第23讲 图形的相似

相似图形 专题总结及应用
知识点一 成比例线段与比例的定义及性质
1．四条线段a 、b 、c 、d ，如果a b ＝c
d ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ，反之也成立．其中a 与d 叫做比例外项，b 与c 叫做比例内项．特
殊地a b ＝b
c ⇔b 2＝ac .
3．比例的等比性质
如果a b ＝c d ＝…＝m
n ，且b ＋d ＋…＋n ≠0，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b
.
例1： 已知b a ＝5
13，则a －b a ＋b 的值是( )
A.23
B.32
C.94
D.49
跟踪训练：1(2009·云南)若a －b b ＝23，则a
b
＝( )
A.13
B.23
C.43
D.53
2 已知a 2＝b 5＝c
7，且a ＋b ＋c ≠0，则2a ＋3b －2c a ＋b ＋c 的值为( )
A.514
B.511
C.145
D.1617
例1 D 跟踪训练1D2A 知识点二．黄金分割
如图
，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC AB ＝BC AC
，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，
即AC
AB ＝5－12≈0.618. 例2(2009·孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人
一种美感．如图所示，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l.65的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A ．4 cm
B ．6 cm
C ．8 cm
D ．10 cm
训练2
跟踪训练1 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为
黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()
A．12.36 cm B．13.6 cm
C．32.36 cm D．7.64 cm
2如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填
“>”“＝”或“<”)．
例2C. 跟踪训练1A 2S1＝S2.
知识点三相似图形
1．相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形．
2．相似多边形的判定：各角对应相等，各边对应成比例．
3．相似多边形的性质：
(1)对应角相等，对应边成比例；
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
例3如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是()
A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
跟踪训练1如图，矩形ABCD沿EF对折后，矩形FCDE∽矩形ABCD，已知AB＝4，
求：(1)AD的长；
(2)求这两个相似矩形的相似比k的值．
例3 B. 跟踪训练1 (1)AD＝4 2. (2)k＝2
2.
知识点四相似三角形的判定及性质
1定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形相似；
2．判定方法
(1)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
(2)两角对应相等的两个三角形相似；
(3)三边对应成比例的两个三角形相似．
3．性质
(1)对应角相等，对应边成比例；
(2)对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；
(3)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
例4矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连结FC.
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)求EF:CE的值．
跟踪训练：1 如图，在△ABC中AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝()
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
1题2题
2．(2012·金华)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为()
A．9 B．12 C．15 D．18
3．如图，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为()
A．5 B．6 C．7 D．12
4.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若
AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为________．
3题4题【专题解读】解决有关边长的计算问题时，常常利用三角形相似得比例式来求解．
例4(2)1
4跟踪训练1D 2A 3C 4GF＝3.
知识点五位似图形及性质
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
例5．(12分)(2009中考变式题)如图，△ABC在方格纸中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A、B的坐标满足A(2,3)、C(6,2)，并求出B 点的坐标；
(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
对应训练
1 (2009·宁夏)在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
(1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧
．．．．)；
(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式．
2(2009·烟台)视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是()
A．平移B．旋转
C．对称D．位似
3．(2010·湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
2题 3题
例5略 跟踪训练1【(1)图略(2)y ＝2x －8. 2故选D. 3(9,0)．
二、规律方法专题
：相似三角形的判定与性质
【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．
例6．(12分)(2010·珠海)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连结DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1)求证：△ADF ∽△DEC.
(2)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．
对应训练
1 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，
1
2
AD BD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )
A ．8 cm
B ．12 cm
C ．11 cm
D ．10 cm
2 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC.
(1)求∠EDB 的度数； (2)求DE 的长． ．
【解题策略】 将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．
3．(2012·台州)如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .
(1)求证：FD2＝FB·FC.
(2)若G是BC的中点，连结GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．
例6(2)AF＝23跟踪训练 1B. 2 (1)40 (2)6 cm 3、用斜边中线定理找等角
三、思想方法专题
专题1 分类讨论思想
【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研
究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全
面、严谨地思考问题．
例7 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作
直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条．
分析如图27－103所示，过点D作AB的平行线DE，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．
对应训练．1(2012·杭州)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE ＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________.
1、AF＝2或4.5.
专题3 转化思想
【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．
例8 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( )
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
对应训练1 已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．
2 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，则AB：A′B′＝．
例8A．跟踪训练1、2：5． 2 、1。