四年级奥数行程火车问题C级学生版

第十九讲火车行程进阶上一讲中我们已经学习了火车行程中的火车过桥、火车过人、火车过车这三种基本类型．解决火车行程问题，最重要的是要学会画图，将火车行程过程转化为最后对齐的两个位置的相遇或追及过程．接下来，我们来介绍较复杂的火车行程问题．我们已经学过了火车与火车的相遇与追及，追及问题一般是指两列火车从开始追上到完全超过所经历的过程．接下来看两类特殊的火车与火车的追及问题，齐头行进或齐尾行进．始末乙车乙车始甲车甲车①齐头并进始末乙车乙车甲车甲车始②齐尾并进与之前分析过程一样，首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置，将火车行程过程转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下：齐头并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长．齐尾并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长．例题1（1）现有D字头动车和T字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过8秒后动车超过特快．请问：D字头动车车长多少米？（2）现有D字头动车和T字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过10秒后动车超过特快．请问：T字头特快车车长多少米？「分析」题（1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（D字头动车车长）即为路程差，所以求路程差即可．练习1（1）现有两列火车，如果这两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，行10秒后快车超过慢车．请问：快车车长多少米？（2）现有两列火车，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，如果这两列火车车尾对齐，同时同向行进，则15秒后快车超过慢车．请问：慢车车长是多少米？．在现实生活中，有很多行程问题都会涉及到运动对象本身的长度，比如队列、队伍等等．下面我们看一下另外一类比较特殊的火车行程——队列行程问题．这类问题主要包含两种基本类型（队伍是匀速前进的）：“人从队头走到队尾”与“人从队尾走到队头”① 人从队头走到队尾：始始行人队伍末从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的相遇过程，队列与行人的路程和即为队列长度．② 人从队尾跑到队头：行人始末末队伍从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的追及过程，只不过，这里的行人要比“火车”还要快，行人与队列的路程差即为队列长度．例题 2某解放军队伍长 450 米，以每秒 2 米的速度行进．一名战士以每秒 3 米的速度从排尾跑到排头需要多长时间？然后从排头返回排尾，又需要多少时间？「分析」从排尾到排头，即为战士与队伍的追及过程，要计算时间，就需要找到路程差与速 度差．练习 2某学校组织学生去春游，队伍长 540 米，并以每秒 2 米的速度前进，一名学生以每秒 4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用多少分钟？在之前学习的盈亏、和差倍等应用题中，我们用到了比较的方法．在行程问题中，往往也会应用到比较的思想．例题3一列火车完全通过460米长的隧道用30秒，以同样的速度完全通过410米的隧道用28秒．请问：这列火车的速度是每秒多少米？「分析」本题包含两个“火车通过桥”的过程，一一分析，可以计算出什么吗？不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度．练习3一列客车完全通过530米长的桥用了50秒，以同样速度完全通过380米长的山洞用了40秒．请问：这列客车的速度是每秒多少米？火车行驶的过程中，火车行驶的距离只需要看火车上的某一个点即可，可以是火车头或者火车尾，当然，也可以是火车的某一个窗户．对于坐在火车某个窗户旁边的人来说，他的速度其实就是火车前进的速度．接下来，我们分析一下火车中的人观察其他火车经过的过程：③相遇始乙车始甲车乙车甲车末④追及乙车始末乙车甲车甲车始从图中可以看出，这类型的行程过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇或追及过程，对应的路程和或路程差其实都是另外一辆火车的车长，与人所乘坐的火车长度没有关系．例题4甲、乙两列火车同向而行，甲车在前，乙车在后．甲车长320米，每秒行20米；乙车长480米．坐在甲车上的小王老师从乙车车头经过她的车窗时开始计时，到车尾经过她的车窗为止共用96秒．那么乙车的速度是多少？「分析」题目所叙述的过程，其实是乙车与王老师的追及过程，请画图分析一下，路程差是什么呢？跟甲车车长、乙车车长有什么关系呢？练习4动车和直达列车相向而行．动车长600米，每秒行60米；直达列车长900米，每秒行30米．坐在动车上的小王老师记录了从直达列车车头经过她车窗，到车尾经过她车窗所用的时间．那么这个时间是多少？例题5一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．请问：火车车长多少？「分析」本题涉及到两个过程：一个是火车通过桥，一个是火车完全在桥上．一一分析，两个过程都无法计算．不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度与车长．从前面的分析中，我们已经知道，火车中的人与另外一辆火车的相遇与追及过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇与追及，和人所乘坐的车长是没有关系的．而解决这类题目，关键的一步就是要找到人的速度．如果人在车上静止，那么人的速度就是车的速度．如果人在车上行走呢？我们看一个简单例子：一列火车以每秒20米的速度行驶，乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的方向向前走，那么在地面上静止的人来看，乘务员的前进速度是多少呢？如果乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的反方向向前走，那么对于地面上静止的人，乘务员的前进速度又是多少呢？我们可以这么想：火车1秒钟前进了20米，如果乘务员行走方向跟火车一样，那么在火车带着他前进了20米的基础上他又往前走了1米，所以对于地面来说，乘务员其实是走了21米，所以他的速度就是每秒钟21米，即车与人的速度和；同样的道理，如果乘务员的行走方向与火车相反，那么他对于地面的速度就是车与人的速度差．例题6货车和客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小高在客车内沿着客车前进的方向向前走，发现货车用140秒就超过了他．已知小高在客车内行走的速度为每秒1米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求：（1）货车的行驶速度；（2）货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．「分析」小高在客车内行走，那么他的实际速度是多少呢？货车与小高的追及过程，路程差是什么呢？画图好好分析一下吧！课堂内外白（黄）色安全线火车站台或者地铁的站台边都会有一条白色或者黄色的安全线，当列车进站的时候，车站的工作人员都会提醒人们注意站在安全线的后面，不过那并不是怕乘客拥挤掉下去，到底是为什么呢？据铁路史志记载，这条安全线来源于近百年前的一场惨案．1905年冬天，在俄国一个名鄂洛多克的小车站上，站长率全站38名员工身着盛装、手持鲜花，列队站在铁路线两旁恭候沙皇尼古拉二世派来视察的钦差大臣．然而，遗憾的是，列车没有缓缓进站，而是狂风般冲进了“人巷”，刹那间“人巷”倒塌了，数十名员工仿佛背后被人猛推了一掌，不由自主向前倒去．结果造成34人丧生，4人终生残疾．由于当时科技水平有限，人们对此无法解释．后来人们才弄明白惨案真相．在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔•伯努利1738年发现的“伯努利定律”．在行驶的汽车或者火车窗外，紧挨着车身的空气由于车身的带动而流速较快，从而产生比正常的大气压更小的气压，并且速度越快，这个气压就会越小，这样周围的空气就会把旁边的物体推向火车．所以，火车高速行驶时，人站立太近的话就有可能被吸过去，那个后果可真得会惨不忍睹啊．而在站台上，即使在列车进站的时候车速减慢了很多，但在完全停稳之前，这个吸力还是会存在．这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了这一定律．飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面．这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了．工程学上会用一个“伯努利公式”来计算，这个力到底有多大．所以，即使运行在站台的列车速度并不是很快，也不要挑战自己，去试那个吸引力有多大．当我们在站台上等候火车或地铁时，一定要站在白色安全线外．作业1.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐头并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了10秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇妈妈的长度多少米？2.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐尾并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了5秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇宝宝的长度多少米？3.麦兜参加学校军训，所在班队伍长20米，以每秒1米的速度前进．麦兜以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？4.一列火车通过220米长的大桥需要20秒，以同样的速度通过300米长的隧道需要24秒．这列火车长多少米？5.一列快车和一列慢车相向行驶，坐在快车上面的小王老师，从慢车经过她的窗口开始计时，到完全经过她的窗口结束，共计10秒钟．已知快车长200米，速度是每秒20米；慢车长380米，那么慢车的速度是每秒多少米？（ ， ” ， ” （ （第十九讲 火车行程进阶1.例题 1答案：160 米；200 米详解： 1）齐头并进，路程差即快车车长，(60 - 40)⨯ 8 = 160 米；（2）齐尾并进，路程差即慢车 车长， (60 - 40 )⨯ 10 = 200 米．2. 例题 2答案：450 秒；90 秒详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是 450 ÷ (3 - 2) = 450 秒；（2）从排 头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是 450 ÷ (3 + 2) = 90 秒．3. 例题 3答案：25 米/秒详解：火车 30 秒的路程是“ 460米 + 车长 ” 28 秒的路程是“ 410米 + 车长 ，时间差为 30 - 28 = 2 秒，路程差为 460 - 410 = 50 米，所以速度为 50 ÷ 2 = 25 米/秒．4. 例题 4答案：25 米/秒详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长 480 米，时间为 96 秒，所以速度差为 480 ÷ 96 = 5 米/秒，小王老师速度即为甲车速度 20 米/秒，所以乙车速度为 20 + 5 = 25 米/秒．5. 例题 5 答案：200 米详解：火车 120 秒的路程为“1000米 + 车长 ” 80 秒的路程为“1000米 - 车长 ，比较可得火车40 秒的路程为“2 个车长”，即 20 秒的路程为“车长”，而 12 秒的路程为“1000米 + 车长 ”，所 以火车 100 秒的路程为 1000 米，速度为 1000 ÷100 = 10 米/秒，车长为 120 ⨯10 - 1000 = 200 米．6. 例题 6答案：23 米/秒；210 秒详解： 1）小高的实际速度为 20 + 1 = 21 米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140 秒，路程差 为货车车长 280，所以速度差为 280 ÷140 = 2 米/秒，所以货车速度为 21+ 2 = 23 米/秒； 2）货车 与 客 车 的 追 及 时 间 ， 路 程 差 为 两 车 车 长 之 和 即 350 + 280 = 630 米 ， 所 以 时 间 为630 ÷ (23 - 20) = 210 秒．7.练习 1答案：110 米；165 米详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长， (20 - 9)⨯10 = 110 米；（2）齐尾并进，路程差为慢车， ” ， ”车长， (20 - 9)⨯15 = 165 米．8. 练习 2 答案：6 分钟详解：从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是 540 ÷ (4 - 2) = 270 秒；从队头跑回队 尾，路程和为队伍长度，所以时间是 540 ÷ (4 + 2) = 90 秒，一共用了 270 + 90 = 360 秒即 6 分钟．9. 练习 3答案：15 米/秒简答：50 秒的路程是“ 530米 + 车长 ” 40 秒的路程是“ 380米 + 车长 ，时间差为 50 - 40 = 10 秒，路程差为 530 - 380 = 150 米，所以速度为 150 ÷10 = 15 米/秒．10. 练习 4答案：10 秒简答：直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长 900 米，速度和为 60 + 30 = 90 米 /秒，所以时间为 900 ÷ 90 = 10 秒．11. 作业 1答案：10 米简答：齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为 (5 - 4)⨯10 = 10 米．12. 作业 2答案：5 米简答：齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为 (5 - 4)⨯ 5 = 5 米．13. 作业 3答案：10 秒简答：从队尾跑到队头，速度差为队伍长度 20 米，所以时间为 20 ÷ (3 - 1) = 10 秒．14. 作业 4答案：180 米简答：20 秒的路程是“ 220米 + 车长 ” 24 秒的路程是“ 300米 + 车长 ，时间差为 24 - 20 = 4 秒，路程差为 300 - 220 = 80 米，所以速度为 80 ÷ 4 = 20 米/秒，所以火车车长为 20 ⨯ 20 - 220 = 180 米．15. 作业 5答案：18 米/秒简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长 380 米，时间为 10 秒，所以速度和为380 ÷10 = 38 米/秒，小王老师速度即为快车速度 20 米/秒，所以慢车速度为 38 - 20 = 18 米/秒．。

第十四讲行程问题二1．(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车．从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒．求火车的速度．(2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米，这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒，已知火车速度是每秒17米，求火车的长度．2．(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间？(2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米？3．一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？4．甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？5．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？然后从队头返回队尾，又需要多长时间？6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒．问：乙车全长多少米？7．现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．请问：快车和慢车的车长分别是多少米？8．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米．A、 B两地相距2700米．甲、乙两人从A、曰两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙，请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米，如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行．甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地的距离．10.东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……，这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：小辉共骑了多少千米？1．(1)一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间？(2)一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒．这个山洞长多少米？2．一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗？它的速度是多少？3．有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米．试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间？如果两车同向而行，客车赶超货车（从追上到完全超过）需要多长时间？4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后，已知客车通过460米长的隧道用30秒，通过410米长的隧道用28秒．又已知货车长160米，每小时行驶54千米．请问：客车从追上到离开这列货车需要多少秒？5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米？6．人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟．请问：队伍的总长是多少米？7．阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过阿奇，如果这列客车从阿奇的背后开来，60秒后经过阿奇，试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇？8．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，小明发现货车用140秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒1米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．9．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？10.甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行，与此同时，丙从B地出发向A地前进，甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离．11.甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍，现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进，三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车，途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进，试问：三人之中谁最先到达目的地？谁最后到达目的地？ 12.A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进．甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行，请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点？1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8:00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；另有一列客车迎面驶来，9:30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它，如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍．请问：客车和货车什么时间相遇？两车错车需要多长时间？2．货车和客车相向而行，两车在A点迎面相遇，在B点错开，A点和B两点之间的距离为150米．已知客车的长度为450米，速度为每小时108公里，货车的速度为每小时72公里．如果货车比客车长，那么货车的长度是多少？3．铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去．14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生，请问：工人与学生将在何时相遇？4．A、B两地相距120千米，甲、乙两人分别骑车从A、B两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米，出发后1小时30分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑，在他们相遇6分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙．若甲以每小时44千米的速度，乙以每小时比原速度快6千米的车速，两人同时分别从A、B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米．6．快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟100米的速度沿公路走向甲地，已知快车出发30分钟后在途中遇上冬冬，中车出发35分钟后遇上冬冬．三辆车到达乙地的时候分别用了100分钟、120分钟、150分钟．请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬？7．铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人早上同时从A城出发向南前进，行人速度为每小时7.2千米，骑车人速度为每小时18千米．途中，有一列火车从他们背后开过来，9点10分恰好追上行人，而且从行人身边通过用了20秒钟；9点18分恰好追上骑车人，从骑车人身边通过用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米？行人与骑车人早上何时从A城出发？他们出发时，火车头离A城还有多少千米？8．铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车，它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的车长居中．最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向，乙车的车尾则位于 B信号灯处，车头则冲着A的方向．现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇．再过15秒，甲车恰好完全超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开．请问：甲、乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？。

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行程问题班级姓名一、行程问题的类1．相遇问题——同时出发，相向而行，最后相遇；2．背向问题-—同一地点，同时出发;3．追击问题——同时行走，同向而行，最后追上。

二、知识要点:1、相遇问题(或背向问题）AB两地的距离=甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=(甲的速度+乙的速度)×时间。

2、追击问题：甲乙的距离=甲走的距离-乙走的距离=甲的速度×时间-乙的速度×时间= （甲的速度-乙的速度）×追击的时间相遇问题【经典例题】例1．甲乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问:二人几小时后相遇？例2．东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？例 3. 甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行，已知甲车到达B城需3小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇?例4．两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发现:从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。

例5．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米?例6．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等。

奥数四年级行程问题《专题知识点概述》行程问题是一类常见的重要应用题；在历次数学竞赛中经常出现。

行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。

行程问题思维灵活性大；辐射面广；但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系；即：距离=速度⨯时间；时间=距离÷速度；速度=距离÷时间。

在这三个量中；已知两个量；即可求出第三个量。

掌握这三个数量关系式；是解决行程问题的关键。

在解答行程问题时；经常采取画图分析的方法；根据题意画出线段图；来帮助我们分析、理解题意；从而解决问题。

一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题；总称为行程问题；我们已经接触过一些简单的行程应用题；行程问题主要涉及时间《t》、速度《v》和路程《s》这三个基本量；它们之间的关系如下：《1》速度×时间=路程可简记为：s = vt《2》路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v《3》路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然；知道其中的两个量就可以求出第三个量；二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间。

《重点难点解析》1；行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量《竞赛考点挖掘》1；注意观察运动过程中的不变量《习题精讲》《例1》《难度等级※》邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里；从邮局开始要走12千米上坡路；8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米；下坡时每小时走5千米；到达目的地停留1小时以后；又从原路返回；邮递员什么时候可以回到邮局?《分析与解》法一：先求出去的时间；再求出返回的时间；最后转化为时刻。

①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4；6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4；6 =2+2；4+1+4；6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时)；邮递员是下午5时回到邮局的。

四年级奥数火车过桥问题完整火车过桥问题：火车过桥总路程=车长+桥长过桥时间=车长/车速例1：一列火车长150米，每秒行驶19米，全车通过420米的大桥需要多长时间？练1：一列火车全长400米，以每小时40千米的速度通过一条长2.8千米的隧道，共需多少时间？例2：一列火车全长450米，每秒行驶16米，全车通过一条隧道需90秒。

求这条隧道长多少米？练1：一座大桥长2100米，一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离开共用3.1分钟，这列火车长多少米？例3：一列火车通过180米长的桥用40秒，用同样的速度，穿过300米长的隧道用48秒，求这列火车的速度和列车长度。

练1：一列火车通过199米的桥需要80秒，用同样的速度通过172米的隧道要74秒，求列车的速度和车长。

练2：一列火车长600米，速度为每分1000米，铁路上有两条隧道，火车自车头进入第一隧道到车尾离开第一隧道用了3分钟，用从车头进入第二隧道到车尾离开第二隧道用了4分钟。

从车头进入第一隧道到车尾离开第二隧道共用了9分钟。

问两条隧道之间相距多少米？例4：346名少先队员排成两路纵队去参观科技成果展览。

队伍行进的速度是每分钟行23米，前后两人都相距1米。

现在队伍需要通过一座长702米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需几分钟？练1：五年级394个学生排成两路纵队去郊游，每两个学生相隔0.5米，队伍以每分钟行61米的速度通过一座207米的大桥，一共需要多长时间？例5：一列火车长192米，从路边的一根电线杆旁经过用了16秒，这列火车以同样速度通过312米长的桥，需多长时间？练1：一列火车长800米，从路边的一颗大树旁通过用了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。

求这座大桥的长度。

例6：一座大桥长1000米，一列火车从桥上通过，火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上为80秒。

求火车速度和车长？办公室卫生管理制度：一、主要内容与适用范围1.本制度规定了办公室卫生管理的工作内容和要求，以及检查与考核。

课题：过桥问题“火车过桥”问题是行程问题中的一种情况，桥是静止的，火车是运动的，火车通过大桥，是指车头上桥到车尾离桥，所以当火车通过桥时，火车运动的总路程为车长与桥长的和。

“火车过桥”问题的特点是动对静，有些题目由于比较物与被比较物的不同，可能不容易想出运动过程中的数量关系，同学们可以利用身边的文具，如铅笔、文具盒、尺子等，根据题意进行动力操作，使问题具体化、形象化，从而找到其中的数量关系。

解题中用到的基本数量关系仍然是：速度×时间 = 路程路程÷时间 = 速度路程÷速度 = 时间例1 火车长108米，每秒行12米，经过长48米的桥，要多少时间？分析火车通过大桥，运行的总路程为火车的车长与桥长的和，根据路程÷速度 = 时间，可以求出火车经过桥面所运行的时间。

解（108 + 48）÷12 = 13（秒）答火车经过桥面要13秒钟。

例2 小芳站在铁路边，一列火车从她身边开过用了2分钟，已知这列火车长360米，以同样的速度通过一条大桥，用了6分钟，这座大桥长多少米？分析因为小芳站在铁路边不动，所以，这列火车从她身边开过索性的路程就是车长，这样就很容易求出火车的速度，用火车的速度乘以通过大桥所用的6分钟，就可以求出火车的长度与桥的长度之和，再减去车长，就得到了桥长。

解 360÷2×6 – 360 = 180×6 – 360= 1080 – 360= 720（米）答这座大桥长720米。

随堂练习1（1）长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条300米的隧道，问：火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多少时间？（2）301次列车通过450米长的铁桥用了23秒，经过以为站在铁路边的扳道工人用了8秒，问：列车的速度和长度各是多少？例3 一列火车通过一条长1260米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了60秒，火车穿越长2010米的隧道用了90秒，问：这列火车的车速和车身长？分析可以画出示意图隧道比桥多2010 – 1260 = 750（米）车行走要多用90 – 60 = 30（秒），因此火车的速度就可求的。

行程问题知识要点：1、相遇问题或背向问题AB两地的距离=甲走的距离+乙走的距离 = 甲的速度×时间+乙的速度×时间=甲的速度+乙的速度×时间.2、追击问题：甲乙的距离=甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间= 甲的速度-乙的速度×追击的时间相遇问题例1．甲乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,问：二人几小时后相遇例2．东、西镇相距45千米,甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行,甲比乙每小时多行1千米,5小时后两人相遇,问两人的速度各是多少例 3. 甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车到达B城需3小时,乙车到达A 城需6小时,问：两车出发后多长时间相遇例4．两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求乙车的车长;例5．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米例6．有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等;某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒,求他过桥的平均速度;同步练习：1、汽车以40千米／时的速度从甲地到乙地,到达后立即以60千米／时的速度返回甲地;求该车的平均速度; 2．A、B两地相距480千米,甲、乙两车同时从两站相对开出,甲车每小时行驶35千米,乙车每小时行驶45千米,一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发飞向乙车,遇到乙车又折回向甲车飞去,遇到甲车又折回飞向乙车,这样一直飞下去,燕子飞了多少千米两车才能相遇3．甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,甲每小时行12千米,乙每小时行10千米;两人在离中点3千米的地方相遇;A、B两地相距多远4．一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周;在三条边上它每分钟分别爬行15cm,20cm,30cm如下图;它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米5．两列火车,一列长101米,每秒行20米；另一列长103米,每秒行17米．两车相向而行,从车头相遇到车尾离开需几秒6．在400米的环行跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行3分20秒相遇,如果背向而行40秒相遇,已知甲比乙快,求甲、乙的速度各是多少7．甲、乙二人同时从起点出发,向同一个方向行走,甲每小时行5千米,而乙第一小时行1千米,第二小时行2千米,以后每小时比前一小时多行1千米,问经过多少时间乙追上甲追及问题例7. 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两城同时出发,向一个方向前进,汽车在前,每小时40千米；摩托车在后,每小时75千米;经过3小时摩托车追上了汽车;甲乙两地相距多少千米例8. 小彬和小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小明每秒跑6米.如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明能追上小彬例9．甲乙两人赛跑,甲的速度是8米/秒,乙的速度是5米/秒,如果甲从起点往后退20米,乙从起点处向前进10米,问甲经过几秒钟追上乙例10、甲每小时行60千米,乙每小时行45千米,甲、乙两人同时从A地出发去B地,甲到达B地后立即沿原路返回,在距B地30千米处与乙相遇,A、B两地相距多少千米例11．小兰和小松同时从学校去少年宫,小兰步行每分钟走6米,小松骑自行车,每小时行15千米,小松比小兰早到12分钟,学校到少年宫一共有多少米例12、快车长106米,慢车长74米,两车同向行使,快车追上慢车后,又给过1分钟才超过慢车,如果相向而行的话,车头相接后经过12秒两车才完全离开;就两列车的速度同步练习8．小明以每分钟50米的从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明;问：小强骑自行车的速度;9．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学;小明以80米/分的速度出发,5分后,小明的爸爸发现他忘了带语文书;于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他;1爸爸追上小明用了多长时间2追上小明时,距离学校还有多远10.长180米的客车速度是每秒15米,他追上并超过长100米的货车用了28秒,如果两列火车相向而行,从遇到到完全离开需要多少时间同步测试1、一列客车和一列货车同时从北京站反向而行,货车每小时比客车多走了7千米,4小时后两车相距468千米;求两车的速度;2. 一列客车和一列货车,同时从东、西两地相向开出,客车每小时行56千米,客车每小时行48千米,两车在离中点32千米的地方相遇,求东西两地间的距离是多少千米3、小军和小红两人同时从相距2000米的两地同时同向而行,小军每分钟行120米；小红每分钟行80米;如果一只狗与小军同时出发,它每分钟行400米,当它遇到小红后,立即回头向小军跑去,遇到小军后又立即向小红跑去;这样来回不断,直到小军和小红相遇为止,这时狗跑了多少米4. 龟兔赛跑,全程2000米;龟每分钟爬25米,兔每分钟跑320米,兔自以为速度快,在途中睡了一觉,结果龟到了终点时,兔子离终点还有400米;兔子在途中睡了多少分钟5．甲乙两车相距90千米,两车同向而行,甲车每小时行65千米,乙车每小时行50千米,经过多少小时甲车能追上乙车6．某学校组织学生看电影,第一批的学生骑自行车先走,他们的速度是200/分,10分钟后,其余同学乘汽车前往电影院,汽车的速度是600/分,结果所有的同学同时到达;求学校和电影院的距离;7．小明步行上学,每分行75米,小明离家12分钟后,爸爸发现小明的数学书没有带,就骑自行车去追,每分钟行375米,爸爸出发多少分钟后能追上小明8、已知甲骑自行车追赶前面步行的乙,乙的速度是每分钟60米,甲的速度是每分钟150米,甲出发8分钟追上乙,那么乙比甲早出发多少分钟9．在400米的环行跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行3分20秒相遇,如果背向而行40秒相遇,已知甲比乙快,求甲、乙的速度各是多少10．甲、乙二人同时从起点出发,向同一个方向行走,甲每小时行4千米,而乙第一小时行1千米,第二小时行2千米,以后每小时比前一小时多行1千米,问经过多少时间乙追上甲11、小亮从家到学校,步行需要40分,骑自行车需要 15分;当他骑车走了9分后自行车发生故障,只好步行到学校,那么,他从家到学校共用了多少时间1-10 A D． C． C． B． D． B． C． D． B．11-16左,2．80°． 7；21． 2：3 Q3﹣,0；．17. ﹣2．18. CD==2．19. 概率为．20. AP=；当x=,即AP=时,．21. AE的长是1.4．22. 设正方形DEFG的边长是x,则=,解得：x=；23. tan∠CMA===3； n=．。

第三部份行程问题之马矢奏春创作第一讲行程基础【专题知识点概述】行程问题是一类罕见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常呈现.行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等.行程问题思维灵活性年夜,辐射面广,但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系,即：距离=速度⨯时间,时间=距离÷速度,速度=距离÷时间.在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量.掌握这三个数量关系式,是解决行程问题的关键.在解答行程问题时,经常采用画图分析的方法,根据题意画出线段图,来帮手我们分析、理解题意,从而解决问题.一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量,它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间.【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】【习题精讲】【例1】（难度品级※）邮递员早晨7时动身送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路.他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,达到目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【分析与解】法一：先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻.①邮递员达到对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+1012=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的.法二：从整体上考虑,邮递员走了（12+8）千米的上坡路,走了（12+8）千米的下坡路,所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时),邮递员是下午7+1012=5(时) 回到邮局的.．【例2】（难度品级※）甲、乙两地相距100千米.下午3点,一辆马车从甲地动身前往乙地,每小时走10千米；晚上9点,一辆汽车从甲地动身驶向乙地,为了使汽车不比马车晚达到乙地,汽车每小时最少要行驶几多千米？.【分析与解】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时,在汽车动身时,马车已经走了93=6(小时).依题意,汽车必需在106=4小时内达到乙地,其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．【例3】（难度品级※※）小明每天早晨6：50从家动身,7：20到校,老师要求他明天提早6分钟到校.如果小明明天早晨还是6：50从家动身,那么,每分钟必需比往常多走25米才华按老师的要求准时到校.问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛预赛题第1题）【分析与解】原来花时间是30分钟,后来提前6分钟,就是路上要花时间为24分钟.这时每分钟必需多走25米,所以总共多走了24×25=600米,而这和30分钟时间里,后6分钟走的路程是一样的,所以原来每分钟走600÷6=100米.总路程就是=100×30=3000米.【例4】（难度品级※）韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家动身8点可到校,现在还是按原时间离开家,不外每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20分钟,速度为：480÷20=24（米/分）,现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为24+16=40（米/分）,那么现在上学所用的时间为：480÷40=12（分钟）,7点40分从家动身,12分钟后,即7点52分可到学校．【例5】（难度品级※※）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当达到乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多年夜的速度往回开?【分析与解】假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是106=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．【例6】（难度品级※※）刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下午1点到；以15千米/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进？【分析与解】这道题没有动身时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.假设有A,B两人同时从学校动身到韩丁家,A每小时行10千米,下午1点到；B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20（千米）,这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行1510=5（千米）,所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（1510）=4（时）.由此知,A,B是上午7点动身的,学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到,即想（127=）5时行60千米,刘老师骑车的速度应为60÷（127）=12（千米/时）．【例7】（难度品级※※※）小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了几多时间？【分析与解】上山用了3时50分,即60×3+50=230（分）,由230÷（30+10）=5……30,获得上山休息了5次,走了23010×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.【例8】（难度品级※※※）老王开汽车从A到B为平地（见右图）,车速是30千米／时；从B到C为上山路,车速是22.5千米／时；从C到D为下山路,车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要几多时间？【分析与解】设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时）,正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）．【例9】（难度品级※※※）汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,达到后立即以48千米/时的速度返回甲地.求该车的平均速度.【分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ,在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时间,那么问题就迎刃而解了.在此我们无妨采纳“特殊值”法,这是奥数里面非常重要的一种思想,在很多题目中都有应用.①把甲、乙两地的距离视为1千米,总时间为：1÷72+1÷48,平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时. ②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便,我们可不成以找到一个比力好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72,48]=144千米,这样计算时间时就好计算一些,平均速度=144×2÷（144÷72+144÷48）=57.6千米/时.【例10】（难度品级※※）如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是几多?【分析与解】从A到B的时间为：12÷6=2（小时）,从B到C的时间为：8÷4=2（小时）,从C到D的时间为：4÷2=2（小时）,从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时）,总路程为：12+8+4=24（千米）,那么从A到D 的平均速度为：24÷6=4（千米/时）．【例11】（难度品级※※）有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,而且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下DCBA724313513⨯÷=坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他过桥的平均速度.【分析与解】假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米,那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒）,过桥的平均速度为（米/秒）．【例12】（难度品级 ※※※）汽车往返于A,B 两地,去时速度为40千米／时,要想来回的平均速度为48千米／时,回来时的速度应为几多？【分析与解】假设AB 两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10（小时）,回来时的速度=240÷（10240÷40）=60（千米/时）．【例13】（难度品级 ※※※）有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,而且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒,求他过桥的平均速度..【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米,那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒）,过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）【例14】（难度品级 ※※※）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行几多厘米？【分析与解】假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟）,爬行一周的平均（厘米/分钟）.速度=200×3÷19=113119【例15】（难度品级※※※）甲、乙两地相距6千米,某人从甲境地行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了几多分钟？【分析与解】全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是8037.5=42.5分钟．第二讲相遇与追及【专题知识点概述】在今天这节课中,我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解,使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题,其中最罕见的是相遇问题和追及问题.一、相遇甲从A 地到B 地,乙从B 地到A 地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程,如果两人同时动身,那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即二、追及有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就发生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程乙走的路程=甲的速度×追及时间乙的速度×追及时间=（甲的速度乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即t v S 差差【重点难点解析】1．直线上的相遇与追及2．环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 多人屡次相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度品级※）一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是几多千米？【分析与解】（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．【例2】（难度品级※）两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时,各行了几多千米？【分析与解】255÷（45+40）=255÷85=3（小时）.45×3=135（千米）.40×3=120（千米）.．【例3】（难度品级※※）两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行几多分钟两人可以相遇？【分析与解】[3300（82+83）×15]÷（82+83）=[3300165×15]÷165=[33002475]÷165=825÷165=5（分钟）【例4】（难度品级※）甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始动身,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问：乙经过多长时间能追上甲？【分析与解】动身时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短1510＝5（千米）,即两人的速度的差（简称速度差）,所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（1510）＝10÷5＝2（小时）．【例5】（难度品级※※）]南辕与北辙两位先生对自己的目的地s城的方向各执一词,于是两人都依照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生动身5小时他们相距几多千米?．【分析与解】两人虽然不是相对而行,可是仍合力完成了路程,（50+60）×5=550（千米）．【例6】（难度品级※※）军事演习中,“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰从A岛动身经过几多分钟可射击敌舰?【分析与解】“我”舰追到A岛时,“敌”舰已逃离10分钟了,因此,在A岛时,“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击,即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米600米）即可开炮射击.所以,在这个问题中,无妨把9400看成路程差,根据公式求得追及时间.即（1000×10600）÷（14701000）=（10000600）÷470=9400÷470=20（分钟）,所以,经过20分钟可开炮射击“敌”舰．【例7】（难度品级※※※）小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是几多？【分析与解】小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝二人的路程差,小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为6秒,根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差,这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,路程差就即是4×6=24（米）,也即小蓝在4秒内跑了24米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒）,小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例8】（难度品级※※※）小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸动身几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：28070=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）．【例9】（难度品级※※※）上午8点8分,小明骑自行车从家里动身,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的处所追上了他.然后爸爸立即回家,抵家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图：图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了84＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.依照这个倍数计算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行2416＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分）,爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.【例10】（难度品级※※）甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米.两车分别从A,B两地同时动身,相向而行,相遇后3时,甲车达到B地.求A,B两地的距离.【分析与解】相遇后甲行驶了40×3=120千米,即相遇前乙行驶了120千米,说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时,则两地相距（40+60）×2=200千米．【例11】（难度品级※※）小红和小强同时从家里动身相向而行.小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相遇.若小红提前4分钟动身,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇.小红和小强的家相距多远?【分析与解】因为小红的速度不变,相遇地址不变,所以小红两次走的时间相同,推知小强第二次比第一次少走4分.由（70×4）÷（9070）=14（分）,推知小强第二次走了14分,第一次走了18分,两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．【例12】（难度品级※※※）甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米．问：甲车达到B地时,乙车还要经过几多时间才华达到A地?【分析与解】由4时两车相遇知,4时两车共行A,B间的一个单程．相遇后又行3时,剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A,B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）.因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米）,所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米）,又因为两车每时共行90千米,所以每时甲车行 50千米,乙车行40千米．行一个单程,乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．【例13】（难度品级※※※）甲、乙二人分别从A、B两地同时动身,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离.【分析与解】若设甲、乙二人相遇地址为C,甲追及乙的地址为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D 之间的路程时,所用时间应为：（266）=20（分）.同时,由上图可知,C、D间的路程即是BC加BD.即即是乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50×（26＋6）=1600（米）.所以,甲的速度为1600÷20＝80（米/分）,由此可求出A、B间的距离.50×（26+6）÷（266）=50×32÷20＝80（米/分）（80+50）×6＝130×6=780（米）【例14】（难度品级※※※）小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4千米.两人同时动身,然后在离甲、乙两地的中点1千米的处所相遇,求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么？）离中点1千米的处所是A点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了两地距离的一半少1千米.从动身到相遇,小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（54）千米,从动身到相遇所用的时间是2÷（54）＝2（小时）.因此,甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.【例15】（难度品级※※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进达到目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图(实线暗示甲车行进的路线,虚线暗示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即95×3=285（千米）,而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米,可得：95×325=28525=260(千米)．第三讲行程之流水行船【专题知识点概述】通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系即是公路,而公路自己是没有速度的,所以我们只需要考虑人自己的速度即可.可是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水自己也是在流动的,所以这里我们必需考虑水流速度对船只速度的影响.一、基本概念顺水速度=船速+水速, 水船顺V V V +=逆水速度=船速水速. 水船逆V V V -=( 其中船V 为船在静水中的速度,水V 为水流的速度)由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度逆水速度）÷2.二、流水行船中的相遇与追及（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出,它们单元时间靠拢的路程即是甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.（2）同样事理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.这是因为：甲船顺水速度乙船顺水速度=（甲船速+水速）（乙船速+水速）=甲船速乙船速.也有：甲船逆水速度乙船逆水速度=（甲船速水速）（乙船速水速）=甲船速乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答【重点难点解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1流水行船中的相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度品级※）一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离?【分析与解】（船速+6）×4=（船速6）×7,可得船速=22,两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米．【例2】（难度品级※）两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时.逆流而上,行完全程需要16小时,求这条河水流速度.【分析与解】（352÷11352÷16）÷2=5（千米/小时）．【例3】（难度品级※）甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时达到,从乙港返回甲港,逆水13小时达到,求船在静水中的速度和水流速度.【分析与解】顺水速度：208÷8=26（千米/小时）,逆水速度：208÷13=16（千米/小时）,船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）,水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）【例4】（难度品级※※）船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时.由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?【分析与解】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.可是由于暴雨的影响,水速发生变动,要求船逆水而行要几小时,必需要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（180÷10180÷15）÷2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：180÷915=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（155）=18（小时）．【例5】（难度品级※※）甲、乙两艘小游艇, 静水中甲艇每小时行 2.2 千米, 乙艇每小时行 1.4 千米. 现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向动身,甲艇从下游上行, 乙艇从相距18 千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过 4 小时, 甲艇达到乙艇的动身地.问航道上水流速度为每小时几多千米?．【分析与解】18÷(2.2+1.4)=5(小时),所以经过 5 小时后两艇相遇.2.218÷(5+4)=0.2(千米/小时),所以航道上水流速度为每小时0.2 千米．【例6】（难度品级※※）乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路,用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【分析与解】乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）.水流速度：（6030）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）.甲船逆水速度：402×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）.甲船返回原地比去时多用时间：123=9（小时）．【例7】（难度品级※※※）甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时动身相向而行,几小时相遇？如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船？【分析与解】相遇时用的时间：336÷（24+32）=6（小时）,追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（32—24）＝42（小时）【例8】（难度品级※※※）小刚和小强租一条小船,向上游划去,失慎把水壶失落进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要几多时间？【分析与解】此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只即是水速,所以速度差=船顺水速度水壶飘流的速度=（船速+水速）水速=船速.路程差÷船速=追及时间,2÷4=0.5（小时）．【例9】（难度品级※※※）。

第14讲行程问题二兴趣篇1、（1）费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车。

从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒。

求火车的速度。

（2）小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米。

这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒。

已知火车速度是每秒17 米，求火车的长度。

2、（1）一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间？（2）一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米？3、一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米。

两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？4、甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米。

两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？5、许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？然后从队头返回队尾，又需要多长时间？6、甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米。

坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒。

问：乙车全长多少米？7、现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车。

如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车。

请问：快车和慢车的车长分别是多少米？8、有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。

A、B两地相距2700米。

甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙。

请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？9、有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。

行程综合问题教学目标1.运用各种方法解决行程内综合问题。

2.发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。

知识精讲行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。

而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。

它们大致可以分为两类：一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合题目。

例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。

二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。

本讲内容主要就是针对这种综合性题目。

虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的。

所以很重要。

模块一、行程内综合【例 1】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【例 2】小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多少时间？【例 3】已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？【例 4】甲、乙两人沿400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【例 5】环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。

甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。