第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限: A y n n =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学中有关分段函数分界点问题的探讨作者：夏云来源：《考试周刊》2013年第78期摘要：分段函数是一元函数微积分学中的一类重要函数，本文通过具体的实例分析探讨了关于分段函数的分界点在极限、连续性、可微性（可导性），以及复合函数等方面的问题，帮助学生提高有关分段函数应用的解题技巧.关键词：分段函数分界点可微性（可导性）复合函数注：判断分段函数在分界点处的连续性，应先判断其在分界点处的极限是否存在，若极限不存在，则函数在该点不连续；若极限存在，则要进一步判断极限值是否等于该点的函数值，若相等，则函数在该点连续，否则函数在该点间断.三、分界点处的可微性由于分段函数是一元函数，而一元函数可导与可微是等价的.因此判断分段函数在分段点处的可微性只需判断分段函数在分段点处是否可导即可，那么，如何判断分段函数在分段点处的可导性呢？注：由上例可以看出判定分段函数在分界点处的可导性或可微性通常有两种方法：（1）用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分界点处的导数是否存在；用这种方法解决问题比较准确，并且导数的定义式——极限的存在性，不需讨论或验证一些前提条件，是首选的好办法.因此，在解这类题目的时候，特别是初学时，用这种方法比较合适；（2）可以借助可导与连续的关系来讨论，但此方法只能判别函数在该点处不可导，有一定的局限性.四、两个分段函数的复合函数注：将两个分段函数复合时，复合函数[g（x）]的定义域取决于g（x）的取值情况.以上主要对一元函数中分段函数的极限、连续、可微（可导）、复合函数等问题进行了简单的讨论，其实在多元函数的微积分学中，这些问题也会经常遇到，可见分段函数在高等数学教学中的作用是一般函数难以替代的.因此学习时必须掌握分段函数的特点，同时理解极限、连续、可微（可导）、复合函数的定义，从研究对象的定义入手，简化分段函数在微积分学中的应用问题.参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.[2]陈刚.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学，2001.。
分段函数的函数列随着数学的不断发展，分段函数的概念逐渐受到越来越多的关注。
分段函数是指由两个或多个不同公式组成的函数，其中每一个公式只在特定的区间内有效。
在实际应用中，分段函数的使用非常广泛，例如物理学、工程学等领域。
分段函数可以表示成一个函数列。
一个函数列是指由一系列函数组成的序列。
每一个函数都可以表示成一条直线、二次函数、指数函数等，这些函数的性质都不同。
函数列的求和主要依赖于每一个函数的性质及定义域。
在介绍函数列的具体求和方法前，有必要先了解一下分段函数的定义和性质。
以一个简单的例子来说明，定义函数f(x)如下：f(x)=$x^2-1$ (x<0)$2x+3$ (x≥0)在绘制这个函数的图像时，需要将其分为两段。
当x小于0时，函数f(x)取的是$x^2-1$这个公式，对应的是一个以原点为顶点向下开口的二次函数。
而当x大于或等于0时，函数f(x)取的是$2x+3$这个公式，对应的是一个斜率为2的一次函数。
接下来我们将具体讨论这个分段函数对应的函数列。
为方便起见，我们将原函数分段，构造函数列。
即$u_n(x)=\begin{cases}x^2-1 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x+3 \qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\ \end{cases}$可以看出，这个函数列有无穷个函数，每一个函数都是由两个公式组成的。
在这个例子中，两个公式代表了不同的函数，分别在不同的区间内有效。
按照函数列的定义，每一个函数u_n(x)都可以被表示成一条直线、二次函数、指数函数等形式。
可得：$u_n(x)=\begin{cases}x^2-1 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x+3 \qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\ \end{cases} \rightarrowu_n(x)=\begin{cases}x^2 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x\qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\-1 \qquad(x=\frac{-1}{n})\\\end{cases}$在这个函数列中，每个函数都是样式相同的，它们常数项不同、线性项系数不同、二次项系数不同。
