成都2012七年级测试(三角形、变量之间的关系、轴对称)

成都七中育才学校2012—2013学年度七年级（下）数学期末测试题命题人：焦锐、程艳 审题人：陈英注意事项：1．本试卷分为A 、B 两卷。

A 卷满分100分，B 卷满分50分，全卷总分150分。

考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用钢笔或黑色中性笔将试卷密封线内的题目填写清楚；答题时用钢笔或黑色中性笔直接将答案写在答题卷的相应位置上。

A 卷（共100分） 一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内． 1.21-=（ ）A ．2-B ．2C ．21-D ．212.在下列线段中，能组成三角形的是（ ）A ．2、7、9B ．2、3、5C ．3.4、2.7、6D ．3、4、7 3.下面四个图形中关于∠1与∠2位置关系表述错误的是．．．．（ ）。

A.互为对顶角B.互为邻补角C.互为内错角D.互为同位角 4.下列运算正确的是（ ）A ．428x x x =÷ B. 4332842b a ab b a =⋅ C ．2045)(x x -=- D.222)(b a b a +=+ 5.已知甲种植物的花粉的直径约为5109-⨯米，乙种花粉的直径为甲种的3倍，则乙种花粉的直径用科学记数法表示为（ ）米A.51027-⨯B. 41027-⨯C. 5107.2-⨯D. 4107.2-⨯6.在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠A=∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要从下列条件中补选一个，其中错误的是．．．．（ ） A.∠B=∠E B.∠C=∠F C.BC=EF D.AC=DF7.下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个.① 角； ② 线段； ③ 等腰三角形； ④ 等边三角形； ⑤ 三角形 .A.2个；B.3个；C. 4个 ；D.5个. 8.如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点O ，则∠C 与∠BOD 的关系是（ ）9.如图，可以判定AD//BC 的是( )A ． 相等B ． 互余C ． 互补D ． 不互余、不互补、也不相等A ．21∠=∠B ．43∠=∠C ．︒=∠+∠180ABC DABD ．︒=∠+∠180BCD ABC10.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AC=AE B.CD=DE C.CD=DB D.AB=AC+CD二、填空题（每小题4分，共20分）11.口袋里有红、黄两种颜色、大小、外型均相同的球，其中有红球4个，黄球8个，任意摸出一个黄球的概率是 .12.已知2322=+b a ，a ＋b ＝7，则ab ＝__________．13.成都与重庆两地相距400千米，若汽车以平均80千米/小时的速度从成都开往重庆，则汽车距重庆的路程．．．．．．y (千米)与行驶的时间x (小时)之间的关系式为 . 14.若9)1(2+++x k x 是一个完全平方式，则k ＝ ． 15.如图，点D 、E 为△ABC 边BC 、AC 上的两点，将△ABC 沿线段DE 折叠，点C 落在BD 上的C ′处，若∠C=30°，则∠AEC ′= .三、解答下列各题16.计算题 (1)速算下列各题(直接写答案，每空2分，共12分） ① 2)3(--a = ； ② =÷-x x y x )6(2； ③=÷a a 22 ； ④323)()(a a -⋅-= ； ⑤=---))((y x y x ； ⑥(-0.25)11·412= ； (2)计算下列各题：（每小题3分，共9分）①()19920192102⨯+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ②)2(2)3)(1(+--+a a a③若2781931=÷⨯+a a ，求a 的值.17.作图题（利用尺规作，保留作图痕迹，不写作法） （每小题3分，共6分）⑴图1中，在CD 上作一点P 使其到A,B 两点的距离相等。

成都市二0一二年高中阶段教育学校统一招生考试试卷(含成都市初三毕业会考)数 学A 卷(共100分)第1卷(选择题．共30分)一、选择题(本大题共l0个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．（2012成都）3-的绝对值是（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 考点：绝对值。

解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选A ．2．（2012成都）函数12y x =- 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ． 2x < C ．2x ≠ D ． 2x ≠- 考点：函数自变量的取值范围。

解答：解：根据题意得，x ﹣2≠0，解得x ≠2．故选C ．3．（2012成都）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：简单组合体的三视图。

解答：解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，故选：D ．4．（2012成都）下列计算正确的是（ ）A ．223a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．33a a ÷=D ．33()a a -= 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

解答：解：A 、a+2a=3a ，故本选项错误；B 、a 2a 3=a 2+3=a 5，故本选项正确；C 、a 3÷a=a 3﹣1=a 2，故本选项错误；D 、（﹣a ）3=﹣a 3，故本选项错误．故选B5．（2012成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（ ）A ． 59.310⨯ 万元B ． 69.310⨯万元C ．49310⨯万元D ． 60.9310⨯万元考点：科学记数法—表示较大的数。

解答：解：930 000=9.3×105．故选A ．6．（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(3-，5)关于y 轴的对称点的坐标为（ ）A ．( 3-，5-)B ．(3，5)C ．(3．5-)D ．(5，3-)考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标。

1. 已知AB ∥CD ，现将一个含30°角的直角三角尺EFG 七年级数学专项习题——变量之间的关系（附参考答案）按如图方式放置，其中顶点F 、G 分别落在直线AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，若∠EHB =50°，则∠AFG 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°2. 如图，已知AB ∥DF ，DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，若∠DEA =46°，∠ACD =56°，则∠CDF 的度数为（ ）A ．22°B ．33°C ．44°D ．55°3. 如图，将长方形ABCD 沿EF 翻折，再沿ED 翻折，若∠FEA ″=105°，则∠CFE = 度．4. 已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1=40°，则∠2的度数为 ．5. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC= 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．6. 已知：如图△ABC中，AC⊥BC，点D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于G，∠1=∠2.求证：EF∥CD.(请在下面空白处写出完整证明过程)∴∠AHG =∠EHB =50°，∵AB ∥CD ，∴∠EGD =∠AHG =50°，∵∠FGE =60°，∴∠FGD =∠FGE +∠EGD =60°+50°=110°，∵AB ∥CD ，∴∠AFG =∠FGD =110°1.解：∵GE 交AB 于点H 参考答案，．故选：B ．2.解：过点C 作CN ∥AB ，过点E 作EM ∥AB ，∵FD ∥AB ，CN ∥AB ，EM ∥AB ，∴AB ∥CN ∥EM ∥FD∴∠BAC =∠NCA ，∠NCD =∠FDC ，∠FDE =∠DEM ，∠MEA =∠EAB ． ∴∠DEA =∠FDE +∠EAB ，∠ACD =∠BAC +∠FDC ．又∵DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，∴∠FDC =2∠FDE =2∠EDC ，∠BAE =2∠BAC =2∠EAC ， ∴56°=∠BAC +2∠FDE ①，46°=∠FDE +2∠BAC ②．①+②，得3（∠BAC +∠FDE ）=102°，∴∠BAC +∠FDE =34°③．①-③，得∠FDE =22°．∴∠CDF =2∠FDE =44°．故选：C ．3.解：由四边形ABFE 沿EF 折叠得四边形A ′B ′FE ，∴∠A ′EF =∠AEF ．∵∠A ′EF =∠A ′ED +∠DEF ，∠AEF =180°-∠DEF ．∴∠A ′ED +∠DEF =180°-∠DEF ．由四边形A ′B ′ME 沿AD 折叠得四边形A ″B ″ME ，∴∠A ′ED =∠A ″ED ．∵∠A ″ED =∠A ″EF +∠DEF =105°+∠DEF ，∴∠A ′ED =105°+∠DEF ．∴105°+∠DEF +∠DEF =180°-∠DEF ．∴∠DEF =25°．∵AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB =25°．∴∠CFE =180°-∠EFB =180°-25°=155°．故答案为：155．4. 解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB ∥DE ，∴∠1=∠3， 又∵DC ∥EF ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，又∵∠1=40°，∴∠②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1=∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3=180°，∴∠2+∠1=180°，又∵∠1=40°，∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．5.6. 证明:,,( 已知 ),( 垂直的定义 ),( 同位角相等,两直线平行)两直线平行,内错角相等),( 已知 ),( 等量代换 )同位角相等,两直线平行)。

1.1.简单的轴对称图形一、判断题1.角的平分线是角的对称轴.（）2.等腰直角三角形不是轴对称图形.（）3.等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴.（）4.射线是轴对称图形.（）5.线段的垂直平分线是线段的一条对称轴.（）二、填空题1.角的平分线上的点到这个角的两边的_________相等.2.线段_________（填是或不是）轴对称图形，它的一条对称轴垂直并_________它，这样的直线叫做这条线段的_________，简称_________.3.线段垂直平分线上的点到这条线段_________的距离_________.4.线段有_________条对称轴.5.角有_________条对称轴. 其对称轴是_______________．三、选择题1.下列图形不一定是轴对称图形的是（）A.等边三角形B.长方形C.等腰三角形D.直角三角形2.等腰三角形的对称轴是（）A.顶角的平分线B.底边上的高C.底边上的中线D.底边的垂直平分线所在直线3.下面选项对于等边三角形不成立的是（）A.三边相等B.三角相等C.是等腰三角形D.有一条对称轴4.等边三角形对称轴的条数是（）A.1条B.2条C.3条D.4条1.2 简单的轴对称图形（一、二课时）1. 如下图，l1，l2交于A，P，Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等．Al12PQ2. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则线段AE与AC是否相等，为什么?AB3. 在△PMN中，PM=PN，AB是线段PM的对称轴，分别交PM于A，PN于B，若△PMN的周长为60厘米，△BMN的周为36厘米，则MA的长为（）A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米4. 在线段、角、等腰三角形、正三角形中，是轴对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5. 下列图形是轴对称图形的是（）A．任意三角形B．有一个角等于60°的三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形6. 圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，所以它有________条对称轴．7. 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5，△ABC周长是30，则△ABD周长是______．8. 如图，两条公路相交，在A，B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点．9．△ABC中，AB、BC的中垂线交于M点，则下列结论正确的是（）A．点M在AC上 B．点M在△ABC外 C．点M在△ABC内 D．AM=BM=CM10. 到三角形三边距离相等的是（）A．三条边中线的交点 B．三个内角平分线的交点C．三条边垂直平分线的交点 D．三条边上高所在直线上的交点11. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A．一处 B．两处 C．三处 D．四处12. 在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB．已知△BCE的周长为8，且AC-BC=2，求AB、BC的长．l1l3 l2C B13. 下列说法中正确的是（ ）A ．角是轴对称图形，它的平分线就是对称轴B ．等腰三角形内角平分线，中线和高三线合一C ．直角三角形不是轴对称图形D ．等边三角形有三条对称轴 14. 到三角形三个顶点距离相等的点是( )．A ．三角形三条角平分线的交点B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三边中垂线的交点D ．三角形三条高的交点15. 在△ABC 中，AB =AC ，BC=5cm ，作AB 的中垂线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则腰长为（ ） A ．12cmB ．6cmC ．7cmD ．5cm16. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A ．线段 B ．角 C ．三角形 D ．等腰直角三角形 17. 在△ABC 中， ∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =5.6厘米，BC =13.8厘米，则BD =________厘米．18. 下列图形：①角；②线段；③等边三角形；④有一个角为30°的直角三角形，其中是轴对称图形的有（填序号）_____________．19. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，请你在图中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等．如果ED ＝2cm ，DB ＝3cm ，则AC 长为多少？1.2 简单的轴对称图形（三、四课时）1、下列说法中正确的是（ ）（A ）角是轴对称图形，它的平分线就是对称轴 （B ）等腰三角形的内角的平分线,中线和高三线合一（C ）直角三角形不是轴对称图形（D ）等边三角形有三条对称轴 2、等腰三角形的一个内角是50°，那么其它两个内角分别是（ ）A CB E D A D EC B O PQ M ND B AE C P QM N FAD C BE A Q CP B （A ）50°和80° （B ）65°和65° （C ）50°和80°或65°和65° （D ）无法确定3、等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( ). (A)42° (B)60° (C)36° (D)46°4、如右图，∠ABC 中,AD ⊥BC,AB=AC, ∠BAD=30°,且AD=AE,则∠EDC 等于( ).(A)10° (B)12.5° (C)15° (D)20°5、如右图,PM=PN,MQ 为△PMN 的角平分线,若∠MQN=72°,则∠P 的度数是( ).(A)18° (B)36° (C)48° (D)60° 6、已知△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于D,△ABC 的周长为36厘米,△ADC 的周长为30厘米,那么AD 等于( ). (A)6cm (B)8cm (C)12cm (D)20cm7、如右图,PQ 为Rt △MPN 斜边上的高, ∠M=45°,则图中等腰三角形的个数是(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8、在线段、角、等腰三角形、正三角形中，是轴对称图形有（ ）个（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个9、如右图,在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线,则图中等腰三角形的个数为( ).(A)12 (B)10 (C)9 (D)810、如果三角形一边的中线和这边上的高重合,那么这个三角形是( ).(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 11、在△ABC 中, ∠B=∠C=40°,D 、E 是BC 上的两点,且∠ADE=∠AED=80°,则图中共有( )个等腰三角形.(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个12、在△ABC 中, ∠ABC=∠ACB,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D,过D 作EF ∥BC,交AB 于E,交AC 于F,则图中的等腰三角形有____个,分别有______.（第9题） （第10题） （第12题） （第13题）13、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么△BCD 的周长是_______cm.14、已知:如下图,P,Q 是△ABC 边上BC 上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC 的度数.。

一、选择题1．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列命题中，假命题是（ ）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形4．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒ D ．()201803y x x =<<︒5．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒6．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 7．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒8．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．39．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ）A ．ABC ∠=∠=∠B ．,60AB AC B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠10．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 11．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列图案是轴对称图形的是有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③二、填空题13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．14．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．16．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）17．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．18．如图，在22⨯的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC 为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC 成轴对称．19．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．三、解答题21．如图，以△ABC 的两边AB 和AC 为腰在△ABC 外部作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°．（1）连接BE 、CD 交于点F ，如图①，求证：BE ＝CD ，BE ⊥CD ；（2）连接DE ，AM ⊥BC 于点M ，直线AM 交DE 于点N ，如图②，求证：DN ＝EN ．22．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．23．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．24．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．25．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．26．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；【详解】如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD=BD ，在△ACD 与△GBD 中，CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACD GBDSAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，∵BE=AC ，∴BE=BG ，∴G BEG ∠=∠，∵BEG AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴EF=AF ，∴AF CF BF AF +=-，即69AF AF +=-，∴3AF ；2故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，②正确；∴BD=2CD，③正确；根据已知不能推出CD=DE，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3．C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．解析：D【分析】先求出点C坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C坐标，同理可以求出第二次变换后点C坐标，以此类推可求出第n次变化后点C坐标．【详解】∵△ABC是等边三角形AB=3-1=2∴点C到x轴的距离为1+⨯=+2212∴C(2，1+由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1--第n次变换后点C的坐标变为(2-n，1)(n为奇数)或(2-n，1+为偶数)，∴连续经过2021次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为(-2019，1-，故选：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．7．B解析：B【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数，即可得到答案．【详解】当∠A是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B是顶角时，则∠A是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C是顶角时，则∠A和∠B都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B不可能是60°．故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．8．B解析：B【分析】由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．9．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 11．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG ＝∠BAP ，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN ，PM=PO ，则PN =PO ，即可证明结论．【详解】解：∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，∴∠CAB ＝2∠PAB ，∠CBE ＝2∠PBE ，∵∠CBE ＝∠CAB ＋∠ACB ，∠PBE ＝∠PAB ＋∠APB ，即∠CBE ＝∠CAB ＋2∠APB ，∴∠ACB ＝2∠APB ．故①正确；∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE ，∴BP 垂直平分CE （三线合一）．故②正确；∵AP 平分∠BAC ，∴∠CAP ＝∠BAP ，∵PG ∥AD ，∴∠APG ＝∠CAP ，∴∠APG ＝∠BAP ，∴PG ＝AG ．故③正确；如图，过点P 作PM ⊥AE 于点M ，PN ⊥AD 于点N ，PO ⊥BC 于点O ，∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，∴PM=PN ，PM=PO ，∴PN =PO ，∴CP 平分∠DCB ．故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．二、填空题13．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87 ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO=OB=OC，∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠A+∠C=∠ABC，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm的边为底边时腰长=（cm）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答． 16．②③【分析】根据轴对称图形的概念求解【详解】解：有2个使之成为轴对称图形分别为：②③故答案是：②③【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念正确把握轴对称图形的概念是解题关键解析：②③．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③．故答案是：②③．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键．17．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的 解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒，∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠， 即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．18．5【分析】画出所有与成轴对称的三角形【详解】解：如图所示：和对称和对称和对称和对称和对称故答案是：5【点睛】本题考查轴对称图形解题的关键是掌握画轴对称图形的方法解析：5【分析】画出所有与ABC 成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：ABC 和ADC 对称，ABC 和EBD △对称，ABC 和DEF 对称，ABC和DCB对称，ABC和CDA对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．19．7【分析】根据已知条件BFCF分别平分∠ABC∠ACB的外角且DE∥BC可得∠DBF=∠DFB∠ECF=∠EFC根据等角对等边得出DF=BDCE=EF根据BD-CE=DE即可求得【详解】解：∵BFC解析：7【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴BD-CE=FD-EF=DE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm，∴EC=5cm，∴AC=AE+EC=2+5=7cm，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．20．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P解析：21022+【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．【详解】AC=222222+=，如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC22+=26210所以△PAC周长的最小值为21022故答案为：21022．【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）只要证明△ABE ≌△ADC 即可解决问题；（2）延长AN 到G ，使AG=BC ，连接GE ，先证AEG CAB △≌△，再证GE ADN N △≌△即可解决问题．【详解】（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，即∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE=DC ，∠ABE=∠ADC ，又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，∴∠ABE+∠DOF=90°∴∠ADC+∠DOF=90，即BE ⊥DC ．（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，AM BC ⊥，AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，90NAE MAC ∠+∠=︒，ACM=NAE ∴∠∠，同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，∴()AEG CAB SAS △≌△，GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，DAN G ∴∠=∠，又NA=GNE D ∠∠，∴GE ADN N △≌△，DN=EN ∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．22．（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P 作OA 、OB 的垂线PM 、PN 如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ．理由：左图中，在四边形PMON 中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN ，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）， 如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．25．（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C【分析】（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．【详解】（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ADE=∠C ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE ，∴AD=DE ，∴ADE ∆是等腰三角形；（2）∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，∵ADE C ∠=∠，∴∠C=CDE ∠，∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．26．（1）图见解析，3；（2）ABC 与A B C '''关于x 轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC ，利用割补法求面积；（2）根据点A、B、C纵坐标都乘以1-，得到对应的点A'，B'，C'的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC即为所求，111451245(15)23222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C-，∴A'（0，-1），B'（2,0），C'（4,4），∴ABC与A B C'''关于x轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．。

成都七中数学全等三角形（提升篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).3．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=3BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =2233142312⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．4．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．5．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．6．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，若∠F ＝30°，DE ＝1，则EF 的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE ，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE ＝∠F ，进一步说明BE ＝EF ，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，∴AE ＝BE ，∠A +∠AED ＝90°，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠F +∠CEF ＝90°，∵∠AED ＝∠FEC ，∴∠A ＝∠F ＝30°，∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∠ABC ＝90°﹣∠A ＝60°，∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，∴∠CBE ＝∠F ，∴BE ＝EF ，在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，∴EF ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.8．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.【详解】解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，∵点E 是线段AB 的中点，∴AE=BE,∴在BDE ∆和AGE ∆中，BE AE BED AEGDE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴BDE AGE ∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE ∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE ∠=∠∵AFG DFC ∠=∠,∴BDE DFC ∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD 、AB 上任意取E 1、F 1两点根据对称性：∴CE=C 1E ，CE 1=C 1E 1，CF=C 2F ，CF 1=C 2F 1∴△CEF 的周长= CE ＋EF ＋CF= C 1E ＋EF ＋C 2F= C 1C 2而△CE 1F 1的周长= CE 1＋E 1F 1＋CF 1= C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1根据两点之间线段最短，故C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1＞C 1C 2∴△CEF 的周长的最小为：C 1C 2.∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A －∠ADC －∠ABC=120°∴∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C 1C 2=∠E CD ，∠C C 2C 1=∠F CB∴∠E CD ＋∠F CB=∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=60°∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DAC AE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．12．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE为等腰三角形；②△BDF≌△ADN；③NF所在的直线垂直平分AB；④DM平分∠BMN；⑤AE＝EN＝NC；⑥AE BNEC BC=．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，AM ⊥BE ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中,∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，∴△FBD≌△NAD，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB和△CNA中，∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==，由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，∴2 AE ENEC EC==,所以AE BNEC BC=，所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．13．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．362B．332C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=3， CH=3OH=32, ∴CD=2CH=3．故选D ．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．14．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ．则下列结论中错误的是( )A ．AD ＝BEB ．BE ⊥AC C ．△CFG 为等边三角形D ．FG ∥BC 【答案】B【解析】试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE∴=，正确.B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE≌，CBE CAD∴∠=∠，在ACG和BCF中，{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠，ACG BCF∴≌，CG CH∴=，又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形，正确.D.CFG是等边三角形，60CFG ACB∴∠︒=∠﹦，.FG BC∴正确.故选B.15．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．【详解】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．16．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.17．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A 关于直线BC 和直线CD 的对称点G 和H ，连接GH ，交BC 、CD 于点E 、F ，连接AE 、AF ，则此时△AEF 的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G ，∠3=∠H ，△AGH 的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D ．考点：轴对称的应用；路径最短问题．18．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）A ．52B ．125C ．4D ．53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,∴125CE =， ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.19．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD 等于（ ）A ．108°B ．114°C ．126°D ．129°【答案】C【解析】【分析】 按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC 和∠DOC 的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD 的度数．【详解】解:展开如图,五角星的每个角的度数是,1805=36°. ∵∠COD =360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,∴∠OCD =180°-36°-18°=126°,故选C ．【点睛】本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．20．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+934．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A【解析】试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×423故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=123293，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A．。

一、选择题。

2 分，共24 分）（每题1、以下图形中，是轴对称图形的有（）个。

①角；②线段；③等腰三角形；④扇形；⑤三角形；⑥正方形；⑦平行四边形；⑧圆；⑨五边形。

A.5 个；B.6个；C. 7个；D.8个。

2、将一张长方形纸片折一次，折痕均分这个长方形的面积，到这样的折纸方法有（）A、1种 B 、2 种 C 、 4 种 D 、无数种3、国旗是一个国家的象征，察看下边的国旗，是轴对称图形的是（）A. 加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭B.加拿大、瑞典、澳大利亚C. 加拿大、瑞典、瑞士D.乌拉圭、瑞典、瑞士加拿大哥斯达黎加澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士4、以下图案是几种名车的标记，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（）雪佛兰三菱雪铁龙丰田A.4个；B. 5 个；C. 6 个；D. 7 个。

5、小明照镜子的时候，发现T 恤上的英文单词在镜子中体现“＿＿＿＿”的样子，（A）（ B）（C）（D）6、小明一出校门先加快行驶，而后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，而最后停下，下边哪一副图能够近似地刻画出以上状况：( )A B C D速度速度速度速度时间时间时间时间7、某人骑车出门，所行的行程（千米）与时间（小时）的关系以下图，现有以下四种说法：①3 小时后第 3 小时的速度比第 1 小时中的速度快；②第 3 小时的速度比第 1 小时中的速度慢；③第已停止行进；④第 3 小时后保持匀速行进。

此中说法正确的选项是（）（ A）②、③(B)①、③(C)①、④(D)②、④8、如上图，AD BC 于D， BE AC 于E， CF AB 于F， GA AC 于A，则ABC 中，AC边上的高为（）A、ADB、GAC、BED、CFS乙9、如图，射线甲、乙分别表示甲、乙两车所走行程甲与时间的关系图，则两车速度关系是：( )A 、甲比乙快；B、乙比甲快；C、甲乙同速；D、不可以判断。

t10、如图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，那么最省事的方法是（）（A）带①去（ B）带②去（C）带③去（ D）带①和②去11、小颖从家到学校是1000 米，她以不变的速度从家出发20 分钟到书店看了10 分钟的书，接着她加快步伐匀速行走，用10 分钟到了学校，以下图象中表示小颖从家到学校的时间（分）与行程（米）之间的关系是（）米米米米100010001000100002040分02040分02040分02040分（A）（B）（C）（D）12、甲乙两同学商定游戏规则 : 甲先骑自行车到终点后跑步回起点，而乙则跑步到终点后骑自行车回起点，两人同时出发，最后两人同时回到起点。

成都七中中考数学规律问题图形变化类专题(1)一、规律问题图形变化类1．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n 个图形中有（ ）个三角形（用含n 的代数式表示）．A ．4nB ．41n +C ．41n -D ．43n - 2．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．251 3．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是（ ）A ．21nB ．21n -C ．()211n +-D ．52n - 4．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（ ）A ．40B ．38C ．36D ．345．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（ ）A ．()23n -个交点B ．()36n -个交点C ．()410n -个交点D ．()112n n -个交点 6．下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个这样的图案黑色棋子的个数是（ ）A ．148B ．152C ．174D ．202 7．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）A ．360B ．363C ．365D ．3698．如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A．2，20202B．4，20212C．22，20202D．2，201929．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y4x=（x>0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．210B．6 C．42D．2710．携带着2公斤珍贵月壤的嫦娥五号返回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（）A．45条B．21条C．42条D．38条11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3…的次序铺设地砖，把第n个图形用图n 表示，那么图2021中的白色小正方形地砖的块数比黑色小正方形地砖的块数多（）A．8089 B．8084 C．6063 D．1414712．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（）A．192 B．243 C．256 D．76813．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．448 B．452 C．544 D．60214．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A ．(12)2017B ．(12)2018C ．(33)2019D ．(33)2020 15．把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（ ）A ．42B ．54C ．55D ．5616．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）A ．57B ．66C ．67D ．7517．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（ ）A ．180B ．204C ．285D ．38518．如图，在平面直角坐标系中，点1234,,,,A A A A 在x 轴正半轴上，点123,,,B B B 在直线3(0)3y x x =≥上，若1(1,0)A ，且112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为（ ）A ．202123B ．202023C ．201923D ．201823 19．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）A ．2018(3)倍B ．2019(3)倍C ．2020(3)倍D ．2021(3)倍 20．如图，由等圆组成的一组图中，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由11个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图由（ ）个圆组成A ．71B ．72C ．73D ．7421．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）A ．振B ．兴C ．中D ．华22．如图1，已知 AB=AC ，D 为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD 、 CD ；如图2，已知 AB= AC ，D 、E 为∠BAC 的平分线上两点，连接 BD 、CD 、BE 、CE ；如图3，已知 AB=AC ，D 、E 、F 为∠BAC 的平分线上三点，连接BD 、CD 、BE 、CE 、 BF 、CF ；…，依次规律，第 n 个图形中全等三角形的对数是（ ）A ．nB ．2n-1C ．()12n n +D ．3（n+1） 23．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．2020B ．2018C ．2016D ．201424．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（ ）枚棋子A ．20B ．19C ．18D ．1725．如图，点Q 在线段AP 上，其中10PQ =，第一次分别取线段AP 和AQ 的中点1P ，1Q 得到线段11PQ ；再分别取线段1AP 和1AQ 的中点2P ，2Q 得到线段22P Q ；第三次分别取线段2AP 和2AQ 的中点3P ，3Q 得到线段33PQ ；连续这样操作11次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和1122331111PQ P Q PQ P Q ++++=（ ）A ．1010102-B ．1110102-C ．1010102+D ．1110102+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类1．D【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数．【详解】解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个，第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个，第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个，……∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个；故选：D ．【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．2．C【分析】设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数．【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249 故选：C【点睛】 本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算．3．C【分析】前3个图形中小正方形的个数分别是22－1，32－1，42－1，从而可得答案．【详解】解：第1个图形中小正方形的个数是3=22－1，第2个图形中小正方形的个数是8=32－1，第3个图形中小正方形的个数是15=42－1，……；所以第n 个图形中小正方形的个数是()211n +-．故选：C ．【点睛】本题考查了图形的规律探求，属于常考题型，由前几个图形中小正方形的个数找到规律是解题的关键．4．B【分析】由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可．【详解】解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．5．D【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n - 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n - 故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点． 6．A【分析】 观察各图可知，第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第⑨个图案需要的个数只需将n=9代入即可．【详解】解：由图知第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；…第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个）∴第⑨个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)×2+2×8=148（个）故选A ．【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 7．C【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可.【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块， 第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块，…第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12 [（2n ﹣1）2＋1]， 当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365. 故选：C.【点睛】 此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键.8．A【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可．【详解】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系”，∴根据题意可得：111OA A B =∴212OB OA == ∴22222OA A B ===， ，∴总结出n n OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S ==，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n n n n n OA B S-=⨯⨯=， ∴2021202120202OA B S =，故选：A ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．9．A【分析】先利用等腰直角三角形的性质、反比例函数的解析式分别求出1234,,,y y y y 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】如图，分别过点123,,,C C C 作x 轴的垂线，垂足分别为123,,,D D D ，11OA B 是等腰直角三角形，1145A B O ∴∠=︒，11OC D ∴是等腰直角三角形，同理：122233,,AC D A C D 都是等腰直角三角形，11x y ∴=，点111(,)C x y 在反比例函数()40y x x =>的图象上， 114x y ∴=，将11x y =代入114x y =得：214y =，解得12y =或120y =-<（不符题意，舍去），112x y ∴==，点111(,)C x y 是1OB 的中点，111(2,2)B x y ∴，1124OA x =∴=，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +，将点2(4,4)C a +代入()40y x x=>得：(4)4a a +=， 解得222a =-或2220a =--<（不符题意，舍去），2222y a ∴==-，同理可得：32322y =-，42423y =-，归纳类推得：221n y n n =--，其中n 为正整数，则1210y y y +++()()()2222232221029=+-+-++- 210=，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，正确归纳出一般规律是解题关键．10．A【分析】设n 个星球之间的路径有a n 条（n 为正整数，且n≥2），观察图形，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，可得出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”，再代入n=10即可求出结论．【详解】解：设n个星球之间的路径有a n条（n为正整数，且n≥2）．观察图形，可知：a2=12×2×1=1，a3=12×3×2=3，a4=12×4×3=6，…，∴a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2），∴a10=12×10×9=45．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，找出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”是解题的关键．11．A【分析】由图形可知图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，黑色小正方形有3n块，由此得出白色小正方形比黑色小正方形多4n+5块，依此代入数据计算即可．【详解】解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，3块黑色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，6块黑色小正方形，第3个图形26个白色小正方形，9块黑色小正方形，则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，黑色小正方形有3n块∴白色小正方形比黑色小正方形多（7n+5）-3n=4n+5块当n=2021时，4n+5=4×2021+5=8089．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12．D【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数．【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41＝12；操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42＝48；操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43＝192；所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44＝768；故选：D ．【点睛】本题主要考查了规律题型图形变化类，准确判断计算是解题的关键．13．C【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可．【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；…第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个）∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个）故选C ．【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．14．C【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=12，则B 2C 2=22cos30B E ︒1=⎝⎭，同理可得：B 3C 3=213=⎝⎭，故正方形A n B n C n D n 的边长是：1n -⎝⎭，2019则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是：⎝⎭故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键．15．C【分析】根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解【详解】解：第①个图案中有0+12=1个圆形，第②个图案中有1+22=5个圆形，第③个图案有2+32=11个圆形，第④个图案有3+42=19个圆形，第n个图案有（n-1）+n2个圆形，∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．16．D【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．【详解】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．∴当n=8时，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×8+3=75，故选D．【点睛】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．17．C【分析】从特殊情况开始，先算出前几幅图中正方形的个数，找出其中的规律，归纳得出一般情况，第n幅图中正方形个数的规律，于是可算出当n=9时的正方形的个数．【详解】第１幅图中有１个正方形；第2幅图中有1+4=12+22=5个正方形；第3幅图中有1+4+9=11+22+32=14个正方形；第4幅图中有1+4+9+16=12+22+32+42=30个正方形；…第n 幅图中有12+22+32+42+…+n 2个正方形．于是，当n =9时，正方形的个数为：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（个）故选：C【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形间的联系，得出数字间的运算规律，从而问题解决，体现了由特殊到一般的数学思想．18．D【分析】根据题意得出∠A n OB n =30°，从而推出A n B n =OA n ，得到B n B n+1n A n+1，算出B 1A 2=1，B 2A 3=2，B 3A 4=4，找出规律得到B n A n+1=2n-1，从而计算结果．【详解】解：设△B n A n A n+1的边长为a n ，∵点B 1，B 2，B 3，…是直线(0)y x x =≥上的第一象限内的点， 过点A 1作x轴的垂线，交直线(0)3y x x =≥于C ， ∵A 1（1，0），令x=1，则y=3， ∴A 1∴111tan 3AC AOC OA ∠==， ∴∠A n OB n =30°， ∵112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形， ∴∠B n A n A n+1=60°，∴∠OB n A n =30°，∴A n B n =OA n ，∵∠B n A n+1B n+1=60°，∴∠A n+1B n B n+1=90°，∴B n B n+1n A n+1，∵点A 1的坐标为（1，0），∴A 1B 1=A 1A 2=B 1A 2=1，A 2B 2=OA 2=B 2A 3=2，A 3B 3=OA 3=B 3A 4=4，...，∴A n B n =OA n =B n A n+1=2n-1，∴20192020B B =3B 2019A 2020=201832 ，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键． 19．C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC ，∴△BCD 为等边三角形，∴BD=12AC ， ∴△ABC 是直角三角形又∵BC=12AC ， ∴∠2=30°， ∴33CD ，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的23)倍，，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的2020倍．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．20．A【分析】先观察前几个图形，找到规律，用含有n 的代数式将规律表示出来，然后算第⑧个．【详解】解：可以将整个图形分成三部分看，上面部分整体和中间一行以及下面部分整体， 上部分和下部分都是一样的规律，第n 个图形有1231n ++++-个圆， 所以上部分加上下部分一共有()()123121n n n ++++-⨯=-个圆，中间一行，第n 个图形有21n -个圆，所以第n 个整个图形中有21n n +-个圆，令8n =，解得第⑧个图形中有71个圆．故选：A ．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够用含有n 的代数式将图形的规律表示出来． 21．A【分析】找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．【详解】由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，因为20204505÷=，所以数2020对应的字是“振”，故选：A ．【点睛】本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键．22．C【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．23．C【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各项进行判断即可得解．【详解】解：3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角形数都是3的倍数，4，8，12，16，…称为正方形数∴正方形数都是4的倍数∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数202012=168 (4)÷201812=168 (2)÷201612=168÷201412=167 (10)÷∴既是三角形数又是正方形数的是2016故选C．【点睛】本题考查了数字变化规律，根据题目信息判断出既是三角形数又是正方形数是12的倍数是解题的关键．24．B【详解】试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ，则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1；第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1；第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1；……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子. ∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子.故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）.25．B【分析】根据线段中点定义先求出P 1Q 1的长度，再由P 1Q 1的长度求出P 2Q 2的长度，从而找到P n Q n 的规律，即可求出结果．【详解】解：∵线段PQ=10，线段AP 和AQ 的中点P 1，Q 1， ∴P 1Q 1=AP 1-AQ 1 =12AP-12AQ =12（AP-AQ ） =12PQ =12×10 =5．∵线段AP 1和AQ 1的中点P 2，Q 2；∴P 2Q 2=AP 2-AQ 2 =12AP 1-12AQ 1 =12（AP 1-AQ 1） =12P 1 Q 1 =12×12×10 =212×10 =52．发现规律：P n Q n =12n×10 ∴P 1Q 1+P 2Q 2+…+P 11Q 11 =12×10+212×10+312×10+…+1112×10 =10（12+212+312+…+1112） =10（1111212） =10（1-1112） =10-11102故选：B ．【点睛】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．。

一、选择题1．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中错误的是（ ）A ．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B ．关于某条直线对称的两个图形全等C ．全等的三角形一定关于某条直线对称D ．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称5．下列图形是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 6．如图，若ABC ∆与A B C '''∆关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列说法不一定正确的是 （ ）A ．AC AC ''=B ．BO B O '=C ．AA MN '⊥D ．AB B C ''=7．下面4个汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．9．如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）种．A．6 B．5 C．4 D．310．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′A D′=16°，则∠EAF的度数为（）．A．40°B．45°C．56°D．37°11．如图，点P是直线l外一个定点，点A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．Rt ABC 中，C ∠是直角，O 是两内角平分线的交点，6AC =，8BC =，10BA =，O 到三边的距离是______.14．如图，在△ABC 中，AB=AC=8cm ，BC=5cm ．D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′的位置，点A′在△ABC 的外部，则阴影部分图形的周长为________cm ．15．如图，将∠ACB 沿EF 折叠，点C 落在C ′处．若∠BFE ＝65°．则∠BFC ′的度数为_____．16．已知，在ABC ∆中，6AB =，CD 是边AB 上的高，将ACD ∆沿CD 折叠，点A 落在直线AB 上的点A '，2A B '=，那么BD 的长是______．17．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，沿DE 将ADE ∆翻折，点A 的对应点为点A '，A EC α'∠=，A DB β∠'=，且αβ<，则A ∠等于______(用含α、β的式子表示).18．如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝58°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，使C 与点O 恰好重合，则∠OEB ＝_______19．如图，三角形ABC 的面积为1，将三角形ABC 沿着过AB 的中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，折痕为DE ，若此时点E 是AC 的中点，则图中阴影部分的面积为______________．20．如图，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕将△ABE 向上 翻折，点A 正好落在CD 的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则□ABCD 的周长为 .三、解答题21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD 的四个顶点都在小正方形的格点上（格点就是指网格中小正方形的顶点），点E 在BC 边上，且点E 在小正方形的格点上，连接AE ．（1）在图中画出AEF，使AEF与AEB△关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）求AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．22．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；最小．（2）在DE上画出点Q，使QA QC（3）四边形BCC1B1的面积为．23．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个△AB C．(1)请直接写出△ABC的面积为__________；(2)利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点；(3)若点P是直线MN上的一个动点，则PC＋PA的最小值为_________．24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线l．（1）求作点A关于直线l的对称点1A；△周长的最小值．（2）P为直线l上的点，连接BP、AP，求ABP25．在平面直角坐标系网格中，格点A的位置如图所示：（1）若点B坐标为（2，3），请你画出△AOB；（2）若△AOB与△A′O′B′关于y轴对称，请你画出△A′O′B'；（3）请直接写出线段AB的长度．26．如图，已知ABC．A B C；（1）画ABC关于x轴对称的'''最短．（2）在y轴上画出点D，使AD CD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A【分析】直接根据轴对称图形的概念进行判断即可；【详解】A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，正确掌握知识点是解题的关键；2．C解析：C【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判定即可．【详解】A.是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.不是轴对称图形，故该选项符合题意，D.是轴对称图形，故该选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称图形的辨识，能够准确掌握轴对称图形的定义是解题的关键．4．C解析：C根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】A 、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；B 、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；C 、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；D 、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．5．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A 、B 、D 都不是轴对称图形，C 是轴对称图形，故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴． 6．D解析：D【分析】根据轴对称的性质解答.【详解】∵ABC ∆与A B C '''∆关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，∴AC AC ''=，BO B O '=，AA MN '⊥，AB A B ''=，BC B C ''=，故选：D .【点睛】此题考查了轴对称的性质：关于轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对应点的连线垂直于对称轴.7．D解析：D【分析】根据轴对称图形的概念求解．注意找到对称轴可很快的判断是否是轴对称图形．解：A、是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．D解析：D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．9．A解析：A【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，得出共有6处满足题意.【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，6处，选择的位置共有6处．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，根据定义构建轴对称图形，成为轴对称图形每种可能性都必须考虑到，不能有遗漏.10．D解析：D【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等，对应角相等.【详解】解：由折叠可知∠DAF=∠D′AF，∠B′AE=∠B′AD′，由题意可知：∠DAF+∠D′AF+∠BAE+∠B′AE-∠B′AD′=∠BAD，∵∠B′A D′=16°∴可得：2×（∠B′FA +∠B′A D′）+2×（∠D′AE +∠B′A D′）-16°=90°则∠B′FA+∠D′AE +∠B′A D′=∠EAF=37°故选D.【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．11．C解析：C【分析】根据轴对称的性质得到∠P1AD=∠PAD，∠PAC=∠P1AC，根据平角的定义得到∠DAC=150°，于是得到结论．【详解】如图，∵点P关于直线l的对称点记为P1，点P2与点P关于直线l′对称，∴∠P1AD＝∠PAD，∠PAC＝∠P1AC，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝150°，∴∠DAP1+P2AC＝150°，∠DAP1+∠P2AB＝150°﹣30°＝120°，∴∠P1AP2＝180°﹣120°＝60°，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】鹏、程、万都不是轴对称图形，里是轴对称图形，故选D．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．二、填空题13．2【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF根据三角形面积公式求出R 即可【详解】解：过O作OD⊥AC于DOE⊥BC于EOF⊥AB于F连接OC∵O为∠A∠B的平分线的交点∴OD＝OFOE＝OF∴OD解析：2【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可．【详解】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，∵O为∠A、∠B的平分线的交点，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE＝OF，设OD＝OE＝OF＝R，∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，则12×6×8＝12×6R＋12×8R＋12×10R，解得R＝2，即OD＝OE＝OF＝2，∴点O到三边的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键．14．21【分析】由折叠性质可知△ADE≌△A′DE可得对应边相等然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解【详解】解：∵AB=AC=8∴△ABC是等腰三角形又由解析：21【分析】由折叠性质可知，△ADE≌△A′DE，可得对应边相等，然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解．【详解】解：∵AB=AC=8，∴△ABC是等腰三角形，又由折叠性质可知AD=AD′，AE=AE′，∴阴影部分图形的周长为，BC+BD+AD′+AE′+CE，=BC+BD+AD+CE+AE，=BC+AB+AC，=5+8+8，=21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查轴对称折叠性质，正确理轴对称折叠性质是本题的解题关键．15．50°【分析】设∠BFC′的度数为α则∠EFC＝∠EFC′＝65°+α依据∠EFB+∠EFC ＝180°即可得到α的大小【详解】解：设∠BFC′的度数为α则∠EFC′＝65°+α由折叠可得∠EFC＝∠解析：50°．【分析】设∠BFC′的度数为α，则∠EFC＝∠EFC′＝65°+α，依据∠EFB+∠EFC＝180°，即可得到α的大小．【详解】解：设∠BFC′的度数为α，则∠EFC′＝65°+α，由折叠可得，∠EFC＝∠EFC′＝65°+α，又∵∠BFC＝180°，∴∠EFB+∠EFC＝180°，∴65°+65°+α＝180°，∴α＝50°，∴∠BFC′的度数为50°，故答案为：50°【点睛】本题考查了平角的定义以及折叠的性质，解题时注意：折叠前后的两个图形对应角相等，对应线段相等．16．2或4【分析】根据题意画出图形分点落在线段AB 的延长线上和落在线段AB 上两种情况解答【详解】如图若点落在线段AB 的延长线上∵∴∴∴BD=如图若点落在线段AB 上∵∴∴∴BD=所以BD 的长为2或4故答案解析：2或4【分析】根据题意画出图形，分点A '落在线段AB 的延长线上和落在线段AB 上两种情况解答．【详解】如图，若点A '落在线段AB 的延长线上，∵6AB =，2A B '=∴8A A '=∴4A D AD '==∴BD=2A D A B ''-=如图，若点A '落在线段AB 上，∵6AB =，2A B '=∴4A A '=∴2A D AD '==∴BD=4A B A D ''+=所以BD 的长为2或4.故答案为：2或4【点睛】本题考查的是翻折变换及线段的加减，注意分类讨论是解答本题的关键．17．【分析】根据翻折的性质得利用平角的定义求得①利用三角形外角的性质及三角形内角和定理求得②联立①②即可求得答案【详解】如图根据翻折的性质知∴∠1=∠2∠=∠∵∴①∵是的一个外角∴∠∵即∴②②-①得：故 解析：2βα-【分析】根据翻折的性质得ADE A DE ≅'，利用平角的定义求得21180β∠+=︒①，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理求得212180A α∠+∠+=︒②，联立①②即可求得答案.【详解】如图，根据翻折的性质知，ADE A DE ≅'，∴∠1=∠2，∠A =∠A '，∵12180β∠+∠+=︒， ∴21180β∠+=︒①，∵3∠是ADE 的一个外角，∴31∠=∠+∠A ，∵23180A α∠∠'+∠++=︒，即11180A A α∠+∠+∠++∠=︒，∴212180A α∠+∠+=︒②，②-①得：2A βα-∠=， 故答案为：2βα-． 【点睛】本题考查了翻折的性质，平角的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，利用角的等量关系列式计算是解题的关键.18．64°【分析】作辅助线首先求出∠BAO=29°；进而求出∠OBC=37°；求出∠COE=∠OCB=37°问题即可解决【详解】如图：连接OBOC ∵∠BAC=58°AO 为∠BAC 的平分线∴∠BAO=∠B解析：64°【分析】作辅助线，首先求出∠BAO=29°；进而求出∠OBC=37°；求出∠COE=∠OCB=37°问题即可解决．【详解】如图：连接OB、OC,∵∠BAC=58°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=12∠BAC=12×58°=29°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=18058()2o=61o．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB；∴∠ABO=∠BAO=29°．∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=61°-29°=32°．∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，∴点O是△ABC的外心，∴OB=OC；∴∠OCB=∠OBC=32°；∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=32°；在△OCE中，∠OEB=∠COE+∠OCB=32°+32°=64°，故答案是：64°．【点睛】考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关性质定理来分析、判断、推理或解答．19．【解析】【分析】作DF⊥BC于点F又DE分别是ABAC的中点DE是三角形的中位线从而DE∥BCDE=BC进而可求S△A1BD+S△A1CE=2S△A1DE由折叠得：△ADE≌△A1DE从而可求得结论解析：1 2【解析】【分析】作DF ⊥BC 于点F. 又D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE 是三角形的中位线，从而DE ∥BC ，DE=12BC ，进而可求S △A1BD +S △A1CE =2 S △A1DE ，由折叠得：△ADE ≌△A 1DE ，从而可求得结论．【详解】作DF ⊥BC 于点F.∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∵S △A1BD +S △A1CE =111122A B DF AC DF ⋅+⋅ =12BC DF ⋅, =DE DF ⋅,∴ S △A1BD +S △A1CE =2 S △A1DE ,由折叠得：△ADE ≌△A 1DE ， ∴S △ADE +S △A1DE =12S △ABC ， ∴S 阴影═12S △ABC =11122⨯=， 故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，折叠的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．20．30【分析】根据折叠的性质可得EF=AEBF=BA 从而□ABCD 的周长可转化为：△FDE 的周长+△FCB 的周长结合题意条件即可得出答案【详解】解：由折叠的性质可得EF=AEBF=BA ∴□ABCD 的周解析：30【分析】根据折叠的性质可得EF=AE 、BF=BA ，从而□ABCD 的周长可转化为：△FDE 的周长+△FCB的周长，结合题意条件即可得出答案．【详解】解：由折叠的性质可得EF=AE 、BF=BA ，∴□ABCD 的周长=DF+FC+CB+BA+AE+DE=△FDE 的周长+△FCB 的周长=30．故答案为30．三、解答题21．（1）图见解析；（2）6．【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点F ，再顺次连接点A 、E 、F 即可得；（2）如图（见解析），利用直角AME △面积减去直角DMH △面积即可得．【详解】（1）先根据轴对称的性质画出点F ，再顺次连接点A 、E 、F 即可得到AEF ，如图所示：（2）如上图，设AEF 与四边形ABCD 重叠部分的面积为S ， 则1122AME DMH S S S AM EM DM HM =-=⋅-⋅， ∵4AM =，4EM =，2DM =，2HM =， ∴11442222S =⨯⨯-⨯⨯， 82=-，6=，故AEF 与四边形ABCD 重叠部分的面积为6．【点睛】本题考查了画轴对称图形、直角三角形的面积公式，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）12【分析】（1）由网格结构找出点A 、B 、C 关于直线DE 对称点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称确定最短路线问题连接A 1C 与DE 的交点即为所求点Q ．（3）利用梯形面积公式求解．【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：点Q即为所求；（3）四边形BCC1B1的面积为：1(48)22+⨯＝12．【点睛】考查了画轴对称图形和利用轴对称求最短路线，解题关键是正确得出对应点位置．23．（1）4；（2）见解析；（3）6．【分析】（1）直接利用直角三角形面积求法进而得出答案；（2）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．【详解】解：（1）△ABC的面积为：12×2×4=4；故答案为：4；（2）如图所示：△EDF即为所求；（3）PC+PA的最小值为：PA+PC=DC=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出对应点位置是解题关键．24．（1）详见解析；（2）10【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到；（2）连接1A 、B 交直线l 于点P ，连接AB ，AP ，根据两点之间线段最短可知AP BP +的最小值16A B =，此时ABP △的周长的最小值，即可求出最小值.【详解】解：（1）如图所示（2）连接1A 、B 交直线l 于点P ，连接AB ，AP ，则1AP A P =．根据两点之间线段最短可知AP BP +的最小值16A B =，即ABP △的周长的最小值6410=+=．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路径问题，掌握最短路径问题的解题方法是解答此题的关键. 25．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB ＝2．【分析】（1）根据点A 、O 、B 的坐标，顺次连接即可得△AOB ；（2）根据关于y 轴对称的点的坐标特征可得出A′、B′、O′的坐标，顺次连接A′、O′、B′即可得△A′O′B'；（3）利用勾股定理求出AB 的长即可．【详解】（1）如图所示，△AOB 即为所求；（2）∵△AOB 与△A′O′B′关于y 轴对称，∴A′（-3，2），B′（-2，3），O′（0，0），如图所示，△A′O′B'即为所求；（3）AB 2211+2．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出A、C两点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；''，交y轴于点D，点D即为所求．（2）作点A关于y轴的对称点A''，连接A C【详解】（1）如图所示：（2）①作点A关于y轴的对称点A''，②连接A C''，交y轴于点D，点D即为所求．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点的位置是解题关键．。

一、选择题1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列说法中错误的是（ ）A ．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B ．关于某条直线对称的两个图形全等C ．全等的三角形一定关于某条直线对称D ．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．以下是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列图形是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 7．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，若ABC ∆的面积为24，6AC =，现将ABC ∆沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的C '处，P 为直线AD 上一点，则线段 BP 的长可能是( )A．3 B．5 C．6 D．109．如图，直线l1与l2相交，且夹角为45°，点P在角的内部，小明用下面的方法作点P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作点P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作点P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作点P3关于l2的对称点P4，...，如此继续，得到一系列的点P1，P2，...，Pn，若点Pn与点P重合，则n的值可以是（）A．2019 B．2018 C．2017 D．201610．下列图形中是轴对称图形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．12．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数为（）A．60°B．45°C．22.5°D．30°二、填空题13．如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是__．14．已知，在ABC ∆中，6AB =，CD 是边AB 上的高，将ACD ∆沿CD 折叠，点A 落在直线AB 上的点A '，2A B '=，那么BD 的长是______．15．如图,有一张长方形纸片ABCD,点E.F 分别在边AB 、CD 上,连接EF,将∠BEF 对折,点B 落在直线EF 上的点B /处,得折痕EM;将∠AEF 对折,点A 落在直线EF 上的点A’处,得折痕EN,则∠MEN 的度数为__________.16．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿EF 折叠后，D 、C 两点分别落在'D 、'C 的位置，并利用量角器量得66EFB ∠=︒，则'AED ∠等于__________度．17．生活中,将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下, 如果∠1=140º,那么∠2=_____.18．如图所示，将长方形纸片ABCD 进行折叠，∠FEH=70°，则∠BHE=_______.19．如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，AC 6=，BC 8=，AD 是BAC ∠的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是____．20．如图，ABC 与'''A B C 关于直线l 对称，且105,30A C '∠=︒∠=︒，则B 的度数为________________________．三、解答题21．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AB 边上一个定点，点P 是BC 边上一个动点，连结EP ，将BEP △沿EP 折叠至B EP '．（1）若AEB '∠比BEP ∠大15︒，求AEP ∠的大小．（2）连结PD ，若PD PE ⊥，请判断B PD '∠和CPD ∠的大小关系，并说明理由． 22．如图，邮递员小王的家在两条公路OM 和ON 相交成的角（MON ∠）的内部A 处，小王每天都要到开往OM 方向的车上取下快件，然后再送到开往ON 方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM 和ON 上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）23．如图，//AD BC ，BE 平分ABC ∠．（1）尺规作图：作BAD ∠的平分线交BE 于点F ；（2）在（1）的条件下，ABF ∆按角分类时，它是什么三角形，请说明理由． 24．如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED=4cm ，FC=lcm ，∠BAC=76°，∠EAC=58°（1）求出BF 的长度；（2）求∠CAD 的度数；25．如图，将一张长方形纸片分别沿着EP 、FP 对折，使点B 落在点'B ，点C 落在点'C（1）若点P ，'B ，'C 在同一直线上（如图1），求两条折痕的夹角EPF ∠的度数； （2）若点P ，'B ，'C 不在同一条直线上（如图2），且''B PC ∠=10°，求EPF ∠的度数．26．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）点P 在x 轴上，且点P 到点A 与点C 的距离之和最小，直接写出点P 的坐标为 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判定即可．【详解】A.是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.不是轴对称图形，故该选项符合题意，D.是轴对称图形，故该选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称图形的辨识，能够准确掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；B、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；C、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．3．B解析：B【分析】根据轴对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．解题的关键是寻找对称轴，对称轴两旁的部分折叠后可重合．4．B解析：B【分析】根据平移、翻折或旋转的性质逐项判断可求解．【详解】解：①轴对称的两个三角形形状相同，故正确；②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变换，掌握平移、翻折或旋转的性质是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据轴对称的定义即可解答.【详解】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,根据轴对称的定义可得只有B选项是轴对称图形．故选B ．【点睛】本题考查轴对称的定义，熟悉掌握是解题关键.6．B解析：B【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：A 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；B 、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．故选B ．7．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．【详解】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．D解析：D【分析】过B 点作BM ⊥AD 于M 点，作BN ⊥AC 于N 点，P 点在AD 上运动，，利用三角形的面积求出BN ，进而得到BM ，BM 的长即为BP 的最小值.【详解】如图，过B 点作BM ⊥AD 于M 点，作BN ⊥AC 于N 点，△ABC 面积为24，AC 为6，故可得到BN=24×2÷6=8，因为△ABC 翻转得到ABC ∆'，故=A B C C B A ，所以有BM=BN=8，所以BP的最小值为8，选项中只有D选项大于8，故选D.【点睛】本题考查翻转的性质，解题关键在于能够合理做出辅助线.9．D解析：D【解析】【分析】根据题意画出图形，进而得出每对称变换8次回到P点，进而得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：P1，P2，…，P n，每对称变换8次回到P点，∵2016÷8＝252，∴P n与P重合，则n的可以是：2016．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键.10．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第1个是轴对称图形；第2个不是轴对称图形；第3个是轴对称图形；第4个是轴对称图形；第5个不是轴对称图形.故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．A解析：A【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形．故选项正确；B、不是轴对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形．故选项错误；D、不是轴对称图形．故选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后两边可重合．12．B解析：B【分析】根据轴对称的性质，即可求出∠AOB的度数.【详解】∵折叠纸飞机的过程，对折了3次，∴180°÷2÷2÷2=22.5°，∴机翼展开在同一平面时，∠AOB=22.5°×2=45°，故选B.【点睛】本题主要考查轴对称的性质，理解通过折叠，把原来的角平分，是解题的关键.二、填空题13．55°【解析】解析：55°【解析】a b ∥ ,3170∴∠=∠= ,()1218070552∴∠=-⨯= . 14．2或4【分析】根据题意画出图形分点落在线段AB 的延长线上和落在线段AB 上两种情况解答【详解】如图若点落在线段AB 的延长线上∵∴∴∴BD=如图若点落在线段AB 上∵∴∴∴BD=所以BD 的长为2或4故答案解析：2或4【分析】根据题意画出图形，分点A '落在线段AB 的延长线上和落在线段AB 上两种情况解答．【详解】如图，若点A '落在线段AB 的延长线上，∵6AB =，2A B '=∴8A A '=∴4A D AD '==∴BD=2A D A B ''-=如图，若点A '落在线段AB 上，∵6AB =，2A B '=∴4A A '=∴2A D AD '==∴BD=4A B A D ''+=所以BD 的长为2或4.故答案为：2或4【点睛】本题考查的是翻折变换及线段的加减，注意分类讨论是解答本题的关键．15．90°【分析】根据折叠的性质可知∠MEB=∠MEB/∠NEA=∠NEA/即可求得∠MEN 的度数【详解】∵∠BEF 对折点B 落在直线EF 上的点B/；将∠AEF 对折点A 落在直线EF 上的点A/∴∠MEB=∠【分析】根据折叠的性质，可知，∠MEB=∠MEB /，∠NEA=∠NEA /，即可求得∠MEN 的度数.【详解】∵∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上的点B /；将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点A / ∴∠MEB=∠MEB /，∠NEA=∠NEA /，∴∠MEN=∠MEB /+∠NEA /=°°111809022AEB ∠=⨯=. 【点睛】本题主要考查折叠的性质，掌握角的和差倍分运算，是解题的关键. 16．48【解析】【分析】首先由平行线的性质得到∠DEF=∠EFB=66°再由折叠的性质可得∠DEF=∠DEF=66°则∠DED=132°然后再由邻补角的定义求解即可【详解】解：∵AD ∥BC ∴∠DEF=∠解析：48【解析】【分析】首先由平行线的性质得到∠DEF=∠EFB=66°，再由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF=66°，则∠DED'=132°，然后再由邻补角的定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=66°，由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF=66°，∴∠DED'=132°，∴∠AED'=180°-132°=48°．故答案为48．【点睛】本题考查了折叠的性质，以及平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.17．110°【解析】【分析】如图因为AB ∥CD 所以∠BEM=∠1（两直线平行内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4可以求得∠4的度数；再根据两直线平行同旁内角互补即可求得∠2的度数【详解】∵AB ∥C解析：110°【解析】【分析】如图，因为AB ∥CD ，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°,∠2+∠4=180°，∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°−70°=110°.故答案为：110°【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），平行线的性质，解题关键在于根据折叠的性质得到∠3=∠418．70°【解析】【分析】由折叠的性质可得∠DEH=∠FEH=70°再根据两直线平行内错角相等即可求得答案【详解】由题意得∠DEH=∠FEH=70°∵AD//BC∴∠BHE=∠DEH=70°故答案为：7解析：70°【解析】【分析】由折叠的性质可得∠DEH=∠FEH=70°，再根据两直线平行，内错角相等即可求得答案.【详解】由题意得∠DEH=∠FEH=70°，∵AD//BC，∴∠BHE=∠DEH=70°，故答案为：70°.【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键.19．【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M交AD于点P过点P作PQ⊥AC于点Q由AD是∠BAC的平分线得出PQ＝PM这时PC＋PQ有最小值即CM的长度运用勾股定理求出AB再运用得出CM的值即PC＋PQ的解析：24 5【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线．得出PQ＝PM，这时PC＋PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB ，再运用1122ABC S AB CM AC BC =⋅=⋅△，得出CM 的值，即PC ＋PQ 的最小值． 【详解】 如解图，过点C 作CM AB ⊥，交AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴PQ PM =，这时PC PQ +有最小值，即CM 的长度，∵6AC =，8BC =，90ACB ∠=︒，∴22226810AB AC BC =+=+=．∵1122ABC S AB CM AC BC =⋅=⋅△， ∴6824105AC BC CM AB ⋅⨯===，即PC PQ +的最小值为245． 故答案为245．【点睛】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC ＋PQ 有最小值时点P 和Q 的位置．20．【分析】根据轴对称的性质先求出∠C 等于∠C′再利用三角形内角和定理即可求出∠B 【详解】解：∵与关于直线对称∴∠C=∠C′=30°∴；故答案为：45°【点睛】此题考查轴对称的性质以及三角形的内角和定理解析：45【分析】根据轴对称的性质先求出∠C 等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B ．【详解】解：∵ABC 与'''A B C 关于直线l 对称，，∴∠C=∠C′=30°，∴1801053045B ；故答案为：45°【点睛】 此题考查轴对称的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，正确得到∠C=30°．三、解答题21．（1）125°；（2）∠B′PD=∠CPD ，理由见解析【分析】（1）根据折叠的性质可得∠BEP=∠B′EP ，根据平角的定义得到∠BEP=55°，从而计算∠AEP ；（2）根据互余的性质得到∠BPE+∠CPD=90°，再根据折叠可知∠BPE=∠EPB′，从而证明∠B′PD=∠CPD ．【详解】解：（1）∵∠AEB′=∠BEP+15°，由折叠的性质可知：∠BEP=∠B′EP ，∴∠AEB′+∠B′EP+∠BEP=180°，∴3∠BEP+15°=180°，∴∠BEP=55°，∴∠AEP=2∠BEP+15°=125°；（2）∠B′PD=∠CPD ，理由是：∵PD ⊥PE ，∴∠EPB′+∠B′PD=90°，∴∠BPE+∠CPD=90°，由折叠可知：∠BPE=∠EP B′，∴∠B′PD=∠CPD ．【点睛】本题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是根据折叠的性质得到对应角相等． 22．图见解析【分析】如图所示，分别作点A 关于射线OM 所在直线的对称点E ，点A 关于射线ON 所在直线的对称点F ，连接EF ，分别交射线OM 、ON 于点B 、C ，则根据轴对称的性质可知B 处、C 处分别为小王在公路OM 和ON 上的的等车地点．【详解】解：如图所示，分别作点A 关于射线OM 所在直线的对称点E ，点A 关于射线ON 所在直线的对称点F ，连接EF ，分别交射线OM 、ON 于点B 、C ，连接AB 、AC ． 根据轴对称的性质可得AB EB =、AC FC =，此时ABC 的周长最小，则B 处、C 处分别为小王在公路OM 和ON 上的的等车地点．【点睛】本题考查了轴对称—路径最短问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．23．（1）图见解析；（2）直角三角形，证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质证明90AFB ∠=︒即可得到结论．【详解】解：（1）如图所示，AF 即为所求（2）ABF ∆按角分类时，它是直角三角形．理由如下：∵BE ，AF 分别为ABC ∠和BAD ∠的平分线， ∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠． ∵//AD BC ，∴180ABC BAD ∠+∠=︒．∴90ABE BAF ∠+∠=︒． 在ABF ∆中，()18090AFB ABF BAF ∠=︒-∠+∠=︒．∴ABF ∆是直角三角形．【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及平行线的性质和角平分线的性质，关键是灵活运用它们的性质解决问题．24．（1）3cm ；（2）18°【分析】（1）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题．【详解】解：（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED=4cm ，∴BC=ED=4cm ，又∵FC=1cm ，∴BF=BC ﹣FC=3cm ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC=76°，∠EAC=58°，∴∠EAD=∠BAC=76°，∴∠CAD=∠EAD ﹣∠EAC=76°﹣58°=18°．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25．（1）90°；（2）85°【分析】（1）由对称性得到两对角相等，而这两对角之和为180︒，利用等量代换及等式的性质即可求出折痕的夹角EPF ∠的度数；（2）由对称性得到两对角相等，根据题意得到这两对角之和为190︒，利用等量代换及等式的性质即可求出EPF ∠的度数．【详解】解：（1）由对称性得：BPE B PE ∠=∠'，CPF C PF ∠=∠'，180BPE B PE CPF C PF ∠+∠'+∠+∠'=︒，1180902EPF B PE C PF ∴∠=∠'+∠'=⨯︒=︒； （2）由对称性得：BPE B PE ∠=∠'，CPF C PF ∠=∠'，18010190BPE B PE CPF C PF ∠+∠'+∠+∠'=︒+︒=︒，95BPE CPF ∴∠+∠=︒，9510=85EPF ∴∠=︒-︒︒．【点睛】本题考查了角的计算，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 26．（1）答案见解析；（2）(0，0)．【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点C 关于x 轴的对称点C′，连接AC′与x 轴的交点即为所求的点P ，根据直线AC'的解析式即可得解．【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'(﹣2，﹣2)，连接AC'，交x轴于P，由A、C'的坐标可得AC'的解析式为y=x，当y=0时，x=0，∴点P的坐标为(0，0)．故答案为：(0，0)．【点睛】此题考查轴对称变换作图，最短路线，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．。

2022-2023年成都市七年级下册数学期末试题分类汇编：三角形全等压轴题、中档题一、B 卷压轴题 (1)如图1，若AD 平分BAC Ð，6AD =，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分MAC Ð时，试探究系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：45AFC Ð=°；②354BCF S =V ，21ACF S =V ，求AF 的值．∵BF AD ^，∴90AFB ACB Ð=Ð=°，又∵ADC BDF Ð=Ð，∴DAC EBC Ð=Ð．在ADC △和BEC V 中，由（1）可得，ADC △△≌∴CD CE =．∵BF AD ^，∴90AFM AFE Ð=Ð=°，∵AF 平分MAE Ð，∴MAF EAF Ð=Ð．②如图所示，过点C 作CG ⊥∴45GCH GCF ==°∠，∴CGH CGF △、△都是等腰直角三角形，∴GH GF GC ==，∵ACH BCF ≌△△，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，(1)求证：ABD EAF V V ≌；(2)连接BE ，若G 为线段BE 的中点，连接GF ，（i ）试判断DFG V 的形状，并说明理由；（ii ）连接BF ，记DFG BEF V V ，的面积分别为S∴FEA DAB =∠∠，又∵AE BA =，∴()AAS ABD EAF △≌△；（2）解：（i ）DFG V 是等腰直角三角形，理由如下：如图所示，连接AG ，∵90AB AE BAE ==°，∠，∴ABE V 是等腰直角三角形，∴45ABE AEB Ð=Ð=°，∵G 为线段BE 的中点，∴45AG BE BAG EAG ==°⊥，∠∠，∴EAG AEG =∠∠，∴AG EG =，∵ABD EAF V V ≌，∴AD EF =，∵Ð=ÐBAD AEF ，45AEG BAG ==°∠∠，∴DAG FEG Ð=Ð，∴()SAS ADG EFG △≌△，∴DG FG AGD EGF ==，∠∠，∴AGD AGF EGF AGF -=-∠∠∠，即90FGD AGE ==°∠∠，∴DFG V 是等腰直角三角形；（ii ）如图所示，延长FG 交BC 于H ，过点B 作BM FH ^于M ，设MF a =，∵DFG V 是等腰直角三角形，∴45DFG FDG Ð=Ð=°，∴45EFG Ð=°，(1)求证：BAD BCE Ð=Ð；(2)判断ACD V 的形状，并说明理由；(3)如图2，DH 平分ADB Ð，点M 为HD 的延长线一点，F 为DC 上一点，连接,MC MF ，若180CFM AFD Ð+Ð=°，5CM =，3MF =，求线段AF 的长．【答案】(1)见解析(2)ACD V 为等腰直角三角形；见解析(3)8【分析】（1）根据垂直的定义得出90B BAD ÐÐ+=°，90B ECB ÐÐ+=°，利用等量代换即可证明；（2）根据全等三角形的判定和性质证明即可；（3）在AF 上截取3FN FM ==，连接DN ，根据全等三角形的判定分别得出(SAS)NFD MFD V V ≌，(SAS)ABD CGD V V ≌，(SAS)ADN CDM V V ≌，再由其性质得出线段间的数量关系求解即可【详解】（1）证明：∵AD BC ^，∴90ADB Ð=°，∴90B BAD ÐÐ+=°，∵CE AB^∴90BEC Ð=°，∴90B ECB ÐÐ+=°，∴BAD BCE Ð=Ð．（2）解：∵BAD BCE Ð=Ð，90ADB ADC Ð=Ð=°，BD DG =，∴(AAS)ABD CGD ≌V V ，∴AD CD =，∴ACD V 为等腰直角三角形；（3）解：在AF 上截取3FN FM ==，连接DN ，∵DH 平分ADB Ð，∴45HDB Ð=°，∴45FDM Ð=°，∵180CFM MFD ÐÐ+=°，180CFM AFD Ð+Ð=°，∴MFD AFD ÐÐ=．∵FD FD =，∴(SAS)NFD MFD V V ≌，∴,NDC MDC DN DM ÐÐ==，∴45ADN FDM ÐÐ==°，∵(SAS)ABD CGD V V ≌，∴AD DC =，∴(SAS)ADN CDM V V ≌，∴5AN CM ==，∴8AF AN NF CM MF =+=+=．故线段AF 的长为8．【点睛】此题是关于三角形的一道综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，同角的余角相等等知识．熟练判定两个三角形全等是解决此题的关键．4．已知等腰Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在射线BC 上，连接AD ，在AD 右侧作等腰Rt ADE △，且90ADE а＝AT CE DM DH ，，，，∵90BH BD B ==°，∠，∴BDH △是等腰直角三角形，∴45BHD =°∠，∴435AHD =°∠，∵ABC V 是等腰直角三角形，∴AB CB =，45ACB Ð=°，∴AB BH BC BD -=-，即AH DC =，∵90BAD BDA BDA CDE +=°=+∠∠∠∠，∴BAD CDE Ð=Ð，又∵AD DE =，∴()SAS AHD DCE △≌△，∴135DCE AHD ==°∠∠，∴90ACE Ð=°；∵M 是AE 的中点，∴AM EM =，又∵TM CM AMT EMC ==，∠∠，∴AMT EMC △≌△，∴AT CE MAT MEC ==，∠，∴AT CE ∥，∴90TAC ECA ==°∠∠，又∵AC CA =，∴()SAS ATC CEA △≌△，∴AE CT =，∵2CT CM =，∴2AE CM =；∵ADE V 是等腰直角三角形，M 是AE 的中点，∴45DM AE DAM DEM ==°⊥，∠∠，∴ADM EDM △、△都是等腰直角三角形，∴AM DM ME ==，∴2=AE DM ，∴DM CM =，∴点M 在线段CD 的垂直平分线上；（3）解：如图所示，延长AD 到K 使得DK DG =，连接EK ，设直线AC 与EK 交于M ，∵90AD ED ADG EDK DG DK ===°=，∠∠，，∴()SAS ADG EDK △≌△，∴DAG DEK =∠∠，又∵AGD EGM =∠∠，∴90EMG ADG ==°∠∠，∵AD DG AE +=，∴AE AD DK =+，∴AK AE =，∴22.5KAM EAM ==°∠∠，∴AD 平分BAC Ð，∴同理可得22.5CDG =°∠，∴112.5ADC ADE CDG =+=°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．如图1，等边ABC V 的边长为4，点D 是直线AB 上异于A ，B 的一动点，连接CD ，以CD 为边长，在CD 在侧作等边CDE V ，连接BE ．(1)求证：BE AC ∥；(2)当点D 在直线AB 上运动时，①BDE V 的周长是否存在最小值？若存在，求此时AD 的长；若不存在，说明理由；②BDE V 能否形成直角三角形？若能，求此时AD 的长；若不能，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)①BDE V 的周长存在最小值，此时AD 的长为2；②8AD =或4=AD 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明()SAS ACD BCE △≌△，得到46Ð=Ð，推出47Ð=Ð，即可得证；（2）①≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，进而得到BDE V 的周长44DE DB BE DE DB AD DE AB DE CD =++=++=+=+=+，根据垂线段最短，得到CD AB ^时，CD 最短，利用三线合一进行求解即可；②分点D 在AB 的延长线上和在BA 的延长线上，两种情况进行讨论求解．∴1360Ð+Ð=°∵等边CDE V ，∴60DCE Ð=°，DC EC=∴2360Ð+Ð=°，∴12Ð=Ð，当点D 在AB 的延长线上时，由（1）知760Ð=°，160Ð<°，∴只能90BDE Ð=o ，∴1906030Ð=°-°=°由题意知60CED Ð=°，∴230Ð=°，∴12Ð=Ð在BDE V 和BCE V 中，12DE CE BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BDE BCE △≌△，∴BD CB =，∵4BC AB ==，∴4BD =，8AD =当点D 在BA 的延长线上时，∵8760Ð=Ð=°，360Ð<°∴只能90BE D ¢¢°Ð=，∴3906030Ð=°-°=°由题意知60CD E Ð=¢¢°，∴430Ð=°，∵54660Ð=Ð+Ð=°，∴630Ð=°，∴64Ð=Ð，∴4AD AC ¢==，综上所述：8AD =或4=AD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．6．在等边三角形ABC 中，D 为射线CB 上一点，连接AD ，点B 关于直线AD 的对称点为E ，连接AE DE CE ，，．(1)如图1，点D 在线段BC 上，15BAD Ð=°，求BCE Ð的度数；(2)射线AD 与射线CE 的交于点F ，过点D 作DG AC ∥交射线AB 于点G ，连接GE 交AD 于点H ．①如图2，点D 在线段BC 上，求证：AGH CDF @V V ；②点D 在线段CB 延长线上，用等式表示线段AH FH ，和CE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)15°(2)①见解析；②CE HF AH =+，理由见解析【分析】（1）根据轴对称的性质可得AB AE =、15BAD DAE Ð=Ð=°，再运用等边三角形的性质可得AB AC =、60BAC ACB Ð=Ð=°，进而得到AE AC =、30EAC Ð=°，由三角形内角和定理可得75ACE Ð=°，\在ADC △中，60ADC a Ð=+．60GDA a \Ð=-，120CDF a Ð=-，120BDA a Ð=-．Q 点B 关于直线AD 的对称点为E ，120BDA EDA a \Ð=Ð=-，BD DE =．1802GDE a \Ð=-．GD DB =Q ，GD DE \=．DGE DEG a \Ð=Ð=．1202AGH a \Ð=-．AGH CDF \Ð=Ð．在AGH V 和CDF V 中，BAD BCE AG CD AGH CDF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî(ASA)AGH CDF \@V V ．②CE HF AH =+，理由如下：由①可得(ASA)AGH CDF @V V ．AH CF \=．在AFC D 中，60AFC Ð=°，60EFH \Ð=°．60EHF DEG EDH аÐ=Ð+=Q ，60EFH EHF HEF \Ð=Ð=Ð=°．∴EHF V 是等边三角形．HF EF \=．CE EF CF HF AH \=+=+．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．7．在ABC V 中，90ACB Ð=°，2AC BC =直线DF 于点E ．(1)如图1，当D 为AC 的中点时，证明：ADE BCA ≌V V ．(2)如图2，若CM AE ^于点M ，当点D 运动到某一位置时恰有AF a =，则CM 与DE 有何数量关系，并说明理由．(3)连接CF ，当45ACF Ð=°时，求AF BF的值．【答案】(1)见解析求解．【详解】（1）证明：∵90ACB Ð=°，AE AB ^，∴90B BAC Ð+Ð=°，90EAC BAC BAE Ð+Ð=Ð=°，∴B EAC Ð=Ð，∵DF BC ∥，∴90ADF ACB Ð=Ð=°，则90ACB EDA Ð=Ð=°，∵D 为AC 的中点时，22AC BC a ==，∴2AC AD =，则AD BC a ==，在ADE V 与BCA V 中，EAC B AD BCEDA ACB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ADE BCA △≌△；（2）解：CM DE =，理由如下：由（1）可知90ACB BAE EDA Ð=Ð=Ð=°，∵DF BC ∥，∴B AFE Ð=Ð，∵22AC BC a ==，AF a =，∴BC AF a ==，∴()ASA ABC EFA △≌△，∴AE AC =，∵CM AE ^，∴90EAD CMA Ð=Ð=°，又∵EAD CAM Ð=Ð，∴()AAS EAD CAM △≌△，∴CM DE =；（3）过点F 作FH BC ^，则90FHC FDC Ð=Ð=°，∵90ACB Ð=°，45ACF Ð=°，∴45BCF ACF Ð=Ð=°，又∵CF CF =，∴DCF HCF △≌△，∴DF HF =，【答案】（1）SAS 14BD ；＜＜；（2）证明见解答过程；（3）2BD MN BD MN =^，，理由见解答过程．【分析】（1）由SAS 证明ABD CED △≌△得出5CE AB ==，在CBE △中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长ND 至点F ，使FD ND =，连接AF 、MF ，同（1）得：AFD CND △≌△，由全等三角形的性质得出AF CN =，由线段垂直平分线的性质得出MF MN =，在AFM △中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长BD 至E ，使DE BD =，连接CE ，由（1）得：ABD CED △≌△，由全等三角形的性质得出ABD E Ð=Ð，AB CE =，证出BCE MBN Ð=Ð，证明BCE NBM △≌△得出BE MN =，EBC MNB Ð=Ð，则2BD MN =．延长DB 交MN 于G ，证出90BGN Ð=°，得出BD MN ^．即可．【详解】（1）解：延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接CE ，BD Q 是AC 边上的中线，AD CD \=，在ABD △和CED △中，AD CD ADB CDE BD ED =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABD CED \V V ≌，5CE AB \==，在CBE △中，由三角形的三边关系得：CE BC BE CE BC -<<+，5353BE \-<<+，即28BE <<，2BE BD =Q ，124BD \<<，14BD \<<；故答案为：SAS ；14BD <<；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ND =，连接AF 、MF ，如图2所示：同（1）得：(SAS)AFD CND V V ≌，AF CN \=，FD ND =，DM DN ^Q ，MF MN \=，在AFM △中，由三角形的三边关系得：AM AF MF +>，AM CN MN \+>；（3）解：2BD MN =，BD MN ^，理由如下：延长BD 至E ，使DE BD =，连接CE ，如图3所示：由（1）得：ABD CED △≌△，ABD E \Ð=Ð，AB CE =，90ABM NBC Ð=Ð=°Q ，180ABC MBN \Ð+Ð=°，即180ABD CBD MBN Ð+Ð+Ð=°，180E CBD BCE Ð+Ð+Ð=°Q ，BCE MBN \Ð=Ð，ABM Q V 和BCN △是等腰直角三角形，AB MB \=，BC BN =，CE MB \=，在BCE V 和NBM V中，CE BM BCE MBN BC NB =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BCE NBM \V V ≌，BE MN \=，EBC MNB Ð=Ð，2BD MN \=．延长DB 交MN 于G ，90NBC Ð=°Q ，90EBC NBG \Ð+Ð=°，90MNB NBG \Ð+Ð=°，90BGN \Ð=°，BD MN \^．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．9．在ABC V 中，,AB AC AB AC =^，D ，E 分别为平面内两点，连接,,,,AD AE BD CE DE ，使BAD CAE Ð=Ð且AD AE =．(1)如图1，①BD 与CE 有怎样的数量关系，请说明理由；②BD 与CE 有怎样的位置关系，请说明理由；(2)如图2，若延长BD 与CE 相交于H ，且BH 过AC 的中点N ，DAE Ð的角平分线交BH 于F ，过点A 作AM BH ^于M ，已知3AM =，7BN =，:5:2EF EH =．设,BD y FN x ==，请用含x 的代数式表示y ．【答案】(1)①BD CE =，理由见解析；②BD CE ^，理由见解析由①知，ABD ACE ≌△△∴ABD ACE Ð=Ð，∵ABD DBC ACB Ð+Ð+Ð∴ACE DBC ACB Ð+Ð+Ð∵点N 是AC 的中点，∴AN CN =，在AMN V 和CHN V 中，AMN CHN Ð=Ðì(1)如图1，当ABEV也是等边三角形时，连接CE，交BD于点F①试猜想CE、DB的关系，并说明理由；②连接FA，问FA是否平分DFEÐ，为什么？Ð= (2)如图2，当ABEV是直角三角形（90ABEÐ=°）时，若ABC由①结论可得：ACE ADB S S =V V ，1122CE AN BD AM \´=´．CE DB =Q ，AN AM =，FA \平分DFE Ð；由（1）①的结论可得：AG BCG QV 是等边三角形，BC BG \=，60CBG Ð=°，BC BE =Q ，BG BE \=，30ABC =°ÐQ ，【再探究】（2）如图2，ABC V 与ACD V 均为等边三角形，若点E 为边AB 上的一点，以CE 为一边作Ð一边交AD 于点F ，连接CF ，试探究线段,CE CF 的数量关系，并说明理由；【解决问题】（3）如图3，在三角形ABC V 中，8AB =，若245C B Ð=Ð=°，求ABC V 的面积．()AAS ABC CDE \≌△△5CD AB \==，7BC DE ==，5712BD BC CD \=+=+=；（2）60CEF Ð=°Q ，在BC 上取一点M ，使BM BE =，连接EM ，又Q =60B а，\BEM △为等边三角形，Q BM BE =，AB BC =，\AE CM =，又Q 60CEF Ð=°，\120AEF BEC Ð+Ð=°，又Q =60B а，\120BEC MCE Ð+Ð=°，\AEF MCE Ð=Ð，又Q BEM △、ABC V 、ACD V 均为等边三角形，\120EMC Ð=°，120FAE Ð=°，\FAE EMC Ð=Ð，在AEF △和MCE △中，AEF MCE AE CMFAE EMC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî\()ASA AEF MCE ≌△△，\CE EF =，又Q =60CEF а，\CEF △是等边三角形，即CE CF =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定和性质是解题的关键．二、A 卷中档题12．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，CA CB =．过点C 作CD AB ∥，且取CD AB =，连接BD 交AC 于点E ．(1)求证：AE CE =；(2)作AF BD ^于点F ，连接CF ．①求证：ABF CBF S S D D =；②设,AF x BF y ==，求y与x 的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②3y x=【分析】（1）证ABE CDE @V V ，得到对应边AE CE =．（2）①用三角形全等证明高等，两个三角形同底等高，则面积相等．②作CH CF ^,证CBH CAF @△△，得到等腰直角CHF V ，得到线段BH GH GF AF ===，从而得出3y x =．【详解】（1）解：CD AB∥Q ABE CDEÐ=Ð\在ABE V 和CDE V 中AEB CED ABE CDE AB CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î(AAS)ABE CDE AE CE\@\=△△（2）①作CG BD ^于G ．90AF BD CG BDAFE CGE ^^\Ð=Ð=°Q ，在AFE △和CGE V 中90,89ACB HCF AFE Ð=Ð=Ð=Ð=Ðo Q 4590,79ECH ECH \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=o 45,67\Ð=ÐÐ=Ð ∵在CBH V 和CAF V 中，45CB CAÐ=Ðìï=í(1)求DEQ Ð的度数；(2)如图②，若将ABC V 绕B 点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（A ，C 的对应点分别为时间为t 秒()036t ££；①在旋转过程中，若边BG CD ∥，求t 的值；∵30ACB Ð=°，∵BG CD ∥，∴GBC DCN Ð=Ð，∵75DCN ECN ECD Ð=Ð-Ð=°-∴30GBC Ð=°，530t =∵BG CD ∥，∴GBN DRN Ð=Ð，过D 作DS PQ ∥，则PQ DS ∥∥∴QED DRN EDS RDS Ð+Ð=Ð+Ð()∵BG CR ∥，∴180GBN DRM Ð+Ð=°，∵()604QED t Ð=+°，同理：EDR Ð∴()90180604DRM t Ð=°-°-°-° (1)求证：90A AEG Ð+Ð=°；(2)求证：EC EG =；(3)若CG 4=，5BE =，求四边形BCEG(1)求AMD ∠的度数；(2)若AOB V 位置保持不变，将COD △绕点O 逆时针旋转(090BOD a a Ð=°<<°)．①当旋转至图2所示位置时，恰好OC AB ∥，求此时α的度数；②在旋转过程中，是否存在CD 与AOB V 的一边平行？若存在，请求出α的度数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)165°(2)当15a =°或45a =°时，CD 与AOB V 的一边平行【分析】（1）利用三角形的内角和及外角的性质即可求解；（2）①由平行线的性质得60BAD AOC Ð=Ð=°，再结合互余即可求解；②分三种情况：当CD AB ∥时，当CD OB ∥时，当CD OA ∥时，分别进行讨论即可．【详解】（1）解：∵90AOB COD Ð=Ð=°，30B Ð=°，45C Ð=°，∴45CDO Ð=°，60BAD Ð=°，则120BAC Ð=°，∴12045165AMD C BAC Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）①由（1）可知，60BAD Ð=°，∵OC AB ∥，∴60BAO AOC Ð=Ð=°，∵90AOB COD Ð=Ð=°，∴30AOD COD AOC Ð=Ð-Ð=°，则60BOD AOB AOD Ð=Ð-Ð=°，∴60a =°；②由（1）知45CDO Ð=°，当CD AB ∥时，设OD 与AB 交于点N ，∵CD AB ∥，∴45ANO CDO Ð=Ð=°，∴15BOD CDO B Ð=Ð-Ð=°，即：15a =°，当CD OB ∥时，∵CD OB ∥，∴45BOD CDO Ð=Ð=°，即：45a =°，当CD OA ∥时，则点C 与点D 同在OA 上方或下方，∵90AOB COD Ð=Ð=°，(090BOD a a Ð=°<<°)，∴点C 与点D 不能在OA 同一侧，相互矛盾，故此情况不存在，综上，当15a =°或45a =°时，CD 与AOB V 的一边平行．【点睛】本题考查三角的内角和定理及外角性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．16．已知OP 平分MON Ð，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA OM ^于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC BO =．(1)若线段3cm OA =，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作DBE Ð，使得DBE ABO DBE Ð=ÐÐ，的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①2OBC DBE Ð=Ð是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE OD DE ，，的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①2OBC DBE Ð=Ð成立，理由见解析；②CE OD DE =+，理由见解析【分析】（1）如图所示，过点B 作BH OC ^于H ，由三线合一定理得到2OC OH =，由角平分线的定义得到BOA BOH =∠∠，进一步证明BAO BHO △≌△，得到3cm OH OA ==，则26cm OC OH ==；（2）①如图所示，过点B 作BH OC ^于H ，由三线合一定理得到2OBC OBH =∠∠，同（1）可得BAO BHO △≌△，则OBH OBA =∠∠，由DBE ABO Ð=Ð，即可推出22OBC OBH DBE ==∠∠∠；②如图所示，在CE 上截取CQ OD =，连接BQ ，先证明BOD BCQ =∠∠，进而证明BOD BCQ △≌△，得到BD BQ OBD CBQ ==，∠∠，进一步证明EBQ EBD =∠∠，从而证明EBD EBQ △≌△，得到DE QE =，由CE CQ QE =+可证明CE OD DE =+．【详解】（1）解：如图所示，过点B 作BH OC ^于H ，∵BC OB BH OC =，⊥，∴OH CH =，即2OC OH =，∵OP 平分MON Ð，∴BOA BOH =∠∠，∵BA OM ^，BH OC ^，∴90BAO BHO ==°∠∠，又∵OB OB =，∴()AAS BAO BHO △≌△，∴3cm OH OA ==，∴26cm OC OH ==（2）解：①2OBC DBE Ð=Ð成立，理由如下：如图所示，过点B 作BH OC ^于H ，∵BC OB BH OC =，⊥，∴OBH CBH =∠∠，即2OBC OBH =∠∠，同（1）可得BAO BHO △≌△，∴OBH OBA =∠∠，∵DBE ABO Ð=Ð，∴DBE OBH =∠∠，∴22OBC OBH DBE ==∠∠∠；②CE OD DE =+，理由如下：如图所示，在CE 上截取CQ OD =，连接BQ ，∵OB BC =，∴BOC BCO Ð=Ð，∵BAO BHO △≌△，∴BOA BOH =∠∠，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．V是等腰直角三角形，17．如图1，ABCBD，连接CD，然后以CD(1)求证：ACD BDE △≌△；(2)如图2，当点D 在ABC V 的斜边AB 上时，请直接写出用,BC BE 表示AB (3)如图3，当点D 在ABC V 的内部时，若点F 为BD 的中点，且ACD V 的面积为【答案】(1)证明见解析(2)AB BC BE=+(3)15设直线l交CD于点H，交CE ∵点F是BD的中点，∴FG BH∥，∴CK CH FK GH=，Ð；(1)求证：BF平分ABE(2)连接CF交AD于点G，若S(3)在（2）的条件下，当BE=【答案】(1)见解析(2)见解析45FBA BAF \Ð+Ð=°.2290FBA BAF \Ð+Ð=°.Q AD 为BC 边上的高，290EBF FBA BAF \Ð+Ð+Ð=°.EBF FBA \Ð=Ð.\BF 平分ABE Ð.（2）过点F 作FM BC ^于点M ，FN AB ^于点N ，Q BF 平分ABE Ð，且FM BC ^，FN AB ^，FM FN \=.ABF CBF S S D D Q ＝，AB BC \=，Q BF 平分ABE Ð，ABF CBF \Ð=Ð，在ABF △和CBF V 中，AB BC ABF CBFBF BF =ìïÐ=Ðíï=î()ABF CBF SAS \@V V ，AFB CFB \Ð=Ð，45BFE Ð=°Q ，135AFB CFB \Ð=Ð=°，90AFC \Ð=°，（3）ABF CBF @QV V ，AF FC \=，90AFC Ð=°，AFC EFC \Ð=Ð，Q AD 为BC 边上的高，90ADE \Ð=°，EAD AEC FCE AEC \Ð+Ð=Ð+Ð，EAD FCE \Ð=Ð.在AFG V 和CFE V 中，EAD FCE AF CFAFC EFC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî（）AFG CFE ASA \@V V .4.5AG EC \==，3BE Q ＝，7.5BC BE EC \=+=，ABF CBF @QV V ，7.5AB BC \==.【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．19．如图1，在等腰直角ABC V 中，90ACB Ð=°，点D 是线段AB 上不与点A ，B 重合的动点，连接CD 并延长至点E ，使DE CD =，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ．(1)当点D ，F 位于点A 的异侧时，问线段AD ，EF ，DF 之间有何数量关系？写出你的结论并证明；(2)当点D ，F 位于点A 的同侧时，若8AB =，4AD DF =，请在备用图中画出图形，并求AD 的长．【答案】(1)EF AD DF =+，证明见解析∵在等腰ABC V 中，90ACB Ð=∵CH AB ^，∴9045454ACH Ðа=-=°=°∴AH CH =，∵CH AB ^，EF AB ^，∴190F=°Ð=Ð在CDH △和EDF V 中，12CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î在等腰ABC V 中，由三线合一得点H 是∵8AB =，∴142AH AB ==，同（1）可得DH DF =，设DH DF x ==，则4AD x =，①当点1D 在点A ，H 之间时，点1F 在点(1)求证：DBE CBE △≌△(2)求BDE Ð的度数．(3)若45ABE Ð=°，试判断【答案】(1)见解析。

第七章生活中的轴对称（知识点总结）一，基本概念1．轴对称图形，对称轴如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形不一定只有一条对称轴，但至少有一条。

2.轴对称对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全的重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。

3.轴对称和对称轴图形中的对称轴是直线，而不是线段和射线。

4.轴对称的性质：1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2）对应线段相等，4．角平分的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

5.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

7.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

8.等腰三角形性质：1）等腰三角是轴对称图形；2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高重合（三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3）等腰三角形的两个底角相等。

（注意：等腰三角形的性质常用于说明两线段相等或两角相等）9.等腰三角形的判定方法：1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；2) 有两条边相等的三角形是等腰三角形（等边对等角）。

10.等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。

11.等边三角形的性质：1）等边三角形的三个内角均为600; 2)等边三角形的三边相等。

12.镜子成像的特点：1) 物体与镜子平行时:左右互换是关键，物与像成轴对称，简单可以看反面。

；2）物体与镜面垂直时:像的方向与物体的方向上下颠倒。

第五章三角形（知识点总结）1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

用“△”表示三角形，以A、B、C为顶点的三角形记作“△ABC”。

2三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

专题06变量之间的关系两种压轴题型全攻略【知识点梳理】常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．类型一、行程问题(1)根据图像，直接写出AD＝；AB＝；(2)求m，a，b的值；(1)货车的速度＝千米/小时，当0.5 2.5x<<，轿车的速度＝(2)当轿车追上货车时，求x的值；(3)在整个行驶过程中，当两辆车相距20千米时，求x的值．【答案】(1)8060，(2) 4.5x=(3)14x=或4或5或234【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级校考期中）现有一笔直的公路连接A ，B 两地，甲车从A 地驶往B 地，速度为60km /h ，同时乙车从B 地驶往A 地，速度为80km /h ．途中甲车发生故障，于是停车修理了2.5小时，修好后立即开车驶往B 地．设甲车行驶的时间为()h t ，两车之间的距离为()km S ．已知S 与t 的图象如图所示．(1)A 、B 两地相距___________km ，c =___________，d =___________．(2)甲车出发几小时后发生故障？(3)何时甲乙两车相距40km ？【答案】(1)300；3.75；7.5(2)1小时(3) 2.5t =或 3.5t =时【分析】（1）由图象可得A 、B 两地的距离，点a 表示甲车出现故障，点b 表示两车相遇，点c 表示甲车修好故障，点d 表示乙车到达目的地即可求解；（2）设甲车出发x 时后发生故障，根据题意建立等式即可求解；（3）分相遇前和相遇后相距40km 两种情况进行分类讨论．【详解】（1）解：由图象可得A 、B 两地的距离为300km ，当3t =时，0S =，两车相遇，此时乙车行驶的路程是803240km ⨯=，甲车行驶的路程是30024060km -=，∴60601h a =÷=，又∵甲车停车修理了2.5小时，∴1 2.5 3.5h b =+=，∵c 表示乙车到达目的地的时间，∴30080 3.75h c =÷=,∵d 表示甲车到达目的地，∴30060 2.57.5h d =÷+=,故答案为：300；3.75；7.5；（2）由（1）得60601h a =÷=，答：甲车出发1小时后发生故障；(1)甲乙两地之间的距离为_______km，快车的速度为______km/h；(2)出发_______h，快慢两车距各自出发地的路程相等；(3)快慢两车出发_______h相距150km．【答案】(1)420，140，70；(2)14；(3)97(1)小明出发之后，前70秒的速度是__________(2)a表示的数字是____________；(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距【答案】(1)6，2(2)小明和妈妈相遇时距起点的距离(3)小明出发后的110秒内，两人分别于时，分别讨论计算即可．【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，∴小明前70秒的速度是420706÷=（米/秒）．妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是420200220-=（米)，∴妈妈的速度是2201102÷=（米/秒）．故答案为：6，2．（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，a ∴表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离．故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离．（3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离1s 与小明出发的时间t 之间的关系式为12200s t =+．当070t ≤≤时，设小明距起点的距离2s 与小明出发的时间t 之间的关系式为26s t =．①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得2200660t t +-=，解得35t =；②在第一次相遇后且70t ≤，当两人第二次相距60米时，得6(2200)60t t -+=，解得65t =．③当70110t ≤≤时，两人第三次相距60米时，得420(2200)60t -+=，解得80t =．综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键．类型二、几何图形面积问题例．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图（1），在长方形ABCD 中，12cm AB =，8cm BC =，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 停止；点Q 从D 出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止．若点P 、点Q 同时出发，点P 速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 速度变为cm/s b ，点Q 速度变为cm/s d ．图（2）是点P 出发x 秒后APD △的面积()21cm S 与x 秒的关系图象；图（3）是点Q 出发x 秒后AQD 的面积()22cm S 与x 秒的关系图象．(1)根据图象，直接写出AD =________；AB =________；(2)求m ，a ，b 的值；(3)当M 在AB 上运动至23AM AB =时，有一动点N 从B 点出发，沿着B →C 的路线以每秒个单位匀速运动．当M 、N 中有一点到达终点，另一点也停止运动，设N 点运动时间为秒，试问M 、N 两点在运动路线上的距离是否能为1个单位？如果能够，请求出相应的时间t ，若不可能，请说明理由．【答案】(1)4，6(2)4,1,9a mb ===11 2或19 2【答案】当P运动到BC上，三角形【答案】74或76【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度，【答案】（1）60，30，1；（2）y=-30x+180（(1)求乙车到达B地的时间；(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程；(3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间．【答案】(1)2.5小时(2)100千米(3)甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A 地到达B 地的速度，进而可求得乙车到达B 地的时间；（2）根据图形中的数据，可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B 地时甲车距A 地的路程；（3）根据题意可知，乙车返回时的速度为100（千米/时），甲车行驶的时间为3.75小时，设乙车行驶的时间为t 小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可．【详解】（1）由图象可得，乙车从A 地到B 地的速度为：180 1.5120÷=（千米/时），则乙车到达B 地的时间为：300120 2.5÷=（小时），（2）由（1）可知 2.5m =，由图象可得，甲车的速度为：()300180 1.580-÷=（千米/时），则乙车到达B 地时甲车距A 地的路程是30080 2.5300200100-⨯=-=（千米），（3）乙车返回时的速度为()300 5.5 2.5100÷-=（千米/时），甲车行驶的时间为30080 3.75÷=小时，设乙车行驶的时间为t 小时，乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：8012040300t t ++=，解得 1.3t =；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：8012040300t t +-=，解得 1.7t =；乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，()80100 2.540t t --=，解得：10.5t =，不符合题意舍去，综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．【点睛】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键．4．如图1，四边形ABCD 是一个长方形，一动点P 在长方形ABCD 边上运动，设点P 运动的路程为cm x ，APD △的面积为2cm S ，S 与x 的关系图象如图2所示．则4AP t =，104BP t =-，CQ =∴MPQ 的面积为ABC S W =-△1116103452222t t =⨯⨯-⨯⋅-⨯⋅-53t <≤BC 则410BP t =-，164CP t =-，BQ ∴MPQ 的面积为ABC S W =-△()1116103162222t =⨯⨯-⨯⋅--⨯254110t t t ⎧⎛-+≤≤(1)填写图2中数据：=a________，b=_______，c=_______的中线；(2)当t=_______s时，AE为ABC。

四川省成都七中育才学校七年级（下）第七周周练数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分）1．（3分）如果长方体的长为3a﹣4，宽为2a，高为a，则它的体积是（）A．3a2﹣4a B．a2C．6a3﹣8a2D．6a2﹣8a2．（3分）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．水的温度B．太阳光强弱C．太阳照射时间D．热水器的容积3．（3分）下列命题不正确的是（）A．若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行B．两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4．（3分）如果一个角的度数为20°16′，那么它的余角的度数为（）A．159°44′B．69°16′C．70°54′D．69°44′5．（3分）可以运用平方差公式运算的有（）个．①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．A．1B．2C．3D．06．（3分）若x、y均为正整数，且2x•2y＝128，则x+y的值为（）A．5B．6C．7D．87．（3分）若（x+a）（x+b）＝x2﹣kx+ab，则k的值为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．a﹣b D．b﹣a8．（3分）下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm9．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．（3分）请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）的结果是（）A．1﹣x n+1B．1+x n+1C．1﹣x n D．1+x n二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（3分）若∠α比60°角的补角的大35°，则∠α的余角为°．12．（3分）如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖块．13．（3分）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是．14．（3分）若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是（只填符合条件的一个即可）．15．（3分）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为．三、计算题：（每小题25分，共25分）16．（25分）（1）（﹣）﹣1﹣2﹣2×8+20160﹣（﹣0.125）201×8201；（2）1232﹣122×124；（3）（a+1）（1﹣a）+a（1﹣a）﹣1；（4）（﹣x2y5）3±（2x5y6）•（﹣xy2）；（5）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x．四、解答题：17．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠AOB的度数．18．（8分）如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中，是自变量，是因变量．（2）甲的速度乙的速度．（大于、等于、小于）（3）6时表示；（4）路程为150km，甲行驶了小时，乙行驶了小时．（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）（6）乙比甲先走了3小时，对吗？．19．（8分）如图①，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②，已知BC＝8cm．（1）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；（2）当E点停止后，求△ABE的面积．20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝50°．（1）求∠BFD的度数．（2）若∠BAD＝∠EBC，∠C＝42°，求∠BAC的度数．填空题：（每小题4分，共20分）21．（4分）若3x2﹣2x﹣1＝0，则6x3+2x2﹣6x+1的值为．22．（4分）已知x、y满足，则代数式的值为．23．（4分）一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则三角形底边长为．24．（4分）若a4+＝11，那么（a﹣）（a+）＝．25．（4分）如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠P AG＝12°，则∠ABD＝度．二、解答题：（共30分）26．（8分）已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数为度．（2）如图2中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．27．（10分）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？（2）若∠B：∠D：∠F＝2：4：x．求x的值．28．（12分）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地丢A地，同时出发．匀速行驶．各自到达终点后停止．设甲、乙两人间距离为S（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时）．变量s与t之间的关系如图所示．（1）求甲、乙各自的速度；（2）求甲出发后在什么时间甲、乙两人相距100千米．。

一、选择题1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（ ） A ．13B ．13或17C ．17D ．202．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．103．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．2021-5．如图，在ABC ∆中，DE 垂直平分BC 交AB 于点,D 交BC 于点E ．若10,8AB cm AC cm ==，则ACD ∆的周长是（ ）A ．12cmB ．18cmC ．16cmD ．14cm6．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b -+-=，则它的周长是（ ） A ．17B ．13或17C ．13D ．197．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 8．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度 A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 9．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．310．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．10312．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm二、填空题13．如图，∠C=90°，CB=CO，且点B坐标为（-2，0），则点C坐标为_________．14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____．15．如图，等腰ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则BDM的周长最小值为_____cm．16．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．（1）△ABC的周长等于_____；（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．17．如图，在△ACB中，∠ACB＝∠90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，∠DBC＝30°，DC＝4cm，则D到AB的距离为________cm．18．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°．19．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标； （3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．22．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：ABC求作：ABC 的边BC 上的高AD作法：（1）分别以点B 和C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧相交于点E ； （2）作直线AE 交BC 边于点D ． 所以线段AD 就是所求作的高．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BE ，CE ．BA =______∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理依据） 同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上BC ∴垂直平分AE （ ）（填推理依据） AD ∴是ABC 的高．23．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．24．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．求证：AF MFPF +=．（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．25．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．（1）依题意补全图形； （2）若ADF α∠=．①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由． 26．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a 和b 的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可； 【详解】∵ ()2370a b -+-=，∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立； 若腰为7时，则周长为7+7+3=17， 故选：C ． 【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；．2．B解析：B 【分析】通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案． 【详解】解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒ ∴AMB ∠=MDC ∠∵AM DM = ∴AMB MDC △≌△∴AB MC =,MB CD = ∵4AB =，10CD =∴4MC =,10MB = ∴=1046BC MB MC -=-= 故选B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．B解析：B 【分析】根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ． 在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ． 【详解】解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°， ∴△BCD 是等腰直角三角形． ∴BD ＝CD ．故①正确； 连接CG ．∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝CD 又DH ⊥BC ，∴DH 垂直平分BC ．∴BG ＝CG 在Rt △CEG 中，∵CG 是斜边，CE 是直角边， ∴CE ＜CG ． ∵CE ＝AE ，∴AE ＜BG ．故②错误． 在Rt △BEA 和Rt △BEC 中∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ．又∵BE ＝BE ，∠BEA ＝∠BEC ＝90°， ∴Rt △BEA ≌Rt △BEC ． ∴CE ＝AE ＝12AC ． 在Rt △DFB 和Rt △DAC 中，∵∠DBF ＝90°﹣∠BFD ，∠DCA ＝90°﹣∠EFC ，且∠BFD ＝∠EFC ， ∴∠DBF ＝∠DCA ．又∵∠BDF ＝∠CDA ＝90°，BD ＝CD ， ∴△DFB ≌△DAC ． ∴BF ＝AC ， ∴CE ＝12AC ＝12BF ， ∴2CE ＝BF ； 故③正确；由③可得△DFB ≌△DAC ． ∴BF ＝AC ；DF ＝AD ． ∵CD ＝CF +DF ，∴AD +CF ＝BD ；故④正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．4．A解析：A 【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案． 【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020． 解得a=2018，b=-2019， ∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=-故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．B解析：B 【分析】由题意可知BD=CD ，因此ACD ∆的周长= AB+AC ，据此可解． 【详解】解：∵DE 垂直平分BC ， ∴BD=CD ，∴ACD ∆的周长=AD+CD+AC = AD+BD+AC = AB+AC =10+8 =18(cm)， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BD=CD ．6．A解析：A 【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a ，b ，再根据等腰三角形的性质判断即可； 【详解】∵70a -=，∴70260a b -=⎧⎨-=⎩，解得73a b =⎧⎨=⎩， ∵a ，b 是等腰三角形的两边，∴当7a =为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系， 此时三角形的周长77317++=；当3b =为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17． 故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．7．C解析：C 【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．8．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 9．C解析：C【分析】根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．【详解】∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称∴2a =，3b =-∴()()20182018231a b +=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．10．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x 的值为4．故答案为：B【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键．12．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．二、填空题13．(－11)【分析】过点C作CD⊥y轴于点D根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1得出结果【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D∵∠ACB=90°CB=CO∴∠CBO=∠COB=45°∵CD⊥y轴∴∠C解析：(－1，1)【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1，得出结果．【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠ACB=90°，CB=CO，∴∠CBO=∠COB=45°，∵CD⊥y轴，∴∠CDO=90°，∴∠COD=∠DOC，∴OD=CD，∵CD⊥y轴，CB=CO，∴OD=1OB，2∵点B坐标为（-2，0），∴OB=2，∴OD=CD=1，∴点C坐标为(－1，1)，故答案为(－1，1)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．14．40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形可知DP＝DE所以可以分两种情况考虑:①点P在AB上；②点P在AC上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可知DP＝ DE，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．15．8【分析】连接AD 由题意易得AD ⊥BC 则有三角形BDM 的周长为BM+MD+BD 若使△BDM 的周长为最小值则需满足BM+MD 为最小值根据两点之间线段最短可得AD 为BM+MD 的最小值故问题可解【详解】解解析：8【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8cm．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．16．见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点F连接EF交AB 于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．【详解】（1）△ABC的周长等于4312⨯=，故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．17．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE解析：4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠A=∠ABD，∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，︒-︒=︒，∴BD=8cm，∠A+∠ABD=903060∴∠ABD=30︒，在Rt△BED中，∠EBD=30︒，BD=8cm，∴DE=14BD=cm，2即D到AB的距离为4cm，故答案为：4．【点睛】本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．18．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD∠C=∠CAE则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE的度数【详解】解：∵在△A解析：40【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD=BD，AE=CE，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．19．100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A解析：100【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．【详解】解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．故答案为：100．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．20．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P解析：21022+【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．【详解】AC=222222+=，如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC22+=26210所以△PAC周长的最小值为21022故答案为：21022．【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．（1）见解析；（2）BE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．【详解】（1）如图，AD为所作；（2）证明：连接BE ，CE ．BA =__BE____∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理依据）同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上BC ∴垂直平分AE （两点确定一条直线 ）（填推理依据）AD ∴是ABC 的高．故答案为：BE ；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点睛】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．23．AC BD ⊥，见解析【分析】根据垂直平分线的判定证明即可．【详解】解：AC BD ⊥；证明：∵AB AD =，∴点A 在BD 的垂直平分线上，∵CB CD =，∴点C 在BD 的垂直平分线上，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．24．（1）20°；（2）证明见解析；（3）12AM AN AP =+． 【分析】（1）借助等边三角形的性质可证明△CAE ≌△OAD ，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；（2）在OM 上截取EM=PF ，证明△FAP ≌△EAM ，得出AE=AF ，∠EAM=∠FAP ，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF 为等边三角形，继而得出结论；（3）证明△CAM ≌△COP 可得AM=OP=OA+AP ，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得12OA AN =，继而可得12AM AN AP =+． 【详解】解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，∵10DAC ∠=︒，6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，在△CAE 和△OAD 中∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△OAD （SAS ），∴∠AEC=∠ADO ，∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，∴∠AEC=20°，∴故答案为：20°；（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，如下图，在OM 上截取EM=PF ，在△FAP 和△EAM 中，∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAP ≌△EAM （SAS ），∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，∴∠EAF=∠MAP=60°，∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MF PF +=；（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，∵OP=OA+AP ，∴AM=OA+AP ，∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，∴∠PAM=∠MCP=60°，∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12OA AN =， ∴12AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =+． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 25．（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．【详解】解：（1）补全图形，如图所示，（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-，由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，如图,连接,GF GE ，由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，∵D 是AB 的中点，∴AD BD =，∵GD BD =，∴AD GD =，∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，∴GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=，∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒， ∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．26．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∵∠ABC=∠ECD ，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，∴∠ABD=∠EBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．。

树德中学七年级下数学试卷时间120分钟 满分150分 命题人 宣以好A 卷100分一、选择题每题3分,共36分.1．下列图案是几种名车的标志,请你指出,在这几个图案中是轴对称图形的共有A.4个B.5个C. 6个D.7个 2.在代数式bac a +21,53b ,π,2432--x x ,xy y x +,ab π,0,a b中, 下列结论正确．．的是 A ．有4个单项式,2个多项式 B ．有4个单项式,3个多项式 C ．有7个整式 D ．有3个单项式,2个多项式3.下列四个算式：1a a a 32-=+-；2633x x x =+；33553)()(m m m m =-⋅-÷-；4x x x x 22)24(2=÷+,其中错误．．的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20,则顶角的度数为A ．70 B.55 C.110 D. 70或110 5.．如图1,若∠AOB ＝180º,∠1是锐角,则∠1的余角是A ．21∠2－∠1 B. 21∠2－∠1 C. 21∠2－23∠1 D.31∠2＋∠1 6．同时抛掷两枚质地均匀的正方体,正方体的六个面上分别刻有1到6的整数,下列事件是不可能．．．事件的是 A. 点数之和为13 B .点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为12 7．等腰三角形的三边均为整数,且周长为11,则底边是 A ．1或3 B ．3或5 C ．1或3或5 D ．1或3或5或78．王老师骑车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,王老师加快了速度,仍保持匀速前进,结果准时到达学校;在下面的示意图中,能正确地表示自行车行进路程s 千米与行进时间t 小时的示意图的是9．下列说法中,正确．．的是 A. 近似数5百与500的精确度是相同的.B ．近似数5.05是精确到0.01的数,它有3个有效数字 C. .近似数55.0与55是一样的.D.近似数5.05是精确到百分位的数,它的有效数字是5和0.10. 如图2,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,且PD=PE,则△APD 与△APE 全等的理由是A ．SSSB ．ASAC ．SSAD ．HL 11．在下列结论中：1有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形2有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形3有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形4三个外角都相等的三角形是等边三角形;其中正确．．的个数是A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．若当1=x 时,代数式73++bx ax 的值为4,则当1-=x 时,代数式73++bx ax值为A.7B.12C.11D.10 二、填空题每题4分,共20分.答案写在答卷上．．．．．．．13．一个正方体的棱长为4×102毫米,用科学计数法表示：它的表面积=__________平方米.14. 如121--)(x 无意义,则=--21）（x _______. 15. 如图3,AB ∥CD,∠A=110°,∠FDA=50°,则∠CDE= 度. 16．小明照镜子的时候,发现T 恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子,请你判断这个英文单词是 ;17.下岗职工购进一批苹果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果数量x 千克与售价y 元的关系如下表：则y 与x 之间的关系式．．．为_________________.雪佛兰 三菱 雪铁龙 丰田 图3FEDC BAA BECG F D12 图4102030405060708090100110102040503060速度(千米/时)时间/分三、解答题44分18.6分化简:2()[()4]a b c a b c a b ab+-++--+（）19.8分先化简再求值：当x＝2时,求代数式)2()]1(2)23([2xxxxx-÷---的值．20.8分如图4,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD点E、F,EG平分∠AEF,1求证：△EGF是等腰三角形.2若∠1=40°,求∠2的度数. 21.12分如图5,小明的爸爸去参加一个聚会,小明坐在汽车上用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图,第二天,小明拿着这张图给同学看,并向同学提出如下问题,你能回答吗1在上述变化过程中,自变量是什么因变量是什么2小车共行驶了多少时间最高时速是什么3小车在哪段时间保持匀速,达到多少4用语言大致描述这辆汽车的行驶情况22.10分汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,如图,三个汉字可以看成是轴对称图形;1请再写出2个类似轴对称图形的汉字;2小明和小红利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的卡片上,背面朝上洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字如“土”“土”构成“圭”小明获胜,否则小红获胜,你认为这个游戏对谁有利请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明;B 卷50分图5EABCDDCBEA图6D E NMCAB一、填空题每题4分,共16分1. 如图6所示,在△ABC 中,DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC,交BC 于D 、E,若∠DAE=50°,则∠BAC= ,若△ADE 的周长为19cm,则BC= cm ．2.在班会活动中,同学们设计了一个玩飞镖的游戏,靶子设计如图7所示,从里到外三个圆的半径分别是2、3、4,假设每次掷飞镖都击中靶子,则击中阴影部分的概率为 .3．如果等式232x x ++=()()211x B x C -+-+恒成立．．．,其中B,C 为常数,B+C=___ 4. ._____________162,0336323=++=++a a a a a a 求若二、解答题.5. 6分已知y x ,满足y x x y --+-=45222,求代数式y x xy +的值;6.作图题每小题2分,共8分如图81和82,P 是直线m 一动点,A.B 两点在m 的同侧,且A 、B 所在直线与m 不平行;不写作．．．法．,．请保留作图痕迹．．．．．．．; 1当P 点运动到P 1位置时,距离A 点最近；运动到P 2位置时,距离B 点最近,在图．81．．中的直线m 上分别画出点P 1、P 2的位置;2当P 点运动到P 3位置时,与A 点的距离和与B 点距离相等;请在图81中作出P 3 位置;3在直线m 上是否存在这样一点P 4使得到A 点的距离与到B 点的距离之和最小;若存在请在图．82．．中．作出这点;若不存在请说明理由; 4在直线m 上是否存在这样一点P 5使得到B 点的距离与到A 点的距离之差最大;若存在请在图．82．．中．作出这点;若不存在请说明理由;图81 图827.10分如图91,已知：ΔABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AE 是过A 的一条直线,且B 、C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E.1ΔABD 与ΔCAE 全等吗 BD 与AE 、AD 与CE 相等吗 为什么 4分 2BD 、DE 、CE 之间有什么样的数．量．关系 写出关系式即可2分 3若直线AE 绕A 点旋转,如图92,其它条件不变．．,那么BD 与DE 、CE 的关系如何 说明理由;4分8.10分如图10,已知：Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=2,将一块三角尺的直角顶点图91图92mA BPmA BP与斜边AB 的中点M 重合,当三角尺绕着点M 旋转时,两直角边始终保持分别与边BC 、 AC 交于D,E 两点D 、E 不与B 、A 重合． 1试说明：MD=ME ；6分2求四边形MDCE 的面积．4分附加题共20分1.设a 、b 、c 、d 都是整数,且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和, 其形式是_________________________.10分2.y-z 2+x-y 2+z-x 2=y+z-2x 2+z+x-2y 2+x+y-2z 2. 求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值.10分参考答案 A 卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ADDBACCBDCD二、填空题;13.19.610-⨯ 14 .____4____ 15. APPLE 16.060 17. 2.1y x = 18. 2c - 19.5220.1是,证明略. 20100 21. 1自变量是时间,因变量是速度;2小车共行驶了50分钟,最高时速是90千米/时 330分~60分 4略22.1田,目等2不公平,对小红有利;B 卷 一. 填空题.1. 0115 19cm 2.516 3. 11 4. 16- 或0 二.作图题. 略三.解答题5.略6. -17. 1全等 2BD=ED+CE 3DE=BD+CE8.1略 21附加题：1. 22()()mn ac bd ad bc =++- 2.1图10。

成都七中实验学校（初中部）数学轴对称填空选择单元测试题（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，在△BDA和△AEC中，ABD CAED EAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴DA＝CE＝3，AE＝DB＝14，∴ED＝DA＋AE＝17cm．如图，当D，E在BC的两侧时，同法可证：BD＝CE＋DE，可得DE＝11cm，故答案为：11cm或17cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．3．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【答案】3【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.4．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 .【答案】41.【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，BA CABAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，∴△BAD≌△CAD′(SAS)，∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=22()=32=42AD AD+'，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=22()=932=41DC DD+'+∴BD=CD′=41，故答案为41.5．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22=234.DE BE故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________.【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．7．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.【解析】【分析】由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．【详解】解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，∴FP=FQ=3，∵∠ABC=90°，∴四边形BPFQ是正方形，∴BP=BQ=3．在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，∵AF、CF是角平分线，∴∠FAC+∠FCA=45°，∴∠AFC=180°-45°=135°．易证△AFC≌△DFC（SAS），∴∠AFC=∠DFC=135°，∴∠ADF=90°，同理可得∠EFC=90°，∴∠MFN=360°-90°-90°-135°=45°．∵∠PFM+∠MFN=90°，∠MFN+∠QFG=90°，∴∠PMF=∠QFG，∵∠FPM=∠FQG=90°，FP=FQ，∴△FPM≌△FQG（ASA），∴PM=QG，FM=FG．在△FMN和△FGN中45FM FGMFN GFNFN FN=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△FMN≌△FGN（SAS），∴MN=NG，∴MN=NG=NQ+QG=PM+QN，∴△BMN的周长为：BM+BN+MN= BM+BN+ PM+QN=BP+BQ=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．8．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 o，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.【答案】52或132【解析】解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积=12CE•CF=32，∴△DEF的面积=12×2×2﹣32=52．②E'在AC延长线上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=22∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'（SAS），∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E 'DF '=90°．∵DE '2=CE '2+CD 2﹣2CD •CE 'cos135°=1+8+2×22×22=13，∴S △E 'DF '=12DE '2=132．故答案为132或52．点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE ≌△CDF 和△CDE ≌△BCF 是解题的关键．9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段上，连接EF 、CF ，则下列结论2BCD DCE ①∠=∠；EF CF =②；3DFE AEF ③∠=∠，2BEC CEF SS =④中一定成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)【答案】②③【解析】分析：由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，易得AF=FD=CD ，继而证得①∠DCF=12∠BCD ；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系，进而得出答案．详解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，即∠BCD=2∠DCF；故此选项错误；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，A FDMAF DFAFE DFM∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；综上可知：一定成立的是②③，故答案为②③．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．10．如图，90C∠=︒，10AC=，5BC=，AM AC⊥，点P和点Q从A点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．【答案】AC 中点或点P 与点C 重合【解析】分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP BC =的，∵90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt QPA 中，AP BC PQ AB=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，即5AP BC ==，即P 运动到AC 的中点．②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），即AP=AC=10cm ，∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确；∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴,③错误∵∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确故由①②④三个正确，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.13．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线．．AD=4，则△ABC的面积．．为（）A．30B．48C．20D．24【答案】D【解析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点,所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,AD EDADC EDBDC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,又因为AE=2AD=8,AB=6,所以222AB AE BE=+,所以∠CAD＝∠E=90°,则11114646242222 ABC ABD ADCS S S AD BE AD AC=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,所以故选D.14．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【解析】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，所以AD=AE=EC，即③正确；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．15．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm【答案】C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.16．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．1+2B．1+22C．2-2D．2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为2，腰长为12，所以周长为1122122++=+.故答案为B.17．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】结论（1）正确，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA），同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）错误．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，∴（CD+CE ）2=CD 2+CE 2+2CD•CE=DE 2+2CD•CE=2OA 2；结论（4）正确，理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴AD=CE ；∵△COD ≌△BOE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+CE 2=DE 2，∴AD 2+BE 2=DE 2．∵△AOD ≌△COE ，∴OD=OE ，又∵OD ⊥OE ，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE 2=2OE 2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE ，∴△OEP ∽△OCE ，∴，即OP•OC=OE 2．∴DE 2=2OE 2=2OP•OC ，∴AD 2+BE 2=2OP•OC ．综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．19．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ）A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠DB ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠DC ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠FD ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，逐一判断：A 、AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ，不符合“SAS ”定理，不能判断全等；B 、AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D ， 不符合“ASA”定理，不能判断全等；C 、∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ，“AAA ”不能判定全等；不符合“SAS ”定理，不对应，不能判断全等；D 、AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D ，可利用“SAS ”判断全等；故选：D ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，在DAF △和ABH 中 ()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.21．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．22．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ，则下列结论不正确的是A ．BF =DFB ．∠1=∠EFDC ．BF >EFD ．FD ∥BC【答案】B【解析】【分析】 根据余角的性质得到∠C =∠ABE ，∠EBC =∠BAC ．根据SAS 推出△ABF ≌△ADF ，根据全等三角形的性质得到BF =DF ，故A 正确；由全等三角形的性质得到∠ABE =∠ADF ，等量代换得到∠ADF =∠C ，根据平行线的判定得到DF ∥BC ，故D 正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF ，等量代换得到BF ＞EF ；故C 正确；根据平行线的性质得到∠EFD =∠EBC =∠BAC =2∠1，故B 错误．【详解】∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠C +∠BAC =∠ABE +∠BAC =90°，∴∠C =∠ABE ．同理：∠EBC =∠BAC ．在△ABF 与△ADF 中，∵12AD AB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ADF ，∴BF =DF ，故A 正确， ∵△ABF ≌△ADF ，∴∠ABE =∠ADF ，∴∠ADF =∠C ，∴DF ∥BC ，故D 正确；∵∠FED =90°，∴DF ＞EF ，∴BF ＞EF ；故C 正确；∵DF ∥BC ，∴∠EFD =∠EBC ．∵∠EBC =∠BAC =∠BAC =2∠1，∴∠EFD =2∠1，故B 错误． 故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF ≌△ADF 是解题的关键．23．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BQ ；③PQ ∥AE ；④DE ＝DP ；⑤∠AOE ＝120°；其中正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中AB ADB ADFBG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中AG AFFAE GAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．25．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC ≌△ADB,∴DB=DC ，②正确；又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ，∴△CDE ≌△BDF,∴DE=DF ，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.26．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=12S△ABC，上述结论中始终正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP⊥BC，AP=PB，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠ APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE，在△BPE和△APF中，∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，∴△PFA≌△PEB；故①正确；∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，∴AP=12 BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA =S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.故选：C.点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.27．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解析】【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．【详解】如图所示，连接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE与△CBA中，DAE ACBAD BCADE B∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE ，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故选B ．【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．28．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．29．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将30．如图，在Rt△ABC中，AB AC△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：+=①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE 其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FA E=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．故选D．。