2020年江苏省苏州市甪直中学、东山中学、金山中学高二(下)期中数学试卷(理科)

高二数学下学期期中试题理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.计算：的值为______.【答案】15【解析】【分析】根据组合数和排列数的计算公式求解得到结果. 【详解】，则本题正确结果：【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题. 2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是_______.【答案】【解析】【分析】根据复数运算，求得，即可根据复数的概念得到实部.【详解】的实部是本题正确结果：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3.已知，则_______.【答案】4或6【解析】【分析】根据组合数性质可得到方程，求解即可得到结果.【详解】由得：或解得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查组合数的性质，两种情况分别为或，属于基础题.4.已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________【答案】【解析】，故答案为．点睛:对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．5.用反证法证明“，可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.【答案】中没有能被整除的数【解析】【分析】反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可.【详解】“至少有个”的否定是“最多有个”，故应假设，中没有一个能被5整除．【点睛】本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.6.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取____. 【答案】5【解析】试题分析：时，不等式都不成立，时，，因此初始值为．考点：数学归纳法【名师点睛】数学归纳法证明中的两个基本步骤,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有_____种.【答案】30【解析】排除法：从反面考虑：C42C42－C42＝6×6－6＝30.8.除以9的余数为______.【答案】【解析】解：因为因此除以9以后的余数为79.若，则的值为___.【答案】1【解析】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.10.已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为_________.【答案】【解析】【分析】通过归纳总结三个不等式的规律，推理出所求结果.【详解】由题意可得：；；则第个不等式为：本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理的相关知识，关键是能够通过已知不等式总结出的变化规律.11.在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是______.【答案】【解析】试题分析：在中，作于，于F，则，所以，根据面积类比体积，长度类比面积可得，即．考点：类比推理．【思路点晴】本题考查类比推理及其应用，属于中档试题，类比推理是根据两类是事物之间具有很大的相似性，其中一类事物具有某种性质，推测另一类事物也具有某种性质的一中推理形式，本题中利用三角形的内角平分线定理类比空间三棱锥，根据面积类此体积，长度类比面积，从而得到，进而得到，同时也试题的一个难点和易错点．12.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】【分析】分成号区间用种颜色和种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果.【详解】将区域标注数字序号如下图：当号区间共用种颜色，即同色且与异色时共有涂色方法：种当共用种颜色时，共有涂色方法：种则不同的涂色方案总数为：种本题正确结果：【点睛】本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.13.把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则___.【答案】3974【解析】【分析】根据变化规律可知第行数字个数等于且第行最后一个数字为；验算可知为第行第个数；根据数字规律可得结果.【详解】由图乙可知，第行数字个数等于且第行最后一个数字为为第行第个数又第行最后一个数字为则第行第个数为：本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理、等差数列求和公式的应用.解决本题的关键是发现数字变化的规律，得到一般性命题，属于中档题.14.三角形的周长为31，三边，，均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为______.【答案】24【解析】【分析】根据三角形三边关系、周长为，可求得且，采用列举法列举出所有可能的结果，从而得到三元数组的个数.【详解】由三角形三边关系及周长可得：又，，即，，所以所有可能的取值为：且①当时，或②当时，或或③当时，或或或或④当时，或或或或或⑤当时，或或或或或或或则三元数组共有：个本题正确结果：【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是能够得到边长的取值范围，然后根据分类计数原理，采用列举的方法求得结果.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（，是虚数单位）是纯虚数. （1）求的值；（2）若复数，满足，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）化简复数可得，根据纯虚数的定义，可得方程组，解方程组求得；（2）假设，利用求得关系即的范围；从而可求得的最大值.【详解】（1）复数又是纯虚数，则，解得：的值是（2）由（1）可以知道：设，即则的最大值为【点睛】本题考查复数的除法运算、纯虚数的定义、复数模长的求解问题，考查学生的计算能力，属于基础题.16.（1）设，求证：；（2）已知非零实数，，是公差不为零的等差数列，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将问题变成证明：，通过因式分解变成乘积的形式，依次判断各个因式的符号，进而证得结论；（2）采用反证法，假设成立，又，可得，与已知矛盾，故假设不成立，从而证得结论.【详解】（1）由因为，所以，，所以（2）假设，则……①而……②由①②，得，即于是，这与非零实数，，成公差不为零的等差数列矛盾故假设不成立，原命题结论成立，即成立【点睛】本题考查作差法和反证法证明不等式的问题.采用反证法证明不等式时，首先假设成立，最终证得与已知条件或常识相矛盾的结论，从而否定假设，证得结论.17.从8名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.【答案】（1）60；（2）480；（3）180；（4）1470【解析】【分析】（1）先选好参赛选手，再安排好甲、乙两人，再安排剩余两人，相乘得到结果；（2）先确定参赛选手，共有种选法；再安排好甲或乙，继续安排好剩余三人，相乘得到结果；（3）先选好参赛选手，再用捆绑法求得结果；（4）先安排好第一棒，再安排好其余三棒，相乘得到结果.【详解】（1）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法则甲、乙跑中间两棒共有种排法；另外人跑另外两棒共有种排法甲、乙两人必须入选且跑中间两棒共有：种排法（2）甲、乙只有一人入选且选另外选人参加接力赛共有种选法甲或乙不跑中间两棒共有种排法；其余人跑剩余三棒共有种排法甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒共有：种排法（3）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法甲乙跑相邻两棒，其余人跑剩余两棒共有种排法甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒共有：种排法（4）甲不在第一棒则需选择一人跑第一棒，共有种选法其余三棒共有种排法甲不在第一棒共有种排法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，解决排列组合问题的常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相离问题插空法等.再面对复杂排列组合问题时，遵循先选后排的原则，可以更好的缕顺解题思路.18.已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求的值；（2）求展开式中的项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）代入求得各项系数和为，又二项式系数和为，根据二者相差可得方程，解方程求得；（2）根据展开式通项公式，令的幂指数等于，求得，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为，利用解得，进而求得系数最大的项.【详解】（1）展开式各项系数的和为：；二项式系数的和为：又各项系数的和比二项式系数的和大，即，解得（2）展开式的通项公式为：令，解得展开式中的项为：（3）设第项的系数为，则由，即解得：，所以展开式系数最大项为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型.19.已知等差数列的公差大于0，且，是方程的两根，数列的前项和为，且.（1）求数列、的通项公式；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据韦达定理可构造方程组求得和，从而得到公差和，根据等差数列通项公式可得；利用可证得为等比数列，根据等比数列通项公式求得；（2）通过列举的结果可猜想当时，；根据数学归纳法的基本步骤，依次证明时成立，在成立的前提下时也成立，从而使问题得以解决.【详解】（1）由韦达定理可得因为的公差大于，所以，所以，，又可得：因为，所以当时，所以，化简得所以是首项为，公比为的等比数列，即所以，（2）因为，所以，下面比较与的大小：当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以. 猜想：当时，下面用数学归纳法证明：①当时，，，所以成立；②假设当时，，即那么，当时，所以当时，也成立．由①②可知，对任何，，都有成立综上所述，当时，；当时，【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解、利用数学归纳法证明不等式的问题.在运用数学归纳法证明问题时，需要注意的是当时假设成立的结论，必须在证明结论成立的过程中予以应用.20.已知（且，）.（1）设，求中含项的系数；（2）化简：；（3）证明：.【答案】（1）330；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据表达式可知系数为，将改写成，利用组合数的性质：整理得到结果；（2）通过对求导可得，代入可求得，根据可化简得到结果；（3）等式左侧可看做中含项的系数；通过整理出，此时含项的系数为，即等式右侧；由此可知所证等式成立.【详解】（1）由题意知：所以中含项的系数为：（2）两边求导得，令得到，又且所求式子的通项为（3）……①则函数中含项的系数为因为……②①-②得：即所以函数中含项的系数为：所以【点睛】本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用.。

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A L 中，有 不等式成立。

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A L 中，有 不等式成立。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.计算：-=______．2.用反证法证明“a，b∈R，若a3≥b3，则a≥b”时，应假设______．3.已知空间向量=（1，3，2），=（1，0，1），=k-2，=3+4，若∥，则实数k=______．4.已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是______ ．5.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．6.已知向量=（3，2，0），=（2，1，2），若（k+）⊥（-），则实数k的值为______．7.若，则x=______．8.用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为______．9.已知复数z=（m-2）+（m2-9）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是______．10.上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有______ 种不同的排法．11.观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：______．12.一份试卷有10个题目，分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至少选择2题，则考生有______种不同的选答方法．13.由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的四位数中比3042大的数有______个．14.已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*，n≥2），令，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得= ______ ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．16.4个男同学，3个女同学站成一排．（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．18.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，，顶点C1在底面△ABC内的射影是点B，且AC=BC=BC1=3，点T是平面ABC1内一点．（1）若T是△ABC1的重心，求直线A1T与平面ABC1所成角；（2）是否存在点T，使TB1=TC且平面TA1C1⊥平面ACC1A1，若存在，求出线段TC的长度，若不存在，说明理由．20.已知a i＞0（i=1，2，…，n），考查①；②；③．归纳出对a1，a2，…，a n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．答案和解析1.【答案】110【解析】解：-=5×4×3×2-=120-10=110故答案为：110由排列组合数的运算法则，化简即可．本题考查排列组合数的基本运算，属基础题．2.【答案】a＜b【解析】解：反证法证明“a，b∈R，若a3≥b3，则a≥b”时，应假设a＜b．故答案为：a＜b．利用反证法的定义即可得出结论．本题考查了反证法证明的定义、否定的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】-【解析】解：∵空间向量=（1，3，2），=（1，0，1），∴=k-2=（k-2，3k，2k-2），=3+4=（7，9，10），∵∥，∴，解得实数k=-．故答案为：-．利用向量坐标运算法则求出=k-2=（k-2，3k，2k-2），=3+4=（7，9，10），再由∥，能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】-1-i【解析】解：由，得z=i（1+i）=-1+i．所以复数z的共轭复数是-1-i．故答案为-1-i．把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5.【答案】81【解析】解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34=81故答案为81每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有n m，属于基础试题6.【答案】【解析】解：∵k+=（3k+2，2k+1，2），-=（1，1，-2），∵（k+）⊥（-），∴（k+）•（-）=3k+2+2k+1-4=0，解得：k=．故答案为：．由（k+）⊥（-），可得（k+）•（-）=0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】3或6【解析】解：利用组合数的性质易得若C18x=C183x-6，则：x=3x-6或x+3x-6=18，则x=3或6故答案为：3或6．由组合数公式，由C18x=C183x-6，找到其与x与3x-6的关系，即可得答案．本题考查组合数公式的运用,本题主要考查组合数的性质的运用，属于基础题，须准确记忆公式．8.【答案】（2k+2）+（2k+3）【解析】解：当n=k（k∈N*）时，1+2+3+…+（2k+1）=（k+1）（2k+1），要证n=k+1时，1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+（2k+3）=（k+2）（2k+3），可得当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为（2k+2）+（2k+3），故答案为：（2k+2）+（2k+3）．写出n=k时，假设成立的等式，n=k+1时，要证的等式，作差可得当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项．本题考查数学归纳法的应用，主要考查由假设到要证的等式间的关系，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9.【答案】（-3，2）【解析】解：由题意可得，，解可得，-3＜m＜2．故答案为：（-3，2）直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标的正负即可得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】12【解析】解：∵4节课中不能连上3节，∴分两类，第一类，上1，2，4节，有种不同的排法，第二类，上1，3，4节，有种不同的排法，∴共有=6+6=12种不同的排法．故答案为：12.因为不能3节连上，所以必定1，4节上，2，3节中在选一节，所以可分成两类，把每类的方法数求出，再相加即可．本意考查了分类计数原理在排列问题中的应用．11.【答案】【解析】解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得故答案为确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题，12.【答案】200【解析】解：因为每组至少选择2题，所以分三类．第一类：A组选4道，B组选2道，共有C54C52=50种选法．第二类：A组选3道，B组选3道，共有C53C53=100种选法．第三类：A组选2道，B组选4道，共有C52C54=50种选法．所以，共有：50+100+50=200种选法．故答案为：200．可用分类法去解，因为分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至少选择2题，所以可分成三类，第一类：A组选4道，B组选2道，第二类：A组选3道，B 组选3道，第三类：A组选2道，B组选4道，把三类的方法数求出再相加即可．本题考查了分类计数原理在排列组合问题中的应用，属于基础题，应该熟练掌握．13.【答案】64【解析】解：根据题意，用间接法分析：若四位数的千位数字为3或4或5，可以在剩下5个数字中任选3个，安排在后面3个数位，有3×A53=180种情况，其中比3042小的数有3012、3014、3015、3021、3024、3025、3041；共有7个，则比3042大的数有72-1-7=64个；故答案为：64根据题意，用间接法分析：先计算首位为3、4、5的四位数的数目，在列举排除其中3042小的数，据此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，可以用间接法分析，属于基础题．14.【答案】2n【解析】解：由T n=a1•2+a2•22+…+a n•2n①得2•T n=a1•22+a2•23+…+a n•2n+1②①+②得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23•（a2+a3）+…+2n•（a n-1+a n）+a n•2n+1=2a1+22×++…++a n•2n+1=2+2+2+…+2+2n+1•a n=2n+2n+1•a n．所以3T n-a n•2n+1=2n．故答案为：2n．先对T n=a1•2+a2•22+…+a n•2n两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3T n-a n•2n+1的表达式．本题主要考查了数列的求和，以及类比推理，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握，属于基础题．15.【答案】解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2=10①．又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b，即a=-3b②．由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m=-5．【解析】（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若+（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有（3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．【解析】（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．17.【答案】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，（2分）连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，（4分）由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴；（6分）（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．（8分）在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，（10分）因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．【解析】（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E ，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．19.【答案】解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，则B（3，0，0），C（0，0，0），A（0，3，3），C1（3，0，3），∵=+=（6，0，3），∴B1（6，0，3），∵=+=（3，3，3），∴A1（3，3，3），（1）∵T是△ABC1重心，∴T（2，1，1），∴=（1，2，2），设面ABC1的法向量为=（x，y，z），由=（3，-3，0），及得：令x=1，则=（1，1，0），设直线A1T与平面ABC1所成角为θ，则cosθ===，故θ=，故直线A1T与平面ABC1所成角为．（2）T在面ABC1内，=+=+m+n=（3-3n，3n，3m），即T（3-3n，3n，3m）．由TB1=TC得：（3-3n）2+（3n）2+（3m）2=（3n+3）2+（3n）2+（3m-3）2，即-2m+4n=-1…①设面CAA1C1法向量为=（a，b，c），由=（0，3，0），=（3，0，3）得：，取a=1，则=（1，0，-1），设面TA1C1法向量为=（x，y，z），由=（0，3，0），=（-3n，3n，3m-3），得：取x=m-1，则=（m-1，0，n），由平面TA1C1⊥平面ACC1A1，得：cos＜，＞==0，即m=n+1…②由①②解得，n=，m=，∴存在点T（，，）满足条件，此时TC=．…10分【解析】（1）以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，求出直线A1T的方向向量和平面ABC1的法向量，代入向量夹角公式，可得直线A1T与平面ABC1所成角；（2）T在面ABC1内，=+=+m+n，由TB1=TC得，-2m+4n=-1…①；求出面CAA1C1法向量和面TA1C1法向量，由平面TA1C1⊥平面ACC1A1，得：m=n+1…②，解方程组求出m，n的值，进而可得TC的长度．本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，直线与平面的夹角，其中建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题是解答的关键．20.【答案】结论：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，不等式成立，即：（a1+a2+…+a k）（++…+）≥k2那么，当n=k+1时，（a1+a2+…+a k+a k+1）（++…++）=（a1+a2+…+a k）（++…+）+a k+1（++…+）+（a1+a2+…+a k）+1≥k2+（+）+（+）+…+（+）+1≥k2+2k+1=（k+1）2即n=k+1时，不等式也成立．由①②知，不等式对任意正整数n成立．【解析】依题意可归纳出：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2；下面用数学归纳法证明：①当n=1时易证；②假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用．本题考查归纳推理与数学归纳法，着重考查归纳假设的利用与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于难题．第11页，共11页。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，4}，则∁U M=______．2.已知复数z=2-i（i是虚数单位），则|z|=______．3.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1•z2的虚部为______．4.完成下面的三段论：大前提：互为共轭复数的乘积是实数小前提：x+yi与x-yi是互为共轭复数结论：______．5.用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应为______．6.若（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是______．7.函数f（x）=+的定义域是______．8.“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．9.设直线y=x+b是曲线y=ln x（x＞0）的一条切线，则实数b的值为______．10.=______．11.已知△ABC的周长为l，面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则四面体ABCD的内切球的半径R=______．12.函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是______．13.第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按如下的方式构造图形，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个，第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（n）-f（n-1）=______．（答案用含n的解析式表示）14.已知函数若，a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．16.已知命题p：函数有两个不同的极值点；命题q：函数在区间是单调减函数若p且为真命题，求实数m的取值范围．17.方程x2-x-m=0在（-1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m组成的集合M；（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．18.已知函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，满足f（2）=1，当-4＜x≤0时，有f（x）=．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；（3）解关于m的不等式f（m2+1）＞1．19.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟,而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性,并说明其实际意义．20.设函数f（x）=-x2+（a+1）x-ln x（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】{3，5}【解析】【分析】本题考查补集的运算．属于基础题.直接进行补集的运算即可．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2，4}；∴∁U M={3，5}．故答案为：{3，5}．2.【答案】【解析】解：∵复数z=2-i，∴|z|===．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．3.【答案】2【解析】解：∵z1=1+i，z2=3-i，∴z1•z2=（1+i）（3-i）=4+2i，∴z1•z2的虚部为2．故答案为：2．把z1=1+i，z2=3-i代入z1•z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】（x+yi）．（x-yi）是实数【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：““（x+yi）．（x-yi）是实数，故答案为：（x+yi）．（x-yi）是实数．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“互为共轭复数的乘积是实数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“x+yi与x-yi是互为共轭复数”．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．5.【答案】＜或=【解析】解：由于命题“＞”的否定为“＜或=”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或=，故答案为：＜或=．用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或=”，是解题的关键．6.【答案】1【解析】解：因为（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，x∈R所以解得：x=1故答案为：1复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x的值．本题考查复数的基本概念，考查计算能力，明确复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0是解题的关键．7.【答案】{x|x＞-2，且x≠2}【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞-2，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞-2，且x≠2}．可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的定义．8.【答案】充分不必要【解析】解：∵log2（x+1）＜1=log22，∴，∴-1＜x＜1，∴“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键，属基础题．9.【答案】ln2-1【解析】【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．欲求实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．【解答】解：y′=（ln x）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2-1．故答案为：ln2-1.10.【答案】-i【解析】解：∵，∴=i2019=i4×504+3=i3=-i．故答案为：-i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．11.【答案】【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）R,∴R=,故答案为：．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．12.【答案】（0，3）【解析】解：由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得：0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3）由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题可根据题意及图写出前4个算式的表达式，然后观察规律可得f（n）及f（n-1），即可算出结果．本题主要考查结合图形与题干的理解，先写出前面的简单项，发现规律并归纳f（n）．本题属中档题．【解答】解：由题意及图，可发现规律：f（1）=1，f（2）=1+3+1，f（3）=1+3+5+3+1，f（4）=1+3+5+7+5+3+1，通过已知的这四个算式的规律，可得：f（n）=1+3+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+3+1，f（n-1）=1+3+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-5）+…+3+1，通过上面两个算式，可得：f（n）-f（n-1）=（2n-1）+（2n-3）=4（n-1）．故答案为：4（n-1）．14.【答案】（24，25）【解析】解：先画出函数的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），而-log4a=log4b，即有log4a+log4b=0，可得ab=1，则abcd=cd，由c+d=10，可得cd＜（）2=25，且cd=c（10-c）=-（c-5）2+25，当c=4时，d=6，cd=24，但此时b，c相等，故abcd的范围为（24，25）．故答案为：（24，25）．画出函数y=f（x）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得ab=1，由二次函数的性质可得c+d=10，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．15.【答案】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=-2．又，∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，∵（z+ai）2=（4-2i+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【解析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．16.【答案】解：p为真时：f′（x）=x2+2x+m△=4-4m＞0∴m＜1q为真时：m≥4∴┐q为真时：m＜4由得：m＜1∴实数m的取值范围为（-∞，1）．【解析】首先，判定命题p和命题q都为真命题时，实数m的取值范围，然后，结合条件p且￢q为真命题，进一步确定实数m的取值范围．本题重点考查了简单命题和复合命题的真假判断，属于中档题，准确理解复合命题的真假判断是解题关键．17.【答案】解：（1）∵x2-x-m=0在（-1，1）上有解．∴x2-x=m在（-1，1）上有解．设f（x）=x2-x=（x-）2-，∵-1＜x＜1，∴最小值为-，最大值为f（-1）=2，即-≤f（x）＜2，即-≤m＜2（2）当a=1时，解集N为空集，不满足题意．当a＞1时，a＞2-a，此时集合N=（2-a，a），若M⊆N则，解得a＞．当a＜1时，a＜2-a，此时集合N=（a，2-a），若M⊆N则，解得a＜-综上，a＞或a＜-．【解析】（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N，结合集合关系进行求解即可本题主要考查集合关系的应用，结合方程与函数之间的关系以及不等式的解法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）由题可知，，解得；（2）由（1）可知当x∈（-4，0）时，，当x∈（0，4）时，-x∈（-4，0），任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，∵x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则-x1+4＞0，-x2+4＞0，x1-x2＜0，于是f（x1）-f（x2）＜0，∴在x∈（0，4）上单调递增；（3）∵函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，且f（x）在x∈（0，4）上单调递增，则f（x）在x∈（-4，4）上单调递增，∴f（m2+1）＞1=f（2）的解为m2+1＞2，解得m＜-1或m＞1，∴不等式的解集为{m|m＜-1或m＞1}．【解析】（1）根据条件可得f（0）=0，f（-2）=-1，解不等式组即可；（2）将a，b的值代入f（x）中，利用定义证明f（x）的单调性即可；（3）根据f（x）的单调性和f（2）=1，可得m2+1＞2，解不等式即可；本题考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，关键是利用定义证明单调性，属基础题．19.【答案】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+-90＞40，即x2-65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴45<x<100,∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1-x%）=40-；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+-90）•x%+40（1-x%）=-x+58；∴g（x）=；y=的对称轴为x=32.5,当x=30时，，=37，所以当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力,属于中档题．（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．20.【答案】解：（1）由题意得，定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=x-ln x，∴f′（x）=1-=．由f′（x）＞0⇒x＞1；f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在区间（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴x=1时f（x）有极小值为f（1）=1-ln1=1．（2）a＞0时，f′（x）=-ax+a+1-==．当f′（x）=0时，x=1和x=．①当a=1时，f′（x）=-≤0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上递减；②当＞1即0＜a＜1时，f′（x）＞0⇒1＜x＜；f′（x）＜0⇒0＜x＜1或x＞；∴f（x）在（1，）上递增，在（0，1）和（，+∞）上递减；③当＜1即a＞1时，f′（x）＞0⇒＜x＜1；f′（x）＜0⇒0＜x＜或x＞1；∴f（x）在（，1）上递增，在（0，）和（1，+∞）上递减．（3）由（2）知当a∈（2，3）时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以|f（x1）-f（x2）|max=f（1）-f（2）=-1+ln2，要使对任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立则有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|max，第11页，共11页即m +ln2＞-1+ln2对任意a ∈（2，3）成立，亦即m ＞对任意a ∈（2，3）成立，令g （a ）=，则g ′（a ）=＞0对a ∈（2，3）恒成立，所以g （a ）在a ∈（2，3）上单调递增，∴g （a ）＜g （3）=，故m 的取值范围为 m ≥．【解析】（1）由f ′（x ）=1-=．由f ′（x ）＞0⇒x ＞1； f ′（x ）＜0⇒0＜x ＜1，从而函数f （x ）在区间（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．进而x =1时f （x ）有极小值为f （1）=1-ln1=1；（2）a ＞0时，f ′（x ）=．当f ′（x ）=0时，x =1和x =．分别讨论①当a =1时，②当＞1③当＜1的情况，从而得出答案；（3）由（2）知当a ∈（2，3）时，f （x ）在区间[1，2]上单调递减，所以|f （x 1）-f （x 2）|max =f （1）-f （2）=-1+ln2，则有m +ln2＞|f （x 1）-f （x 2）|max ，令g （a ）=，则g ′（a ）=＞0对a ∈（2，3）恒成立，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，求参数的取值范围，是一道综合题．。

第二学期高二数学期中测试卷数 学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数2+i 1−2i的共轭复数是 ．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ．3．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，x ，−1)，且a →⋅b →=2，则x 的值是 ． 4．把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种．5．若直线l 的方向向量为（4，2，m ），平面α的法向量为（2，1，﹣1），且l ⊥α，则m ＝ ． 6．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga ﹣lgb 的不同值的个数是 ．7．已知a →=（3，﹣2，﹣3），b →=（﹣1，x ﹣1，1），且a →与b →的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ．8．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答） 9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k +1时成立时，f(n)=1+12+13+⋯+12n −1增加的项数是 10．如图在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A →=a →，A 1B 1→=b →，A 1D 1→=c →，O 为底面ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG →=11．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM= ．13．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ． 14．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α﹣1； ②cos4α＝8cos 4α﹣8cos 2α+1；③cos6α＝32cos 6α﹣48cos 4α+18cos 2α﹣1；④cos8α＝128cos 8α﹣256cos 6α+160cos 4α﹣32cos 2α+1； ⑤cos10α＝m cos 10α﹣1280cos 8α+1120cos 6α+n cos 4α+p cos 2α﹣1； 可以推测，m ﹣n +p ＝ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．设z 为复数z 的共轭复数，满足|z −z |＝2√3． （1）若z 为纯虚数，求z ； （2）若z −z 2为实数，求|z |．16．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男女相间．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →．（1）若λ＝2，求异面直线PD 与EF 所成角的余弦值； （2）若λ=12，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．18．（1）已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *．证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面ABE ⊥底面ABCD ，侧面AEB 为等腰直角三角形，∠AEB =π2，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA；若不存在，说明理由．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=√a n 2−2a n +2−1（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3的值 （2）证明：①0≤a n ≤1； ②a 2n ＜14＜a 2n +1．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．﹣i．2．正方形的对角线相等3．5．4．815．﹣26．18．7．x＞﹣2且x≠−5 3．8．480．9．2k．10．23a→+12b→+56c→．11．96．12 313．84．14．962．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）设z＝bi，b∈R，则z=−bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3⋯所以b=±√3，所以z=±√3i⋯（6分）（2）设z＝a+bi，（a，b∈R），则z=a﹣bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3．…（7分）z−z2＝a+bi﹣（a﹣bi）2＝a﹣a2+b2+（b+2ab）i．因为z−z2为实数，所以b+2ab＝0…因为|b|=√3，所以a=−1 2，…所以|z|=√(−12)2+(±√3)2=√132⋯16．（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A 88＝241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22•A 77＝10080种排法．（3）先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A 55种方法， 故共有A 44•A 55＝2880种排法．17．（1）四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABC D 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，当λ＝2时，P （0，0，2），D （0，2，0），C （1，2，0），E （23，43，23），F （1，1，0），PD →=（0，2，﹣2），EF →=（13，−13，−23），设异面直线PD 与EF 所成角为θ， 则异面直线PD 与EF 所成角的余弦值为： cosθ=|PD →⋅EF →||PD →|⋅|EF →|=23√8⋅√69=√36．（2）当λ=12，E （13，23，43），A （0，0，0），F （1，1，0），C （1，2，0），AE →=（13，23，43），AF →=（1，1，0），设平面AEF 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=13x +23y +43z =0n →⋅AF →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，14）， 平面AFC 的法向量m →=（0，0，1）， 设二面角E ﹣AF ﹣C 的平面角为θ， 则二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值为：cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=14√1+1+116=√3333．18．证明：（1）假设1a ，1b，1c是等差数列，则1b−1a=1c−1b，即a−b ab=b−c bc，∴a−b a=b−c c，∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0， ∴a ﹣b ＝b ﹣c ≠0， ∴1a=1c ，∴a ＝c ，此时公差d ＝0，这与题设矛盾， ∴假设不成立，即1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）①当p ＝2时，（1+x ）2＝1+2x +x 2＞1+2x ，原不等式成立； ②假设p ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式（1+x ）k ＞1+kx 成立，当p ＝k +1时，（1+x ）k +1＝（1+x ）（1+x ）k ＞（1+x ）（1+kx ）＝1+（k +1）x +kx 2＞1+（k +1）x ，∴当p ＝k +1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．（1）因为平面ABE ⊥底面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角， 设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE =√2a ，所以CE =√3a ， 则直角三角形CBE 中，sin ∠CEB =CBCE =3=√33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为√33； （2）存在点F ，且EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ，证明如下：解：连接AC 、BD 交于点M ，面ACE ∩面FBD ＝FM ． 因为EC ∥平面FBD ，所以EC ∥FM ．在梯形ABCD 中，有△DMC ∽△BMA ，可得MA ＝2MC ，∴AF ＝2FE ， 即点F 满足EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ．20．（1）a 2＝0，a 3=√2−1，（2）设f （x ）=√(x −1)2+1−1，则a n +1＝f （a n ）， ①（i ）当n ＝1时，命题成立，（ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即0≤a k ≤1，则当n ＝k +1时，易知f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，从而0＝f （1）≤f （a k ）≤f （0）=√2−1＜1， 即0≤a k ≤1，所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）可知命题成立， ②先证a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *），（i ）当n ＝1时，0＝a 2＜a 3=√2−1，即n ＝1时命题成立， （ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＜a 2k +1，（k ∈N *），则当n ＝k +1时，由①f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得a 2k +1＝f （a 2k ）＞f （a 2k +1）＝a 2k +2，故a 2k +2＝f （a 2k +1）＞f （a 2k +2）＝a 2k +3， 所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *）， 再证a 2n ＜14＜a 2n +1，由上可知，a 2n ＜√a 2n 2−2a 2n +2−1，即（a 2n +1）2＜a 2n 2﹣2a 2n +2，因此a 2n ＜14，由f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得f （a 2n ）＞f （a 2n +1），即a 2n +1＞a 2n +2，所以a 2n +1＞√a 2n+12−2a 2n+1+2−1，即a 2n +1＞14，所以a 2n ＜14＜a 2n +1．。

江苏省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A . 6种B . 12种C . 24种D . 48种2. （2分）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .3. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·成都期中) 已知函数f（x）=lnx，x1 ， x2∈（0，），且x1＜x2 ，则下列结论中正确的是（）A . （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0B . f（）＜f（）C . x1f（x2）＞x2f（x1）D . x2f（x2）＞x1f（x1）5. （2分）一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是（）A . 0.078B . 0.78C . 0.0078D . 0.046. （2分）(2017·宁波模拟) 如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I⊂α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）A .B .C .D . 37. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 经过点（3，﹣）的双曲线﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为（）A .B . 2C . 2D . 49. （2分）工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A . 997个B . 954个C . 682个D . 3 个10. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。

江苏省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的模为A .B .C .D . 22. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关3. （2分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A . 在圆内B . 在圆上C . 在圆外D . 在圆上或圆外4. （2分） (2017高二上·南昌月考) 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是（）A . 在(－2，1)上f(x)是增函数B . 在(1，3)上f(x)是减函数C . 当x＝2时，f(x)取极大值D . 当x＝4时，f(x)取极大值5. （2分） (2019高二下·上饶月考) 已知定义域为R的奇函数的导函数，当时，，若，则下列关于的大小关系正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·同心期中) 已知实数a ， b满足，，则的最小值为A .B .C .D .8. （2分）下列命题正确的是（）A . 若，则a＞bB . 若|a|＞b，则C . 若a＞|b|，则D . 若a＞b，则9. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则等于（）A . 1B .C . 2017D .10. （2分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）A . a＞B . a≥C . a＜且a≠0D . a≤ 且a≠011. （2分）用反证法证明“如果a>b，则a3>b3”假设的内容是（）A . a3=b3B . a3<b3C . a3=b3且a3<b3D . a3=b3或a3<b312. （2分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A . (0,)B . (0,)C . (0,)D . (0,)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是________．14. （1分）已知a= ，则二项式的展开式中的常数项为________．15. （1分） (2017高二下·如皋期末) 已知正实数a，b满足2a2﹣ab﹣4=0，则3a﹣b的最小值为________．16. （1分） (2019高二下·齐齐哈尔期末) 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________.三、解答题： (共8题；共65分)17. （10分）综合题。

江苏省 2020 版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018·浙江模拟) 设复数 满足为虚数单位 ，则A. B.i C. D.1 2. （2 分） (2019 高二下·拉萨月考) 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选 择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ） A. B. C.D.3. （2 分） (2020 高二下·中山期中) 若 A. B.C.D.4. （2 分） 根据下边给出的数塔猜测 123456 9+8=（ ）1 9+2=11第 1 页 共 12 页，则（ ）12 9+3=111 123 9+4=1111 1234 9+5=11111 A . 1111110 B . 1111111 C . 1111112 D . 11111135.（2 分）(2016·湖南模拟) 若 A.6的展开式中的常数项为 a，则的值为（ ）B . 20C.8D . 246. （2 分） (2017 高二下·淄川期末) 某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果 要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A . 16B . 18C . 24D . 327. （2 分） (2019·浙江) 已知 x，y 是实数，则“x+y≤1”是“x≤ 或 y≤ ”的（ ） A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件第 2 页 共 12 页D . 既不充分也不必要条件8. （2 分） (2016 高二上·包头期中) 已知方程﹣=1 表示双曲线，那么 k 的取值范围是（ ）A . k＞5B . ﹣2＜k＜2C . k＞2 或 k＜﹣2D . k＞5 或﹣2＜k＜29. （2 分） (2019 高二上·葫芦岛月考) 已知抛物线的焦点为 ， ， 是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到 轴的距离是（ ）A.B.C. D.10. （2 分） (2017 高二上·定州期末) 已知函数 f（x）=（a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A . （0， ]B.[ ， ]C . [ ， ]∪{ }D . [ ， ）∪{ }二、 填空题： (共 5 题；共 5 分)第 3 页 共 12 页11. （1 分） 若不等式|x﹣3|≤x+ 的解集为空集，则 a 的取值范围为________12. （1 分） (2016 高二下·连云港期中) 计算 + + +…+=________．13. （1 分） (2016 高二下·新余期末) 已知在等差数列{an}中， 数列{bn}中，类似的结论为________．，则在等比14. （1 分） (2020·吉林模拟) 若函数与满足：存在实数 ，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数围是________为函数的“友导”函数，则 k 的取值范15. （1 分） (2018 高三上·重庆月考) 若实数 ________.满足约束条件三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)16. （10 分） (2020 高二下·嘉定期末) 已知复数，（1） 若，求实数 m 的取值范围；则，.的最大值是（2） 若 是关于 的方程的一个根，求实数 m 与 n 的值.17. （10 分） (2020·如皋模拟) 若正项数列则称数列为“数列”.的首项为 ，且当数列是公比为 2 的等比数列时，（1） 已知数列 的通项公式为，证明：数列为“数列”；（2） 若数列为“数列”，且对任意，、、成等差数列，公差为 .①求 与间的关系；②若数列为递增数列，求 的取值范围.18. （5 分） 如图，多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，M，N 分别为 AF，BC 的中点．第 4 页 共 12 页（1）求证：MN∥平面 CDEF； （2）求多面体 A﹣CDEF 的体积； （3）求证：CE⊥AF．19. （10 分） (2019 高二下·大庆期末) 设点 P 在曲线 y＝x2 上，从原点向 A(2,4)移动，如果直线 OP，曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所围成的面积分别记为 S1、S2.（1） 当 S1＝S2 时，求点 P 的坐标； （2） 当 S1＋S2 有最小值时，求点 P 的坐标和最小值． 20. （5 分） (2017 高一上·泰州月考) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型 产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资 1 万元时的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益 （万元）与投资额 （万元）的函数关系；第 5 页 共 12 页（Ⅱ）该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多 少万元？21. （15 分） (2019 高一上·武汉月考) 设函数①对任意正数 ，都有；②当是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：时，；③.（1） 求，的值；（2） 证明在上是减函数；（3） 如果不等式成立，求 的取值范围.第 6 页 共 12 页一、 选择题： (共 10 题；共 20 分)1-1、参考答案2-1、 3-1、4-1、 5-1、 6-1、7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题： (共 5 题；共 5 分)11-1、12-1、 13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 12 页三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)16-1、 16-2、 17-1、第 8 页 共 12 页17-2、第 9 页 共 12 页18-1、第 10 页 共 12 页19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、。