正态分布-学生用卷

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为附：若，则；；．A. 6038B. 6587C. 7028D. 75392.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，如果，则A. B. C. D.4.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.5.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.6.若随机变量X的密度函数为，X在区间和内取值的概率分别为，则，的关系为A. B. C. D. 不确定7.甲、乙两类水果的质量单位：分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是A. 甲类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数8.已知随机变量，若，则的值为A. B. C. D.9.已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高单位：服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制A. 683套B. 954套C. 932套D. 997套10.设随机变量服从正态分布，若，则A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设随机变量服从正态分布，若，则c的值是______12.已知随机变量服从正态分布，则______13.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间内的概率为________．14.某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______结果用分数表示附参考数据：；；．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）15.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。

2023~2024学年人教A 版（2019）选择性必修第三册《正态分布》易错题集二考试总分：74 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 已知随机变量服从正态分布，，则等于 A.B.C.D.2. 设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若，则，A.B.C.D.3. 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为，则在内取值的概率（ ）A.B.C.D.ξN (4,)62P(ξ 5)=0.89P(ξ 3)()0.890.220.780.11X ∼N(1,1)ABCD 100000X ∼N(μ,)σ2P(μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826P(μ−2σ<X <μ+2σ)≈0.954460380658707028075390ξN(1,)σ2ξ(0,1)0.4ξ(0,2)0.40.60.80.9二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）4. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是（ ）A.该地水稻的平均株高为B.该地水稻株高的方差为C.随机测量一株水稻，其株高在 以上的概率比株高在 以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：）的概率一样大5. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A.乙类水果的平均质量B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）6. 正态分布随机变量服从参数为和的正态分布时，记________．标准正态分布________7. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为________．（附：若，则，，）cm f(x)=1102π−−√e (x−100)2200x ∈(−∞,+∞)100cm10120cm 70cm (80,90)(100,110)cm kg N (,)μ1σ21N (,)μ2σ22=0.8kgμ2=1.99σ2X μσX kg N(25,0.04)24.8∼25.4kg Z ∼N(μ,)σ2P(|Z −μ|<σ)=0.6826P(|Z −μ|<2σ)=0.9544P(|Z −μ|<3σ)=0.9974kg N(50,0.01)8. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为________．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9. 某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，估计这位农民的平均年收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）．为推进精准扶贫，某企业开设电商平台进行扶贫，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在店，乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由个商品构成，假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为，．①求的分布列及数学期望；②若，，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 10. 某大型企业从正常上班的万名员工中随机抽取名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于千步，不超过千步），得到频率分布直方图如图所示：求这名员工日行步数（单位：千步）的平均数和众数（每组数据以区间的中点值为代表）；已知该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，根据该正态分布估计该企业员工中日行步数的人数；视频率为概率，从该企业所有员工中任意抽出人，用表示走路步数不小于千步的人数，求的分布列和数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，. 11. 扶贫期间，扶贫工作组从地到地修建了公路，脱贫后，为了了解地到 地公路的交通通行状况，工作组调查了从地到地行经该公路的各种类别的机动车共辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．X kg N(50,0.01)49.8∼50.1kg 2020201950(1)50x¯¯¯(2)A B n (n ≥2,n ∈)N ∗W A B p,q W X Y X E (X)p =−7sin πn 4n πn 2q =sin πn 4n Y E (Y )n 40300420(1)300a (2)X ∼N (μ,)22μX ∈(9.68,15.68](3)3Y 10Y X N (μ,)σ2P (μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973A B A B A B 4000试根据频率分布直方图，求样本中的这辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取调查样本中辆机动车的平均车速和车速的方差 .请估计该公路上辆机动车中车速不低于千米时的车辆数（精确到个位）；现从经过该公路的机动车中随机抽取辆，设车速低于千米时的车辆数为，求的数学期望．附：若，则，，取 . 12. 《中国制造》是经国务院总理李克强签批，由国务院于年月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取件，测得产品质量差的样本数据统计如下：根据频率分布直方图，求样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值．求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．假如企业包装时要求把件优等品球和件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求随机变量的分布列及期望值． 13. 年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：(1)4000(2)Z N (μ,)σ2μσ24000(=204.75)s 2s 2(i)1000084.8/(ii)1084.8/X X ξ∼N (μ,)σ2P (μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6827P (μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545,P (μ−3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9973=14.3204.75−−−−−√202520155N (μ,)σ2(μ−σ,μ+σ)(μ+σ,μ+2σ)1000(1)x¯¯¯(2)100x¯¯¯μS σξN (μ,)σ2P (μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827P (μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545P (μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973(3)35X X 2020500（1）求这名考生的本次数学竞赛的平均成绩（精确到整数）；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中山近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差，并已求得．用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取名学生，记这次数学竞赛成绩在之外的人数为，求的值（精确到）．附：（1）当时，，；（2）．500x¯¯¯X N(μ,)σ2x¯¯¯σs s ≈1810(86,140]Y P(Y =2)0.001X ∼N(μ,)σ2P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545×≈0.00660.818680.18142参考答案与试题解析2023~2024学年人教A版（2019）选择性必修第三册《正态分布》易错题集二一、选择题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）1.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）4.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）6.【答案】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）9.【答案】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数离散型随机变量及其分布列利用导数研究函数的最值离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】正态分布的密度曲线频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

参考数据：若ξ～N （μ，σ2），P （μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．）1.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（177.5cm ）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2． ①利用该正态分布，求P （81＜z ＜119）；②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．附：≈19，≈18，3.在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：16112.7≈，若()2,zμσN ，则()0.6826zμσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．4.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i ）利用该正态分布，求；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：5.在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用成绩服从正态分布()2,Nμδ，右表用茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.（1）求,;μδ （2）给出正态分布的数据：（ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率； （ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望.18.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.6.在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下所示的频数分布表： 组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数5182826176（Ⅰ）求抽取样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （Ⅱ）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布N （μ，σ2）（其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2=161），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：≈12.7，（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）7.从某工厂生产的某产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得到下列频数分布表：（1）作出这些数据的频率分布直方图，并估计该产品质量指标值的平均数x及方差s 2（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；（2）可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x ，σ2．近似为样本方差s 2； 一件产品的质量指标不小于110时该产品为优质品；利用该正态分布，计算这种产品的优质品率p （结果保留小数点后4位）．8.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．质量指标值分组[75，85） [85，95） [95，105）[105，115）[115，125]频数626x228指标值分组[75，85）[85，95） [95，105）[105，115）[115，125]频数3012021010040（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数x 及方差s2；（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x .σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率； ②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？。

正态分布（填空题：一般）1、某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人；2、若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________.3、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．4、在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.5、已知正态总体落在区间上的概率是，则相应的正态曲线在__________时，达到最高点．6、若，，，则_____.7、某班有45名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．8、已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______时达到最高点．9、设随机变量，且，，则__________．10、设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=-__________11、设随机变量服从正态分布，若，则_________12、在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则落在内的概率为__________．13、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．14、已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则__________．15、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．16、某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，.17、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．18、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．19、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．20、某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．21、在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．22、在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．23、设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．24、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若，则．25、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．26、已知随机变量，，若，，则__________．27、在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考中，参加考试的2000名理科学生的数学成绩在90—110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布，则2000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是28、设随机变量，则______.29、已知随机变量服从正态分布. 若，则等于．30、已知随机变量服从正态分布，，则．31、设随机变量服从正态分布，若，则．32、设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .33、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .34、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .35、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）36、设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．37、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．38、已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．39、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R求的值。

§2.4 正态分布1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A解析 由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差 答案 C解析 因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P (ξ>4)＝12＝1－P (ξ<4)，故P (ξ<4)＝12，所以μ＝4.3．已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( ) A ．997人 B ．972人 C ．954人D ．683人考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P (60<X <120)＝P (90－2×15<X <90＋2×15)＝0.954,1 000×0.954＝954，故大约有学生954人．4．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 0.8解析 如图，易得P (0<X <1)＝P (1<X <2)，故P (0<X <2)＝2P (0<X <1)＝2×0.4＝0.8.5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X <0)，P (－2<X <2)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 解 对称轴为X ＝0，故P (X <0)＝0.5， P (－2<X <2)＝P (0－2×1<X <0＋2×1)＝0.954.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等； ②P (X <a )＝1－P (X >a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.一、选择题1．若随机变量X的概率密度函数是f(x)＝2(1)81e2x--⋅2π，x∈(－∞，＋∞)，则E(2X＋1)的值是()A．5 B．9 C．3 D．2考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案 C解析由f(x)＝2(1)81e2x--⋅2π知，μ＝1，∴E(X)＝1，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<c)＝P(ξ>c)，则c的值为()A．0 B．μC．－μD．σ考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案 B解析由正态分布密度曲线的性质知，曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ.3．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案 D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)22x-2π在x＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2<X<0)＝0.4，则P(X>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 A解析 ∵X ～N (0，σ2)，∴μ＝0.又∵P (－2<X <0)＝0.4，∴P (X >2)＝12(1－0.4×2)＝0.1.5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态曲线如图所示．则下列结论中正确的是( )A ．P (Y >μ2)≥P (Y >μ1)B ．P (X <σ2)≤P (X <σ1)C ．对任意正数t ，P (X <t )>P (Y <t )D ．对任意正数t ，P (X >t )>P (Y >t ) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y >μ2)<P (Y >μ1)，故A 错； P (X <σ2)>P (X <σ1)，故B 错；当t 为任意正数时，由题图可知P (X <t )>P (Y <t )， 而P (X <t )＝1－P (X >t )，P (Y <t )＝1－P (Y >t )， ∴P (X >t )<P (Y >t )，故C 正确，D 错．6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X <μ＋σ)＝0.683， P (μ－2σ＜X <μ＋2σ)＝0.954.A ．2 386B ．2 718C ．3 415D ．4 772 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的综合应用 答案 C解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X <1)＝0.683， ∴P (0<X <1)＝12×0.683＝0.341 5，故S ≈0.341 5.∴落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，∴x ＝10 000×0.341 5＝3 415，故选C.7．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A ．1 498名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X >108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(1－0.683)＝0.158 5，所以0.158 5×9 450≈1 498，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 498名．8．若随机变量X 的密度为f (x )22x -，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( ) A ．p 1>p 2 B ．p 1<p 2 C ．p 1＝p 2 D ．不确定答案 C解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2. 二、填空题9．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ>3)＝P (ξ＜－1)，则E (ξ)＝________. 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差 答案 1解析 根据题意ξ～N (μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2＝1，∴E (ξ)＝μ＝1.10．已知某正态分布的概率密度函数为f (x )2(1)2x --，x ∈(－∞，＋∞)，则函数f (x )的极值点为________，X 落在区间(2,3)内的概率为________． 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 x ＝1 0.136解析 由正态分布的概率密度函数，知μ＝1，σ＝1， 所以正态曲线关于直线x ＝1对称， 且在x ＝1处取得最大值．根据正态曲线的特点可知x ＝1为f (x )的极大值点． 由X ～N (1,1)知，P (2<X <3) ＝12[P (－1<X <3)－P (0<X <2)] ＝12[P (1－2×1<X <1＋2×1)－P (1－1<X <1＋1)]＝12×(0.954－0.683)≈0.136. 11．据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名． 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 231解析 依题意，得P (60－20<x <60＋20)＝0.954， P (X >80)＝12(1－0.954)＝0.023，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.023＝230. 所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第231名． 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X <88)＝0.683. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P (64＜X <72)．考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数， 在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80. 又P (72<X <88)＝0.683.结合P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，可知σ＝8. (2)因为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (64<X <96)＝0.954. 又因为P (X <64)＝P (X >96)， 所以P (X <64)＝12(1－0.954)＝0.023，所以P (X >64)＝0.977.又P (X <72)＝12[1－P (72<X <88)]＝12×(1－0.683)≈0.159， 所以P (X >72)＝0.841，P (64<X <72)＝P (X >64)－P (X >72)≈0.136.13．在一次全国高中五省大联考中，有90万名学生参加考试，考后对所有学生的成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N (μ，σ2)．用如下茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.(1)求μ，σ；(2)给出正态分布的数据：P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.①若从这90万名学生成绩中随机抽取1名学生的成绩，求该学生英语成绩在(82.1,103.1)内的概率；②若从这90万名学生成绩中随机抽取1万名学生的成绩，记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，求X 的数学期望． 解 (1)由茎叶图得这20个数据的平均数： x ＝120×(79＋80＋81＋82＋87＋87＋88＋88＋89＋90×4＋91＋92＋93＋93＋100＋101＋109)＝90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N (μ，σ2)， ∴μ＝90－0.9＝89.1，σ＝49.9－0.9＝7. (2)①∵英语成绩服从正态分布N (89.1,49)，P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954，∴P (82.1＜X ＜96.1)＝0.683，P (75.1＜X ＜103.1)＝0.954，由题意知x 服从正态分布N (89.1,49)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (82.1<X <96.1)＝0.683，P (75.1<X <103.1)＝0.954，即曲边梯形ABCD 的面积为0.954，曲边梯形EFGH 的面积为0.683，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是75.1，82.1,96.1,103.1，由曲线关于直线x ＝89.1对称，可知曲边梯形EBCH 的面积为0.954－0.954－0.6832≈0.819，即该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率约为0.819.②∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.819， 且从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，∵X ～B (10 000,0.819)，∴X 的数学期望E (X )＝0.819×10 000＝8 190. 四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 683解析 依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X <62.5)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683≈683.15．某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分)，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)，已知P (X <75)＝0.3，P(X>95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85)，(85,95)，(95,100)内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)P(80<X<85)＝0.5－P(X<75)＝0.2，P(85<X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，故所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75<X<85)＝1－2P(X<75)＝0.4，故ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝C33×0.43＝0.064.所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.。

第48讲 正态分布一、单选题1．（2021·全国高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） A ．1 500名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名【答案】A 【详解】因为学生的数学成绩X 服从正态分布N (98，100)，则P (X >108)=12[1-P (88≤X ≤108)]=12[1-P (μ-σ≤X ≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865， 而0.15865×9455≈1500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 故选：A2．（2021·全国高二课时练习）关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D 【详解】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈，所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.3．（2021·全国高二课时练习）设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B 【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.4．（2021·全国高二课时练习）已知X ～N (0，1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ） A ．0.954 B ．0.046 C ．0.977 D ．0.023【答案】D 【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.95442＝0.022 8. 故选：D.5．（2021·全国高二课时练习）正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为（ ） A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2C ．P 1＞P 2D ．不确定【答案】A 【详解】根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等． 故选：A6．（2021·河北邢台·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若(21)(21)P c P c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．32B ．2C ．1D ．12【答案】A 【详解】由正态分布的对称性知，(21)33(21)c c +-=--，得32c =. 故选：A7．（2021·河北沧州·）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X （单位：cm ）的情况，得出()2100,10X N ~，随机测量一株水稻，其株高在()110,120（单位：cm ）范围内的概率为（ ）（附：若随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3174【答案】B 【详解】由题意得()901100.6826P X <<=，()801200.9544P X <<=，所以()0.95440.68261101200.13592P X -<<==，故选：B8．（2021·全国高二专题练习）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre 在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量,X 近似服从()29,N σ，若()100.91P X <=，则()8P X ≤= A ．0.09 B ．0.41C ．0.59D ．0.91【答案】A 【详解】()()()8101100.09P X P X P X ≤=≥=-<=，故选：A . 二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ） A ．曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交B ．当x >μ时，曲线下降，当x <μ时，曲线上升C ．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D ．曲线关于直线x ＝μ对称，且当x ＝μ时，位于最高点 【答案】ABD 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知：（1）曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交；故A 正确.（2）曲线关于直线对称，当x μ=时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D 正确.（3）当x μ<时，曲线上升，当x μ>时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近；故B 正确.（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C 错误. 故选：ABD.10．（2021·全国高二专题练习）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】ACD 【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差（或方差2σ）从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好. 故选：ACD.11．（2021·阳江市第一中学高二月考）已知()2~,X N μσ，()()021P X P X ≥+≥-=，且()20.3P X ≤-=，则（ ）A ．1μ=-B ．2μ=-C ．()200.4P X -≤≤=D ．()200.3P X -≤≤=【答案】AC 【详解】因为()()021P X P X ≥+≥-=，所以()()02P X P X ≥=≤-，所以1μ=-. 故()2010.320.4P X -≤≤=-⨯=. 故选：AC12．（2021·福建三明·高二期末）若随机变量()()()~0,2,N x P x ξφξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的有（ ） A ．()()1x x φφ-=- B ．()()22x x φφ= C ．()()21P x x ξφ<=- D ．()()22P x x ξφ>=-【答案】ACD 【详解】因为()~0,2N ξ，所以其正态曲线关于直线0x =对称，因为()()x P x φξ=≤，0x >，所以()()()1x P x x φξφ-=≤-=-，A 正确；因为()()()(),2222P x P x x x φξφξ==≤≤，所以()()22x x φφ=不一定成立，B 不正确； 因为()()()()1221P x P x x x x ξξφφ<=-<<=--=-，C 正确；因为()(P x P x ξξ>=>或)x ξ<-()()()122x x x φφφ=-+-=-，D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．（2021·全国高二单元测试）设随机变量ξ服从正态分布()43N ，，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a =______. 【答案】6 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，可得24,3μσ==， 又由()()51P a P a ξξ<-=>+，可得5x a =-和1x a =+关于4x =， 所以518a a -++=，解得6a =. 故答案为：6.14．（2021·福建福州三中高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()24P m P m ξξ≥-=≤+()m ∈R ，则μ=______． 【答案】3 【详解】 依题意可知()()2432m m μ-++==．故答案为：3.15．（2021·全国高二单元测试）已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X <2c +2)=P (X >c +4)，则c =__．【答案】0 【详解】因随机变量X 服从正态分布N (3，1)，则它对应的正态密度曲线对称轴为x =3，又P (X <2c +2)=P (X >c +4)， 则由正态分布的对称性可得2c +2+c +4=6，解得c =0， 所以c =0. 故答案为：016．（2021·浙江丽水·高二课时练习）如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.【答案】3 1 【详解】()~,,N ξμσ()()23,1,E D ξμξσ∴====1σ∴=，故答案为3,1.四、解答题17．（2021·福建三明·高三模拟预测）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时. ∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.（2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)v N ，则70.5,14.5μσ==， （i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.18．（2021·重庆市清华中学校高三月考）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）【答案】（1）22.8吨；（2）51. 【详解】（1）由频数分布表得： 1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==，则28μσ=+， ()()()110.6827280.1586522P X P X P X μσμσμσ--<≤+-∴>=>+===，3200.1586550.76851⨯=≈，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.19．（2021·全国高二单元测试）设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min ）X ～N （50，102），乘地铁所需时间Y ～N （60，42），则 （1）若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E （ξ）.（已知P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544）【答案】（1）乘地铁；（2）分布列见解析，23.【详解】解：（1）乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==-- 因此在这种情况下应乘地铁. （2）ξ的取值为0，1，2.则P （ξ＝0）＝2426C C ＝25，P （ξ＝1）＝112426C C C ＝815，P （ξ＝2）＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×5+1×15+2×15＝3. 20．（2021·河南（理））市教育局举办了全市高中生关于创建文明城市的知识竞赛（满分120分），规定竞赛成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为非优秀.为了解竞赛成绩与学生课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了参加竞赛的60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：（2）若参加这次竞赛的高中生共有20000名，参赛学生的竞赛成绩()~90,100N ξ，试估计竞赛成绩大于110分的学生大约有多少人？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中na b c d =+++.~,N ξμσ时， 0.6826P μσξμσ-<≤+=，220.9544P μσξμσ-<≤+=.【答案】（1）有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关；（2）456人. 【详解】（1）∵()()()()()()2226022208101359.6437.8793030322814n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关.（2）由()~90,100N ξ，知：90μ=，10σ=. ∴()()()111021220.02282P P P ξξμσμσξμσ>=>+=--<≤+=⎡⎤⎣⎦，故竞赛成绩大于110分的学生约有200000.0228456⨯=，∴估计竞赛成绩大于110分的学生大约有456人.。

二项分布、超几何分布、正态分布学生一、单选题1．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：mm ）服从正态分布()2180,N σ，且()()1900.9,1600.04≤=≤=P z P z ，则()190200P z <<=（ ）A ．0.1B ．0.04C ．0.05D ．0.062．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X 表示取出的最大号码； ①X 表示取出的最小号码；①取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ①X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①3．（原创）已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．254．若随机变量()2~30,X N σ，且()30400.3P X <≤=，则()20P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p ，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为81256．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（ ）． A ．2764B ．964C ．49D ．296．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，有下列四个命题：甲：(1)(2)P X m P X m >+><-； 乙：()0.5P X m >=； 丙：()0.5P X m ≤=；丁：(1)(12)P m X m P m X m -<<<+<<+ 如果只有一个假命题，则该命题为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是310的事件为（ ） A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的8．随机变量ξ服从正态分布N （μ，2σ），若函数()()1f x P x x ξ=-≤≤为偶函数，则μ=（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．19．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）. A ．60，24 B ．80，120C ．80，24D ．60，12010．若(),B n p ξ，且()3E ξ=，()32D ξ=，则()1P ξ=的值为A ．32B ．14C ．332D ．11611．已知随机变量~(4,)X B p ，若8()3E X =，则(2)P X ==（ ）A ．29 B ．49 C ．89 D ．82712．设随机变量M 服从正态分布，且函数()26f x x x M =-+没有零点的概率为12，函数()2242g x x x M =-+有两个零点的概率为15，若()15P M m >=，则m =（ ）A ．17B ．10C ．9D ．不能确定13．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.864114．下列命题中不正确的为（ ）①随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()40,30E X D X ==，则14p =； ①将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍； ①随机变量ξ服从正态分布()0,4N ，若(2)P p ξ>=，则1(20)2P p ξ-<<=-； ①某人在10次射击中，击中目标的次数为(),10,0.8X X B ~，则当8X =时概率最大.A ．①B ．①①C ．①①D ．①①15．已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，且(3)1(5)4P P ξξ<=<，则(35)P ξ<<=（ ）A ．35B ．15C ．13D ．1616．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P XA ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.917．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，且12p >，若此人通过的科目数X 的方差是43，则()E X =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．518．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.3)B ξ~，则(),()E D ηη分别是（ ）A ．4和2.4B ．5和2.1C ．2和2.4D ．4和5.619．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X 表示样本中黄球的个数，则X 服从（ ）A ．二项分布，且()8E X =B ．两点分布，且()12E X =C ．超几何分布，且()8E X =D ．超几何分布，且()12E X =20．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．()()11664P X P X ==== B ．()52E X = C ．()32D X = D ．()54D X =。

高考数学专题 二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况。

正态分布应用练习题正态分布（也称为高斯分布）是统计学中一种常见的概率分布。

它是以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的，因为他在研究测量误差时首先提出了这个分布。

正态分布在实际问题中的应用非常广泛，包括经济学、自然科学、社会科学等领域。

在本文中，我们将通过一些练习题来应用正态分布。

练习题一：考试成绩假设一门考试的平均分为80分，标准差为10分，试求该门考试的成绩分布情况。

解答：根据正态分布理论，我们可以利用正态分布的概率密度函数来计算某个分数的概率。

设考试成绩为X，则X服从正态分布N(80, 10^2)。

现假设有一名学生的考试成绩为90分，我们可以计算该成绩在整个考试成绩中的排名。

根据正态分布的概率密度函数，我们可以得到：P(X ≤ 90) = Φ((90-80)/10)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。

查找标准正态分布表可得Φ(1) ≈ 0.8413。

因此，P(X ≤ 90) ≈ 0.8413，也就是说，该学生的考试成绩在所有考试成绩中排名约为84.13%。

练习题二：产品质量控制某公司生产的产品每天的重量符合正态分布，平均重量为500克，标准差为10克。

该公司规定产品的合格范围在490克到510克之间。

现在，我们要求计算该公司生产的产品中，重量符合规定范围的比例。

解答：设产品重量为X，X服从正态分布N(500, 10^2)。

我们可以计算该产品的重量在规定范围内的概率。

P(490 ≤ X ≤ 510) = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10)通过查找标准正态分布表，我们可以得到Φ(1) ≈ 0.8413 和Φ(-1) ≈ 0.1587。

因此，P(490 ≤ X ≤ 510) ≈ 0.8413 - 0.1587 ≈ 0.6826。

即该公司生产的产品中，重量在490克到510克之间的比例约为68.26%。

练习题三：房屋租金某城市的房屋租金符合正态分布，平均租金为5000元，标准差为1000元。

正态分布应用题
正态分布是一个非常重要的统计分布，在各个领域都有广泛的应用。

本文将通过几个具体的应用题，来展示正态分布在实际问题中的运用。

一、考试成绩分布
某次考试全班100名学生的成绩分布呈正态分布，平均分为75分，标准差为8分。

请计算以下几个问题：
1. 有多少学生的成绩高于85分？
2. 高于60分的学生占总人数的比例是多少？
3. 如果成绩低于60分的学生需要补考，那么有多少学生需要补考？
二、身高分布
某地区的成年男性的身高呈正态分布，均值为170厘米，标准差为
5厘米。

请回答以下问题：
1. 身高在160厘米到180厘米之间的男性占总人数的比例是多少？
2. 身高超过175厘米的男性占总人数的比例是多少？
3. 如果要选拔身高在前10%的男性进行篮球比赛，身高需要达到多
少厘米以上？
三、生产质量控制
某工厂的产品重量符合正态分布，平均重量为100克，标准差为2克。

工厂规定，产品的重量在正负3标准差范围内属于正常。

请计算
以下问题：
1. 产品重量在94克到106克之间的产品占比是多少？
2. 超过106克重量的产品占比是多少？
3。

如果要保证95%的产品符合标准，产品的重量不能超过多少克？
通过以上几个实际问题的计算，我们可以看到正态分布在不同领域
的广泛应用。

掌握正态分布的特点和计算方法，可以帮助我们更好地
理解和解决实际问题。

希望本文能够对您有所帮助。