《两角和与差的余弦函数》教学案

课题：两角和与差的余弦重点：两角和与差的余弦公式及其推导.难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简.一、问题情境目前可以直接写出30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，利用诱导公式还可进一步求出120°，225°，390°等角的三角函数值.问题：不用计算器，求cos15°的值. cos15°＝cos60°－cos45°吗？ cos15°＝cos45°－cos30°吗？二、探究活动观察：cos(90°－30°)＝cos(60°－30°)＝猜想：对任意角α，β，都有 .三、建构数学如图，在坐标系内作单位圆，作角α，β，和α－β (令0≤α－β≤π)，使终边分别交单位圆于P1，P2，P3 . 此时，0P (1，0) ，1P (cos α，sin α), 3P (cos(α－β)，sin(α－β) )，2P (cos β, sin β).公式推导如下：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝ .思考：cos(α＋β)＝？两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝.注意：记清公式的结构特征四、数学运用例1、利用两角和（差）的余弦公式，求cos15°，cos75°.例2、化简：（1）cos100°cos40°+sin80°sin40°；（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°.例3、233sin=cos=-cos-3252πααπββππαβ∈∈已知，（，），，（，），求（）的值.五、课堂小结1、两角和与差的余弦公式2、知识结构3、数学思想六、课后作业课本第106页，练习1-6。

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。

二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。

四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。

给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。

从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。

(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。

)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。

案例名称两角差的余弦公式科目数学教学对象高二年级学生提供者课时1课时学号一、教材内容分析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。

这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。

教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识与技能：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、过程与方法：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感、态度与价值：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

三、学习者特征分析本课时面对的学生是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

两角和与差的余弦教案及教学设计【教学目标】1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。

2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。

3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

【教学重点】 余弦的差角公式的推导。

【教学难点】 余弦的差角公式的推导。

【学情分析】 学生在前面一章学过向量及用向量知识来推导一些公式的经历，具备了一定的知识储备，在公式推导之前，要进行铺垫、引导。

【教学过程】一 创设情境，引入课题问题1 ：我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习。

θ=⋅),,11y x （=),22y x （= 则 2121y y x x +=⋅练习 已知)45sin ,45(cos ︒︒=a ，)30sin ,30(cos ︒︒=b ，则=⋅二 自主探究，引发思考问题2 ：由︒︒-︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？三 层层深入，得出结论问题3 ：βαβαθsin sin cos cos cos +=∴（一）两角差的余弦公式设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（=βαβαsin sin cos cos +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴ 如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。

故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-实际上，当βα-任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。

例1、 利用两角差的余弦公式，︒︒75cos ,15cos :求问题4 ：?75cos =︒ 根据两角差的余弦公式，你可以猜猜?)cos(=+βα 提示：令 ββ=-（二）两角和的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+结论：βα±C 两角和与差的余弦公式=±)cos(βα βαβαsin sin cos cos注： 1、公式中两边的符号正好相反（一正一负）2、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。

两角和与差的余弦公式
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。

二、学情分析：
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

三、教学目标：
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

四、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。

五、教学工具：多媒体
六、教学方法：讲授法，探究法
七、教学过程：
图1
的三角比表示A 、B 两点坐标吗？角度能用α、β表示吗？
AOB 的三角比，必须要把∠O
A
)sin αsin ,(cos βB x
β
α
图2 ：这两个图中，出现了α、β及αβ-的三角比，观察两图，
旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？|||B A ''=是难点，教师进行了适时点拨，
)0,1(B '(cos(βα-'A y O
x。

《两角和与差的正余弦公式》教学设计两角和与差的正、余弦函数(第一课时)一、教材分析:1、对于两角和与差的正弦、余弦、正切(还有后面的倍角公式等)众多公式的推导顺序，有多种不同的安排。

本章在第一节先探索出了两角差的余弦公式，并以它为基础，推导出其它公式，具体过程如下:C? C? S? T α,βα，β α?βα?β() ()() ()2、本节不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法——化归思想;3、以问题为引导，加强过程与联系，切实改进学生的学习方式，提高学生的数学能力。

二、教学目标:1、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。

通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力;2、能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值等。

三、教学重点、难点:重点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

难点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及应用。

四、教学流程: 复习两角差的余弦公式 ? 推导其它和角公式 ? 公式的应用 ? 小结五、教学情景设计:问题设计意图师生活动 (回顾)1、前面主要学习了哪几个三复习旧知识，为后面的学引导学生角函数,它们是如何定义的, 习做好铺垫。

回答练习:在单位圆中，角α的终边与单通过练习，巩固旧知识位圆交于点P(,0.8，0.6), 求角α的学生练习，正弦、余弦、正切、余切函数值。

(探究1)设锐角α和β (β>α)的提出问题，引导学生进行对照答案终边分别与单位圆交于点P和点Q，探究活动你能用正、余弦函数来表示P和Q的坐标吗,你能用坐标来表示向量OP和向激发学生兴趣，渗透“化量OQ吗,你能用定义和坐标来表示OP未知为已知”的数学思想提出问题，和OQ的数量积吗,进而，你发现了什么, 教师通过分析引导问题与思考:你的发现对于任意角α对于α和β是任意角时，学生进行β和都成立吗,如何证明, 老师在学生的参与下给探究活动予证明。

《3.1.1两角和与差的余弦》教学案●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式． 教学方案设计●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C (α－β)证明的教学 教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cos α－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ 【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．课堂互动探究运用公式求值例1 (1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°. 【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 规律方法1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．变式训练求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°. 【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.给值求值例2 设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝1，sin(α＋β)＝53，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2， ∴β＝π3. 规律方法解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．互动探究将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？ 【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得 sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3. 易错易误辨析忽略角的范围限制的隐含条件致误典例 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22， 又∵α，β∈(0，π2)， ∴－π2＜α－β＜π2， ∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0. ∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解： (1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．当堂双基达标1．下列等式中，正确的个数为________． ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝ cos 60°＝12. 【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)． 【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵tan β＝－13，β∈(π2，π)， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010. 课后知能检测 一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．35∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________ 【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24. 【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.132∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值． 【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sin αsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a －b |＝255， ∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665. 又0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝3365.教师备课资源备选例题在△ABC 中，若tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A ，B ，C 之间的关系．【自主解答】 ∵tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，∴sin A cos A ＝cos B －cos Csin C －sin B ，∴sin A sin C －sin A sin B ＝cos A cos B －cos A cos C ，即cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos B ＋sin A sin B ，∴cos(A －C )＝cos(A －B )．∵0°＜A ，B ，C ＜180°，∴－180°＜A －C ＜180°，－180°＜A －B ＜180°，∴A －C ＝A －B 或A －C ＝－(A －B )，即B ＝C 或2A ＝B ＋C .若B ＝C ，则△ABC 为等腰三角形；若2A ＝B ＋C ，则2A ＝180°－A ， A ＝60°. 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．规律方法 1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tanC .备选变式在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin B cos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。

两角和与差的余弦公式教案【授课课题】 1.1.1两角和与差的余弦公式（一）【设计思想】数学源于生活，数学服务与生活，专业中需要数学。

【学情分析】本课面对旅游专业二年级的学生，旅游专业的学生对数学表达能力和逻辑推理能力比较薄弱，但他们好动，对探索未知世界有主动意识，对新事物充满探求的渴望。

经过一年半的数学学习储备了一定数学知识，掌握了一些高中的数学学习方法，为本节课的学习，建立的良好的知识基础。

【教材分析】本节内容是中等职业教育课程改革国家规划新教材，拓展模块第一章《三角公式及应用》第一节《两角和与差的余弦公式》，学生在基础模块掌握了任意角的三角函数的概念，向量坐标表示及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角三角函数表示两角和与两角差的三角函数，两角差的余弦公式在推导，采用易于教学的推导方法，及借助于单位圆中的三角函数线推导。

【教学目标】知识目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的计算和化简．3、使部分学生能够从正反两个方向运用公式解决简单的问题能力目标：1、培养学生严密而准确的数学表达能力，逆向思维和发散思维能力，2、体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，及灵活选用公式解决问题的能力。

情感目标：1、通过观察对比公式体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达能力和思考能力。

2、学会从已有的知识出发，主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用．【教学难点】难点是公式的推导【突破措施】先由特殊情形引入，再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探索能力已达到对公式的深入理解和灵活运用。

【学法设计】独立思考、师生交流【知识链接】特殊角的三角函数、诱导公式、向量数乘积、向量坐标表示【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒−︒≠︒−︒，然后提出如何计算cos()αβ−的问题．利用矢量论证cos()αβ−的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα−=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα−=，然后再利用公式cos()αβ−，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α−．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ−是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．课后练习题【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为行为 意图*创设情境 兴趣导入问题1：======00000060cos 60sin 45cos 45sin 30cos 30sin问题2：→→→→→→=•b a b a b a ,cos问题3：),(11y x a =→),(22y x b =→则=•→→b a问题4：单位圆上的坐标表示问题5：诱导公式()ααπ−+k 2我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然 ()cos 6030cos60cos30︒−︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ−≠-． 播放 课件 质疑观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知过 程行为行为 意图在单位圆（如图11−）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅−=−， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=−−cos cos()sin sin()αβαβ=⋅−+⋅−cos cos sin sin αβαβ=⋅−⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．实际上βα−为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可以转换到[]π2,0，使)cos(cos βαθ−=。

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。