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独立性实验PPT

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事件的相互独立性-PPT

事件的相互独立性-PPT

27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
配合度检验、独立性检验与同质性检验PPT(63张)

配合度检验、独立性检验与同质性检验PPT(63张)


（一）双向表χ2检验的计算
1．理论频数的计算
双向表χ 2检验中，理论频数的计算公式为
fe

fxi f yi N
（16．1）
公式中，fxi表示横行各组实际频数的总和
fyi表示纵列各组实际频数的总和 N表示样本容量的总和
例1：家庭经济状况属于上、中、下的高三毕业生，
对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度（愿意、不
愿意、未定），其人数分布如表10-6。问学生是否愿意报考
师范大学与家庭经济状况是否有关系？
表10-6 不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度
家庭 经济状况
对于报考师范大学的态度 愿意 不愿意 未定
总和
上
18
27
10
55
中
20
19
20
59
下
18
7
11
36
总和
56
53
41
150
解题过程
解：1.提出假设 H0：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况无关 H1：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况有关
fo fe 2
f ห้องสมุดไป่ตู้ f e 2
fe
18 20.53 -2.53 6.4009 0.3118
愿意-中 20 22.03 -2.03 4.1209 0.1871
愿意-下 18 13.44 4.56 20.7936 1.5471
不愿意-上 27 19.43 7.57 57.3049 2.9493
2.选择检验统计量并计算 对计数数据进行差异检验,可选择χ 2检验
理论频数计算
表10-7 不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度
独立性检验(课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)

独立性检验(课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)


|ad-bc|越大，说明玩电脑游戏与注意力集中之间的关系越强．
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随
机变量
n(ad-bc)2 χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性 检验，读作卡方独立性检验，简称独立性检验．
若H0成立，即玩电脑游戏与注意力集中没有关系，则χ2应该 很小；若H0不成立，即玩电脑游戏与注意力集中有关系，则χ2应 该很大．那么，究竟χ2大到什么程度，可以推断H0不成立呢？
2 88(33 7 10 38)2
43 45 7117
α
0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
学校
甲校(X＝0) 乙校(X＝1)
合计
数学成绩
不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1)
33
10
38
7
71
17
0.001 10.828
合计
43 45 88
0.837 2.706 x0.1.
于不同的小概率值α的检验规则，对应不同的临界值x0，其与χ2的大小关 系可能不同，相当于检验的标准发生变化，因此结论可能会不同.
3. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有
放回简单随机样本的数据，得到如下列联表: 依据α=0.05的独立性检验，分析药物A对
药物A
疾病B 未患病 患病
解：根据题意，可得
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2 4.881 3.841 x0.05 .
根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为两种疗 法的效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.05.
8.3.2 独立性检验(PPT)超好用的优秀公开课获奖课件高二数学同步精品课堂(新教材人教A版选择性

8.3.2 独立性检验(PPT)超好用的优秀公开课获奖课件高二数学同步精品课堂(新教材人教A版选择性


独立性检验的步骤 第一步，确定分类变量，获取样本频数，得到列联表． 第二步，根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关 系”犯错误概率的上界 α，然后查表确定临界值 xα. 第三步，利用公式 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d计算随机变量 χ2.
第四步，作出判断．如果 χ2≥xα，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推 断犯错误的概率不超过 α，否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前 提下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够 证据支持结论“X 与 Y 有关系”．
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60
20
80
北方学生 10
合计
70
10
20
30
100
根据表中数据，问是否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 “南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
解：将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d ＝100×70×603×0×108－0×202×0 102＝12010≈4.762. 因为 4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 “南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
班级与成绩统计表 优秀 不优秀 合计
甲班 11 34 45
A 解析：随机变量
乙班 8
37 45
χ2＝90×19×117×1×374－5×344×582≈0.600. 合计 19
71
90
独立性检验的基本思想
【例 1】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学 生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
第八章 成对数据的统计分析
独立性检验高二数学市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

独立性检验高二数学市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件


课前探究学习
课堂讲练第9互页动
题型一 2×2列联表
【例1】 某学校对高三学生作一项调查后发觉：在平时模拟 考试中，性格内向426名学生中有332名在考前心情紧 张，性格外向594名学生中在考前心情担心有213 人．请作出考前心情担心与性格列联表． [思绪探索] 在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变
课前探究学习
课堂讲练第1互9页动
[规范解答] 对于上述四个科目，分别构造四个随机变量 χ21，χ22，χ23，χ42由表中数据可以得到 语文：χ21＝244× 2011×744×3×132－042×7×40302≈7.294＞6.635，(3 分) 数学：χ22＝244× 2011×784×3×202－012×3×43232≈30.008＞10.828， (6 分) 英语：χ23＝244× 2011×764×3×192－002×5×44242≈24.155＞10.828， (9 分)
因此有 99%的把握认为聋与哑有关．
课前探究学习
课堂讲练第1互4页动
规律方法 (1)判断两个研究对象是否有关的方法 可以利用独立性检验来考查两个研究对象是否有关，并 且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是： 根据观测数据计算由公式给出的检验统计量 χ2 的值，其 值越大，说明“X 与 Y 有关”成立的可能性越大． (2)本题是利用 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d求出 χ2 的 值，再利用 χ2 与临界值的大小关系来判断假设是否成立， 解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确 进行比较与判断．
于研究两类变量之间是否相互独立．它适合用于分析两
类变
量之间关系，是对两类变量进行独立性检验基础．
(2)使用统计量作2×2列联表独立性检验时，要求表中四
独立性检验-PPT课件

独立性检验-PPT课件


a b c d
|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于 上述分析，我们构造一个随机变量
2 2
n ( a d b c ) （ 1） K ( a cb ) ( da ) ( bc ) ( d )
如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等. 在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.
为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿 瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下 结果:其中吸烟者2148人，不吸烟者7817 人，吸烟的2148人中49人患肺癌， 2099不患肺癌；不吸烟的7817人中42人 患肺癌， 7775人不患肺癌。 根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有 关吗？
二维条形图
3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 等高条形图
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟
患肺癌 比例
患肺癌 不患肺癌
不患肺癌 比例
上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸 烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要 用统计观点来考察这个问题. 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌 有关”，为此先假设： H0：吸烟与患肺癌没有关系
2×2列联 为了研究这个问题，我们将上述问题用下表表示： 表
不患肺癌
不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874
患肺癌
42 49 91
总计
7817 2148 9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
10.2事件的相互独立性 课件【共26张PPT】

10.2事件的相互独立性 课件【共26张PPT】


归纳：求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立 的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积．2.使 用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事 件是相互独立的，而且它们同时发生．
练习2.
所以 M,N 不是相互独立事件;
③中,P(M)= ,P(N)= ,P(MN)= ,P(MN)=P(M)P(N),因此 M,N 是相互独立事件.
练习1.
2.【2021年·新高考Ⅰ卷】 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次， 每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
我们再用理论来验证：
对于A与B，因为A=AB∪AB，而且AB与AB互斥，所以 P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AB)
所以 P(AB)=P(A)-P(A)P(B)= P(A)(1-P(B))= P(A)P(B) 由事件的独立性定义，A与B相互独立. 类似地，可以证明事件A与B，A 与 B也都相互独立.
所以P(A
B)=
P(A)P( B)=
1 2
1 2
1， 4
P(AB)= P(A)P(B)=
1， 4
P(AB)= P(A)P(B)=
1， 4
因此A与B，A 与B，A与 B是独立的.
1 第二次
第一次
2
3
4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
独立性检验

独立性检验

一、有关概念：
1.定性变量与定量变量： 2.2×2 列联表：
二、独立性检验的简介： 三、检验独立性的方法：
1.频率法： 2.等高条形图法： 3.卡方检验：
(1)卡方检验简述： (2)操作步骤及三个细节： (3)书写格式：
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
超几何分布与二项分布的关联
以下三种情况，按照二项分布来处理
频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
四大分布之间的关联图
正态分布
连续 二项分布 N →+∞ 超几何分布
(总数充分大) n=1
0—1分布
当
M N
1 10
1 100
,实际操作时,用二项分布近似来代替
正态分布的性质
1.对称性
f (x) , (x)
法3：相关系数 r 法 (参《必修3》P：92～93) 法4：关系式法:
主要是利用回归方程…… 法5：数表法:
主要观察是否具有单调性……
法3：相关系数 r ——衡量变量之间相关程度的指标
(1)计算公式：r
(2)性质：
n
(xi x)( yi y)
i1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
1
( x )2
e 2 2
2
2.渐近性
正态曲线是钟型 指数二次组合体
3.最大值 4.面积为1
要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
5.期望为μ，方差为δ2
小概率事件原理
一般的，当P(A)≤0.05(或0.01)时 可以认为在一次试验中事件A几乎是不可能发生的 但在多次重复试验中几乎是必然发生的
高中数学人教A版选修1-2第一章统计案例---独立性检验实习作业成果展示课教学课件 (共22张PPT

高中数学人教A版选修1-2第一章统计案例---独立性检验实习作业成果展示课教学课件 (共22张PPT

二组
患胃病与不按时吃饭的相关性研究
患胃病 不患胃病 总计
按时吃饭 5 22 27
不按时吃饭 总计
17
22
6
28
23
50
P(k2>k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 )
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 137 (53 26 33 25)2 2.076 2.706 86 51 78 59
结论：没有充分的依据证明脸上长痘与爱吃辣条有关。
患胃病与不按时吃饭的相关性研究
K 2 113(4 35 28 46)2 18.240 10.828 32 81 50 63
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为 数学成绩优秀与课后学习时间长短有关系
喜欢玩电子游戏与性别的相关性调查研究
四组
喜欢玩电子游戏与性别的相关性研究
2X2列联表
男生 女生
总计
喜欢 161
利用公式计算K 2的观测值 k
独立性检验临界值表
P(k2>k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ) k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
)
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
832独立性检验课件(共19张PPT)

832独立性检验课件(共19张PPT)

效果是否比甲种疗法好.
解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到


×
（
×

−

×
）
=
≈ . > . = . .
× × ×
根据小概率值=0.05的 独立性检验，我们推断 H0不成立，即可以认为两种疗法
癌有关系”.
讲
课
人
：
邢
启
强
16
根据表中的数据计算不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
7775
42
0.9946，
0.0054
7817
7817
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的评率分别为
2099
49
0.9772，
0.0228
2148
2148
0.0228
由
4.2
0.0054
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌频率的4
2
复习巩固
两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法：
(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大
小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.


如可以通过列联表中
与
值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无
+
+
关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大.
(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互
8.3列联表与独立性检验
8.3.2 独立性检验
复习巩固
2×2列联表的概念
按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，这种形
02教学课件_4.3.2 独立性检验

02教学课件_4.3.2 独立性检验


4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否 有关系，你认为应该收集的数据是______________． 【解析】由研究的问题可知，需收集的数据应为男正教授 人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．
【答案】男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数， 女副教授人数
5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语
60 分以下 61～70 分 71～80 分 81～90 分 91～100 分
甲班(人数)
3
11
6
12
18
乙班(人数)
7
8
10
10
15
现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀．
(1)试分析估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，根据以上数据，能否有 95%的
2．下列选项中，哪一个 χ2 的值可以有 95%以上的把握
பைடு நூலகம்
认为“A 与 B 有关系”( )
A．χ2＝2.700
B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765
D．χ2＝5.014
【解析】∵5.014>3.841，故 D 正确． 【答案】D
3．若由一个 2×2 列联表中的数据计算得 χ2＝4.013，那 么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个 变量之间有关系． 【解析】查阅 χ2 表知有 95%的把握认为两个变量之间有 关系，故在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为两个 变量之间有关系． 【答案】5%
表格形式．
A
Ba －B c 总计 a＋c
－A b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
因为这个表格中，核心数据是中间 4 个格子，所以这样的

2.3独立性检验PPT优秀课件


吸烟 不吸烟
总计
患病 a c
a+c
不患病 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
第三步：引入一个随机变量：卡方统计量
2abc n a d d a bc c 2bd
其 n 中 a b c d
第四步：查对临界值表，作出判断。
P(≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
解：H0： 吸烟和患病之间没有关系
患病 不患病
吸烟
49
2099
不吸烟
42
7775
总计
91
9874
总计 2148 7817 9965
通过公式计算
299 767 5 4 7 9 4 5 2 20 2 959 .6 63
782 11 7 9 48 8 9 71 4
已知在 H 0 成立的情况下，
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
P(21.0 82) 80.001
即在 H 0 成立的情况下， 2大于10.828概率非常 小，近似为0.001 现在的 =2 56.632的观测值远大于10.828， 出现这样的观测值的概率不超过0.001。
故有99.9%的把握认为H0不成立，即有99.9% 的把握认为“患病与吸烟有关系”。
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
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5 ． 在 独 立 性 检 验 中 字 母 H0 含 义 表 示 ________．
[答案] 统计假设
6．有甲、乙两个班级一次考试的成绩，按照 学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如 下的列联表
班级与成绩列联表
甲班 乙班 总计
优秀
10 7 17
不优秀
35 38 73
总计
45 45 90
有多大把握认为成绩优秀与班级有关？
C．0.936
D．0.036
[答案] C
[解析] 可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立
事件的关系来求．
P＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.
2．根据2×2列联表，以下各式：
①n＋1＝n11＋n21；②n＋2＝n12＋n22；③n1＋＝n11＋n21； ④n2＋＝n12＋n22；⑤n＝n＋1＋n＋2＋n1＋＋n2＋. 其中正确的有( )
巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪的官员 与廉洁官员之寿命的调查资料：580名贪官中有348人的寿 命小于平均寿命、152人的寿命大于或等于平均寿命；580 名廉洁官中有93人的寿命小于平均寿命、487人的寿命大 于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿 命”．试分析官员在经济上是否清白与他们寿命的长短之 间是否独立？
独立性检验
自主学习 归纳提炼
1．独立事件 (1)独立事件的定义
对于两个事件A，B，如果有 P(AB)＝P(A)P(B)
就称事件A与B互相独立，简称A与B独立． (2)当事件A与B独立时,事件
也独立．
2．字母表示的2×2列联表：
B
B
合计
A
n11
n12
nn＋1
n＋2
n
表中：n＋1＝ n11＋n21 ，n1＋＝ n11＋n1，2 n2＋＝
设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为19，A 发生 B
不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则事件 A 发生
的概率 P(A)是
2
1
A.9
B.18
D( )
1
2
C.3
D.3
巩固练习
1．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三
次中至少有一次射中的概率为
()
A．0.216
B．0.064
[解析] 由公式 χ2＝904(53×8×451×0－173×5×737)2＝0.652<3.841， 所以没有把握认为成绩优秀与班级有关系．
治愈 未愈 合计
A药 30 B药 11 合计 41
10 40 49 60 59 100
由公式得： χ2＝100×40(×306×0×494－1×105×9 11)2＝31.859. 因为 31.859>6.635，所以我们有 99%的把握说，A、B 两药对该病的治愈率之间有显著差别．
[说明] 提醒—— 上述结论是对所有服用A药或B药的病 人而言的，绝不要误以为只对100个病人成 立．这就体现了统计的意义，即由样本推断 出总体．
(2)用χ2与其临界值 3.841 与 6.635 的
大小关系来决定是否拒绝统计假设H0，如表：
大小比较
结论
χ2≤3.841 事件A与B是 无关的
χ2>3.841 有 95% 的把握说事件A与B有关 χ2>6.635 有 99% 的把握说事件A与B有关
[例1] 下面2×2列联表的χ2的值为
________.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] B
[解析] ∵n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22， n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22， n＝n11＋n21＋n12＋n22. ∴①②正确，故选B.
3．经过对χ2统计量分布的研究，得到了两个临界值， 3.841与6.635，当χ2≤3.841时，认为事件A与事件B
某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏 菌带菌情况，结果如下表，试检验屠宰场与零售点猪肉带 菌率有无差异.
带菌头数 不带菌头数 合计
屠宰场
8
零售点
14
合计
22
32
40
18
32
50
72
[解析] χ2＝72×40(×8×321×8－501×4×2232)2＝4.726. 因为 4.726>3.841，所以我们有 95%的把握说，屠宰场与 零售点猪肉带菌率有差异．
() A．有95%的把握有关 B．有99%的把握有关 C．没有理由说它们有关 D．不确定 [答案] C [解析] ∵当根据具体的数据算出的χ2≤3.841时，认 为事件A与事件B是无关的，故选C.
4．χ2的表达式为________．
[答案]
n(n11n22－n12n21)2 n1＋n2＋n＋1n＋2
[说明] 1.在使用χ2统计量作2×2列联表 的独立性检验时，要求表中的4个数据都要 大于5，为此，在选取样本时一定要注意这 一点．本例的4个数据8、32、14、18都大于 5，是满足这一要求的．
2．使用 χ2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验的步骤是： (1)检查 2×2 列联表中的数据是否符合要求； (2)由公式 χ2＝n(nn111＋nn222＋－n＋n11n2n＋221)2计算 χ2 的数值； (3)将 χ2 的数值与两个临界值 3.841 与 6.635 进行对比； 做出统计推断：当根据具体的数据算出的 χ2>3.841 时， 有 95%的把握说事件 A 与 B 有关；当 χ2>6.635 时，有 99%的 把握说事件 A 与 B 有关；当 χ2≤3.841 时，认为事件 A 与 B 是无关的.
n11＋n12＋n21＋n22 .
，n＋n122＝＋n22 n21＋n22 ，n＝
3．χ2统计量 根 据 上 表 给 定 的 数 据 引 入 χ2( 读 作 “ 卡 方”)统计量．
它的表达式是χ2＝
.
4．独立性检验思想
(1)用H0表示事件A与B独立的决定式，即 H0：P(AB)＝P(A)P(B)，称H0为 统计假设 ．
B
B
合计
A
39 157
196
A
29 167
196
合计 68 324
392
[解析] 上表中 n11＝39，n12＝157，n21＝29，n22＝167. n＝n11＋n21＋n12＋n22＝392， n＋1＝n11＋n21＝68，n＋2＝n12＋n22＝324， n1＋＝n11＋n12＝196，n2＋＝n21＋n22＝196. ∴χ2＝n(nn11＋1·nn222＋－·nn＋112·nn＋212)2 ＝39129(369××119667×－6185×7×32249)2＝1.780.
[解析] 列2×2列联表
短寿 长寿 合计
贪官 348 152 500
清官 93
497 590
合计 441 649 1090
由公式得： χ2＝10905×00(×34589×0×49474－1×15624×9 93)2＝325.635. ∵325.635>6.635. ∴我们有 99%的把握可以认为在经济上不清白的人易 过早死亡．
[例2] 为观察药物A、B治疗某病的疗 效，某医生将100例该病病人随机地分成两 组，一组40人，服用A药；另一组60人，服 用B药．结果发现：服用A药的40人中有30 人治愈；服用B药的60人中有11人治愈．问 A、B两药对该病的治愈率之间是否有显著 差别？
[解析] 为便于将数据代入公式计算， 先列出2×2列联表：