人教版八年级上册数学同步课件-第13章-13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
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人教版数学八年级上册13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件
又AC= AC ,∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB= AD ,∴△ABD是 等边 三角形,
∴BC=
1 2
BD=12AB.
·导学建议· 知识点由等边三角形的性质,得到直角三角形中30度角所对 的直角边等于斜边的一半的性质,培养学生学会从已掌握的知 识探究新知识的方法. 定理的证明可以鼓励学生应用不同的方法进行证明,培养学 生的发散思维.
·真实情境· 《2022年版数学课程标准》中指出:情境创设的真实性.本 题以轮船航行为背景,将直角三角形30度角的性质融入其中.
解:如图,过点P作PC⊥BC于点C. ∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,∴∠APB=15°,
∴∠PAB=∠APB,∴PB=BA,∴PC=1AB=15,即
2
点C距小岛P只有15海里,而小岛周围18海里
内有暗礁,
∴轮船继续向前航行,会有触礁的危险.
方法归纳交流 当题目中有15°的角出现时,常构造 含30°角的直角 三角形解决问题.
·导学建议· 与实际生活有关的问题,要提醒学生先从实际问题中抽象出 数学问题,然后再借助所学的数学知识加以解决.通过这些题目 可培养学生的数学建模能力及解决问题的能力.
是轴对称图形,沿AD折叠后,B与C重合,则BD= CD =
1 BC
2
,∠ADB=∠ADC= 90°,∠BAD=∠CAD= 30° .又
AB=BC,∴BD= 1 AB.
2
2.上述结果我们也可以采用如下方法证明:
如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°, 则∠B= 60° .
如图3,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去 种植,如果∠C=90°,∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大 小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
八年级数学上册第13章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形课件新版新人教版
证明：连接 MA.
∵AB 的中垂线是 MN，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠MAB＝30°，∴∠CAM ＝90°，∴CM＝2AM＝2BM.
4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，则 PD 等于( C )
A．4 C．2
B．3 D．1
5．(河池中考)已知等边△ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过 D 作
易错点：误把 30°所对的直角边弄成等于另一条直角边的一半．
自我诊断 2. 如图，在 Rt△ABC 中，CD⊥AB 于 D，∠A＝30°，BD＝4cm，
则 AD 等于( C )
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．16cm
1．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系
DE⊥AC 于点 E，过 E 作 EF⊥BC 于点 F，过 F 作 FG⊥AB 于点 G.当 G 与
D 重合时，AD 的长是( C )
A．3
B．4
C．8
D．9
6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE 垂直平分 AB， 交 BC 于点 E，BE＝6cm，则 AC 等于 3cm .
编后语
听课不仅要动脑，还要动口。这样，上课就能够主动接受和吸收知识，把被动的听课变成了一种积极、互动的活动。这对提高我们的学习积极性和口 头表达能力，以及考试时回答主观题很有帮助的。实践证明，凡积极举手发言的学生，学习进步特别快。上课的动口，主要有以下几个方式：
第一，复述。
课本上和老师讲的内容，有些往往非常专业和生硬，不好理解和记忆，我们听课时要试着用自己的话把这些知识说一说。有时用自己的话可能要啰 嗦一些，那不要紧，只要明白即可。
∵AB 的中垂线是 MN，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠MAB＝30°，∴∠CAM ＝90°，∴CM＝2AM＝2BM.
4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，则 PD 等于( C )
A．4 C．2
B．3 D．1
5．(河池中考)已知等边△ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过 D 作
易错点：误把 30°所对的直角边弄成等于另一条直角边的一半．
自我诊断 2. 如图，在 Rt△ABC 中，CD⊥AB 于 D，∠A＝30°，BD＝4cm，
则 AD 等于( C )
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．16cm
1．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系
DE⊥AC 于点 E，过 E 作 EF⊥BC 于点 F，过 F 作 FG⊥AB 于点 G.当 G 与
D 重合时，AD 的长是( C )
A．3
B．4
C．8
D．9
6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE 垂直平分 AB， 交 BC 于点 E，BE＝6cm，则 AC 等于 3cm .
编后语
听课不仅要动脑，还要动口。这样，上课就能够主动接受和吸收知识，把被动的听课变成了一种积极、互动的活动。这对提高我们的学习积极性和口 头表达能力，以及考试时回答主观题很有帮助的。实践证明，凡积极举手发言的学生，学习进步特别快。上课的动口，主要有以下几个方式：
第一，复述。
课本上和老师讲的内容，有些往往非常专业和生硬，不好理解和记忆，我们听课时要试着用自己的话把这些知识说一说。有时用自己的话可能要啰 嗦一些，那不要紧，只要明白即可。
人教版八年级上册数学同步课件-第13章-13.2 第1课时 画轴对称图形
l BA C D
FE
G
H
数学课堂教学课件设计
5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.
m (A ′) A
C′
C
B
B′
随堂即练
数学课堂教学课件设计
随堂即练
6.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 △ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶
点的三角形，这样的三角形共有__5___个.请在下面所给的格纸
随堂即练
2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、
D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则
∠B′OG的度数为____5_5_°__.
数学课堂教学课件设计
3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
随堂即练
l l
l
数学课堂教学课件设计
l
随堂即练
4. 如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴. 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.
中一一画出（所给的六个格纸未必全用）．
A
CA
C
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B
B
B
A
CA
C
A
C
B
B
B
数学课堂教学课件设计
课堂总结
作图 原理
对称轴是对称点连线的垂直平分线.
画轴对 称图形
作图 方法
(1)找特征点； (2)作垂线； (3)截取等长； (4）依次连线.
数学课堂教学课件设计
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.掌握作轴对称图形的方法.（重点） 2.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形. （难点） 3.通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感.
FE
G
H
数学课堂教学课件设计
5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.
m (A ′) A
C′
C
B
B′
随堂即练
数学课堂教学课件设计
随堂即练
6.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 △ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶
点的三角形，这样的三角形共有__5___个.请在下面所给的格纸
随堂即练
2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、
D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则
∠B′OG的度数为____5_5_°__.
数学课堂教学课件设计
3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
随堂即练
l l
l
数学课堂教学课件设计
l
随堂即练
4. 如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴. 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.
中一一画出（所给的六个格纸未必全用）．
A
CA
C
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B
B
B
A
CA
C
A
C
B
B
B
数学课堂教学课件设计
课堂总结
作图 原理
对称轴是对称点连线的垂直平分线.
画轴对 称图形
作图 方法
(1)找特征点； (2)作垂线； (3)截取等长； (4）依次连线.
数学课堂教学课件设计
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.掌握作轴对称图形的方法.（重点） 2.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形. （难点） 3.通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感.
人教版初中数学八年级上册《13.3.2等边三角形——含30°角的直角三角形的性质》
AC= .
B
C
D
A
三、新知应用
例、下图是屋架设计的一部分，点D
是斜梁AB 的中点，立柱BC,DE 垂直 于横梁AC,AB=7.4m, ∠A= 30°， 立柱BC, DE 要多长？
D
B
A
E
CБайду номын сангаас
四、拓展提升
1、如图，点O 是直线BC 上一点， ∠AOB= 30°,
PO 平分∠AOC,PM ∥ BC 交AO 于点MP=8cm， PD ⊥ OC 于点D，则PD 等于
1 AB 2
A
30 °
B
C
一、新知探究
证法： A
30 °
A D
30 °
A
30 °
E
B
C
D
B
C
B
C
（延长 至D，使CD=BC ）
（作 BD=BC ）
（作∠ACE=30°）
一、新知探究
证法：
A
30 °
A
D
30 °
A
D
30 °
E D
E
E B C B C
B
C
（作BD平分∠ABC, DE ⊥ AB）
（作DE垂直平分AC, 连接 DC）
这个定理，反映了三角形的边角关系。
二、新知巩固
1、如图，在R t △ A B C 中
∠C=90 °, ∠A=30°，
A B = 6 ，则B C =___.
B
C A
2、如图，在R t △ A B C 中
∠C=90 °,∠B=2 ∠A，AB=12，
B C
A
则B C = ___.
二、新知巩固
新宁县一中八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形
新知探究
含30 °直角三角形性质探索 :
在△ABＤ中 , ＡＢ＝ＢＤ＝ＤＡ , Ａ Ｃ是底边ＢＤ上的高 , 探究ＢＣ与Ａ Ｂ之间的数量有什么关系 ？
A
分析 : ∵ ＡＣ是等边△ABＤ的高
∴ △ABＤ关于直线ＡＣ対称
B
ＣＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ
∵ＡＢ＝ＢＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ＝
1 2
ＡＢ
在一个直角三角形中 , 如果一个角是30 ° , 那么30 °的角所対的直角边与斜边又有什么关系呢 ？
在直角三角形中 , 如果一个锐角等30° , 那么 , 它所対的直角边等于斜边的一半。
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
解 : 轴対称图形有 : 角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角 形、等腰梯形和矩形 ; 角、线段、扇形、等腰梯形只有1条対称轴 , 直线、 圆有无数条対称轴 , 正方形有4条対称轴 , 等边三角形有3条対称轴 , 矩形 有2条対称轴。
【合作探究]小组讨论交流解题思路 , 小组活动后 , 小组代表展示活动成果。10分钟
如下图 , △ABC和△DEF关于某条直线成轴対称 , 你能作出 这条直线吗 ？
点拨精讲 : 作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定 , 而作対称轴 是根据轴対称的性质作対称轴。 总结归纳 : ①如果两个图形成轴対称 , 其対称轴就是任何一对对应点所连
线段的垂直平分线 。②対于轴対称图形 , 只要找到任意一组対应点 , 作出対应点所连线段的垂直平分线 , 就得到此图形的対称轴。
最新人教版初中八年级上册数学【第十三章 13.3.2等边三角形(第二课时)】教学课件
三边都相等的三角形为等边三角形.
2. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
1
2
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究活动
探究活动：如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一
起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
之间的数量关系吗？
1
结论：BC AB
2
斜边
理由：①△ABD为等边三角形
BD=AB
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称
1
= �� =
2
30°所对
的直角边
结论证明
从探究活动可得到结论：
在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
下面我们将证明这个结论的正确性。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
点D，使得CD=BC.
2.截长法：如图2中，截取BD=BC
或作线段AB的中点D.
特别地，当刚好出现的是2倍关系的时候，延长的线段刚好与
之相等，或者截取的线段刚好是它的一半时，我们也称这种
添加辅助线的方法为“倍长中线法”.
“截长补短法”和“倍长中线法”是添加辅助线的常用方
法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目.
2. 它解决了什么问题？
直角三角形中的有关线段长度的计算问题.
八年级—人教版—数学—十三章
13.3.2 等边三角形（2）（课时答疑）
问题一：含30°角的直角三角形的性质可以解决什么问题
？
答：直角三角形中的角与角之间的关系
直角三角形中的边与边之间的关系
2. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
1
2
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究活动
探究活动：如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一
起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
之间的数量关系吗？
1
结论：BC AB
2
斜边
理由：①△ABD为等边三角形
BD=AB
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称
1
= �� =
2
30°所对
的直角边
结论证明
从探究活动可得到结论：
在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
下面我们将证明这个结论的正确性。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
点D，使得CD=BC.
2.截长法：如图2中，截取BD=BC
或作线段AB的中点D.
特别地，当刚好出现的是2倍关系的时候，延长的线段刚好与
之相等，或者截取的线段刚好是它的一半时，我们也称这种
添加辅助线的方法为“倍长中线法”.
“截长补短法”和“倍长中线法”是添加辅助线的常用方
法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目.
2. 它解决了什么问题？
直角三角形中的有关线段长度的计算问题.
八年级—人教版—数学—十三章
13.3.2 等边三角形（2）（课时答疑）
问题一：含30°角的直角三角形的性质可以解决什么问题
？
答：直角三角形中的角与角之间的关系
直角三角形中的边与边之间的关系
八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质
学校县定都市金山库镇敦煌钟中心学校教师龙去燕燕班级活跃1班第2课时含30°角的直角三角形的性质【知识与技能】1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.2.会利用性质解题.【过程与方法】通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【教学难点】巧妙运用性质解题.一、情境导入，初步认识用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=12AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°.∵AM平分∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.∵CM=12AM=7.5cm.∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.【教学说明】在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.例 2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.（1）求∠CBD的度数；（2）求AB的长.【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC ∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD 底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=12CD=2.又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,∴△CBM≌△EBM(ASA),∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8.【教学说明】直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=12 BC.【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12(180°-120°)=30°.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=12 BD.同理，在Rt△CDF中，DF=12 CD.∴DE+DF=12BD+12CD=12(BD+CD)=12BC.例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.解：延长AD、BC交于点E,在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.三、运用新知，深化理解1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（）.A.1∶3B.1∶2C.2∶3D.1∶42.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.【答案】1.B 2.等边三角形四、师生互动，课堂小结特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.。
人教版八年级上数学课件 13.3.2 等边三角形的性质与判定 (共两课时) 课件
性质
判定
课堂总结
底=腰
边 角 轴对称性 三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 ° 轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一” 性质
等腰三角形法
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
性质
A 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
性质
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
A
A
内角和 为180°
B
C
等腰三角形
AB=AC ∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
B
C
等边三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C =60°
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每
一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明方法： 倍长法
A
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴
1
BC =
BD．
2
∴
1
BC =
AB．
2
B
C
D
【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要 分清线段所在的直角三角形．
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB
13.3.2等边三角形(含30°角的直角三角形的性质)教案
-掌握含30°角的直角三角形斜边与直角边的长度比，以及斜边上的中线等于斜边的一半这一性质。
-将等边三角形和含30°角的直角三角形的性质应用于解决复杂的几何问题。
举例解释：
a.对于等边三角形三条中线、高线、角平分线重合的性质，可以通过画图和实际操作让学生直观感受，同时配合例题讲解，让学生掌握如何运用这一性质解决几何问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形，其特点是三个角都相等，均为60°。等边三角形在几何图形中具有重要的地位，它的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个等边三角形的性质，了解如何利用这些性质来计算三角形的面积和周长。
2.逻辑推理：培养学生运用几何知识进行逻辑推理的能力，使学生能够通过已知性质推导出相关结论，并应用于解决实际问题。
3.数学抽象：使学生能够从具体的几何图形中抽象出数学规律，形成对等边三角形和含30°角的直角三角形性质的一般性认识。
4.数学建模：通过分析实际问题，引导学生运用所学知识构建数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对等边三角形和含30°角的直角三角形的性质表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更好地理解这些几何概念的应用。在讲授新课的过程中，我注意到以下几点：
1.学生们对于等边三角形的三个角都是60°这一性质理解得较为透彻，但在运用到实际问题时，部分同学还需要进一步练习如何将这一性质与问题相结合。
13.3.2等边三角形（含30°角的直角三角形的性质）教案
一、教学内容
本节选自教材第十三章第三节第二部分“等边三角形（含30°角的直角三角形的性质）”。教学内容主要包括以下两个方面：
-将等边三角形和含30°角的直角三角形的性质应用于解决复杂的几何问题。
举例解释：
a.对于等边三角形三条中线、高线、角平分线重合的性质，可以通过画图和实际操作让学生直观感受，同时配合例题讲解，让学生掌握如何运用这一性质解决几何问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形，其特点是三个角都相等，均为60°。等边三角形在几何图形中具有重要的地位，它的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个等边三角形的性质，了解如何利用这些性质来计算三角形的面积和周长。
2.逻辑推理：培养学生运用几何知识进行逻辑推理的能力，使学生能够通过已知性质推导出相关结论，并应用于解决实际问题。
3.数学抽象：使学生能够从具体的几何图形中抽象出数学规律，形成对等边三角形和含30°角的直角三角形性质的一般性认识。
4.数学建模：通过分析实际问题，引导学生运用所学知识构建数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对等边三角形和含30°角的直角三角形的性质表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更好地理解这些几何概念的应用。在讲授新课的过程中，我注意到以下几点：
1.学生们对于等边三角形的三个角都是60°这一性质理解得较为透彻，但在运用到实际问题时，部分同学还需要进一步练习如何将这一性质与问题相结合。
13.3.2等边三角形（含30°角的直角三角形的性质）教案
一、教学内容
本节选自教材第十三章第三节第二部分“等边三角形（含30°角的直角三角形的性质）”。教学内容主要包括以下两个方面：
人教版数学八年级上册13.3.2：含有30度角 的直角三角形的性质 教案
已知：在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°求证：BC= 21AB 证明:延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图) 在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°，则∠B=60°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC= 21BD= 21AB ．归纳：含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半即 ∵在Rt △ABC 中，∠A ＝ 30 ° ∴BC= 1/2AB .（ 或2BC=AB ） 试一试1.如图：在Rt △ABC 中 ∠A=300,若BC=4,则AB=_8____， BD= 2 。
2、屋架设计图,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB＝8m,∠A ＝30°则BC= 4m___, DE=2m____的直角边BC (30°角所对的)与斜边AB 之间的数量关系吗(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探究出来的结论，还要给予证明)。
活动3、你能证明这一性质吗?追问; 将△ABC 怎样变化？（引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D,使CD=BC,连接AD.） 规律;加倍法是证明倍分关系的常用方法。
归纳小结含30°角的直角三角形的性质定理是什么？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半 追问1.使用定理解题时要注意什么？（1）在直角三角形中 （2）有一个锐角是30°BA CDE三．典题解析1.含30°角的直角三角形性质求线段的长度例1．（1）.如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠B=150,求腰AB 上的高的长度。
13.3.2(2) 含30度角的直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(人教版)
30°∵DA⊥BA，∴∠CAD＝
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，
∴AD= BD=5
∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=DB= AB
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，
∴AD= BD=5
∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=DB= AB
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
人教版八年级数学上册 课件：13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质【精品】
则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
D
6
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
证明方法：
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
截半法
∵ ∠A= 30°，
A
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
八年级数学上（RJ）
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
2
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？
C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空
地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草
皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要B( ) A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
20
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，
AB．
B
C
8
判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.3 等腰三角形 课件(共18张PPT)
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
细心观察，探索性质
思考1：一个三角形满足什么条件才是等边三 角形？
任意三角形
等边三角形
1.三条边都相等的三角形是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形
细心观察，探索性质
思考2：等腰三角形满足什么条件时是等边三 角形呢？
等腰三角形
等边三角形
细心观察，探索性质
证明：有一个角是60°的等腰三角形是等边
人教版八年级上
13.3.2 等边三角形
学习目标： 1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定
进行计算和证明．
学习重点： 探索等边三角形的性质与判定．
创设情境，导入新知
创设情境，导入新知
八年级数学上册广东人教版同步课件第十三章 13-3-2 等边三角形
(2)由(1)知：△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°.
7．(素养提升题)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在 同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH. (1)试证明AD＝BE； (2)试证明△BCH≌△ACG； (3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°. ∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE. (2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG. ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上， ∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°. 又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH.
5.(2021·惠 州 期 中 ) 已 知 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 为 AC 的 中 点 ， DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF. 求证：(1)∠B＝∠C； (2)△ABC是等边三角形． 【解析】见全解全析
6．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC.求证：△ADE 为等边三角形．
4．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植 草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草 皮至少需要( B ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
5．(2021·广州质检)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB 交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则 BC的长为___6___．
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之间的数量关系吗？ A
B
C
分离 拼接
数学课堂教学课件设计
新课引入 问题2 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示， 你有什么发现？
数学课堂教学课件设计
新课讲解
1 含30°角的直角三角形的性质
A 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,
∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.
数学课堂教学课件设计
含 30° 角的 直角 三角 形的 性质
内容
课堂总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注 意 前提条件：直角三角形中
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第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
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学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
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问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起， 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
22
即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
新课讲解
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰
上的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的
长度是( D )
A．3cm
B．6cm
C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm. 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
证明方法： 倍长法
A
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴
1
BC =
BD．
2
1
∴ BC = AB．
2
B 数学课堂教学课件设计
C
D
新课讲解
【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
数学课堂教学课件设计
新课讲解
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构 造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作 高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30° 角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
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随堂即练
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高 度为( B ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空 地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮 每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( B ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a数元学课堂教学课件设计
1
可得BC=CD= 2 AB.
▼性质： 在直角三角形中，如果一 B
C
D
个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他 方法证明吗？
数学课堂教学课件设计
新课讲解
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = 1 AB． 2
【证法1】在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°，
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴
1
BC =
AB．
B
2
数学课堂教学课件设计
证明方法： 截半法 A
E
C
知识要点
★含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
▼应用格式：
A
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB． 2
B 数学课堂教学课件设计
C
判断下列说法是否正确：
新课讲解
（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角
边的一半.
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
新课讲解
新课讲解
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中
点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A
=30°，立柱BC、DE 要多长？
B D
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？
它们所对的锐角分别是多少度？
数学课堂教学课件设计
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB, DE= 1 AD，
2
2
B
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
EC
∴DE= 1 AD= 1 ×3.7=1.85 (m).
8
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随堂即练
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连结AE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
1
AE=
1 BE=2.5．
2
2 数学课堂教学课件设计
随堂即练
7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是 BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，
随堂即练
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高， ∠A =30°，AB =4，则BD = 1 .
C B
B
D
第3题图
C
A
第5题图
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则
BC = 5 .
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，
则AB=______.
∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝ ∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP， PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形．
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新课讲解
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的
平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分
线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解：CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
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∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝
1 2
AD＝
1 2
BD，即CD＝
1 2
DB.
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注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要
分清线段所在的直角三角形．
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新课讲解
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB
于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于C( )
A．3
B．2
E
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝
B
C
分离 拼接
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新课引入 问题2 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示， 你有什么发现？
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新课讲解
1 含30°角的直角三角形的性质
A 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,
∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.
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含 30° 角的 直角 三角 形的 性质
内容
课堂总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注 意 前提条件：直角三角形中
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第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
数学课堂教学课件设计
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
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问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起， 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
22
即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
新课讲解
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰
上的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的
长度是( D )
A．3cm
B．6cm
C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm. 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
证明方法： 倍长法
A
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴
1
BC =
BD．
2
1
∴ BC = AB．
2
B 数学课堂教学课件设计
C
D
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【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
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方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构 造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作 高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30° 角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
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1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高 度为( B ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空 地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮 每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( B ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a数元学课堂教学课件设计
1
可得BC=CD= 2 AB.
▼性质： 在直角三角形中，如果一 B
C
D
个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他 方法证明吗？
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已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = 1 AB． 2
【证法1】在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°，
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴
1
BC =
AB．
B
2
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证明方法： 截半法 A
E
C
知识要点
★含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
▼应用格式：
A
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB． 2
B 数学课堂教学课件设计
C
判断下列说法是否正确：
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（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角
边的一半.
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
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方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
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例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中
点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A
=30°，立柱BC、DE 要多长？
B D
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？
它们所对的锐角分别是多少度？
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解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB, DE= 1 AD，
2
2
B
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
EC
∴DE= 1 AD= 1 ×3.7=1.85 (m).
8
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6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连结AE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
1
AE=
1 BE=2.5．
2
2 数学课堂教学课件设计
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7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是 BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，
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3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高， ∠A =30°，AB =4，则BD = 1 .
C B
B
D
第3题图
C
A
第5题图
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则
BC = 5 .
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，
则AB=______.
∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝ ∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP， PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形．
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例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的
平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分
线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解：CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
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∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝
1 2
AD＝
1 2
BD，即CD＝
1 2
DB.
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注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要
分清线段所在的直角三角形．
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例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB
于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于C( )
A．3
B．2
E
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝