正态分布在学生学习成绩评估中的分析教学提纲

正态分布在成绩分析中的应用【标题】正态分布在成绩分析中的应用【作者】胡明月【关键词】正态分布，定义及性质，成绩分析，设计与实现【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1.引言?在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布规律，即人们通常所讲的“中间粗两头细”．正态分布又称高斯分布，它在现实生活中用途极为广泛．正态分布是生活中一种常见的连续分布，它是以均值为中心，左右对称的钟形分布．在各种概率分布中，正态分布有着重要地位．物理学中测量同一物体的测量误差，生物学中同一种生物机体的某一量度（如：身高、体重）都近似地呈正态分布．正态分布在统计理论及应用中居中心地位，在实际生活中有些随机现象需要涉及无穷多个随机变量，这些都要用到正态分布中心极限定理以及danker不变原理的理论发展过程等方面知识．其次，在很多实际问题中都要用到正态分布的知识．在教育实践中，反映出人的能力、智力同样服从正态分布，如考试分数这种随机变量也符合正态分布．由于考试仍是目前检查教学的主要手段，因而考试成绩及其分布也就成为评价教学的重要尺度，本文就正态分布在成绩分析中的应用作初步探讨．2.?正态分布的定义及性质2.1正态分布的定义设连续型随机变量有分布密度函数为常数，（＊）其中?，?是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这种分布叫正态分布，记作?．（＊）的图象被称为正态曲线．在函数（＊）中，当?=0，?=1，正态总体称为标准正态总体，相应的正态曲线称为标准正态曲线．2.2?正态曲线的性质标准正态分布的概率密度曲线如图2-1．图 2―1从正态分布密度函数式（＊）可见，正态曲线具有如下性质：①曲线在?轴的上方，与?轴不相交；②曲线关于直线?=?对称；③曲线在?=?时位于最高点；④当? ?时，曲线上升；当? ?时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以?轴为渐近线，向它无限靠近；⑤当?一定时，无论?怎样变化，曲线的形状是确定的．对于不同的?，两条曲线可通过左右平移，使之重合的正态曲线称为标准正态曲线；⑥当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线就越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．3．正态分布在成绩分析中的应用3.1由考试成绩分析教学效果的一种定量方法考试的基本目的有两个：一是衡量考生掌握基本知识的程度；二是区分考生的不同水平和层次．要达到这两个目的，先决条件是考题出得恰当，考题太偏、太难或太易都不能得到正确的评估．如果考题适当，如何从分数的统计情况提炼出反映教学效果的信息，从中得出进一步改进教学的措施意见，这是教育主管部门以及任课教师都很关注的课题．本文以概率统计为基础，利用数据拟合的方法从考分统计中提炼出几个数字特征，去评估教学效果(假定出题符合标准)，或评价考题标准(假定学生学习情况正常)．这对深化教学改革和教学管理定量化有十分积极的意义．题一份考卷中的题目究竟怎样才能达到考试的目的，我们把这称为出题问题．根据教学大纲的要求及通用的百分制标准，大体可将考题分为四类：第一类是最基本要求的题，占分数的60%，优秀生完成所需时间约占考试时间的40%；第二类是基本要求范围的题，但需一定的灵活性，占分数的15%，优秀生时间的15%；第三类是在教学大纲范围内，但要求有一定技巧的难题，占分数的15%，优秀生时间的20%；第四类是在教学大纲范围边缘或涉及知识面较多的难题，占分数的10%，优秀生时间的25%．对上述分类标准当然还可以进一步研究．态下考生成绩分布规律我们假定出题基本满足上述要求，并认为考生中的多数能达到教学基本要求．通过考试将考生分出层次，分出优秀者和少数不合格者．由于考试过程是一个受到多因素干扰的随机过程，假定它是平稳的，从统计的意义上看，分布应基本上满足正态分布规律，即（１）其中?表示分数，A表示的数学期望，近似地就是平均值，B是方差，是衡量考生能否拉开距离的一个数学指标，?表示考分为?的考生个数，数学上称为概率密度．分数从?到?这个分数段上考生个数的概率可由公式（２）计算得到．根据教学的基本要求及上面所定的出题标准，数学期望值A应略高于75分，分布要能拉开档次，不及格率在5%以下，90分以上的优秀生在10%以内．所谓理想状态，有三个基本要求：①考题符合基本要求；②教师教学符合要求；③学生情况正常．在理想状态下，我们取A=A'=77,B=B'=10 （３）根据公式(2)计算各分数段所占比例为理想状态下考生成绩分布这个分布基本符合我们多年教学统计的结果和多数教师的期望.考生成绩分布的理想概率密度公式应为（４）考试成绩拟合出A与B如何从考生成绩的统计中求出实际的数学期望A与方差B，在数学上称为拟合问题．设共有考生N个，?,?,.., n分别表示各考生的成绩，则实际期望值A可由公式? （５）近似得到．从０到100分每个分数上的人数记为q(0),q(1)，…, q(100)（6）?显然有（7）方差B的最好拟合值应能使得等式（8）对所有的?=0,1,2,...,100都能成立．但实际上这个B存在的可能性极小，因此记（9）（10）最佳拟合也就是选取B0，使得函数（11）在B0处达到最小．一般说来难以用分析表示式求B0，由于B的取值在[0,100]之间，用优化法(如0. 618法、最速下降法等)即可找到B0．若粗糙些，按精度为0.5的要求直接计算J(1),J (1.5),J (2),J(2.5)，…,J(100)（12）?从中选出最小值所对应的B值即为B0．?用所得A0与B0分析教学中的问题将所得A0，B0同（3）式中理想的A'，B'进行比较就可判断教学或学生或考题的状况．首先应从整体上分清是判断考题还是判断教学情况．例如若在全国统考中，各校的A0，B0值普遍不理想，则表明考题有问题；反之，若多数学校正常，某些学校特殊，则应分析特殊学校的教学原因．类似地在同一学校中也可对各班情况进行比较．一般地说，A0 A* =77时表明出题偏难或教学效果较差；反之则表明考题偏易或教学效果良好．如果B太小，表明考题内容太集中，学生不能拉开档次；B太大则表明学习中两极分化或出题没抓住重心．是否大体上按下述标准判定教学效果或出题水准：|A．一A*?|? 3,?|B．一B*| 1（13）认为是优秀．3 |A．一A*|＜6,1 |B．一B*|? 3（14）认为基本符合要求．超出上述范围，则认为考题不当或教学效果特异，需要研究．3.2正态分布的应用举例正态分布在实际生活中应用问题1 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50，102);第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60，42)．(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线？(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线？设走第一条路线及时赶到所用时间为ξ分钟，走第二条路线及时赶到所用时间为η分钟．在70分钟内走第一条和第二条路线赶到火车站的概率分别为 P(ξ≤70)?=φ(70-5010)?=φ(2)?=0.9772，P(ξ≤70)?=φ(70-604)?=φ(2.5)?=0.9938,所以应走第二条路线．在65分钟内走第一条和第二条路线赶到火车站的概率分别为P(ξ≤65)?=φ(65-5010)?=φ(1.5)?=0.9332，P(η≤65)?=φ(65-604)?=φ(1.25)?=0.8944．所以应走第一条路线.每天都在乘车，可很少有同学留心就在这平凡的生活中竟然有这么多的数学知识，说明了数学与生活是紧密联系的，同时也告诉我们在教与学中要把知识同日常生活与实践结合起来，要让同学们养成用数学知识的良好习惯．正态分布在成绩分析中的应用问题2 某中学入学考试后，语文成绩X1=65分，S1=6分；数学成绩X2=82分，S2=10分．学生A语文得71分，数学得92分，学生B语文得77分，数学得84分．若两科合在一起排名次，哪个学生应排在前边？对于这种问题，人们一般都用两科总分来排队．那么学生A的总分163，学生B 的总分161，因而学生A应排在学生B前面．如果该校录取分数的下限为162分，则学生A被录取，而学生B没被录取．这种判断不够科学96集宁师专学报2003年也不甚合理，因而是一种错误的判断．原因是各科之间它们的原始分数的参照点与单位不同，不能直接相加求和与比较，应当先将原始分数转化为标准分数后，再合成和排队．合理的解决方法是学生A：Z1=1,Z2=1，ZA=Z1+Z2=2，学生B：Z1=2,Z2=0.2，ZB= Z1+Z2==2.2．因为ZB ZA，所以学生B排在前面，应录取学生B,恰与原始分数的比较结果相反．标准分数的意义在于：第一，各科标准分数之间单位相同，零点相同，因此可以将每个学生各科标准分相加求和，比较其总分的优劣．第二，标准分的大小和正负，可以反映其考分在全体考分中的位置，故又称之为相对分数．标准分数一般算到小数点后两位，且有负分，这与平常的评分形式不相一致，如使用时感到不便，还可经某种线性变换变为其它形式的标准分数．由上可知，有了标准分数，就能正确评估学生的学习成绩了．3.3考试系统中成绩正态分布检验的设计与实现?随着网络教育的迅速发展，网络考试也成为研究热点，但在现有的网络考试系统中，鲜有对考试成绩、试题参数做详细分析、统计的,对成绩做正态分布检验的就更少．在网络考试系统中，因计算机强大的计算能力，可以作比较复杂的统计、分析．绩正态分布检验的意义考试质量评价指标包括对试卷进行一般描述和判断的指标(如知识点覆盖率、项目构成结构合理性分析等等)；对考试整体进行量化分析的指标(如成绩分布的正态性检验、考试信度指标测试、考试效度指标的测试等)；对考试题目的质量分析指标(如试题难度分析、试题区分度分析等)，利用这些指标，可以全面评价某一次考试，利于今后改进考试，提高考试质量．本考试系统对这些参数都进行了详细的统计、分析，这里只讨论成绩分布的正态性检验．考试系统对考试成绩进行正态分布检验的意义主要有两点．一是系统中部分其他统计方法是建立在正态分布的基础上，二是用于对考试成绩的解释．在考试成绩及试题参数的统计过程中，有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述成绩的集中或离散情况，用正态分布法确定正常考试成绩的范围等，因此在使用这些方法前,需进行正态性检验．同时，在对考生考试成绩进行解释时，不同。

《正态分布》学情分析
一、认知结构：在前面的学习中，学生学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想. 同时也具备了较完善的分析问题解决问题的能力，大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.
二、年龄特征：由于本节知识和现实生活密切相关，学生在以往的经历与学习生活中对正态分布有所接触，但不知其理论，在教学中可引用学生较为熟悉的例子进行教学，可以帮助学生更进一步的理解正态分布。

但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战。

这节课教学目标明确，重点突出，教学过程注重了师生间的配合，课堂气氛活跃，教学效果好，特别是以下三点值得借鉴：
1.自制教具，通过自制教具的演示，激发学生的学习兴趣。

2.灵活地使用教材，通过对教材例题的变通，使学生对知识的理解与掌握更为轻松。

3.注重了知识的形成过程的教学，通过教具演示，分组讨论，合作探究等各种教学手段为学生更好的理解知识的形成过程创造了条件。

1.备课充分，教材钻研透彻，重点突出，难点突破，方法得当。

2.整节课布局合理，以学生为主体，以学生接受知识为主线，老师“导演”角色到位
3.本节课情境引入新颖，引人入胜，各环节详略得当，师生双边活动好，师生关系轻松融洽，使师生在轻松愉快的气氛中完成了本节课。

正态分布教学评估传统的仅凭卷面分数和平均分数评估学生学习成绩和教师教学效果的方法，带有片面性。

因此，诸如由学生各科卷面总分排名来评定奖学金，确定毕业分配时的优先分配政策，由主观制定的卷面分数段的比例大小和仅由平均分数的高低评估教师效果的好坏，是不合理的，本文给出一种新的评估体系供大家参考。

一、平均分数体现整体水平1、某班某学科的平均分数x1=2、求N个班某学科的平均分数应“加权”x=其中x表示加权平均数,ki表示第i班总人数,xi表第i班平均分数。

二、标准差反映平衡程度除了解体现整体水平的平均分数外，还应了解每个人的分数离班平均分数的偏差大小。

因此可以利用数理统计中的标准差计算公式δ=。

例如，甲乙两班同一科的平均分数都是分，标准差依次为和，从而知甲班比乙班要稳定些，发展平衡些。

三、“标准分”取代卷面分来评估每个学生学习成绩的总体水平在评先、评优和奖学金中，常要比较学生成绩的优劣。

例如：某班数学卷面平均分数为:x1=，标准差为δ1=。

语文卷面平均分数为:x2=,标准差为δ2=。

学生张某数学60分，语文94分。

王某数学83分，语文68分，按传统的方法认为：张总分154比王151分多，因此张优先于王。

这种评估是不合理的，原因是各科之间的卷面分数的参照点与单位都不同，不能相加求和来互相比较。

在现代的体育统计和有关统计文献中，都采用“标准分”，即学生的成绩与班平均分之差比标准差。

这样能统一尺度，具有合理的可比性。

如张和王的成绩可以合理的评估如下：表1结果张两科总标准分95次于王，与卷面分数结论相反，标准分反映学生在全体考分中的相对位置，故又称相对分。

至于不同班级、不同学科的总分，由于试卷有难易之分等因素，更应采用标准分。

四、考试分数合理分布的评估依据怎样评价一班的考试分数的分布是否合理，依据是什么？以前有关文献都认为:卷面分X是正态随机变量X～N，标准分Z服从标准正态分布Z～N。

但都没有加以论证或进行实际的统计分析。

正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。

《正态分布》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《正态分布》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“正态分布”是高中数学选修 2-3 中的重要内容，它是概率论与数理统计中的核心概念之一。

正态分布不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中也随处可见，如学生的考试成绩、产品的质量检测、人群的身高体重等都近似服从正态分布。

通过对正态分布的学习，学生将进一步理解随机变量的概率分布，为后续学习其他概率分布以及统计推断奠定基础。

本节课在教材中的地位和作用十分重要，它是对前面所学随机变量及其概率分布的深化和拓展，同时也为后续学习中心极限定理等内容做好铺垫。

二、学情分析学生在之前已经学习了离散型随机变量的概率分布，对概率的基本概念和计算方法有了一定的了解。

但正态分布是连续型随机变量的概率分布，其概念和性质相对抽象，学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。

此外，学生的数学思维能力和逻辑推理能力还有待进一步提高，需要在教学中通过引导和启发，帮助他们逐步掌握正态分布的相关知识。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正态分布的概念，掌握正态曲线的特点和性质。

（2）会用正态分布解决简单的实际问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察正态曲线，培养学生的观察能力和归纳总结能力。

（2）通过对正态分布的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作精神和创新意识。

四、教学重难点1、教学重点（1）正态分布的概念和正态曲线的特点。

（2）正态分布的应用。

2、教学难点（1）正态曲线特点的理解和推导。

（2）正态分布在实际问题中的应用。

五、教法与学法1、教法为了突出重点，突破难点，我将采用以下教学方法：（1）直观演示法：通过多媒体展示正态曲线的图像，让学生直观地感受正态分布的特点。

正态分布及其在教学工作评价中的应用第一篇：正态分布及其在教学工作评价中的应用正态分布及其在教学工作评价中的应用正态分布及其在教学工作评价中的应用摘要本文首先介绍了正态分布，然后阐述了正态曲线的1些特性，最后从比较评价对象的相对位置、品质评定数量化、判断教学工作是否到位这3个方面论述了正态分布理论在教学工作评价中的应用.关键词：正态分布；教学工作评价；正态曲线；标准分数Normal Distribution and its Application in Teaching Work EvaluationABSTRACTAt first, this article has introduced the normal distribution, then elaborated some characteristics of the normal curve, finally, the author has discussed the application of normal distribution in teaching work evaluation from three aspects, which are comparing the relative position of the evaluation object, turning quality assess to quantity and judging teaching work whether arrives.Keywords: normal distribution;teaching work evaluation;normal curve;standard score正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。

正态分布在教育评价中的应用摘要:本文就正态分布理论做一介绍,并着重论述正态分布理论在教育评价中的应用,以便使教育评价更为客观、公正,这对于提高教育评价水平和管理水平有着十分重要的意义。

关键词：正态分布教育评价理论实践运用教育评价是指以教育为对象,根据一定的目标,采取一切可行的评价技术和方法,对教育现象及其效果进行测定,分析目标实现程度,从而作出价值判断的过程。

它是教育行政部门管理、指导和评定学校工作的重要手段,也是学校、教师检查、反省与改进教育教学工作、提高教育质量的重要手段。

目前,我国在教育评价方面取得了很大的成绩,教育评价理论逐步深化,教育评价实践活动广泛开展。

但也面临着评价模式呆板单一、评价技术手段水平不高等问题。

正确运用教育评价理论和方法,实施科学客观的评价活动,已成为广大教育工作者研究的重点。

正态分布是科学的评价理论,在教育评价实践中有着广泛的应用。

一、正态分布概述正态分布是一种连续性随机应变量的概率分布,在其次数分配中,中间的次数多,由中间往两边的次数逐渐减少,两边的次数多少相等,呈一种“两头小、中间大”的分布形态。

其标准正态曲线为:从标准正态曲线可知,它具有以下特点:1. 曲线在0Z=(即平均数) 处为最高点;2. 曲线以0Z=处为中心,双侧对称;3. 曲线从最高点向左右缓慢下降,并无限延伸,最后接近基线,但永不与基线相交;4. 标准正态分布上的平均数为0 ,标准差为1 ,基线上从3Z=-到3Z=几乎有6个标准差的距离,并且多数数据都集中在平均数附近,具体地有:(11)68.26% (22)95.46% (33)99.73% P ZP ZP Z-<<+=-<<+=-<<+=即是说,在平均数上下一个标准差单位范围内包括曲线下全部面积的68.26 % ,在2±个标准差范围内,包含总体的面积为95.46 % ,在3±个标准范围内,包含总体的面积的99.73 %。

学年论文正态分布在学生学习成绩评估中的分析作者系（院）专业年级学号指导教师正态分布在学生学习成绩评估中的分析摘要：本文先是介绍了什么正态分布及正态分布的性质，然后分析了在理想状态下学生考试成绩一般分布规律，并根据正态分布的特点来评定学生学习的等级，即反映了成绩的高低，还显现出成绩在群体中的分布位置．最后总结正态分布在实际应用的意义．关键词：成绩；钟形曲线；分布规律；正态分布引言：正态分布最早由数学家高斯得到,所以正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。

该分布由两个参数——平均值和方差决定。

它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。

其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

，它广泛适合观测的误差等很多种场合。

这个分布可以从某种合理的假设出发而推导出来，所以被认为是理论依据比较充分的概率分布。

20世纪科技界流行的一种观点就是自然现象似乎都应当符合正态分布，很多理论工作也是在正态分布的假设上形成的。

这些工作提高了正态分布的地位。

一、 正态分布1.1正态分布的密度函数若随机变量X 的密度函数为22()(),2x p x x μσ--=-∞<<∞则称X 服从正态分布，称X 为正态变量，记作2(,)X N μσ ．其中参数,0.μσ-∞<<∞>其密度函数()P X 的图形如图a.()P X 是一条钟形曲线。

中间高、两边低、左右关于μ对称，μ是正态分布的中心，且在x μ=附近的可能性大，在两侧取值的可能性小.μσ±是该曲线的拐点.(a)密度函数()p x1.2正态分布的性质从正态分布密度函数图a ，正态分布曲线具有如下性质：1. 曲线在X 轴上方，与X 轴不相交；2. 曲线关于直线x μ=对称；3. 曲线在x μ=时位于最高点；4. 当x μ≠时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X 轴为渐近线，向它无限靠近；5. 当σ一定时，无论μ怎样变化，曲线的形状是确定的．对于不同的μ，两条曲线通过左右平移，使之重合；6. 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线呈矮胖，分布较为分散．σ越小，曲线呈瘦高，分布较为集中．2.正态分布在学生成绩评估中的应用意义2.1影响学生成绩的因素2.1.1出题根据教学大纲的要求及通用百分制标准，大致可将考题分为三类：第一类：最基础的题，占总分的70%；第二类：基础要求范围内又有一定的灵活性，技巧性的题占20%；第三类：涉及知识面较多的难题占10%．如果出题难易部分差距不同，也会影响学生的成绩．2.1.2教师教学水平老师的教学水平也是有差异的，教学水平高的老师的学生成绩普遍比教学水平低的老师教出来的学生成绩好．2.1.3学生日常表现第一：是否预习；第二：是否认真听讲；第三：是否迟到、早退；2.2在理想状态下学生成绩分布我们假定试卷满足教学大纲要求，并认为学生中多数能达到教学基本要求．通过考试将考生分出层次，由于考试过程中具有很多不确定因素，假定考试过程平稳．从统计学的角度，分布应基本满足正态分布规律．如果考生的成绩Ｘ服从正态分布，我们把分数超过μσ+评为优秀；分数在μ到μσ+之间评为良好；分数在μσ-到μ之间评为中等；分数在2μσ-到μσ-之间评为及格；分数在2μσ-以下评为差．由此计算得：()(1)1(1)0.1587X P X P μμσφσ-≥+=≥=-≈()(01)(1)(0)0.3413X P X P μμμσφφσ-≤≤+=≤<=-≈()(10)(0)(1)0.3413X P X P μμσμφφσ--≤<=-≤<=--≈ (2)(21)(1)(2)0.1359X P X P μμσμσφφσ--≤<-=-≤<-=---≈ (2)(2)(2)0.0228X P X P μμσφσ-<-=<-=-≈ 由以上计算可知，学生成绩等级为优秀约占16%，良好约占34%，中等约占34%，及格约占14%，差约占2%．此时学生成绩服从正态分布，正态分布曲线呈钟形，中间高两头低，两侧对称，平均数为对称轴，平均数等于众数．它表示考生成绩分布正常，试卷合理，排除其他干扰条件下的理想状态．三、结论在理想状态下正态分布对刻画学生成绩非常形象，学生的成绩分布呈现出一种钟形的曲线，表明了学生成绩分布不仅服从正态分布，也从侧面反映了该试卷出题的可靠性、规范性、合理性．四、总结由以上计算及说明可知，正态分布在理想的状态下对刻画学生成绩及试卷的可靠性非常准确．但实际的应用意义不大，正态分布是在一定的条件下才成立的，不能讲正态分布的适用范围随意扩大，学生成绩的分布主要取决于以下几个因素：学生人数的多少当然人数越多会越趋向正态分布规律；教师的教学方法与态度是决定成绩高低的一个因素，同样一门课，不同的教师会有不同的教学效果，同样的年级不同的班，也会影响正态分布．学生的基础素质也是决定成绩的一个重要因素；教师出题难易程度不同等等，都会影响正态分布．参考文献[1]魏宗舒．概率论与数理统计教程［Ｍ］．高等教育出版社，2000.12.[2]程依明.概率论与数理统计教程第二版.高等教育出版社，2011.2.[3]王雪琴.随机变量的函数的数学期望[J].渭南师范学院学报,2002.02.[4]杨振明.概率论.北京科学出版社，1999.[5]陈希孺.概率论与数理统计.北京科学出版社，2002.。