2.9函数的应用---根与零点及二分法

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

方程的根和函数的零点（说课稿）、教材分析：函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。

培养学生函数和方程结合思想的能力。

3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。

『重点。

难点。

关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。

理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。

3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。

『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。

『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。

2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+=通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。

（反馈课前作业，抽学生回答。

）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。

一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。

2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。

三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。

说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数X 围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。

说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。

函数与方程【学习目标】1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【考情分析】从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型．【知识要点】一、函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c ∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．二、、二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算：①若，则c就是函数的零点；②若，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．【典型例题】题型一、函数零点的求解与判断（函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.）1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法错误的是 ( ) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12D ．2，－123、判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]；(3)f (x )＝1x－x ，x ∈(0,1)． 4、函数f (x )＝x －4x的零点个数为________． 5．判断函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数．6、判断方程3x －x 2＝0的负实数根的个数，并说明理由．7、若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 ( )A ．多于4个 B ．4个C ．3个 D ．2个8．(2011·顺义模拟)已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值 ( )A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值 D ．不大于0题型二、二分法1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5) f (0.25)B ．(0,1) f (0.25)C ．(0.5,1) f (0.75)D ．(0,0.5) f (0.125)3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函那么方程x ＋x －2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．题型三、函数零点的综合应用1、已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m ，是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2、判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．3、已知函数f (x )＝－x 2＋2e x＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的范围为____________．5．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解，则a 的取值范围 ( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <16．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________．【高考链接】1．（2012年高考（北京文））函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2 ．（2012年高考（天津理））函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．85．（2012年高考（湖北文））函数()cos2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．87．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．71、（2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是【 】A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2、(2009山东卷文)若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 }1|{>a a3、（2010上海文数）17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 【 】（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4．(2010·福建高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2010·天津高考)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0 )C ．(0,1)D ．(1,2)6．(2010·天津高考)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)7．(2010·浙江高考)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)， 则 ( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞08．(2010·浙江高考)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4]9．(2010·上海高考)若x 0是方程(12)x ＝13x 的解，则x 0属于区间( ) A ．(23，1) B ．(12，23) C ．(13，12) D ．(0，13) 10（2011天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,211（2011天津文4）函数()=2x f x e x +-的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 12（2011重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1313（2011山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-()0,1a a >≠，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n = . 14（2011辽宁文16）已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【课后作业】一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]2．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( ) A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C ．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 4．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A ．5次 B ．6次 C ．7次 D ．8次7．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)1．(2011·厦门质检)若函数f (x )＝e x ＋2x －6(e ≈2.718)的零点属于区间(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．3．(2011·珠海模拟)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．三、解答题(共3小题，满分35分)1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0. 2．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．3．(1)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的值；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．4．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．5．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且D 的长度为12－t .10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．11.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．12．(14分)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．。