8-1 动态规划 数学建模

1．某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设1个。

各营业区每年增加的利润与增设的销售店个数有关，具体关系如表1所示。

试规划各营业区应增设销售店的个数，以使公司总利润增加额最大。

：个销售店，C 区增设1个销售店.最大利润为490万元。

贝尔曼（Bellman ）最优化原理：在最优策略的任意一阶段上，无论过去的状态和决策如何，对过去决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优子策略。

2.某公司拟将500万元的资本投入所属的甲、乙、丙三个工厂进行技术改造，各工厂获得投资后年利润将有相应的增长，增长额如表所示。

试确定500万元资解：将问题按工厂分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k （3,2,1=k ）代表从第k 个工厂到第3个工厂的投资额，决策变量k x 代表第k 个工厂的投资额。

于是有状态转移率k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：)}()({max )(10k k k k k S x k k x S f x g S f k k -+=+≤≤ )1,2,3(=k0)(44=S f当3=k 时：)}({max }0)({max )(330330333333x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=于是有表2-1，表中*3x 表示第三个阶段的最优决策。

当2=k 时：)}()({max )(2232202222x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表7-3。

当1=k 时：)}()({max )(1121101111x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表2-3。

然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配方案有两个：（1）甲工厂投资200万元，乙工厂投资200万元，丙工厂投资100万元；（2）甲工厂没有投资，乙工厂投资200万元，丙工厂投资300万元。

按最优分配方案分配投资（资源），年利润将增长210万元。

第四章动态规划§1 引言1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。

20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。

1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。

因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。

因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。

例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。

试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。

例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。

经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。

数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。

本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。

一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。

一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。

2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。

3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。

4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。

5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。

6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。

二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。

自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。

该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。

自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。

该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。

三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。

这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。

2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。

3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。

该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。

四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。

一、背景与目的随着我国经济社会的快速发展，数学建模作为一种重要的研究方法，在各行各业中得到广泛应用。

为了提高数学建模能力，培养创新型人才，特制定本工作规划。

二、工作目标1. 提高数学建模理论水平，掌握常用数学建模方法。

2. 培养团队协作精神，提高数学建模实践能力。

3. 发表高质量数学建模论文，提升团队在国内外的影响力。

三、工作内容1. 学习与培训（1）深入学习数学建模理论，包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论等。

（2）参加国内外数学建模竞赛，了解竞赛规则和评分标准。

（3）邀请专家学者进行讲座，拓宽知识面，提高研究能力。

2. 实践与项目（1）结合实际需求，开展数学建模项目研究，如城市规划、环境保护、交通运输等。

（2）针对具体问题，运用数学建模方法进行求解，提高解决实际问题的能力。

（3）总结经验，撰写数学建模论文，争取在国内外期刊发表。

3. 团队建设（1）选拔和培养团队成员，提高团队整体实力。

（2）加强团队内部沟通与协作，形成良好的团队氛围。

（3）定期组织团队活动，增进成员间的感情。

四、实施步骤1. 制定详细的学习计划，明确学习目标和进度。

2. 每月至少开展一次数学建模实践活动，提高团队实战能力。

3. 每季度组织一次团队交流活动，分享经验，共同进步。

4. 每年至少参加一次国内外数学建模竞赛，提升团队知名度。

5. 定期总结工作，对工作规划进行调整和优化。

五、保障措施1. 加强组织领导，明确责任分工。

2. 提供必要的经费和资源支持，为数学建模工作提供保障。

3. 定期对团队成员进行考核，激发团队活力。

4. 建立激励机制，鼓励团队成员积极参与数学建模工作。

通过本工作规划的制定与实施，我们相信能够提高团队的整体数学建模能力，为我国经济社会发展贡献一份力量。

数学建模比赛学习计划一、前言数学建模比赛是一个能够锻炼学生综合能力的重要平台。

通过参与数学建模比赛，学生不仅能够提升数学建模、计算机编程等技能，还能够培养团队合作、问题解决能力等。

因此，作为一名学生，我们应该认真对待数学建模比赛，制定合理的学习计划，全力以赴取得好成绩。

二、学习目标1. 提高数学建模能力，熟练掌握建模方法和技巧；2. 加强计算机编程技能，能够运用计算机辅助进行建模和分析；3. 培养团队合作能力，提高沟通和协商能力；4. 培养问题解决能力，能够独立思考，并有条理地解决问题；5. 增加对实际问题的分析和解决能力。

三、学习计划1. 提高数学建模能力（1）学习建模方法和技巧，包括但不限于数学建模基础知识、优化建模、动态规划等。

每周安排2-3小时时间进行系统性学习，通过读书、参加讲座等途径进行学习。

（2）参加数学建模相关的竞赛、活动，如数学建模夏令营、建模比赛培训班等。

通过实践，不断提高自己的建模能力。

并在学习过程中记录总结常见的建模方法和技巧，加强对数学建模的掌握。

2. 加强计算机编程技能（1）系统学习计算机编程相关知识。

包括但不限于Python、Matlab等编程语言的学习。

每周至少安排2-3小时时间进行学习，并通过编程实践提高自己的编程能力。

（2）参与一些与数学建模相关的编程项目，如使用Python进行数据分析、模型拟合等。

通过实践，不断提高自己的计算机编程能力。

3. 培养团队合作能力（1）组建数学建模学习小组，每周安排固定的时间进行团队学习。

通过与他人的学习交流，加深对数学建模的理解，同时培养团队合作能力。

（2）参加团队合作训练，如小组合作完成数学建模练习题等。

通过实践，不断提高自己的团队合作能力。

4. 培养问题解决能力（1）参加数学建模比赛的模拟测试，模拟真实的比赛环境。

通过不断练习，提高解决实际问题的能力。

（2）阅读一些数学建模经典案例，如国际数学建模大赛获奖作品等。

通过学习他人的经验，拓宽自己的问题解决思路。

数学建模常用方法介绍数学建模是指利用数学方法对实际问题进行数学描述和分析的过程。

它是数学与实际问题相结合的一种科学研究方法。

在数学建模中，常用的方法有线性规划、非线性规划、动态规划、数值模拟、统计分析等。

下面将介绍这些常用的数学建模方法。

1.线性规划线性规划是一种优化问题的数学描述方法，可以用于求解最优化问题，例如最大化利润或最小化成本。

线性规划的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性目标函数和线性约束条件，寻找最优解。

线性规划常用的算法有单纯形法、内点法等。

2.非线性规划非线性规划是一种在约束条件下求解非线性最优化问题的方法。

与线性规划不同，非线性规划中目标函数和/或约束条件是非线性的。

非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法等。

3.动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它可以用于求解具有重叠子问题结构的问题。

动态规划将原问题分解为一系列子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。

动态规划常用于求解最短路径问题、背包问题等。

4.数值模拟数值模拟是通过数值方法对实际问题进行计算机模拟和仿真的方法。

数值模拟在现代科学和工程中得到广泛应用。

数值模拟方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。

5.统计分析统计分析是通过数理统计方法对数据进行分析和推断的方法。

统计分析可以帮助我们了解数据的分布、关系和趋势，并做出科学的推断和预测。

统计分析方法包括假设检验、方差分析、回归分析等。

除了以上常用方法，还有一些其他常用的数学建模方法，例如图论、随机过程、优化算法等。

不同的问题需要选用不同的数学建模方法。

为了解决实际问题，数学建模需要结合实际背景和需求，在数学建模的过程中运用合适的数学方法，建立准确的模型，并通过数学分析和计算机辅助求解，得到符合实际情况的解答和结论。

数学建模的过程不仅仅是将数学工具应用于实际问题，更要注重问题的形式化、合理性和可行性。

在实际建模过程中，需要对问题进行适当的简化和假设，并考虑到模型的稳定性和可靠性。

建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。

建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。

第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。

例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。

第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。

状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。

状态可以是离散的，也可以是连续的。

例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。

第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。

决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。

继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。

第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。

状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。

状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。

在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。

第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。

通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。

例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。

第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。

在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。

例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。

第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。