图像处理中的傅里叶变换

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傅里叶变换在图像处理中的应用

作者：王丹

来源：《科学与信息化》2018年第12期

摘 要 傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，在平稳信号的分析方面具有十分重要的地位，线性系统中，常利用傅里叶变换进行分析和处理。本文对傅里叶变换和数字图像处理的相关概念进行了介绍，并主要针对傅里叶变换在数字图像处理中的应用进行分析和研究，对图像处理领域的学习很有帮助。

关键词 傅里叶变换；信号分析；平稳信号；数字图像处理

前言

随着信号处理领域的不断发展，越来越多信号分析工具得到了相关学者的研究。傅里叶变换于19世纪就已经被研究人员提出，在之后的研究和应用中，傅里叶变换也一直是重要的信号处理工具[1-2]。信息时代的到来使数字图像处理技术也开始飞速进步，它与信号处理等技术息息相关，因此傅里叶变换在图像处理中也得到了重要的应用[3]。传统的处理方式往往适合在时域对图像进行处理分析，而与傅里叶变换相结合便使图像处理技术得以在频域进行，傅里叶变换常用于线性系统中的处理，因此，可以很好地和图像处理领域相联系，有效提高数字图像处理的效率和精度[4]。

1 傅里叶变换的概述

最早在1807年，法国工程师傅里叶首先提出了有关傅里叶级数这一理论，首次提到可以将一个周期性的信号展开成多个复正弦信号相加的形式，这一理论引起了学者们的注意。十几年之后，傅里叶正式提出了傅里叶变换的概念。通过傅里叶变换，我们可以将一个信号由时域转换到频域进行信号处理和分析，并且通过傅里叶变换的提出才加深了人们对于频率这个概念的理解。因此，在傅里叶变换被提出之后，在信号分析领域提出了从频域进行分析这个新思路，使人们对信号的特性进行了一些新的方面的研究。很多对信号的处理问题以往通过时域分析很难真的得到充分的解释，傅里叶变换这个思路使很多问题变得显而易见。对于傅里叶变换之后的研究中，出现了关于傅里叶变换的快速算法，使得傅里叶变换更加具有实际应用价值，也对处理离散的数字信号起了重要的作用。

11 科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

科技资讯2019 NO.16

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

信 息 技 术

DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.16.011

基于傅里叶变换的MATLAB图像处理①

任鸿鹏

(北方工业大学理学院 北京 100043)

摘 要：作为一项重要的技术手段，数字图像处理已经广泛地应用于当今社会的众多领域，其中最常用到的方法就是傅里

叶变换。该文在MATLAB的软件环境下，简要阐述了基于傅里叶变换的图像处理原理，并给出了相关图像的处理结果。这

些将有助于增加初学者对傅里叶变换的理解，提升其处理实际问题的能力。

关键词：图像变换 傅里叶变换 MATLAB

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)06(a)-0011-03

①课题来源：大学生创新创业训练项目。图像是世界万物的直观反映，是人类认识世界的重要

源泉。当今世界，人类不仅可以通过特定的手段观测世界

来获取图像，更可以在计算机的帮助下制造出各式各样的

图像，因此，图像的制作、变换等成为了热门研究方向。

图像的变换，就是在计算机的支撑下，对图像进行有目

的的处理的过程。现代社会，随着科技水平的提高，人们

对图像的要求也越来越高，二维码的扫描、人脸识别、网

络连接以及医学界的X光[1]

技术等无一不体现了对图像的

高度要求，因此掌握图像变换技术也变得越来越重要。

在图像变换的诸多方法中，傅里叶变换是最为常见的

一种方法。傅里叶变换是由法国数学家傅里叶提出的一种

线性积分变换，其核心思想是任何连续的周期函数都可以

由一组相应的正弦函数叠加而成[2]

。傅里叶变换的物理效

果是将图像从空间域转化到频率域，逆变换是将图像从

频率域转化到空间域。而图像的频率决定了图像的基本灰

度等级、基本结构与边缘细节，正是傅里叶变换与图像频

率之间的密切关系，因此被广泛应用于图像变换操作中。

２０１５年６月　第１５卷第３期　廊坊师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｇｆａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎ．２０１５　Ｖ０１．１５　Ｎｏ．３　傅里叶变换在数字图像处理中的应用　张　勇　（宿州职业技术学院，安徽宿州２３４１０１）　【摘要】傅里叶变换是１９世纪数学界重要的科研成果，它的处理手段至今为止仍被信号处理领域广泛使用，是　线性系统分析方法中最为有利的工具，使人们能够定量地分析数字处理领域中的绝大多数问题，诸如采样点、电子　放大器、卷积、滤波、噪声等的作用。在图像处理领域中，将傅里叶变换理论与图像的数字处理理论相结合对于解　决大多数图像处理问题都很有帮助。　【关键词】傅里叶变换；图像处理；频域　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｉｎ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ＺＨＡＮＧ　Ｙｏｎｇ　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｂｒｉｌｌｉａｎｔ　ａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｏｆ　ｎｉｎｅｔｅｅｎｔｈ　Ｃｅｎｔｕｒｙ．Ｉｔ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ａｎｄ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｍｅａｌｌｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｔ　ｉｓ　ａ　ｆａｖｏｒａｂｌｅ　ｔｏｏｌ　ｆｏｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ，ｉｔ　ｅｎａｂｌｅｓ　ｐ￣ｐｌｅ　ｔｏ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｓｙｓｔｅｍ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｓａｍｐｌｉｎｇ，ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ａｍ‘　ｐｈｆｉｅｒ，ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ，ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ，ｎｏｉｓｅ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｔｈｅ　ｒｏｌｅ　ｏｆ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｐｏｉｎｔ．Ｔｈｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｉｎｔｅｒ。　ｐｒｅｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｗｉｌｌ　ｇｒｅａｔｌｙ　ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｏｓｔ　ｉｍａｇｅ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．　【脚ｗ￣ｒｄｓ】Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｉｍａｇｅ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｔｈｅ￣ｅｑｕｅｎｃｙ　ｄｏｍａｉｎ　（中图分类号］ＴＰ３９１　［文献标识码）Ａ　［文章编号）１６７４—３２２９（２０１５）０３—００２５—０３　１傅里叶变换的概念　１８０７年法国工程师傅里叶提出了傅里叶级数　的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠　加。１８２２年，傅里叶发表论文提出了傅里叶变换。　傅里叶变换本质上提出了一种与空间思维不同领域　的频域思维方法，正是由于傅里叶变换，原本对人们　比较抽象的“频率”概念才变得具体化。通过对傅里　叶变换的研究，可以使人们从时域（或空间）与频域　两个不同的角度来看待图像信号处理问题。在大部　分研究中可以发现在时域有时无法解决的问题，在　频域却是显而易见的。对一个给定的信号，如　（ｔ），　可以用众多的方法来描述它，如　（ｔ）的函数表达式，　通过傅里叶变换所得到的　（ｔ）的频谱，即　（ｍ），　再如　（ｔ）的相关函数的能量谱和功率谱等。　在图像处理中，线性变化的元素的频率是最为重　要的物理量，如夕阳下多彩的彩霞，丰富而又温暖的　画面颜色都与色彩频率有着密不可分的关系。这种　色彩频率的变换与傅里叶变换有着完美的契合度，因　此傅里叶变换对图像处理有着极其重要的意义。　１．１离散傅立叶变换　计算机处理的数字图象是由灰度组成，在计算　机内部数据库中是以二维离散数据矩阵存储的，因　此，对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。　对图像数据ｆ（　，’，）（　＝０，１，…，Ｍ一１；Ｙ＝　０，１，…，Ｎ一１）。则其离散傅立叶变换定义可表示　为：　．　Ｍ－１Ⅳ一１　Ｆ（　，　）＝。　厂（　，ｙ）ｅｘｐ［－ｉ２ｚｒ（－￣＋　）］　（１）　式中，　＝０，１，…，Ｍ一１；　＝０，１，…，Ｎ一１　其逆变换为：　［收稿日期］２０１５—０５一Ｏ１　［基金项目］安徽省高校省级自然科学研究项目（ＫＪ２０１３Ｚ３２５）；安徽省高校省级优秀青年人才基金重点项目（２０１３　ＳＱＲＬ１５０ＺＤ）　［作者简介］张勇（１９７７一），男，硕士，宿州职业技术学院计算机信息系副教授，研究方向：软件工程、图形图像处理。　・２５・

实验三 图像的傅里叶变换

一、 实验目的

1.了解图像变换的意义和手段；

2.掌握FFT变换方法及应用；

3.通过实验了解二维频谱的分布特点；

4.通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。

二、 实验原理

1 应用傅立叶变换进行图像处理

傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

2 傅立叶（Fourier）变换的定义

对于二维信号，二维Fourier变换定义为：

2()(,)(,)juxuyFuvfxyedxdy

逆变换：

2()(,)(,)juxuyfxyFuvedudv

二维离散傅立叶变换为：

112()001(,)(,)ikNNjmnNNikFmnfikeN

逆变换：

112()001(,)(,)ikNNjmnNNmnfikFmneN

三、 实验步骤及结果

步骤：

1将图像内容读入内存；

2用Fourier变换算法，对图像作二维Fourier变换；

3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；

4用Fourier系数的幅度进行Fourier反变换； 5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；

6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

7记录和整理实验报告。

结果：

四、 程序源代码

clear;

I=imread('1.gif');

I=rgb2gray(I);

subplot(3,3,1);

imshow(I);

title('1.gif');

E=fft2(double(I));

sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称