初一数学知识点：二元一次方程的概念

专题06 二元一次方程（组）考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

【注意】1）二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。

例如：xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程。

2）方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。

2）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。

二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如Error!也是二元一次方程组。

这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。

3）方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。

4）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。

2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。

如：Error!有的方程组无解，如：Error!【典型例题】1．（2019·天津中考模拟）方程组的解是（ ）125x y x y -=⎧⎨+=⎩A ．B ．C ．D ．12x y =-⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】A ．不满足方程组，故不符合题意；B ，不满足方程组，故不符12x y =-⎧⎨=⎩125x y x y -=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=-⎩125x y x y -=⎧⎨+=⎩合题意；C ，不满足方程组，故不符合题意；D ，满足方程组，故符12x y =⎧⎨=⎩125x y x y -=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=⎩125x y x y -=⎧⎨+=⎩合题意，故选D ．2．（2019·湖北中考真题）把一根长9m 的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．9种【答案】B 【详解】解：设的钢管根，根据题意得：2m b ，29a b +=、均为整数，a b ，，，．14a b =⎧∴⎨=⎩33a b =⎧⎨=⎩52a b =⎧⎨=⎩71a b =⎧⎨=⎩故选：B ．考查题型一 利用二元一次方程的定义求解参数值1．（2017·山东中考模拟）已知关于x 、y 的方程是二元一次方程，则m 、n 的值为（ 2216m n m n x y --+++=）A ．m=1，n=-1B ．m=-1,n=1C ．m=,n=D ．m=，n=1343-13-43【答案】A 【详解】∵方程是二元一次方程，∴，解得：．故选A ．22146m n m n x y --+++=230m n m n -=⎧⎨+=⎩11m n =⎧⎨=-⎩2．（2016·贵州中考真题）已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（）A ．B ．C ． D．【答案】A 【解析】二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的整式方程，依题意，有：，解得：m=1，n=-1.{2m -n -2=1m +n +1=1 3．（2017·江苏中考模拟）如果是二元一次方程，那么、的值分别是( )4210a ba b xy -+--=a b A ．3、1 B ．3、2 C ．2、1 D ．2、-1【答案】B【解析】试题解析：依题意，得，1{41a b a b -+-＝＝解这个方程组得a=3，b=2．故选B.考查题型二 二元一次方程（组）解得应用方法1．（2017·湖北中考模拟）方程组的解是，则m 的值是（ ）10{6mx y x y +=+=42x y =⎧⎨=⎩A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C 【解析】将x=4，y=2代入方程组得：4m+2=10，解得：m=2.故选C2．（2019·辽宁中考真题）关于x ，y 的二元一次方程组的解是，则的值为（2mx y n x ny m +=⎧⎨-=⎩02x y =⎧⎨=⎩m n +）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】D 【详解】解：把代入得：，解得：，∴，02x y =⎧⎨=⎩222n n m =⎧⎨-=⎩22m n =-⎧⎨=⎩0m n +=故选：D ．3．（2012·山东中考真题）关于x 、y 的方程组的解是，则的值是（ ）3{x y mx my n -=+=11x y =⎧⎨=⎩m n -A ．5B ．3C ．2D ．1【答案】D 【详解】解：∵方程组的解是，3x y m x my n -=+=11x y ==∴311m m n -=⎧⎨+=⎩解得23m n =⎧⎨=⎩所以，|m-n|=|2-3|=1．故选D ．4．（2012·山东中考真题）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（=2{=1x y +=8{=1mx ny nx my -2m n -）A ．±2B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得。

苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：2,5.x y =⎧⎨=⎩(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m ﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答．【答案与解析】解：∵（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m ﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，∴n ﹣1=1，|m ﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2．【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．举一反三：【二元一次方程组的概念409142 例1（2）】【变式1】已知方程3241252m n xy +--=是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2，14【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程．【答案】1±；11-或类型二、二元一次方程的解2.（2016春•新华区期中）已知是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，求m 的值．【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m 的方程，可求得m 的值．【答案与解析】 解：∵是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，∴2×2﹣6m ×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．【二元一次方程组的概念409142 例2（3）】举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是11x m y m =-⎧⎨=+⎩，求m 的值. 【答案】 解：将11x m y m =-⎧⎨=+⎩代入方程2x-y+m-3=0得2(1)(1)30m m m --++-=，解得3m =. 答：m 的值为3.3.写出二元一次方程204=+y x 的所有正整数解.【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.【答案与解析】解：由原方程得x y 420-=，因为y x 、都是正整数，所以当4321，　，　，　=x 时，481216，　，　，　=y . 所以方程204=+y x 的所有正整数解为：⎩⎨⎧==161y x ， ⎩⎨⎧==122y x ， ⎩⎨⎧==83y x ， ⎩⎨⎧==44y x .【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.举一反三：【变式1】（2015春•孟津县期中）已知是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7的解，求a 的值．【答案】 解：把代入方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7，可得： 2a+3（2a ﹣3）=7，解得：a=2．【变式2】在方程0243=-+y x 中，若y 分别取2、41、0、－1、－4，求相应的x 的值. 【答案】将0243=-+y x 变形得342y x -=. 把已知y 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：类型三、二元一次方程组及解4.甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② 由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩．乙看错了方程②中的b ．得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩．试计算：20112010110a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】把x 、y 的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．【答案与解析】解：把31x y =-⎧⎨=-⎩代入②，得-12+b ＝-2，所以b ＝10． 把54x y =⎧⎨=⎩代入①，得5a+20＝15，所以a ＝-1，所以201120112010201011(1)101(1)01010a b ⎛⎫⎛⎫+-=-+-⨯=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．举一反三：【变式】已知关于,x y 的二元一次方程组41323x ay x by x y +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩的解是 ，求的值a b +． 【答案】解：将13x y =⎧⎨=-⎩代入原方程组得：134332a b -=⎧⎨-+=⎩ ，解得113a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以23a b +=-．。

初一数学二元一次方程组知识总结初一数学二元一次方程组知识总结二元一次方程组的知识点是比较难记的要领，下面的店铺为大家分享的是初一数学知识点总结之二元一次方程组，想要巩固的可以过来看看。

二元一次方程组8.1 二元一次方程组方程中含有两个未知数(x和y)，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组(system of linear equations of two unknowns)。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2 消元将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。

以上就是的店铺为大家带来的初一数学知识点总结之二元一次方程组，希望同学们能够灵活的运用，接下来还有更详细的初中数学知识点尽在哦，希望同学们关注了。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

二元一次方程数学定义
摘要：
一、二元一次方程的定义
二、二元一次方程的基本形式
三、如何解二元一次方程组
四、二元一次方程的实际应用
正文：
二元一次方程，又称双线性方程，是含有两个未知数的一次方程。

它的一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f 均为已知常数，x、y 为未知数。

解二元一次方程组的方法有多种，常见的有代入法、消元法、矩阵法等。

其中，代入法是将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程求解；消元法是通过加减消去一个未知数，从而将二元一次方程转化为一个一元一次方程求解；矩阵法则是将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算性质求解。

二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理、化学、地理等自然科学领域，以及在经济学、社会学等社会科学领域。

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苏科版数学七年级下册《10.1 二元一次方程》说课稿一. 教材分析苏科版数学七年级下册《10.1 二元一次方程》这一节主要介绍了二元一次方程的概念、性质和简单的解法。

教材通过生活实例引入二元一次方程，使学生能够理解和掌握方程的基本概念。

同时，教材还通过例题和练习题，帮助学生掌握解二元一次方程的方法。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数、方程和不等式等基础知识，对代数有一定的理解。

但是，对于二元一次方程这个概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。

另外，学生可能对于解方程的方法还不够熟练，需要通过练习来提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二元一次方程的概念，掌握二元一次方程的解法。

2.过程与方法目标：学生能够通过实例和练习，提高解方程的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学与生活的联系，增强对数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：二元一次方程的概念、性质和解法。

2.教学难点：二元一次方程的解法和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法，通过实例和练习，引导学生理解和掌握二元一次方程的概念和解法。

2.教学手段：使用多媒体课件，展示实例和练习题，帮助学生直观地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.引入：通过一个生活实例，引导学生理解和掌握二元一次方程的概念。

2.讲解：讲解二元一次方程的性质和解法，通过例题和练习题，帮助学生理解和掌握解法。

3.练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4.应用：通过一个应用题，让学生将所学知识运用到实际问题中。

七. 说板书设计板书设计包括二元一次方程的定义、性质和解法。

通过板书，使学生能够清晰地理解和掌握知识。

八. 说教学评价教学评价主要包括学生的课堂表现、练习题和应用题的完成情况。

通过评价，了解学生对知识的掌握程度，及时调整教学方法和手段。

九. 说教学反思在教学过程中，教师需要不断反思自己的教学方法和手段，以确保学生能够更好地理解和掌握知识。

初一数学二元一次方程组的解法人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：二元一次方程组的解法二､教学重点：（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念 （2）掌握二元一次方程组的解法三､知识点扫描：（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的方程。

（2）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。

（3）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

（4）代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.简称代入法。

（5）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

四､中考考点分析：本节中考命题的重点是二元一次方程（组）的有关概念及二元一次方程（组）的解法，考查方法有直接用代入法或加减法解二元一次方程组，分值不高，且以填空､选择､简单解答题的形式出现。

【典型例题】例一､已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-)2(3n m 2)1(4n 2m ，则m+n 的值是（ ）。

A ､1B ､0C ､－2D ､－1解法一：由（1）得m=4+2n 代入（2）中得2（4+2n ）－n=3解得n=－35m=32∴m+n=－1 解法二：用（2）－（1）得m+n=－1例二､［2008中考试题］若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30b 5a 313b 3a 2的解是⎩⎨⎧==2.1b 5.8a 则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1y (5)2x (313)1y (3)2x (2的解是（ ） A 、⎩⎨⎧==2.1y 5.8x B 、⎩⎨⎧==2.2y 5.10x C 、⎩⎨⎧==2.2y 5.6x D 、⎩⎨⎧==2.0y 5.10x解：例三、若方程组⎩⎨⎧=-=-16by ax 332y x 5与⎩⎨⎧=-=-22by 2ax 519y 2x 有相同的解，求a ､b 的值。

《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩ 273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）A . 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩ B . 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩ C . 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩ D . 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C .【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C. 【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零），（1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c a b c ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a ab ≠，方程组有唯一解． 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（3）】 【变式1】若关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m = ．【答案】1．【变式2】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14．类型二、二元一次方程组的解法2. (黄冈调考)解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x -y )，因此可以把(x -y )看作一个整体，消去(x -y )可得到一个关于y 的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x -y )+9y ＝45 ③ ②×4得：6(x -y )-10y ＝-12 ④ ③-④得：19y ＝57， 解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组16105610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩【答案】 解：设6x y m +=，10x yn -=． 则原方程组可化为15m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=-⎩．所以36210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 即1820x y x y +=⎧⎨-=-⎩．∴ 119x y =-⎧⎨=⎩．3.（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【思路点拨】把代入方程组第一个方程求出c 的值，将x 与y 的两对值代入第二个方程求出a 与b 的值，即可求出a+b+c 的值．【答案与解析】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知二元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+175194y x y x 的解为a x =，b y =，则=-b a .【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x ，宽为y ，就可以列出一个关于x 、y 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：设每块地砖的长为xc m 与宽为ycm ，根据题意得：6023x y x x y +=⎧⎨=+⎩，解得：4515x y =⎧⎨=⎩ 答：每块地砖长为45cm ，宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.举一反三：【变式】如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.【答案】解：设每个小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得：422(2)37x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩所以阴影部分的面积为：22(73)922(79)910382y xy +-=+-⨯⨯=. 答：图中阴影部分的面积为82.5.（龙岩）已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案与解析】【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数． 举一反三：【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。