第七讲 图像的傅里叶变换

傅里叶变换的MATLAB函数
在MATLAB中提供了fft函数用于实现一维快速傅里 叶变换。其调用格式为： （1）Y=fft(X):返回向量X的离散傅里叶变换。如果X 为矩阵，fft函数返回矩阵每列的傅里叶变换。 （2）Y=fft2(X):返回二维离散傅里叶变换，结果Y和 X的大小相同。 （3）Y=fftn(X):返回X的多维离散傅里叶变换，结果 Y和X的大小相同。 （4）Y=fftshift(X):把fft函数、fft2函数和fftn函数输 出结果的零频率部分移到数组的中间。
傅里叶变换的MATLAB函数
例二：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频 谱。对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显 示频谱。即：直接显示（坐标原点在左上角）； 把坐标原点平移至中心后显示；以对数方式显示。 >>f=zeros(512,512); >>f(246:266,230:276)=1; >>subplot(221);imshow(f,[]); >>xlabel(‘单狭缝图像’); >>F=fft2(f); >>S=abs(F);
傅里叶变换的MATLAB函数
>>F=fftshift(abs(fft2(f))); >>subplot(224);imshow(F,[-1,5],’notruesize’); >>xlabel(‘(d)图像旋转45度的傅里叶变换频 谱’);
பைடு நூலகம்
傅里叶变换的MATLAB函数
>>f=zeros(1000,1000); >>f(350:649,475:524)=1; >>subplot(221); >>imshow(f,’notruesize’);% ‘notruesize’图片去适应 窗口，窗口大小不动，自动调节图片大小。所以 显示出来的图片跟实际尺寸可能不一致。 ‘truesize’ 就是按图片实际大小显示图片，窗口 会自动调节大小去适应图片尺寸。这个是默认情 况，跟省略这个参数一样。 >>xlabel(‘(a)原始图像’); >>subplot(222);F=fftshift(abs(fft2(f)));

3） 傅立叶变换特征参数
f(x,y) F (u,v)ej2(u x v)y dd uv
F ( u ,v ) R ( u ,v ) j( u I ,v )
频谱/模
F (u ,v )R 2 (u ,v ) I2 (u ,v )
能量谱/功率谱 P ( u ,v ) F ( u ,v ) 2 R 2 ( u ,v ) I 2 ( u ,v )
傅立叶逆变换
如何看频域图像
1、考虑到傅立叶变换具有对称性，为了便于显示，频率图像 往往以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。
2、图像中心为原始图像的平均亮度，频率为0.从图像中心向 外，频率增高。高亮度表明频率特征明显。
3、此外，频率域图像中心明显的频率变化方向与原图像中地 物方向垂直。也就是说如果原始图像中有多种水平分布的地物， 那么频率域图像中在垂直方向的频率变化比较明显。如果原始图 像中地物左下-右上分布，那么频率域图像中在左上-右下方向频率 变化比较明显，反之亦然。
主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴黎 科学院呈交了《热的传播论文》，推导著名的热传导方程，并在求解该 方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任意函数 可以展成三角函数的无穷级数。
• 数学与图像处理 • 空域与频域的桥梁
傅立叶变换
傅立叶变换是换域分析(空间域到频率域)是 一种广泛使用的工具，在图像处理中是一 种有效而重要的方法。在图像处理中，傅 立叶变换的应用十分广泛，如：图像特征 提取、频率域滤波、周期性噪声的去除、 图像恢复、纹理分析等。把傅立叶变换的 理论与遥感图像的物理解释相结合，有利 于解决大多数遥感图像处理问题。
相位角
(u,v)arctI(au,nv)

figure(2);
%设定窗口
imshow(I);
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('原彩色图像转换为灰度图像')
%图像命名
j=fft2(I);
%二维离散傅里叶变换
k=fftshift(j);
%直流分量移到频谱中心
l=log(abs(k));
%数字图像的对数变换
figure(3);
%设定窗口
imshow(l,[]);
%显示过二维快速傅里叶变换后的图像
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅里叶变换后的图像')
%图像命名
n=ifft2(j)/255;
%逆二维快速傅里叶变换
figure(4);
%设定窗口
imshow(n);
%显示经过二维快速傅里叶逆变换后的图像
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅里叶逆变换后的灰度图像')
%图像命名
i=i(:,:,3);
ffti=fft2(i);
sffti=fftshift(ffti);
%求离散傅里叶频谱
%对原始图像进行二维离散傅里叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置
RRfdp1=real(sffti);
%取傅立叶变换的实部
IIfdp1=imag(sffti);
%取傅立叶变换的虚部
a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);
%计算频谱幅值
a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;

性质
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。