下载文档原格式
例1、 如图，P 是反比例函数的图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中的阴影部分的面积为6，则该反比例函数的表达式为变式练习：1、如图，P 是反比例函数y=xk 的图象上的一点，由P 点向x 轴引垂线PA ，若阴影部分 △POA 的面积为3，则这个反比例函数的解析式是： 若S △ABC =3呢？2、在反比例函数y=x4的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）3、（2010•泸州）y=x10（x ＞0），A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，若A 1横坐标为2，且以后每横坐标与它前一个横坐标差都为2．现分别过A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴与y 轴垂线段，构成若干个矩形如所示，依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，S 1= ，S 1+S 2+S 3+…+S n = （用n 代数式表示）．3、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk （k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为： ，若在第二个图中，阴影面积为10π，解析式为？例2、（2012巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y 1=k 1x+1的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y 2=x k 的图象分别交于点M 、N ，已知△AOB 的面积为1，点M 的纵坐标为2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围练习：1、如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=-x8的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴影分部的面积是？2、（2012•济南）如图，已知双曲线y=xk 经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．。
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下与面积相关的问题往往围绕着以下三个结论展开：①反比例函数上任意一点与坐标轴围成的矩形面积；②反比例函数上任意一点与坐标轴围成的三角形面积；③反比例函数上任意两点与原点围成的三角形面积.
解法分析：对于平面直角坐标系中三角形面积的求法问题有如下的解法策略：①当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴上时，可以直接求三角形面积；②当三角形中的任意一边不在坐标轴或不平行于坐标轴时，利用割补法(补成/分割成规则图形)面积进行求解。
本题中的△ABC的一边AC//x轴，则可以直接求解，需要注意的是当用点表示线段长度时，要加上绝对值。
解法分析：本题可以直接求三角形的面积，△MPQ的底PQ是可求的定值，而高是点M和点P横坐标差的绝对值，要注意M点可能在第二象限，也可能在第四象限，加上绝对值后就可以避免漏解了。
解法分析：本题首先需要联立正比例函数和反比例函数的解析式求出A、B两点的坐标，然后过A、B两点作x轴垂线构造梯形，求梯形面积即可。
解法分析：本题可以用代数法或几何法解决。
综合利用直角三角形的性质，三角形的面积比解决。
同时还要能够利用点的坐标表示线段的长度，灵活运用。
解法分析：本题主要考察了反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形面积。
对于第2、3问，需要分类讨论，即P在B左侧或P在B右侧，进行计算。
解法分析：本题是反比例函数和正方形背景下的问题。
△BCE的面积可以直接求解，主要表示出E的坐标，再求出B'E的长度，即可求出△BCE的面积。
反比例函数常见面积问题例1. 如图3，反比例函数x 8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ∆的面积。
例2. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x k y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为21、S S ，则1S 与2S 的关系为？例3.如图5，已知反比例函数x 12y =的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，2）。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。
例4.如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k（x ＞0）的图象经过点B ．（1）求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、NA ′BC ．设线段MC ′、NA ′分别与函数y ＝x k（x ＞0）的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．例 5.如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 ? ．连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2例6.直线y=6x, y=2/3x分别与双曲线y=k/x在第一象限内交于AB两点若S△oab=8则k= ？直线L与反比例函数Y=2/X的图像在第一象限内交与AB两点交x轴的正半轴与点C，若AB：BC=(M-1)：1(M>1) S△AOB=?例7.如图，点A是反比例函数y=-2/x,在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=4/x在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是．分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE求解．解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵AC=CB，∴OD=OE，设A（-a，2 /a ），则B（a，4 /a ），故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE=1 /2 （2/a +4 /a ）×2a-1/ 2 a×2/ a -1/ 2 a×4/ a=3，故答案为：3．例8.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=k/x（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=．？分别过点A、E作AM、EN垂直于x轴于M、N，则AM∥EN，∵A、E在双曲线上，∴三角形AOM与三角形OEN的面积相等，∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=BE，∵AM∥EN，∴MN=NB，∴EN=1 /2 AM，∴OM=1/ 2 ON，根据三角形的中位线，可得MN=BN，∴OM=MN=BN，设A（x，y），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6；例9.梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝k /x （k＞0）经过A、E两点，若AC：OB=1：3，梯形AOBC面积为24，则k=（）设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，从而求出S，也可得出△OEB的面积，过点E作EF⊥OB，过点A作AM⊥OB于点M，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，利用△BEF∽△BAM可得出a的值，则可得出△OEF的面积，也即可得出k的值．解：过点E作EF⊥OB于点F，过点A作AM⊥OB于点M，∵四边形AOBC是梯形，AC∥OB，AC：OB=1：3，∴CE：EO=1：3，AE：EB=1：3，设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，又∵梯形AOBC面积为24，∴S+9S+3S+3S=24，解得：S=3/ 2 ，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，故可得△AMB的面积=18-a，△EFB的面积=27/ 2 -a，从而可得S△BEF /S△ABM =（BE /AB ）2，即(27/ 2 −a) /(18−a) =9/ 16 ，解得：a=54 /7 ，即S△AOM=S△OEF=54 /7 ，故可得k=2×54 /7 =108 /7 ．例10.如图，已知动点A在函数y=4／x (x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于？要求部分面积，得根据已知条件求出A的坐标。
反比例函数专题训练——（面积类）姓名：探究一：1、如图4，四边形ABOC 是长方形，反比例函数y ＝x4-过点A ，则长方形ABOC 的面积＝ ；为什么？2、如图4，长方形ABOC 的面积为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2-C ．4D ．4-3、如图5，四边形ABOC 和DEOF 都是长方形，反比例函数y ＝x1过点A 和点D ，它们的面积分别记为S 1、S 2，（1）比较S 1、S 2的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 （2）S 1、S 2的值分别为 。
（3）图中长方形APFC 与长方形DEBP 的面积分别记为S 3、S 4，则它们的大小关系为（ ） （A ）S 3＞S 4 （B ）S 3＝S 4 （C ）S 3＜S 4 （D ）大小关系不能确定（4）若再连接PC 、PE ，则△PCF 与△PEB 的面积相等吗？ 总结1：一般地，若反比例函数的解析式为y ＝xk，过图象上任意一点A （即A 点可在曲线上滑动至任意一个位置）向x 轴和y 轴作垂线与两坐标轴围成的长方形面积长S ＝ 。
（当k ＞0时，'长S ＝ ；当k ＜0时，'长S ＝ ） 上述结论的作用：（1）已知长方形的面积可求出k 值—即求出反比例函数解析式； （2）已知k 值或已知反比例函数解析式，可求出长方形的面积） 探究二：1、如图1，过反比例函数y ＝x2（x ＞0）图象上一点A 作A A '⊥x 轴于点A '，连接OA ，则'AO A S ∆＝xyOAA'图12、如图2，过反比例函数y ＝xk（x ＜0）图象上一点A 作A A '⊥y 轴于点A '，连接OA ，若'AOA S ∆＝2，则k ＝ 。
3、如图3，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2， （1）比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 （2）S 1、S 2的值分别为 。
反比例函数面积问题专题【围矩形】1．如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（）A. B.C..D.2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A. -1B.C. 1D. 23．如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=（）A. 1B. 1.5C. 2D. 无法确定5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A. |k1﹣k2|B.C. |k1•k2|D.6．如图，A、C是函数y=的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（）A. S1＞S2B. S1＜S2C. S1=S2D. 关系不能确定7．如图，过y轴上任意一点p，作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于A点，若B为x轴上任意一点，连接AB，PB则△APB的面积为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，△ABP的面积为1，则k的值为（）A. 1 B. 2 C. -1 D. -29．反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A. B. 2 C. 3 D. 110．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 1011．双曲线y1=与y2=在第一象限内的图象如图．作一条平行于x轴的直线交y1，y2于B、A，连OA，过B作BC∥OA，交x轴于C，若四边形OABC的面积为3，则k=（）A. 2B. 4 C .3 D . 512．如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）A. S1＜S2＜S3B. S1＞S2＞S3C. S1=S2＞S3D. S1=S2＜S313．如图是反比例函数和在第一象限内的图象，在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B，连接OA、OB，则图中阴影部分的面积为．14．如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=．其中正确结论的个数为（）个 A. 1 B . 2 C . 3 D . 415．如图，直y=mx与双曲线y=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（）A. 1 B. m﹣1 C. 2 D. m16．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，如图，则四边形ABCD的面积为（）A. 1B.C. 2D.17．如图，A，C是函数y=（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，AB，CD垂直于x轴，垂足分别为B，D，那么四边形ABCD的面积S是（）A. B. 2k C. 4k D. k18．如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）A. 8B. 6C. 4D. 2【三角形叠梯形】19．如图，点A和B是反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足为C和D，连接AB，AO，BO，△ABO的面积为8，则梯形CABD的面积为（）A. 6B. 7C. 8D. 1020．如图，△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k=（）A. 2 B. 3 C. 4 D.21．如图，A、B是双曲线上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AB，直线OB、OA分别交双曲线于点E、F，设梯形ABCD的面积和△EOF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（）A. S1=S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 不能确定【截矩形】22．如图，过点P（2，3）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（）A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 523．如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则k=．24．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④25．两个反比例函数和（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图，P在C1上，作PC、PD垂直于坐标轴，垂线与C2交点为A、B，则下列结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积等于k1﹣k2③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中正确的是（）【截直角三角形】26．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（）A. 20B. 18C. 16D. 1227．如图，双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．则△AOC的面积为（）A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 328．如图，已知矩形ABCO的一边OC在x轴上，一边OA在y轴上，双曲线交OB的中点于D，交BC边于E，若△OBC的面积等于4，则CE：BE的值为（）A. 1：2 B . 1：3 C. 1：4 D. 无法确定29．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）A. 2B.C.D. 无法确定30．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4反比例函数【围矩形】1．解：由题意得：矩形面积等于|k|，∴|k|=4又∵反比例函数图象在二、四象限．∴k＜0∴k=﹣4∴反比例函数的解析式是y=﹣．故选C．2．解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选B．3．解：∵S1+S2=4，∴S1=S2═2，∵S3=1，∴S1+S3=1+2=3，∴k=3故选C．4．解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2﹣1×==1.5．故选B．5．解：∵AB∥PC，CB∥AP，∠APC=90°，∴四边形APCB是矩形．设P（x，），则A（，），C（x，），∴S矩形APCB=AP•PC=（x﹣）（﹣）=，∴四边形ODBE的面积=S矩形APCB ﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON=﹣k1﹣|k2|﹣|k2|=．故选D．【围三角形】6．解：结合题意可得：A、C都在双曲线y=上，反比例函数系数k的几何意义有S1=S2；故选C．7．解：依题意得：△APB的面积S=|k|=×|4|=2．故选B8．解：如图，连OA，∵AB⊥x轴，∴AB∥OP，∴S△OAB=S△PAB=1，∴|k|=2×1=2，∵反比例函数图象过第二象限，∴k=﹣2．故选D．9．解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=．故选A．10．解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x=a代入反比例函数y=﹣中得：y=﹣，故A（a，﹣）；将x=a代入反比例函数y=中得：y=，故B（a，），∴AB=AP+BP=+=，则S△ABC=AB•x P的横坐标=××a=5．故选C11．解：由题意得：S四边形OABC=|k1|﹣|k2|=|6|﹣|k|=3；又由于反比例函数位于第一象限，k＞0；k=3．故选C．12．解：结合题意可得：AB都在双曲线y=上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3故选D．13．解：∵在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B，∴S△AOC=×5=2.5，S△BOD=×5=2.5 S矩形MDOC=3∴S阴影=S△AOC+S△BOD﹣S矩形MDOC=5﹣3=2故答案为2．【对称点】14．解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；③因为AO=BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，不等于，错误．故选C．15．解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，∴△AMO和△BMO的面积相等，且为，∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，又因为点A在第一象限内，所以可知反比例函数的系数k为1．故选A．16．解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，AB=CD，∴四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC=1×2=2．故选C．17．解：∵A，C是函数y=（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，∴若假设A点坐标为（x，y），则C点坐标为（﹣x，﹣y）．∴BD=2x，AB=CD=y，∴S=S△ABD+S△CBD=BD•AB+BD•CD=2xy=2k．故四边形ABCD的面积S是2k．故选B．四边形ABCD18．解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．故选A．【三角形叠梯形】19．解：过点B向x轴作垂线，垂足是G．由题意得：矩形BDOG的面积是|k|=3，∴S△ACO=S△BOG=．所+S梯形ABDC﹣S△ACO﹣S△BOG=8，以△AOB的面积=S矩形BDOG则梯形CABD的面积=8﹣3+3=8．故选C20．解：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），∵顶点A在双曲线y=（x＞0）图象上，∴xy=k，∴S△AMO=OM•AM=xy=k，设B的坐标为（a，0），∵中点C在双曲线y=（x＞0）图象上，CD⊥OB于D，∴点C坐标为（，），∴S△CDO=OD•CD=••=k，∴ay=3k，∵S△AOB=S△AOM+S△AMB =k+•（a﹣x）y =k+ay﹣xy=k+×3k﹣k =k，又∵C为AB中点，∴△AOC的面积为×k=3，∴k=4，故选C．21．解：∵直线OB、OA分别交双曲线于点E、F，∴S2=S△AOB，∵S1=S△AOC+S△AOB﹣S△BOD，而S△AOC=S△BOD=k，∴S1=S△AOB，∴S1=S2．故选A．【截矩形】22．解：∵B、A两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴S△DBO=S△AOC=×2=1，∵P（2，3），∴四边形DPCO的面积为2×3=6，∴四边形BOAP的面积为6﹣1﹣1=4，故选：C．23．解：连接OE，设此反比例函数的解析式为y=（k≠0），C（c，0），则B（c，b），E（c，），设D（x，y），∵D和E都在反比例函数图象上，∴xy=k，=k，即S△AOD=S△OEC=×c×，∵梯形ODBC的面积为3，∴bc﹣×c×=3，∴bc=3，∴bc=4，∴S△AOD=S△OEC=1，∵k＞0，∴k=1，解得k=2，故答案为：2．24．解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；=4，∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；∴S四边形PAOB连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．25．解：①∵A、B两点都在y=上，∴△ODB与△OCA的面积都都等于，故①正确；②S矩形OCPB﹣S△AOC﹣S△DBO=|k2|﹣2×|k1|÷2=k2﹣k1，故②正确；③只有当P的横纵坐标相等时，PA=PB，错误；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点，正确．故选B．【截直角三角形】26．解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0），∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），把D（﹣4，3）代入y=得k=﹣4×3=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵AB⊥x轴，∴C点和横坐标为点A相同，都为﹣8，把x=﹣8代入y=﹣得y=，∴C点坐标为（﹣8，），∴AC=6﹣=，∴△AOC的面积=AC•OB=××8=18．故选B．27．解：∵OA的中点是D，双曲线y=﹣经过点D，∴k=xy=﹣3，D点坐标为：（x，y），则A点坐标为：（2x，2y），∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×2x×2y=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选：A．28．解：设D点的坐标是（x，y）．∵点D是线段OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y）；∵△OBC的面积等于4，∴×2x×2y=4，即xy=﹣2，∴k=﹣2；又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（2x，）；∴CE：BE=：（2y﹣）=：（2×﹣）=1：3；故选B．29．解：方法1：设B点坐标为（a，b），∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（a，b），根据反比例函数的几何意义，∴a•b=k，∴ab=9k①，∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=的图象上，∴设C点横坐标为m，则C点坐标为（m，b）将（m，b）代入y=得，m=，BC=a﹣，又因为△OBC的高为AB，所以S△OBC=（a﹣）•b=3，所以（a﹣）•b=3，（a﹣）b=6，ab﹣k=6②，把①代入②得，9k﹣k=6，解得k=．方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，可知，△ODF的面积=梯形DFAB=△BOC的面积=，即k=，k=．故选B．30．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6=4k，k=2．故选B．。
反比例函数面积问题专项训练 与反比例函数的图象在第一象限交于
（2）如图，已知双曲线
（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，
则 ． 1、如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于B ，轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A 、C 的坐标．（3）若点P 是y 轴上一动点，且，求点P 的坐标．
例2：（1） 在反比例函数
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． （2）如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ．
例3：如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数
的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线
与轴的交点的坐标及三角形的面积．
1、如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC 的面积.
2、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x 的图象交于A （-2，1），B （•1，n ）两点．（1）求反比例函数和 一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
3、如图所示，反比例函数y x
=-8与一次函数y x =-+2
的图象交于A 、B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积。
专题26.8反比例函数与面积问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，若POM 的面积等于3，则k 的值等于（）A ．6-B ．6C ．3-D ．32．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝t （t 为常数）与反比例函数y 14x=，y 21x =-的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，则△OAB 的面积为（）A ．5tB ．52tC ．52D ．53．如图：点A 、B 是双曲线y ＝6x上的点，分别过点A 、B 做x 轴和y 轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，这两个空白矩形的面积和为（）A ．12B ．10C ．9D ．84．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数14(0)y x x=>的图象上，边AB 与函数22(0)y x x =>的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，点P 是反比例函数()0,0ky k x x=≠<的图象上一点，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，点B 是点A 关于x 轴的对称点，连接PB ，若△PAB 的面积为6，则k 的值为（）A ．－3B ．6C ．－6D ．－126．如图，正方形ABCD 的相邻两个顶点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，且满足BD ∥x 轴，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过正方形的中心E ，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（）A ．y ＝4xB ．y ＝－4xC ．y ＝8xD ．y ＝－8x7．如图，反比例函数()0k y x x=>的图象上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，PAB △的面积为6，则k 的值为（）A ．12-B ．12C ．6D ．6-8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，其纵坐标为2，过点P 作PQ //y 轴，交x 轴于点Q ，将线段QP 绕点Q 顺时针旋转60°得到线段QM ．若点M 也在该反比例函数的图象上，则k 的值为（）AB C ．D ．49.如图，点A 在反比例函数ay x=第一象限内的图象上，点B 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ，△AOB 的面积为2，则a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2D ．110．如图，反比例函数()0k y x x=>的图象与矩形OABC 的边分别交于点E 、F ，且AE ＝BE ，点A 、C 分别在x 、y 轴上，若△OEF 的面积为3，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．如图，点A 是反比例函数3y x=图像上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形ABOC 的面积为______．12．如图，OAB 是等边三角形，点A 在x 轴的正半轴上12y x=0x >）的图象上，则OAB 的面积为______．13．如图，点A 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的任意一点，过点A 作垂直x 轴交反比例函数y ＝1x（x ＞0）的图象于点B ，连接AO ，BO ，若ΔABO 的面积为1.5，则k 的值为____________14．如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．15．如图，已知点P 是y 轴正半轴上一点，过点P 作EF ∥x 轴，分别交反比例函数3y x=（x ＞0）和(0)ky x x=<图象的于点E 和点F ，以EF 为对角线作平行四边形EMFN ．若点N 在x 轴上，平行四边形EMFN 的面积为8，则k 的值为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 和正方形DOFE 的顶点B ，F 在x 轴上，顶点C ，D 在y 轴上，且3ADF S = ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点E ，则k =______________．17．如图，A 、B 是双曲线ky x=上的两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，交OB 于点D ，且D 为AC 的中点，若AOD △的面积为2，点B 的坐标为(,1)m ，则m 的值为________．18．如图，函数()0ky x x=>的图象过矩形OBCD 一边的中点，且图象过矩形OAPE 的顶点P ，若阴影部分面积为6，则k 的值为______．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6，4），斜边OA 的中点D 在反比例函数y kx=（x ＞0）的图象上，AB 交该图象于点C ，连接OC ．(1)求k 的值；(2)求△OAC 的面积．20．如图，过反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足为','A B ，连接OA ，OB ，'AA 与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形''PA B B 的面积分别为12,S S ，试比较12,S S 的大小．21．如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=1k x (k 1>0)交于点A ，与双曲线y=2k x(k 2<0)交于点B ，连接OA ，OB ．(1)当k 1、k 2分别为某一确定值时，随t 值的增大，△AOB 的面积_______(填增大、不变、或减小)(2)当k 1+k 2=0，S △AOB =8时，求k 1、k 2的值.22．如图，正比例函数y1=﹣3x 的图象与反比例函数y2=kx的图象交于A 、B 两点．点C 在x 轴负半轴上，AC=AO ，△ACO 的面积为12．（1）求k 的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x 的取值范围．23．如图，是反比例函数1k y x=和2ky x =（k 1＞k 2）在第一象限的图象，直线A B ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点．（1）若点A 的纵坐标是3，则可得点B 的纵坐标是．（2）若4AOB S ∆=，则1k 与2k 之间的关系是．24．如图，反比例函数的图象过点A （2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过A 点作AC ⊥x 轴，垂足为C ．若P 是反比例函数图象上的一点，求当△PAC 的面积等于6时，点P 的坐标．参考答案1．A【分析】根据12P P POM x y =⋅ 即可求得答案．解：由题意得，132POM S PM OM =⋅= ，则6PM OM ⋅=，=P PM y ，P OM x =，点P 在第三象限，0P y ∴>，0P x <6P P k x y ∴=⋅=-，故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k 的几何意义是解题的关键．2．C【分析】由反比例函数ky x=中的k 的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案.解：如图，记直线y ＝t 与y 轴交于点,M 由反比例函数的系数k 的几何意义可得：1111,42,222OBM OAM S S =⨯-==⨯= 152,22AOB S ∴=+= 故选：.C 【点拨】本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义，掌握反比例函数的系数k 与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键.3．D【分析】根据反比例函数k 值得几何意义,转变成矩形面积代入求解即可.解：∵点A 、B 是双曲线y ＝6x上的点，∴S 矩形ACOG ＝S 矩形BEOF ＝6，∵S 阴影DGOF ＝2，∴S 矩形ACDF +S 矩形BDGE ＝6+6﹣2﹣2＝8，故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数k 值的几何意义,关键在于牢记相关性质.4．B【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOD 的面积为1，矩形ABCO 的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC 的面积．解：∵D 是反比例函数22y x=(x ＞0)图象上一点，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOD 的面积为12×2=1．∵点B 在函数14(0)y x x=>的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为4．∴阴影部分ODBC 的面积=ABCO 的面积-△AOD 的面积=4-1=3．故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义．5．C【分析】过点P 作PD ⊥x 轴交点D ，PB 与x 轴的交点记为E ，推出S △OBE =S △PDE ，得到6PDOA S k ==四边形，于是得到结论．解：如图，过点P 作PD ⊥x 轴交点D ，PB 与x 轴的交点记为E ，∵点B 是点A 关于x 轴的对称点，∴OA =OB ，∴PD =OB ，又∵∠PED =∠BEO ，PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴△OBE ≌△DPE （AAS ），∴S △OBE =S △PDE ，∴6PAB PDOA S S k === 四边形,∵反比例函数的图象在第二象限，∴k =-6，故选：C ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，把三角形的面积转化为四边形的面积是解题的关键．6．B【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可求得S △CDE =12|k |=2，解得即可．解：∵正方形的面积为8，∴S △CDE =2，∵正方形ABCD 的相邻两个顶点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，BD ∥x 轴，∴S △CDE =12|k |，∴|k |=4，∵k ＜0，∴k =-4，∴该反比例函数的解析式为y =-4x ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，得到关于k 的方程是解题的关键．7．A【分析】设P 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，PA =-n ，△ABP 中，AP 边上的高是|m |=m ，根据△PAB 的面积即可求解．解：设P 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，PA =-n ，△ABP 中，AP 边上的高是m ，∵△PAB 的面积为6，∴12m ⋅(-n )=6，∴12mn =-，∴k =mn =-12．故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．8．C【分析】作MN ⊥x 轴交于点N ，分别表示出ON 、MN ，利用k 值的几何意义列式即可求出结果．解：作MN ⊥x 轴交于点N ，如图所示，∵P 点纵坐标为：2，∴P 点坐标表示为：（2k ，2），PQ =2，由旋转可知：QM =PQ =2，∠PQM =60°，∴∠MQN =30°，∴MN =112QM =，QN ∴ON MN k = ，即：2k k =，解得：k =故选：C ．【点拨】本题主要考查的是k 的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．9．C【分析】过点A 作AC OB ⊥于点C ，设点A 的坐标为(),A m n ，则,OC m AC n ==，先根据等腰三角形的三线合一可得22OB OC m ==，再根据三角形的面积公式可得2mn =，由此即可得．【详解】解：如图，过点A 作AC OB ⊥于点C ，设点A 的坐标为(),A m n ，则,OC m AC n ==，OA AB = ，22OB OC m ∴==，△AOB 的面积为2，112222OB AC m n ∴⋅=⨯⋅=，整理得：2mn =，将点(),A m n 代入反比例函数a y x =得：2a mn ==，故选：C ．【点睛】本题考查了求反比例函数的系数、等腰三角形的三线合一，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．10．B【分析】连接OB ．先根据反比例函数的比例系数的几何意义得出S △AOE =S △COF=2k ，然后由三角形任意一边上的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F 是BC 的中点，则124BEF BOF k S S == ，最后由S △OEF =S 矩形AOCB ﹣S △AOE ﹣S △COF ﹣S △BEF =3，代入即可求得k =4．解：如图，连接OB ．∵E 、F 是反比例函数()0k y x x =>的图象上的点，EA ⊥x 轴于A ，FC ⊥y 轴于C ，∴S △AOE =S △COF=2k ，∵AE=BE ，∴S △BOE =S △AOE =2k ，S △BOC =S △AOB =k ，∴S △BOF =S △BOC ﹣S △COF =k －2k ＝2k ，∴F 是BC 的中点，∴124BEF BOF k S S == ，∴S △OEF =S 矩形AOCB ﹣S △AOE ﹣S △COF ﹣S △BEF =23224k k k k ---=，解得k =4，故选：B ．【点拨】此题考查了反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与远点所连的线段、坐标轴向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即2k S =，得出F 是BC 的中点是解题的关键．11．3【分析】根据反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义即可解决．解：由反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义知，四边形ABOC 的面积为33k ==，故答案为：3．【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，掌握它是解决问题的关键．12．12【分析】过点A 作AH ⊥OB 于点H ，根据反比例函数的几何意义，得到6AOH S = ，再根据等边三角形的性质，可得到2OAB AOH S S = ，即可求解．解：如图，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵点A 在x 轴的正半轴上12y x=（0x >）的图象上，∴11262AOH S =⨯= ，∵OAB 是等边三角形，AH ⊥OB ∴12OH BH OB ==，∴22612OAB AOH S S ==⨯= ．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数()0k y k x=≠中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键．13．-2【分析】设AB 交x 轴于点C 解：设AB 交x 轴于点C ，如图，根据题意得：12BOC S ∆=，12AOC S k ∆=，∵ΔABO 的面积为1.5，∴ 1.5BOC AOC S S ∆∆+=，∴11 1.522k +=，解得：2k =，∵反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象位于第四象限，∴0k <，∴2k =-．故答案为：-2【点拨】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．14．3【分析】由图得，x 轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即3C C x y ⋅=，又由于点C 在反比例函数图象上，则可求得答案．解：x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6，632C C x y ∴⋅==，3C C k x y ∴=⋅=，故答案为3．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k x y =⋅是解题的关键．15．-5【分析】连接OE 、OF ，利用反比例函数系数k 的几何意义可得S △FOP ＝12|k |，S △EOP ＝3322=，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S △EFN ＝S △EFO ，由平行四边形的面积为8可求出S △EFN ＝12S ▱FNEM ＝4，进而求出答案．解：连接OF 、OE ，∵EF ∥x 轴，∴S △EFN ＝S △EFO ，又∵四边形FNEM 是平行四边形，EF 为对角线，∴S △EFN ＝12S ▱FNEM ＝12×8＝4，由反比例函数系数k 的几何意义得，S △FOP ＝12|k |，S △EOP ＝3322=，又∵S △EFO ＝S △FOP +S △EOP ＝12|k |+32＝4，解得k ＝﹣5，k ＝5＞0（舍去），故答案为：﹣5．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，理解反比例函数系数k 的几何意义是正确应用的前提．16．6【分析】设正方形ABOC 的边长为a ，正方形DOFE 的边长为b ，利用面积法得：()()221113222b a b a b a b a +⋅+=⋅+++，所以26a =，然后利用k 的几何意义得到k 的值．解：如图，设正方形ABOC 的边长为a ，正方形DOFE 的边长为b ，∴AB BO a ==，DE DO OF EF b ====，90ABO BOC ∠=∠=︒，90DEF ∠=︒，ED y ⊥轴，EF x ⊥轴，∵ABF ADF DEF DOFE ABOD S S S S S +=++△△△正方形梯形，∴()()221113222b a b a b a b a +⋅+=⋅+++，∴26a =，∴26k a ==，∴6k =或6k =-（负值不合题意，舍去）故答案为：6．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ．本题涉及正方形的性质和等积变换等知识点．理解和掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．17．8【分析】由D 为AC 的中点，可得出24AOC AOD S S == ，再由反比例函数系k 的几何意义，可得出k =8，进而得出双曲线的表达式8y x =，把点B 的坐标代入双曲线的表达式，即可得出m =8．解：设点A 的坐标为（b ，d ），∵D 为AC 的中点，∴AC =2AD ，∵△AOD 的面积为2，142AD OC ∴∙=，∴AD ·OC =4，11124222AOC S bd AC OC AD OC ∴==∙=⨯∙= ，∴bd =8，∵A 是双曲线k y x =上的点，∴k d b=，∴8k bd ==，∴双曲线k y x =的表达式为8y x=，∵B 是双曲线k y x =上的点，点B 的坐标为（m ，1），∴81m=，∴m =8．故答案为：8【点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，关键是由D 为AC 的中点，可得出24AOC AOD S S == ．18．6【分析】分两种情况讨论，设函数图象过BC 的中点，中点坐标为（m ，k m），则C （m ，2k m），根据阴影的面积可以求出k 的值；若函数图象过CD 的中点，同理可以求出k 的值．解：设函数图象过BC 的中点，中点坐标为（m ，k m ），则C （m ，2k m ），∴S 阴影=S 矩形OBCD -S 矩形OAPE =2k -k =6，∴k =6；若函数图象过CD 的中点，中点坐标为（m ，k m ），则C （2m ，k m），∴S 阴影=S 矩形OBCD -S 矩形OAPE =2k -k =6，∴k =6．综上，k 的值为6．故答案为：6．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．19．(1)6(2)9【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点D 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k ；（2）由反比例函数解析式求出点C 的纵坐标，进而求出AC 的长，再根据三角形的面积公式计算即可．（1）解： 点A 的坐标为(6,4)，点D 为OA 的中点，∴点D 的坐标为(3,2)， 点D 在反比例函数k y x =的图象上，326k ∴=⨯=；（2）解：由题意得，点C 的横坐标为6，∴点C 的纵坐标为：616=，413AC ∴=-=，OAC ∴∆的面积16392=⨯⨯=．【点拨】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出AC 的长度．20．12S S =【分析】利用图形面积关系可得：,,AOP AOA A OP BOB A OP A PBB S S S S S S ''''''=-=- 梯形再利用反比例函数的k 的几何意义可得：1,AOA BOB S S ''== 从而可得答案.解：12S S =【点拨】本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k 与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系.21．（1）不变；（2）k 1＝8，k 2＝﹣8．【分析】（1）根据反比例函数系数k 的几何意义即可得出答案；（2）由题意可知S△AOB＝12k1﹣12k2，然后与k1+k2＝0构成方程组，解之即可．解：（1）不变.∵S△AOC＝12|k1|，S△BOC＝12|k2|，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12（|k1|+|k2|），∵k1，k2分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.故答案为：不变；（2）由题意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝12k1﹣12k2＝8，∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．22．（1）k=-12；（2）x＜﹣2或0＜x＜2．解：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值;(2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，∴S△ADO=S△ACD=6，∴k=-12；（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．k k-=．23．（1）3，（2）128解：（1）平行线间的距离处处相等，B到x轴的距离也是3．（2）由图像知1k与2k都大于0，延长AB交y轴于C,△AOC的面积等于二分之一乘以K1，△BOC的面积二分之一乘以K 2，这两个三角形面积相减等于△AOB 的面积=4，解得128k k -=．考点：反比例函数图像性质24．(1)y ＝6x；(2)（6，1），（﹣2，﹣3）.【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m 的方程，通过解方程来求m 的值；（2）设点P 的坐标是（a ，6x），然后根据三角形的面积公式来求点P 的坐标．解：（1）设反比例函数为y ＝m x，∵反比例函数的图象过点A （2，3）．则2m ＝3，解得m ＝6．故该反比例函数的解析式为y ＝6x ；（2）设点P 的坐标是（a ，6x）．∵A （2，3），∴AC ＝3，OC ＝2．∵△PAC 的面积等于6，∴12×AC ×|a ﹣2|＝6，解得：|a ﹣2|＝4，∴a 1＝6，a 2＝﹣2，∴点P 的坐标是（6，1），（﹣2，﹣3）．【点拨】本题考查了反比例函数的面积问题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，坐标和图形性质，以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键。
反比例函数中的面积问题1.如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会（ ） A ．逐渐增大 B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小2.如图，点A 是y 轴正半轴上的一个定点，点B 是反比例函数y ＝ 2x(x ＞0)图象上的一个动点，当点B 的纵坐标逐渐减小时，△OAB 的面积将（ ）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．不变D ．先增大后减小 3．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ）A ． S 1 ＞S 2B ． S 1 <S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定4.如图，反比例函数4y x =-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25.如图，已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 ．6.如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．7.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 8.如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） （A ）x y 1=（B ）xy 2=（C ） x y 3= （D ）x y 6=OA Bxy 第2题图第4题图y xO P 1 P 2P 3 P4 P 5A 1 A 2 A 3 A 4 A 52y x =9.如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC的面积为3，则k ＝____________． 10.如图，已知点A 、B 在双曲线xk y =（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝ ．11.如图是反比例函数y ＝kx在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC 的面积为2，则k ＝ ． 12.点A 是反比例函数图象上的一点，过A 作AB ⊥y 轴于B 点，若△ABO 面积为2，则反比例函数解析式为 。
1 如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数y=xk的图象过点A ，则k= 2 已知如图，A 是反比例函数y=xk的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是1题图 2题图3、如图，P 是反比例函数的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D.4、如图：点A 在双曲线 上，AB ⊥x 轴于B ，且⊿AOB 的面积S ⊿AOB=2，则k=5、（2010•山西）如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为6、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥X 轴于点B ，点P 在Y 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为 l 和双曲线y=xk(k ＞0)交7、（2011•东营）如图，直线于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不和A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、0P ，设△AOC 的面积为S1、△BOD 的面积为S2、△POE 的面积为S3，则（ ）S1＜S2＜S3 B. S1＞S2＞S3 C ．S1=S2＞S3 D ．S1=S2＜S38、如图，过反比例函数 图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 和OB 的交点为E ，⊿AOE 和梯形ECDB 的面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( )A ．S1>S2B ．S1=S2C ．S1< S2D ．S1和S2的大小关系不确定9（2010•北海）如图，A 、B 是双曲线y=xk上的点，分别过A 、B 两点作x 轴、y 轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k 值为10、.如图在反比例函数y=-x4（x ＞0）的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴y 轴的垂线，设图中阴影部分面积依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=11、如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线和反比例函数的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．．12（2011•孝感）如图，点A 在双曲线y=x 1上，点B 在双曲线y=x3上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为13、反比例函数在第一象限内的图象如图．作一条平行于x 轴的直线交y1，y2于B 、A ，连OA ，过B 作BC ∥OA ，交x 轴于C ，若四边形OABC 的面积为3，则k=（ ）14（2011•防城港）如图，是反比例函数y=x k 1和y=xk 2（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB=2，则k2-k1的值是15（2011•桂林）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=x4，过y1上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB=1，则y2的解析式是16（2010•孝感）双曲线y=x 4和y=x2在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积为yxO P 1P 2 P 3P 4 P 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 59题5题 10题11题 12题6题 8题 7题 13题14题15题16题 3题 4题DB AyxO C图417、（2012广西贵港）如图所示，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为A ．21k k +B ．21k k -C ．21k k ⋅ D. 221k k k -⋅18、（2011•河北）根据图1所示的程序，得到了y 和x 的函数图象，如图2．若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ．则以下结论：①x ＜0 时，②△OPQ 的面积为定值．③x ＞0时，y 随x 的增大而增大． ④MQ=2PM ．⑤∠POQ 可以等于90°．其中正确结论是（ ） A 、①②④ B 、②④⑤ C 、③④⑤ D 、②③⑤19、如图，点A 是反比例函数y =2x(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y =－3x的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为( D )A ．2B ．3C ．4D ．520、如图3，已知双曲线经过直角 三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且和直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．421、（泉州南安市）如图4 ，已知点A 在双曲线y=6x上，且 OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．（1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为 22、如图，已知矩形OABC 的面积为3100，它的对角线OB 和双曲线y=x k相交于点D ，且OB ：OD=5：3，则k=23、（2010•烟台）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=x2的图象上，则菱形的面积为 24、（2010•无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线y=xk交OB 于D ，且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值（25、如图，已知双曲线，，点P 为双曲线上的一点，且PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线于D 、C 两点，则△PCD 的面积为 ．图象分别是1l 和26、如图，两个反比例函数和的2l ．设点P 在1l 上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交2l 于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交2l 于点B ，则三角形P AB 的面积为（ ） 第19题图ADC B yxO 2y x= 3y x=-x yAP B DC O1l 2l17题 18题（A ）3 （B ）4 （C ）92（D ）5 解答题反比例函数 和一次函数y=kx+b 交于点A(1，8 ) 和 B (4，n)，求：⑴这两个函数的解析式； ⑵三角形⊿AOB 的面积。
2024学年初中名校数学压轴题专项(与反比例有关的面积问题)练习 1．如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数6y x =在第一象限的图象经过点B ，则OAC 与BAD 的面积之差OAC BAD S S ∆-= ________．2．如图，矩形OABC 被三条直线分割成六个小矩形，若D 、E 是CO 边上的三等分点，反比例函数()0k y k x=≠刚好经过小矩形的顶点F 、G ，若图中的阴影矩形面积125S S +=，则反比例系数k 的值为__．3．如图，在x 轴上有一点A （3，0），点D 是点A 关于y 轴的对称点，点B 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，连接BD ，交反比例函数图象于点C ，若OC AB ∥，ABD △的面积是24．则k 的值是_________．4．如图，点A 、B 在反比例函数8(0)y x x=>的图像上，延长AB 交x 轴于C 点，且点B 是AC 的中点，则AOC 的面积=________．5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，DB 交x 轴于点Q ，AB x 轴，点C 的坐标为（9，6），反比例函数k y x=的图像经过A ，P 两点，则△OPQ 的面积是______．6．如图，过点()2,1C 作AC x ∥轴，BC y ∥轴，点A ，B 都在直线6y x =-+上，若反比例函数(0)k y x x=>的图像与ABC 总有公共点，则k 的取值范围是___________．7．如图，已知点A 的横坐标与纵坐标相等，点B （0，2），点A 在反比例函数y 16x =的图象上．作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45︒，交y 轴于C 点，则△ABC 面积为_____．8．如图，己知123,,,n A A A A ⋯是x 轴上的点，且1122311n n OA A A A A A A -===⋯==，分别过点123,,,n A A A A ⋯作x 轴的垂线交反比例函数1(0)y x x=>的图象于点123,,,n B B B B ⋯，过点2B 作2111 B P A B ⊥于点1P ，过点3B 作3222B P A B ⊥于点2P ……，记112B PB △的面积为1S ，223B P B △的面积为2S ……，667B P B △的面积为6S ，则1236S S S S +++⋯+=____________．9．如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.10．点P ，Q ，R 在反比例函数k y x=（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1＋S 3＝27，则S 2的值为_______．11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 均在函数6y x=（x ＞0）的图象上，点C 在y 轴正半轴上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°．若点B 的横坐标是点A 横坐标的2倍，则△ABC的面积为 _____．12．如图，AOB △和ACD △均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线()80y xx =>上，连接BC 交AD 于P ，连接OP ，则图中BOP S 是_________13．如图，若点M 是x 轴正半轴上一点，过点M 作PQ y ∥轴，分别交函数3 0y x x=>（）和函数2 0y x x=->（）的图像于P Q 、两点，连接OP OQ 、，则OPQ 的面积为___________。
初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习夯实基础1.如图，点A 是反比例函数xy 6-=(x <0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B . C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A . 1 B . 3 C . 6 D . 122.如图，直线y =mx 与双曲线xky =交于A . B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM =2，则k 的值是( )A . 2B . m −2C . mD . 43.如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 44.如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是______.5.如图，点P 、Q 是反比例函数xky =图象上的两点，P A ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，作PM ⊥x 轴于点M ，QB ⊥y 轴于点B ，连接PB 、QM ，△ABP 的面积记为S 1，△QMN 的面积记为S 2，则S 1 S 2.(填“>”或“<”或“=”)6.如图，在平面直角坐标系中，过点M (−3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数xy 2=的图象交于A . B 两点，则四边形MAOB 的面积为 .7.如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy 4-=和xy 2=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 .8.如图，已知双曲线xky =(k <0)经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C . 已知点A 的坐标为(−6，4).(1)求此反比例函数的解析式； (2)连接OC ，求△AOC 的面积.9.(1)如图，过反比例函数xky =(x >0)图象上任意一点P (x ，y )，分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为P A 、PB ，证明：S 矩形OAPB =k ，S △OAP =21k ，S △OPB =21k . (2)如图，反比例函数xky =(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、 E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值.能力培优1.如图所示，已知点P 为反比例函数xy 4=(x >0)图象上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交于反比例函数xy 1=图象于B ，C 两点，则△P AC 的面积为( ) A . 1 B . 1.5 C . 2 D . 32.如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A . D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B . E 在反比例函数xky =的图象上，OA =1，OC =6，则正方形ADEF 的边长为 .3.函数x y 4=和x y 1=在第一象限内的图象如图，点P 是x y 4=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交xy 1=的图象于点B . 给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②P A 与PB 始终相等；③四边形P AOB 的面积大小不会发生变化；④CA =31AP .其中所有正确结论的序号是（ ）A . ①②③B . ②③④C . ①③④D . ①②④4.如图，点A 在双曲线xy 3=第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B ，画BC ∥x 轴交反比例函数xky =的图象于点C ，若△ABC 的面积为6，则k 的值是 .5.如图，点B 1在反比例函数xy 2=(x >0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，得到第一个矩形AOC 1B 1，点C 1的坐标为(1，0)；取x 轴上一点C 2(23，0)，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 2A 1⊥B 1C 1，交B 1C 1于点A 1，得到第二个矩形A 1C 1C 2B 2；依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4(25，0)…按此规律作矩形，则第10个矩形A 9C 9C 10B 10的面积为 .6.如图，双曲线x k y =与xy 6-=上分别有两点A . B ，AB ∥x 轴，直线y =x +b 过点A ，另交xky =于C ，交x 轴、y 轴于M 、N ，若MC =CA =AN ，且△ABC 面积为1，则k = .7.如图,P 是反比例函数xky =(k >0)的图象上的任意一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,已知S △OPM =3.(1)求k 的值；(2)若直线y =ax (a >0)与上述反比例图象在第三象限交于一点A ,Q 为反比例函数图象上一点,过Q 作y 轴的垂线,垂足为N (0,3).假设四边形AOQN 的面积为21，求a 的值。
反比例函数与面积问题的经典中考题一、 填空题1.如图，已知矩形OABC 的面积为3100，它的对角线OB 与双曲线x k y 相交于点D ，且OB ∶OD ＝5∶3，则k ＝____________．（12）2. 如图，M 为双曲线y ＝上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD •BC 的值为___________．（2）3．双曲线y 1＝ 1 x 、y 2＝ 3 x在第一象限的图像如图，过y 2上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 1于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于D ，交x 轴于E ，连结BD 、CE ，则BD CE ＝ ． （23）4．如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 ．（12）5．如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线y ＝上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 （2） ．6．如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n 的代数式表示） （5(4)11n n +或65(1)n n +）7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数k y x=(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若BE 1BF m =(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则12S S =________． (用含m 的代数式表示)（11+-m m ）8.如图，点A,B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图像上，过点A,B 作x 轴的垂线，垂足分别为M,N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC,△AOC 的面积为6，则k 值为（4）9．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．（y=3x）。
习题1.（2014.包头）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x 轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为．2.（2014河南）如图，在直角梯形OABC 中，BC ∥AO ，∠AOC=90°，点A ，B 的坐标分别为（5，0），（2，6），点D 为AB 上一点，且BD=2AD ，双曲线y=xk（k ＞0）经过点D ，交BC 于点E ．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE 的面积．3.如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数的图象交于A（-4，2）、B （2，n ）两点，且与x 轴交于点C 。
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积；y=和y=-x3的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 14.（2014•东营）如图，函数上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则△PAB 的面积为______．1 x5.（2014.烟台）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标6.（2014 南平）如图，已知反比例函数y=xm与一次函数y=kx+b 的图象相交于A （4，1）、B （a ，2）两点，一次函数的图象与y 轴的交点为C ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D 的坐标为（1，0），求△ACD 的面积．7.（2014•德州）如图，双曲线y=xk（x ＞0）经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x轴，点A 的坐标为（2，3）．（1）确定k 的值；（2）若点D （3，m ）在双曲线上，求直线AD 的解析式； （3）计算△OAB 的面积．8.(2014广东)如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y＝k x＋b与反比例函数(m≠0，x＜0)图象的两个交点，A C⊥x轴于点C，B D⊥y 轴于点D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段A B上的一点，连接P C，P D，若△P C A和△P D B面积相等，求点P坐标．9.（2014 孝感）如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y=xk(x ＞0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为______．10.（2014 遵义）如图，反比例函数y=xk（k ＞0）的图象与矩形ABCO 的两边相交于E ，F两点，若E 是AB 的中点，S △BEF =2，则k 的值为_______．ik，。
反比例函数的应用：与面积有关的问题知识点回顾：1．反比例函数的三种常见形式：__ _____．2．当0>k 时，双曲线在__ 象限， ，y 随x 的增大而_______；当0<k 时，双曲线在__ 象限， ，y 随x 的增大而_______．1．如图,点P 是反比例函数3y x =-图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,则阴影部分面积为______．．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则变式：如图，过反比例函数2(0)y x x=>图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，⊿AOE 与梯形ECDB 的面积分别为1S 、2S ，比较它们的大小，可得1S 2S ．3．如图,点P 是反比例函数图象上的一点,且PD ⊥x 轴于D .如果△POD 面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式1：点P 是反比例函数图象上的一点,且PD ⊥x 轴于D .如果△POD 面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式2：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ,点P 在x 轴上，△ABP 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为___ ___．变式3：如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C 为y 轴上的一点，若△ABC 的面积是3，则反比例函数的解析式为___ ___．当堂练习：1．双曲线14y x=和2y 在第一象限的图像如图，过1y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若AOB S =1，则2y 的解析式是_______．2．双曲线1y x =与2y x=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为_______．3．双曲线1y x =与2y x=在x 轴上方的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为_______． 4．如图，A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积为_______．5．如图，在反比例函数的图象2(0)y x x=>上，有点P 1,P 2,P 3,P 4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过这些点作x 轴，y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S 、2S 、3S 则123S S S ++=_______．6．如图，双曲线2(0)y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点D ，则矩形OABC 的面积为_______． 7．如图，已知双曲线2(0)y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝_______．变式1：如图，双曲线(0)k y k x=>经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 交于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为_______． 变式2：如图，双曲线2(0)y x x =>经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB'C ，B'点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是_______．变式3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B ，C 在反比例函数3(0)y x x=>的图象上，求△OAB 的面积．作业：2．如图，平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P(3a ，a)是反比例函数y ＝k x（k>0）的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_______． ．如图，直线与反比例函数（＜）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC4．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2k y x=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，（1）图中阴影部分面积是 ；（结果用含有1k 、2k 的代数式表示）（2）若四边形OABC 是菱形，则1k 、2k 要满足关系式 ；（3）AM CN = ；（结果用含有1k 、2k 的代数式表示）5．如图，直线AB 交双曲线x k y =于Ａ、B ，交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA ，若S ⊿OAC =12，（1）探索OM 与MC 的数量关系，并说明理由；（2）求k 的值．。
有关反比例函数的面积问题一、巧设竞赛，引出新知1. 在反比例函数图象上有两点A （-1，-4）、B （2，2），过点A 、B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，则FBEO s 矩形CADO s 矩形 =____BOE s ∆=_____,AOD s ∆=___2.点A 、B 、C 在双曲线xy 6-=上，已知点A 、B 、C -4、-2、3，过点A 、B 、C 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 D 、E 、F 、G ，则BOE s ∆=___, AOD s ∆=___,OGCF s 矩形=____。
二、多维互动，探究新知 问题：点A 、B 是双曲线xy 13=上的任意两点，过点A 、B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为BDOE =____。
你发现了什么规律？你能证明你的结论吗？ 三、复习巩固，理解新知1.点A 是双曲线xy 1=在第二象限的分支上的任意一点，点B 关于x 轴、原点、y 轴的对称点，则S 四边形ABCD 2.A 、B 是双曲线xy 3=上的任意两点，分别过A 、B 两点向x y 轴作垂线，若S 阴=1，则S 1+S 2=________3.点Ａ是反比例函数xy 4=图象上一点，过点A 作AB ⊥y 点C 在x 轴上，△ABC 面积为_____4.已知直线y=kx 与双曲线xy 6= 交于点A 、B ，过点B 作y 垂足为点C ，连接AC ，求△AOC 的面积。
变式1：过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，则S △ACD =______ 变式2：S △ABC =______变式3：连接BD ，则S 四边形ADBC =______变式4：过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，连接CE 、DF ，则六边形ADFBCE 的面积为______通过求以上图形的面积，你有哪些体会？四、拓展延伸，应用新知例1． 已知直线x y 21=与双曲线xky =的一个分支交于点A ，且点A 的横坐标为4，点C 为这条曲线上的另外一点，且C 点的纵坐标为８，连结AC 、OC,求△AOC 的面积。
例1、 如图，P 是反比例函数的图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到
的图中的阴影部分的面积为6，则该反比例函数的表达式为
变式练习：
1、如图，P 是反比例函数y=x
k 的图象上的一点，由P 点向x 轴引垂线PA ，若阴影部分 △POA 的面积为3，则这个反比例函数的解析式是： 若S △ABC =3呢？
2、在反比例函数y=x
4的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）
3、（2010•泸州）y=x
10（x ＞0），A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，若A 1横坐标为2，且以后每横坐标与它前一个横坐标差都为2．现分别过A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴与y 轴垂线段，构成若干个矩形如所示，依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，S 1= ，
S 1+S 2+S 3+…+S n = （用n 代数式表示）
．
3、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=x
k （k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的
面积等于9，则这个反比例函数的解析式为： ，若在第二个图中，阴影面积为10π，解析式为？
例2、（2012巴中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1=k 1x+1的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y 2=x
k 的图象分别交于点M 、N ，已知△AOB 的面积为1，点M 的纵坐标为2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围
练习：
1、如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=-x
8的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴影分部的面积是？
2、（2012•济南）如图，已知双曲线y=x
k 经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC
（1）求k 的值；
（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；
（3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．。
