第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)word版本

绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

实用精品文献资料分享含绝对值不等式测试题及答案高二数学含绝对值不等式人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容含绝对值不等式二. 重点、难点 1. 基本性质：或 2. 重要不等式【典型例题】 [例1] a、b、c 求证：左若不等式显然成立若∴ 左 [例2] 求证：（1）若显然成立（2）显然成立 [例3] 求证：证：（1）时显然成立（2）左 [例4] 解不等式解：或或得 [例5] 不等式的解集为A，若 A，求a取值范围。

解：作函数的图象∴ [例6] a、b、c为的三边求证：证：同理迭加∴ ∴ [例7] 解不等式解：即：∴ [例8] 二次函数，开口向上，且，解不等式解：图象关于对称∴ 递减递增∴ ∴ 原不等式【模拟试题】 1. 下列不等式① ② ③ ，其中正确的有（）个 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，，下列各式中最大的一个为（） A.B. C. D. 3. a、b、c、d ，，，则abcd的最小值为（） A. B. C.D. 4. 不等式的解为，则不等式的解为（） A.（1 , 2） B. C.D. 5. 不等式的解为R，则a的取值范围为（） A. B. C. D. 6. 不等式的解为（） A. B. C. D. 7. 函数在区间上为递增，求a取值范围（） A. B. 或 C. D. 8. 函数，R上递增，若，则（） A.B. C. D. 9. 奇函数，，的解为，解为，则解为（） A. B.C. D. 10. 一批救灾物资用26辆汽车从A市以V公里/小时的速度匀速直达灾区B地，A，B间公路长400公里，为了安全行车，车队中相邻两辆汽车不得小于公里，那么物资全部运到灾区，最少需多少小时？（车长不计）试题答案 1. C 2. D 3. C 4. D 5. A 6. C 7.C 8.A 9. C 10. 解：26辆有25个车距∴ 时间∴。

高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。

高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】≤x≤【解析】由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.11.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．【答案】（1）M＝{x|0＜x＜1}（2）ab＋1＞a＋b【解析】(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.不等式的解集是 .【答案】【解析】由题意可得，，解得．【考点】绝对值不等式的解法．13.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.14.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.15.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．16.不等式的解集为 .【答案】【解析】即两边平方得，，，所以，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法17.已知函数f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若关于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围【答案】（1）不等式的解是{x|0＜x＜}；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题试题解析：（I）由题设知：当时，不等式等价与，即； 2分当时，不等式等价与，即； 4分当时，不等式等价与，即无解所以满足不等式的解是 6分（II）由图像或者分类讨论可得的最小值为4 8分则，解之得，【考点】1 绝对值不等式的解法；2 恒成立问题；3 分段函数的最值问题18.设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】由题意当时，，当时，，即，由，则或，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式.19.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1，若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1＞1，解得x＜-1或x＞0.∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.函数恒成立问题20.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.21.已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)不等式的解集为;(2)【解析】（1）将代入得一绝对值不等式：，解此不等式即可.（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。

高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。

证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.2.不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即或，解得或【考点】解含绝对值不等式3.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。

不等式的解集为，选C。

【考点】绝对值不等式解法点评：简单题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。

有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。

4.已知关于x的不等式的解集是非空集合，则的取值范围是【答案】【解析】根据题意，关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，即为存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方． y=|x+a|+|x-1|的图形是一条有两个折点的折线．y=2013-a是一条平行于x轴的直线．a的取值范围是（-∞，1006）；6所以答案为：（-∞，1006）．【考点】绝对值不等式点评：（1）关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，等价于存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方．与恒成立是有本质区别的．（2）y=|x+a|+|x+b|的图形为一条带有两个折点的直线．5.在实数范围内，不等式的解集为__________【答案】【解析】解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-，或②-(2x-1)+(2x+1)≤6-≤x＜，或③2x-1+2x+1≤6,X解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤把①②③的解集取并集可得不等式的解集为【考点】分式不等式点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．6.不等式的解集为。

第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；◇知识梳理1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >⎧⎪= =⎨⎪ <⎩②几何意义：a 是数轴上表示a 的点____________。

2. 含绝对值的不等式的解法①0a >时，|()|f x a >⇔____________；|()|f x a <⇔____________；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．◇基础训练1.函数|||3|y x x =--的最大值为 ___________.2．(2008惠州调研) 函数46y x x =-+-的最小值为 .3.(2008珠海质检)已知方程20x ax b -+=的两根分别为1和2，则不等式1ax b -≤的解集为 ____________ （用区间表示）.4.(2008广州二模)不等式21<-+x x 的解集是 ．◇典型例题例1 .解不等式512x x +>-例2. 解不等式125x x -++>变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围◇能力提升1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<<x x ，则实数=a .2.（2008韶关二模）不等式4|2||12|<++-x x 的解集为3．(2008揭阳调研)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.4. (2008汕头一模) 若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。

含绝对值的不等式考试试题及答案例5-3-13解下列不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。

解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。

解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。

“数轴标根法”是确定解集并防止出错的有效辅助方法。

例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。

解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。

但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。

例5-3-16解下列不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。

分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。

又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。

解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。

其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。

例5-3-18已知a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。

解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，若含有参数，则先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。

绝对值及指数对数的不等式1.解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式； ②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a ⇔x 2<a 2⇔－a<x<a(a>0)，|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<－a(a>0)。

一般地有：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

2．指数不等式a a f x g x ()()>⇒()()()11当时，a f x g x >>；()()()201当时，<<<a f x g x ；3．对数不等式a Nb N b a=⇔=l o g (l o g )l o g l o g l o g a b b n mb b a an a abm>>⇔=001，，，等，l o g ()l o g ()a af xg x >⇒ （1）当a >1时，g x f x g x ()()()>>⎧⎨⎪⎩⎪0；（2）当01<<a 时，f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0。

绝对值的不等式练习1.不等式243<-x 的整数解的个数为( )A 0B 1C 2D 大于22.若两实数y x ,满足0<xy ,那么总有( )A yx y x -<+ B y x y x ->+ C y x y x -<-D x y y x -<+3.已知0,<+>b a b a ,那么( )A ba > Bba11>C b a < Dba11<4.不等式13-<-x x 的解是( )A 52<<xB 36≥xC 2>xD 32≤<x5.已知,b c a <-且,0≠abc 则( )A c b a +<B b c a ->C c b a +<D c b a ->6.不等式652>-x x 的解集为( )A 1{-<x x 或}6>xB }32{<<x xC ∅D 1{-<x x 或32<<x 或}6>x7.若1lg lg ≤-b a ,那么( )A ba 100≤< B ab 100≤< C b a 100≤<或a b 100≤< Dba b 1010≤≤8.函数22--=x x y 的定义域是( )A ]2,2[-B ),2[]2,(+∞--∞C ),1[]1,(+∞--∞D ),2[+∞9.不等式b a b a +≤+取等号的条件是 ,ba b a +≤-取等号的条件.10.不等式x x ->+512的解集11.如果不等式21<x和31>x 同时成立,则x 的取值范围12.不等式xx xx ->-11的解集是13.函数xx x y -+=0)21(的定义域是14.不等式331≤-<x 的解集是15.解下列不等式 :(1)xx 1< (2)321>++-x x16.解不等式:x x +<-1log2log 414118.使不等式a x x <-+-34有解的条件是( )A 1>aB1101<<a C 101<a D 1010<<a19.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-<+-<x x x x x 22330的解集是( )A }02{<<-x xB }025{<<-x x C }06{<<-x x D }03{<<-x x。

含绝对值不等式练习题绝对值不等式是数学中的一种重要的概念和工具，它在解决实际问题和推导数学定理时起着重要的作用。

在学习绝对值不等式时，我们需要掌握一些基本的性质和解题方法。

下面，我将通过一些练习题来帮助大家更好地理解和掌握绝对值不等式的应用。

练习题一：求解不等式|x-3|<5。

解法一：我们可以将不等式|x-3|<5拆分成两个不等式，即x-3<5和x-3>-5。

解得x<8和x>-2。

将这两个不等式合并，得到-2<x<8，即x的取值范围为-2到8之间。

解法二：我们可以利用绝对值的定义来解这个不等式。

根据绝对值的定义，|x-3|<5等价于-5<x-3<5。

我们可以将这个不等式拆分成两个不等式，即-5<x-3和x-3<5。

解得x>2和x<8。

将这两个不等式合并，得到2<x<8，即x的取值范围为2到8之间。

练习题二：求解不等式|2x-1|>3。

解法一：我们可以将不等式|2x-1|>3拆分成两个不等式，即2x-1>3和2x-1<-3。

解得x>2和x<-1。

将这两个不等式合并，得到x的取值范围为负无穷到-1并且2到正无穷。

解法二：我们可以利用绝对值的定义来解这个不等式。

根据绝对值的定义，|2x-1|>3等价于2x-1>3或者2x-1<-3。

解得x>2或者x<-1。

将这两个不等式合并，得到x的取值范围为负无穷到-1并且2到正无穷。

练习题三：求解不等式|3x+2|-4<1。

解法一：我们可以将不等式|3x+2|-4<1拆分成两个不等式，即|3x+2|<5和|3x+2|>-3。

解得-5<3x+2<5和3x+2<-3或者3x+2>3。

将这三个不等式合并，得到-5<3x+2<5并且3x+2不等于-3。