕迹，不写作法、不证明)解：△ABC就是所求的等腰腰三角形.9.如图7, ∠A=∠D,∠1=∠2,E是AD的中点.则△EBC是等腰三角形吗?请说明理由.分析：根据已知条件,可得△ABE≌△CDE(ASA),则EB=EC.解：∵E是AD的中点, ∴AE=DE.∵∠A=∠D,∠1=∠2, ∴△ABE≌△CDE(ASA). ∴EB=EC, ∴△EBC是等腰三角形图7nmCBA。

浙教版八年级上学期等腰三角形的性质与判定专题（附答案）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠1=25°，那么∠2的度数为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°2.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A. B. AD⊥BC C. AD平分∠BAC D. BC=2AD3.在下列条件中，能断定△ABC为等腰三角形的是( )A. B.C. AB=AC=2，BC=4D. AB=3，BC=7，周长为184.如图，两个全等的等腰直角三角形按如图所示叠放在一起，点A，D分别在EF，BC边上，AB∥DE，BC∥EF.若AB＝4，重叠（阴影）部分面积为4，则AE等于（）A. 2B.C.D.5.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°6.如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm7.等腰三角形的对称轴是（）A. 底边上的高所在的直线B. 底边上的高C. 底边上的中线D. 顶角平分线8.如图，把△ABC沿直线BC方向平移到△DEF，则下列结论错误的是（）A. ∠A=∠DB. BE=CFC. AC=DED. AB∥DE9.如图，在一张长方形纸条上画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形10.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2 )，将菱形绕点O旋转，当点A落在x 轴上时，点C的对应点的坐标为（）A. 或B.C.D. 或二、填空题（共8题；共8分）11.在△ABC中，AD为高线，若AB+BD=CD，AC=4 ，BD=3，则线段BC的长度为________．12.在△ABC中，∠A=50°,∠C=60°,则∠B=________ .13.如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为________．14.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=15°，则∠BAD=________．15.已知，如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD．求证：EG∥FH．请完成以下证明过程：证明：∵AB∥CD(已知)∴∠AEF=∠EFD（________）∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD（________）∴∠________＝∠AEF,∠________= ∠EFD（________）∴∠________=∠________(等量代换)∴EG∥FH（________）．16.如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=________．17.如图，AD=BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC=6cm，DC=2cm，则AE=________cm．18.如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为________．三、解答题（共6题；共70分）19.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，交BC于D，BD=5cm，求底边BC的长．20.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE．（1）求证：△BCE≌△AHE．（2）求证：AH＝2CD．21.如图12-1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，连接BD，CE，将△ADE绕点A 旋转，BD，CE也随之运动．（1）求证：BD=CE；（2）在△ADE绕点A旋转过程中，当AE∥BC时，求∠DAC的度数；（3）如图12-2，当点D恰好是△ABC的外心时，连接DC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．22.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′．（1）求EF的长；（2）设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，求证四边形PP′CD是平行四边形，并求出四边形PP′CD的面积．23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.（1）求证：△AEF≌△DEB;（2）求证：四边形ADCF是菱形.24.已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点B．（1）如图，求证：BD+AB＝BC；（2）直线MN绕点A旋转，在旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，求BC的值．答案一、单选题1. D2. D3. B4. A5.C6. A7. A8. C9. A 10. D二、填空题11.5或11 12.70°13. π 14.35°15. 两直线平行，内错角相等；已知；GEF；EFH；角平分线的性质；GEF；EFH；内错角相等，两直线平行16. 5 17. 2 18.，，，，，三、解答题19.解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD=10cm．故底边BC的长是10cm20. （1）证明：∵∠C+∠CBE=∠C+∠DAC=90°，∴∠CBE=∠DAC，∵AE=BE，∠BEC=∠AEH=90°，∴△BCE≌△AHE（ASA）.（2）证明：∵△BCE≌△AHE，∴AH=BC，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∴AH=2CD.21. （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即：∠BAD=∠CAE,又AB=AC，AD=AE，在△BAD和△CAE中，有∵△BAD≌△CAE，∴BD=CE.（2）解：如图1，当点E在点A右侧，AE∥BC时，有∠EAC=∠BCA= =70°，∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=70°-40°=30°.如图2，当点E在点A左侧，AE∥BC时，有∠EAC+∠BCA=180°，∴∠EAC=180°-∠BCA=180°-70°=110°，∴∠DAC=∠EAC+∠EAD=110°+40°=150°（3）解：四边形ADCE是菱形；理由：当点D恰好是△ABC的外心时,有AD=BD=CD，由（1）的结论可知，BD=CE，∴AD=CO=CE，又已知AD=AE，∴AD=CO=CE=AE，故四边形ADCE是菱形22. （1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝8，∵F是AB的中点，∴AF＝AB＝×8＝4，∵点F作FE⊥AD，∠A＝60°，∴∠AFE=30°，∴AE= ，∴EF＝2 （2）解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．由题意PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，∴AE＝2，EF＝2 ，∴PE＝PF＝，在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝，∴HF＝PF＝，∵DF＝=4 ，∴DH＝4 ﹣＝，∴平行四边形PP′CD的面积＝×8＝28 ．23. （1）证明：∵AF∥BC ∴∠AFE＝∠DBE∵E是AD中点，∴AE＝DE在△AEF和DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS）（2）证明：在Rt△ABC中，D是BC的中点，所以，AD＝BD＝CD又AF∥DB，且AF＝DB，所以，AF∥DC，且AF＝DC，所以，四边形ADCF是菱形.24. （1）证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，如图1，图1∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，∵DB⊥MN，∴∠ABC+∠CBD＝90°，∵CE⊥CB∴∠ABC+∠CEA＝90°，∴∠CBD＝∠CEA．又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB.（2）解：①当C，D在直线MN的同侧时，连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，如图2，图2∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∴点A，点C，点D，点B四点共圆，∴∠CAD＝∠CBD＝45°，且DF⊥BC，∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，∴BF＝DF＝1，∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，∴CF＝DF＝，∴BC＝CF+BF＝+1，②当C，D在直线MN的异侧时，连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，如图3，图3∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∴点A，点C，点D，点B四点共圆，∴∠CAD＝∠DBF＝45°，且DF⊥BC，∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，∴BF＝DF＝1，∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，∴CF＝DF＝，∴BC＝CF﹣BF＝﹣1．。

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为α时对应结论 当α为顶角时底角=α2190-︒当α为直角或钝角时 不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为α时对应结论 若α为锐角、直角 α必为顶角的外角若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 把三角形的周长分为9cm 和12cm 两部分，则此三角形的腰长是 8cm 或6cm ．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm ，哪个是12cm ，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y ， ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x ＝12，解得x ＝4cm ， 则x +y ＝9，即4+y ＝9，解得y ＝5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x ＝9，解得x ＝3cm ，则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是40°，40°．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的两底角相等∴两底角的和为180°﹣100°＝80°∴两个底角分别为40°，40°．（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是9cm或cm．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，当△ABD的周长大于△BCD的周长时，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底边长为35﹣13×2＝9（cm）；当△BCD的周长大于△ABD的周长时，则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底边长为35﹣×2＝（cm）．综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．故答案为：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是钝角三角形，如图2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案为：70°或20°．5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝P A；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠P AB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝4或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案为4s或12s．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为75°或120°或15°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，故答案为：75°或120°或15°．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9．【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：如图，连接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴点Q运动路线的长为3+6＝9，故答案为：3或9．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为45°或36°或或．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，①如图1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如图2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．④如图3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，设∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如图4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．故答案为：45°或36°或或．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为3或9．【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF ⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，则∠ABC＝135゜．16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，P A⊥PB，且P A＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．【解答】解：此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．综合上述CB＝7或9．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．【解答】解：（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．故答案为：90°、135°、45°．（3）如下图作△ABC，①如图1：当AD＝AE时，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如图2：当AD＝DE时，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值为20°或40°．故答案为20°或40°．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝P A，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝P A，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．。