高中数学人教A版必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点 说课课件

例2：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2.若方程 2ax2 x 1 0 在（0，1）内恰有一解， 求实数a的取值范围。
3. 方程在 x2 求k的取值范围.
的实数解的个数
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4
3
区间 2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2
-3
-4
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
练习：
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0)， a c 0
则函数的零点个数是（ ）
2.求下列函数的零点个数
1 f (x) x3 x2 4x 4 2 f (x) 3x1 x2 2 3 f (x) log3 x 2x 4
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。

第二页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
方程
函数
函 数 的
图 象
x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
x2-2x+1=0
y= x2-2x+1
x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 －1 －2 －3
.2
.
x
1. .
. －1 0 1 2
x
. －4
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=-1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(-1,0)、(3,0)
x1=x2=1
(1,0)
无实数根 无交点
பைடு நூலகம்
第三页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
两个不相等
有两个相等的
的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
它与x轴没有交点，所以方程
2x(x－2)＝－3无实数根。
y
.. 5
3. 4 . . 2
1
－1 0 1 2 3 x
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
课堂小结：
1.函数零点的定义； 2.函数的零点与方程的根的关系； 3.函数零点存在性定理; ４.确定函数的零点所在区间的方法
第十四页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相

点,实现目标1和4.
问题3：上述方程 f (x) 0的根与相应的函数 f (x)的图像与 x轴交点坐标有什么关系 ？ 此结论能否推广至一般 的方程？
2.3 引出零点概念 5min
函数的零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x， 叫做函数y=f(x)的零点.
问题4：函数y=f(x)的零点是点吗？
. 因为函数f(x)在(0,+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点.
在 学生虽然在函数与方程方面有了一定的基础,但对于高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强
，数学抽象和逻辑推理能力欠缺!引导学生学会探究和解决问题的方法和策略，让他们感受知识的发生、发展的过程，在体验中构建自
问题1，学生已经掌握这些方程的求解方法,比一比速度；
2.9 作业布置
1.求下列函数的零点: （1）f (x) 2x(x 2) 3; （2）f (x) 10x 2.
2.求函数f (x) ex1 4x 4零点的个数，并指出零点所在的大致区间.
设计意图： 紧扣本节知识，达到举一反三！
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x，叫做函数y=f(x)的零点.
2.1 问题情境 复习导入 2min
问题2：下列方程有解吗？ ln x 2x 6
设计意图： 问题1，学生已经掌握这些方程的求解方法,比一比速度； 问题2，学生无法解决，从而引起学生的认知冲突，揭示课题.
(5 3) min
2.2 探的实数根
对应函数
y= x2－2x－3 y
函数是高中数学的重要组成部分，本节课是函数与方程的紧密 结合.
一、说教材
1.2 学情分析
学生虽然在函数与方程方面有了一定的基础,但对于高 一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳 、转化等能力都还不强，数学抽象和逻辑推理能力欠缺! 引导学生学会探究和解决问题的方法和策略，让他们感受 知识的发生、发展的过程，在体验中构建自己的知识体系.

[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
[填一填] 一、函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使________叫做函数 y＝f(x)的零 点．
2．方程的根与函数的零点的关系 答案：1.f(x)＝0 的实数 x 2.有交点 零点

变式二 求方程的根 ln x 2x 6 0
教学过程
五、当堂检测学习小结
1.下列图像表示的函数中没有零点的是（ ）
A
y
B
y
C
y
D
y
o
x
o
x
1
o
x
1o
2x
2.已知函数 f (x) 的图像是连续不断的，有如下 x ，f (x) 的对应值表，则函数f (x) 在区间 1,6上的零点至少有（ ）
X
1
2
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教学过程
四.巩固深化实例探究
解法一：用几何画板展示函数 y ln x 2x 6 图像
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教学过程
一.创设情境，导入新课
求方程 ln x 2x 6 0 根的个数
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教学过程 二、自主阅读 建构概念
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所以函数 y f (x) 在区间 (e,3) 上有零点，由于函数 f (x) 在 定义域 [0, ) 是增函数，所以仅有一个零点。
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教学过程
变式一 求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点所在的一个区间

的直观想象、数学抽象以及逻辑推理的核心素养。
通过函数图像，函数零点，方程的解三者纵向对比，掌握三者之间的转化关系，发展学生转化与化归，数形结合的思想;
探索解惑，大胆猜想
零点：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
小组合作，辨析定理
探索解惑，大胆猜想
必做题：学案基础自测、技能应用与拓展 2) f(m)·f(n)<0时，什么条件下函数f(x)在区间[m,n]零点只有一个？
课前热身：解下列方程
（1）x10
f (x) 0
f (x)x1
y（1，0） o -1 1 2 x
（ 2） x23x+20
f (x) 0
f(x)x23x+2 y
（1，0）（2，0）
o12 x
六、教学环节
环 节 1 揭示主题，明确目标
零点：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点.
0
x
b
六、教学环节
环 节 7 及时检测，巩固新知
板书，规 范解答
熟分悉析零问点题存 在解性决定问理题
六、教学环节
环 节 8 首尾呼应，解决问题
判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，若有，求零点
个数及零点所在的大致区间？
六、教学环节
环 节 9 课堂小结，总结升华
零点概念
三个等价关系
零点存在性定理
3)若函数 f(x) 有零点，那么一定有f(m)·f(n)<0吗？
首尾呼应，解决问题在性定理解决零点存在，方程有解，函数图像与x轴交点问题，进一步发展学
探索解惑，大胆猜想
观 必察做归题纳：，建学构案联基系础自生测的、技直能观应用想与象拓展、数学抽象以及逻辑推理的核心素养。

[典例 1] 求下列函数的零点． (1)f(x)＝x3－7x＋6；(2)f(x)＝x2－x－6； (3)f(x)＝12x－4；(4)f(x)＝log3x－1. [思路点拨] 分别令各个解析式等于 0，根据方程的根来确 定函数的零点．
[解析] (1)令 f(x)＝0，得 x3－7x＋6＝0， 即(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6) ＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0. 解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3. ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.

必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
3．函数 y＝x2＋6x4的零点个数为________． 解析： 由 x2＋6x4＝0 得 x3＝－64，∴x＝－4.
答案： 1
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3， 求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解析： 由题意知方程 x2－ax－b＝0 的两根分 别为 2 和 3， ∴a＝5，b＝－6， ∴g(x)＝－6x2－5x－1. 由－6x2－5x－1＝0 得 x1＝－12，x2＝－13.
f(x)在区间(a，b)内有零点，若只有一个零点， 则称此零点为变号零点，反过来，若f(a)与f(b) 不变号，而是同号，即不满足f(a)·f(b)<0，也
不能说函数无零点．
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
◎函数 f(x)＝x＋1x的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【错解】 因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x<0 时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，所以y＝f(x)有一 个零点，故选B.
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
[题后感悟] 二次函数零点问题即是二次方程根的 分布问题． 解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对 称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零 的关系；④开口方向．
必修1 第三章 函数的应用
确定零点所在区间
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
[解题过程] f(x)＝2x＋3x f(－1)＝2－1－3＝－52＜0 f(0)＝20＝1＞0 ∴f(－1)·f(0)＜0 ∴在区间(－1,0)上至少存在一个零点．故选 B.

(1)概念：函数 f(x)的零点是使__f_(x_)_＝__0___的实数 x. (2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根 的关系：
课前预习
课堂互动
课堂反馈
• 【预习评价】 • (1)函数f(x)＝x2－4x的零点是________． • (2)若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
• 答案 (1)B (2)－2 (3)3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
•规律方法 函数零点的两种求法
•(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函 数存在零点，否则函数不存在零点．
•(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交 点的横坐标即为函数的零点．
课前预习
课堂互动
• (2)结论：函数fy(a＝)·ff((xb))在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
f(c)＝0
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设 f(x)＝1x，由于 f(－1)f(1)<0，所以 f(x)＝1x在(－1,1)内有 零点( ) (2)若函数 f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)<0.( ) (3)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线， 且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．( )
课前预习
课堂互动
课堂反馈
•(2)法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点 的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
•在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

cd
x
探 究 3 ： 观 察 下 面 函 数 y f ( x ) 的 图 象
y
oa
b
x
f（a）·f（b）_____0（＜或＞），区间[a，b]上
__无____(有/无)零点；
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间
(1)在区 [a,b 间 ]上 _有_有 _/(无 )零点；
f(a)f(b)_ 0 _(或 )
(2)在区 b,c上 间 _有_（ _/_无 有）零点
f(b)f(c) _0 _ (或 ) (3)在区 a,d上 间 有 _（ _ /有 无）零点； f(a)f(d)_ _ 0( _ 或 ) y
a0 b
函数与方程的关系： 函 数 yf(x)有 零 点
方 程 f(x )0 有 实 数 根
函 数 y f(x ) 图 象 与 x 轴 有 交 点
方程问题↔函数问题 ！ 其中蕴含的重要数学思想：函数与方程、 转化与化归
问题4：如何求一个函数的零点？
y=f(x)在某区间是否有零点， 如何判断？
探 究 1 ： 观 察 函 数 y x 2 2 x 3 的 图 象
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反馈训练：
2.函数 f (x)ex4x 在区间（-1，0）的零
点有几个？
一个，因为f(-1)·f(0)<0，且函数在 （-1，0）单调增
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