板块四《数列》： 第1节 数列的概念与简单表示法

数列的概念和表示方法数列是数学中重要的概念之一。

它由一系列按照一定规律排列的数字组成，这些数字依次排列，每一个数字称为数列的项。

数列的概念和表示方法有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。

一、数列的概念数列是按照一定规则排列的数字序列。

数列中的每个数字称为该数列的项。

数列可以无限延伸，也可以中断。

数列中的规律可以通过一定的公式或递推关系进行表示。

数列是数学研究以及实际问题解决中的重要工具。

二、数列的表示方法1. 通项公式通项公式是用代数表达式来表示数列中任意一项与该项所在位置之间的关系。

通项公式通常依赖于数列的项数或项号。

例如，斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n为项号，Fn表示第n项的值。

2. 递推公式递推公式是通过已知的一些项来推导出数列中的其他项的公式。

递推公式是数列的项之间的关系表达式。

例如，等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1为首项的值，d为公差。

3. 图形表示数列也可以通过图形表示来展示其规律。

可以使用折线图、柱状图等方式将数列中的项与其对应的位置进行关联，从而更直观地观察数列的规律。

三、数列的应用数列的概念和表示方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。

1. 自然科学中常常涉及到一些指数、级数等数列的求和问题。

例如天体物理学中的一些数学模型，对宇宙星系中星体的数量进行估算，可以使用数列求和的方法。

2. 经济学中，通过构建数列模型可以研究经济发展的趋势，并对经济指标进行预测和分析，从而指导经济政策的制定。

3. 在工程领域，数列的应用也非常广泛，如电子电路中的信号处理、图像处理等领域都离不开数列分析与处理。

4. 生活中的一些规律也可以通过数列进行描述，如雨滴的滴落、植物的生长等，都可以用数列来表示和研究。

总结：数列作为数学中的一个重要概念，有着广泛的应用领域。

通过数列的概念和表示方法，我们可以更好地理解和分析规律性的事件和现象。

总结数列第一节知识点归纳数列是高中数学中重要的一个概念，它是指按一定规律排列的一组数。

数列的学习是数学学习的基础，而数列的第一节知识点是我们对于数列的认识和基本概念的初步了解。

本文将对数列的第一节知识点进行归纳总结。

1. 什么是数列数列是按照一定规律排列的一组数。

数列的构成元素有两个要素，即首项和公差。

首项是数列中的第一个数，而公差是数列中相邻两项之间的差值。

数列的一般形式可以表示为：{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，其中a₁表示首项，aₙ表示第n项。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。

初学等差数列，重要的是掌握如何计算任意一项和前n项的和。

3. 等差数列的性质（1）等差数列的项数无限。

（2）等差数列的相邻两项之间的差值是相等的。

（3）等差数列的平均数等于中间项。

4. 等差中项等差中项是指等差数列中两个已知项的中间项。

计算等差中项的方法是将已知项相加除以2。

若已知项为a和b，那么等差中项为(a+b)/2。

5. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。

对于初学等比数列的学生，要掌握如何计算任意一项和前n项的和。

6. 等比数列的性质（1）等比数列的项数无限。

（2）等比数列的相邻两项之间的比值是相等的。

（3）等比数列的前n项和等于首项与公比的幂次和减一的商。

7. 递推公式递推公式是指通过已知的一项或多项来推导出后面的项的公式。

对于等差数列，递推公式为：aₙ = aₙ₋₁ + d；对于等比数列，递推公式为：aₙ = aₙ₋₁ * q。

8. 数列的应用数列的应用非常广泛，涉及到很多实际问题。

例如金融领域中的利息计算、生物学中的生长规律、物理学中的运动规律等。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。

1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。

1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。

1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。

1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。

1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。

1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。

第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。

2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。

2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。

2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。

2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。

2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。

2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。

第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。

3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。

3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。

3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。

3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。

3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。

3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。

第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。

4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。

第六章 数列第一节 数列的概念与简单表示方法【考纲知识梳理】一、数列的概念与简单表示法1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2、数列的分类3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，……，n}）,可表示为()n a f n =。

4、数列的通项公式如果数列{n a }的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式注：数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，……通项公式可以为(1)n n a =-或1()1()n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，有的数列没有通项公式。

5、数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{}n ，， 4,3,2,1）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

6、递推公式如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 考点一：（一）由数列的前几项求数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。

（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。

（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n -或1(1)n +-来调整〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：1371531(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,---考点二：由递推公式求数列通项公式1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

数学知识点：数列的概念及简单表示法
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。

特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'
或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。

§2.1数列的概念与简单表示法学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.4、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).知识点一数列的概念1.数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.3.数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.知识点二数列的分类1.按项的个数分类2.按项的变化趋势分类知识点三数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列.知识点四数列的表示方法1、如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.3.数列的通项公式与递推公式有什么区别？题型一 数列的概念与分类规律方法 处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性若满足a n ＜a n ＋1(n ∈N *)则是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1(n ∈N *)则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1(n ∈N *)则是常数列；若a n 与a n ＋1(n ∈N *)的大小不确定时，则是摆动数列.【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1，12，13，14，… B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C.－1，－12，－14，－18，… D.1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 (1)C (2)D【训练】 下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ (1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4； (3)0，1，2，3，4，…；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…； (5)6，6，6，6，6.解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.题型二 数列的通项公式规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式； (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.3.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.方向1 根据通项公式写数列的项【例2－1】根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1； (2)a n＝(－1)n n.方向2 观察法求数列的通项公式【例2－2】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－3，0，3，6，9，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)2，0，2，0，2，0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解(1) a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*).(2)a n＝2n＋1(n∈N*).(3)a n＝1＋(－1)n－1(n∈N*).(4)a n＝(－1)n 2n－32n(n∈N*).方向3 数列的通项公式的简单应用【例2－3】已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∴a3＋a4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n}中的项，则1n（n＋2）＝1120，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项.题型三 数列的函数特性1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534， a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.题型四数列的递推数列规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n＋1＝a n＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如a n＋1＝f(n)a n的通项公式.将原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，an a n－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1).方向1 由递推公式写出数列的项1、已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式a n＋1＝2a nan＋2给出，试写出这个数列的前5项.解∵a1＝1，a n＋1＝2a nan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.方向2 由数列的递推公式求通项公式2、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.解∵a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，∴a2＝a1＋12×1＝1＋12＝32，a3＝a2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a3＋14×3＝53＋112＝74，a5＝a4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n＝2－1n.方向3 构造数列法求通项公式3、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n.练习1.下列叙述正确的是( D )A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n }C.数列0，1，0，1，…是常数列 D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列 2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( B )A.a n ＝nB.a n ＝n ＋1C.a n ＝n ＋2D.a n ＝2n 解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3.数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是(D )A.a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B.a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C.a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D.a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋14.已知数列{a n }的通项公式a n ＝（－1）n －1·n2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.a 1＝（－1）1－1×12×1－1＝1，a n＋1＝（－1）n＋1－1（n＋1）2（n＋1）－1＝（－1）n（n＋1）2n＋1.答案 1（－1）n（n＋1）2n＋15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0.解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍). ∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项.(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.6.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n＝n＋1n＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.7.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( c )A.a n＝a n－1＋2(n≥2)B.a n＝2a n－1(n≥2)C.a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D.a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.8.数列{x n}中，若x1＝1，x n＋1＝1xn＋1－1，则x2 017等于( D )A.－1B.－12C.12D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－12，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2 017＝x1＝1.9.已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________.由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝89，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝89＋19＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.10.求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.a n ＝－2n2＋29n＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n－2942＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.。

人生是美丽的，人生是甜密的，并不代表人生是一帆风顺的。

下面是为您推荐高三数学复习知识点：数列的概念与简单表示法。

【数列的概念与简单表示法知识点】1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….（4）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n.（5）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类（1）根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.（2）按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f（n）来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，，，，0.000 1，…所构成的数列1，，，，2，…就没有通项公式.（4）有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：（5）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法[考纲展示]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n+1>a n其中n∈N*递减数列a n+1<a n常数列a n+1=a n摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的函数特征从函数观点看,数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数a n =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 5.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 6.数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项),且任何一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f(a n-1)或a n =f(a n-1,a n-2),那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式.7.a n 与S n 的关系 (1)S n =a 1+a 2+…+a n .(2)若数列{a n }的前n 项和为S n , 则a n =()()11 1, 2.n n S n S S n -⎧=⎪⎨-≥⎪⎩1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n 等于( B ) (A)21n n + (B)21n n - (C)23n n - (D) 23n n +解析:由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为21n n -.故选B. 2.(教材改编题)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n 2-1,则a 1+a 3等于( B )(A)10 (B)11 (C)17 (D)18解析:a 1=S 1=2-1=1,a 3=S 3-S 2=2×32-2×22=10,所以a 1+a 3=11.故选B. 3.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+()11nn a -- (n ≥2),则a 5等于( D )(A)32(B)53(C)85(D)23解析:a 2=1+11a =2,a 3=1+21a -=12,a 4=1+31a =3,a 5=1+41a-=23.故选D. 4.已知a n =n 2+λn,且对于任意的n ∈N *,数列{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是 .解析:因为{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N *,都有a n+1>a n , 即(n+1)2+λ(n+1)>n 2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n ≥1, 所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 答案:(-3,+∞)5.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2na -2a n +1(n ∈N *),则a 2 018= .解析:因为a 1=1,所以a 2=(a 1-1)2=0,a 3=(a 2-1)2=1,a 4=(a 3-1)2=0,…,可知数列{a n }是以2为周期的数列,所以a 2 018=a 2=0. 答案:0考点一 由数列的前几项归纳通项公式【例1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…;(2)23,415,635,863, 1099,…;(3)12,2,92,8,252,…;(4) 0.8,0.88,0.888,….解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n ,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为a n = (-1)n (6n-5).(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7, 7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为2,4,6,…,相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a n =()()22121nn n -+.(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即12,42,92,162,252,…,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为a n =22n .(4) 将数列变形为89(1-0.1), 89(1-0.01), 89(1-0.001),…,所以a n =89(1-110n).根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1)分式中分子、分母的各自特征; (2)相邻项的联系特征; (3)拆项后的各部分特征; (4)符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【跟踪训练1】 (1)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为( )(A)a n =12n n -+(n ∈N *) (B)a n =121n n -+(n ∈N *) (C)a n =()2121n n --(n ∈N *) (D)a n=221n n +(n ∈N *) (2)数列-112⨯,123⨯,-134⨯,145⨯,…的一个通项公式a n = .解析:(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可. 故选C.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为a n =(-1)n ()11n n +.答案:(1)C (2)(-1)n()11n n +考点二 利用a n 与S n 的关系求通项【例2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n,则此数列的通项公式为a n = ;(2)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式a n = .解析:(1)当n=1时,a 1=S 1=1-10=-9;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11. 当n=1时,2×1-11=-9=a 1, 所以a n =2n-11.(2)由S n =23a n +13, 得当n ≥2时,S n-1=23a n-1+13, 两式相减,得a n =23a n -23a n-1, 所以当n ≥2时,a n =-2a n-1,即1n n a a -=-2.又n=1时,S 1=a 1=23a 1+13,a 1=1,所以a n =(-2)n-1.答案:(1)2n-11 (2)(-2)n-1已知S n 或S n 与a n 的关系式求a n 时,主要利用a n =()()11,2,nn n S n S S n -⎧=⎪⎨-≥⎪⎩当n=1时,若适合S n -S n-1求出的关系式,则n=1的情况可并入n ≥2时的通项a n ,否则应分段表示.【跟踪训练2】 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S n =2a n +1,则数列的通项公式a n = ;(2)若数列{a n }的前n 项和S n =2n +1,则此数列的通项公式为a n = .解析:(1)依题意得S n+1=2a n+1+1,S n =2a n +1, 两式相减得S n+1-S n =2a n+1-2a n ,即a n+1=2a n , 又S 1=2a 1+1=a 1, 因此a 1=-1,所以数列{a n }是以a 1=-1为首项、2为公比的等比数列,a n =-2n-1. (2)当n=1时,a 1=S 1=21+1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n +1)-(2n-1+1)=2n -2n-1=2n-1. 综上有 a n =()()131,22.n n n -⎧=⎪⎨≥⎪⎩答案:(1)-2n-1 (2) ()()131,22.n n n -⎧=⎪⎨≥⎪⎩考点三 根据递推公式求通项 【例3】 在数列{a n }中,(1)若a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项公式a n = ; (2)在数列{a n }中,若a 1=1,a n =1n n-a n-1(n ≥2),则通项公式a n = ;(3)a n+1=2a n +3且a 1=1,则通项公式a n = . 解析:(1)由题意得,当n ≥2时, a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1) =2+(2+3+…+n)=2+()()122n n -+ =()12n n ++1.又a 1=2=()1112⨯++1,符合上式, 因此a n =()12n n ++1.(2)因为a n =1nn a a -·12n n a a --·23n n a a -- (32)a a ·21a a·a 1 =1n n -·21n n --·32n n --·…·1 =1n. (3)设递推公式a n+1=2a n +3可以转化为a n+1+t=2(a n +t), 即a n+1=2a n +t,解得t=3. 故a n+1+3=2(a n +3). 令b n =a n +3,则b 1=a 1+3=4, 且1n nb b +=133n na a+++=2.所以{b n }是以4为首项,2为公比的等比数列.所以b n =4·2n-1=2n+1, 所以a n =2n+1-3.答案:(1)()12n n ++1 (2) 1n(3)2n+1-3(1)形如a n+1=a n +f(n)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项.(2)形如a n+1=a n ·f(n)的递推关系式可化为1n na a +=f(n)的形式,可用累乘法,也可用a n =1nn a a -·12n n aa -- (2)1a a·a 1代入求出通项. (3)形如a n+1=pa n +q 的递推关系式可以化为(a n+1+x)=p(a n +x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变量x 是关键.【跟踪训练3】 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式. (1)a 1=2,a n+1=a n +()11n n +;(2)a 1=1,a n+1=2n a n ; (3)a 1=1,a n+1=2a n +1.解:(1)因为当n ≥2时,a n -a n-1=()11n n -=11n --1n, 所以当n ≥2时,a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=(11n --1n )+(12n --11n -)+…+(12-13)+(1-12)+2 =3-1n. 当n=1时,适合.故a n =3-1n . (2)因为1n na a +=2n ,所以21a a =21, 32a a=22,…, 1nn aa -=2n-1,将这n-1个等式叠乘,得1naa =21+2+…+(n-1)= ()122n n -,所以a n =()122n n -.当n=1时,适合.故a n =()122n n -.(3)由题意知a n+1+1=2(a n +1),所以数列{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n +1=2n ,所以a n =2n -1. 考点四 数列的性质(多维探究) 考查角度1:数列的周期性【例4】 已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=11n naa+-(n ∈N *),则该数列的前2 018项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 018= .解析:由题意可得,a 2=1111a a +-=-3,a 3=2211a a +-=-12,a 4=3311a a +-=13,a 5=4411a a +-=2=a 1, 所以数列{a n }是以4为周期的数列,而2 018=4×504+2,且a 1a 2a 3a 4=2×(-3)×(-12)×13=1. 故该数列前2 018项的乘积为a 1a 2=-6. 答案:-6【跟踪训练4】 若数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n =a n -1,则a 2 018的值为( ) (A)-1 (B)12(C)2 (D)3 解析:因为数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n =a n -1, 所以a n+1=1-1na ,所以a 2=12,a 3=1-2=-1,a 4=1+1=2, 可知数列的周期为3.而2 018=3×672+2,所以a 2 018=a 2=12.故选B. 考查角度2:数列的单调性【例5】 数列{a n },{b n }满足:a n +b n =2n-1,n ∈N *. (1)若{a n }的前n 项和S n =2n 2-n,求{a n },{b n }的通项公式;(2)若a n =k ·2n-1,n ∈N *,数列{b n }是单调递减数列,求实数k 的取值范围.解:(1)当n ≥2时a n =S n -S n-1=2n 2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3, 当n=1时,a 1=S 1=2-1=1,满足a n =4n-3, 所以a n =4n-3,因为a n +b n =2n-1, 所以b n =2n-1-a n =2n-1-4n+3=-2n+2. (2)a n =k ·2n-1,由a n +b n =2n-1得 b n =2n-1-a n =2n-1-k ·2n-1,因为数列{b n }是单调递减数列,所以b n+1<b n , 即2(n+1)-1-k ·2n <2n-1-k ·2n-1, 即2<k ·2n -k ·2n-1=k ·2n-1,即k>122n -恒成立,因为122n -在n ≥1时为减函数,所以当n=1时,函数取得最大值为2,即k 的取值范围为(2,+∞).解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法,根据a n+1-a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列.(2)用作商比较法,根据1n na a +(a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断. 【跟踪训练5】 设函数f(x)=2,2,11,22xa x x x ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜，a n =f(n),若数列{a n }是递减数列,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,138](C)(-∞,74)(D)[ 138,2)解析:由题意,得()()20,12,a ff -⎧⎪⎨⎪⎩＜＞即()12,1122,2a a ⎧⎪⎨⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎩＜＞ 解得a<74.故选C.考查角度3:最大(或最小)项问题【例6】 数列{a n }的通项公式是a n =(n+1)·(1011)n,则此数列的最大项是第 项.解析:因为a n+1-a n =(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011) n =(1011)n ×911n -, 当n<9时,a n+1-a n >0,即a n+1>a n ; 当n=9时,a n+1-a n =0,即a n+1=a n ; 当n>9时,a n+1-a n <0,即a n+1<a n ,所以该数列中有最大项,且最大项为第9,10项. 答案:9或10求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组11,n n n n aa a a -+≤⎧⎨≥⎩(n ≥2)找到数列的最大项.(2)利用不等式组11,n n n n a a a a -+≥⎧⎨≤⎩(n ≥2)找到数列的最小项.【跟踪训练6】 已知数列{a n }的通项a n =n 2(7-n)(n ∈N *),则a n 的最大值是 .解析:设f(x)=x 2(7-x)=-x 3+7x 2,当x>0时,由f ′(x)=-3x 2+14x=0得,x=143.当0<x<143时,f ′(x)>0,则f(x)在140,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 当x>143时,f ′(x)<0,f(x)在14,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以当x>0时,f(x)max =f 143⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又n ∈N *,4<143<5,a 4=48,a 5=50, 所以a n 的最大值为50. 答案:50【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n 等于( )(A)2n-1 (B)(32)n-1 (C)(23)n-1 (D)112n - 解析:由已知S n =2a n+1得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,1n nS S += 32,而S 1=a 1=1,所以S n =(32)n-1,故选B. 【例2】 已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=5,其前n 项和S n 满足S n +S n-2=2S n-1+2n-1(n ≥3).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 221256n a -,n ∈N *,设数列{b n }的前n 项和为S n ,当n 为何值时,S n有最大值?并求最大值.解:(1)由题意知S n -S n-1=S n-1-S n-2+2n-1(n ≥3), 即a n =a n-1+2n-1(n ≥3),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 3-a 2)+a 2=2n-1+2n-2+…+22+5 =2n-1+2n-2+…+22+2+1+2 =2n +1(n ≥3),经检验,知n=1,2时,结论也成立,故a n =2n +1. (2)b n =log 222561n a -=log 28222n=222logB n-=8-2n,n ∈N *,当1≤n ≤3时,b n =8-2n>0; 当n=4时,b n =8-2n=0; 当n ≥5时,b n =8-2n<0.故n=3或n=4时,S n 有最大值,且最大值为S 3=S 4=12.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

数列的概念与简单表示法教案数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列的概念和简单表示法是数学中重要的概念之一。

通过学习数列的概念和简单表示法，我们可以更好地理解数学中的序列和数的变化规律，并应用到解决实际问题中。

一、数列的概念1. 定义：数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

2. 表示方法：数列可以用各种方法进行表示，常用的有列表法和通项公式法。

- 列表法：将数列的每一项按照规律列成一个列表，例如：1, 3, 5, 7, 9, ...- 通项公式法：用一个公式表示数列的第n项，例如：an =2n - 1。

3. 数列的性质：数列可以有不同的性质，例如有界性、单调性、周期性等。

- 有界性：数列中的数有上下界，即存在最大值和最小值。

- 单调性：数列中的数可以是递增的，也可以是递减的。

- 周期性：数列的数按照一定规律重复出现。

二、数列的简单表示法1. 递推公式：递推公式是指用数列的前几项来表示数列的后续项的公式。

- 递推公式的一般形式为：an+1 = f(an)，其中f为确定的函数关系。

- 递推公式的例子：an+1 = an + 2，即后一项等于前一项加2。

2. 通项公式：通项公式是指用n来表示数列的第n项的公式。

- 对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

- 对于等比数列，通项公式的一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

- 对于其他特殊数列，也可以通过观察规律，推导出通项公式。

三、教学设计建议1. 引导学生理解数列的概念：通过列举生活中的数列实例，如自然数序列、偶数序列等，引导学生理解数列的概念。

2. 举例说明不同数列的特点：通过具体的数列例子，如等差数列和等比数列，说明数列的有界性、单调性、周期性等特点。

3. 教授数列的表示方法：通过具体的数列例子，引导学生掌握列表法和通项公式法表示数列的方法。

第六章数列(必修5)第一节数列的概念与简单表示方法高考概览：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．[知识梳理]1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. [辨识巧记]1．一个重要关系数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．两个特殊问题(1)对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．(2)求数列最大项的方法：①利用数列{a n }的单调性；②解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1， [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )(2)一个数列中的数是不可以重复的．( )(3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(必修5P 31例3改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23[解析] 由a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，得a 2＝1＋1＝2，a 3＝1－12＝12，a 4＝1＋2＝3，a 5＝1－13＝23.故选D.[答案] D3．已知数列{a n }为32，1，710，917，…，则可作为数列{a n }的通项公式的是( )A ．a n ＝n －1n 2＋1B ．a n ＝n ＋1n 2＋1C ．a n ＝2n ＋1n 2＋1D ．a n ＝2n －1n 2＋1[解析] 由32，55，710，917，…，归纳得a n ＝2n ＋1n 2＋1，故选C. [答案] C4．已知数列，1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项[解析] 由35＝45＝2×23－1，可知35是该数列的第23项．故选B.[答案] B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，则a n ＝________. [解析] ∵S n ＝3＋2n ，∴S n －1＝3＋2n －1(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． 而a 1＝S 1＝5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，n ＝1，2n －1，n ≥2. [答案] ⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一 归纳数列通项公式【例1】 写出下面各数列的一个通项公式：(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－1，32，－13，34，－15，36，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(4)3,33,333，3333，….[解] (1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号因数为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n n .也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1n ，n 为奇数，3n ，n 为偶数.(3)偶数项为负，而奇数项为正，故通项公式中必含有因子(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12·2＋1， 所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. (4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(1)根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．[对点训练]1．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2[解析] 从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.故选C.[答案] C2．已知数列{a n }的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数 C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1[解析] 对于选项C ，a 3＝2sin 3π2＝－2≠2，故选C.[答案] C考点二 S n 与a n 的关系【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求数列{a n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，求数列{a n }的通项公式．[思路引导] 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化→验证n ＝1→确定结果[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.∵a 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减整理得：当n ≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1.[拓展探究] (1)若把本例(1)中“S n ＝3n 2－2n ”改为“S n ＝3n 2－2n ＋1”，其他条件不变，数列{a n }的通项公式是________．(2)本例(2)中条件改为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.∵a 1＝2不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. (2)由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，两边同时除以S n S n ＋1得1S n－1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列， 所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， 即S n ＝－1n .[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)－1n已知S n 求a n 的一般步骤(1)当n ＝1时，由a 1＝S 1求a 1的值．(2)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，求得a n 的表达式．(3)检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n .(4)写出a n 的完整表达式．[对点训练]已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[解] (1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2. 考点三 数列的函数性质【例3】 (1)(2018·内蒙古阿拉善左旗月考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2018等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－12 D ．－2(2)已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． [思路引导] (1)递推a 1，a 2，a 3，a 4等→确定数列{a n }的周期→求值[解析] (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，∴a 2＝－1a 1＋1＝－12，a 3＝－1a 2＋1＝－2，a 4＝－1a 3＋1＝1.由上述可知该数列为周期数列，其周期为3.又∵2018＝3×672＋2，∴a 2018＝a 2＝－12.故选C.(2)解法一：(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1) (*)．因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.解法二：(函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3.[答案] (1)C (2)λ>－3(1)周期数列的常见形式： ①所给递推关系中含有三角函数，利用三角函数的周期性；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．[对点训练]1．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，那么a 2019＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－3[解析] 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2，所以a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2019＝336×6＋3，所以a 2019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.[答案] A2．(2018·山东济宁期中)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －2，n <4，(6－a )n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)[解析] 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列是递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a ，6－a >0，a <(6－a )×4－a ，解得1<a <4.故选A.[答案] A课后跟踪训练(三十四)基础巩固练一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n ＋12B ．cos n π2 C.n ＋12πD ．cos n ＋22π [解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．故选D.[答案] D2．(2019·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2017D ．－2017[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.故选A.[答案] A3．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，给出下列各式：①a n ＝22[1＋(－1)n ]；②a n ＝1＋(－1)n ；③a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n 为偶数)，0(n 为奇数).其中可作为{a n }的通项公式的是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[解析] 把每个式子中的前四项算出来与已知对照一下即可．[答案] D4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103 B.8658 C.8258 D ．108[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.故选D.[答案] D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，可得a 2＝2，故a 10＝25＝32.故选B.[答案] B二、填空题6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．[解析] 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．[答案] 107．(2019·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________. [解析] ∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32， ∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.[答案] 128．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，∴a 2017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.[答案] －1 1三、解答题9．(1)(2018·广东化州第二次模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n∈N *，均有2S n ＝a n ＋a 2n ，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)∵2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若{a n }为递增数列，求实数k 的取值范围．[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)解法一：因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，注意比较对象，即得k >－3.解法二：因为{a n }是递增数列，则a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4.解得：k >－3.∴k 的取值范围为(－3，＋∞)．能力提升练11．(2019·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A.[答案] A12．已知a n ＝n －2017n －2018(n ∈N *)，则数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 45[解析] a n ＝n －2017n －2018＝n －2018＋2018－2017n －2018＝1＋2018－2017n －2018，要使a n 最大，则需n －2018最小，且n －2018>0，∴n ＝45时，a n 最大．同理可得n ＝44时，a n 最小．故选D.[答案] D13．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[答案] 2814．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．[解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n 2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．拓展延伸练15．(2019·陕西咸阳二模)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22[解析] ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，(*)又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1适合(*)，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.[答案] B16．(2019·湖南永州二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－∞，4)D ．(－∞，5)[解析] ∵S n ＝3n (λ－n )－6，①∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ≥2，②①－②得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3λ－9，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3λ－9，n ＝1，3n －1(2λ－2n －1)，n ≥2， ∵{a n }为单调递减数列，∴a n >a n ＋1(n ≥2)，且a 1>a 2，∴3n －1(2λ－2n －1)>3n (2λ－2n －3)(n ≥2)，且λ<2，化为λ<n ＋2(n ≥2)，且λ<2，∴λ<2，∴λ的取值范围是(－∞，2)．故选A.[答案] A。

高中数学：数列的概念及其简单的表示方法1、数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的项叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项），记作；数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。

2、通项公式的定义如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

3、数列的函数特征与图象表示序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从1开始依次取值时，对应的一系列函数值为……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立的点。

4、数列的分类①按数列中项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列中项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

5、递推公式的定义如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

例1、根据数列的前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2），，，……；（3），，，……。

分析：观察项与项数之间的关系，如果是分式可将分子、分母分开来观察。

每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系。

解答：（1）=2；（2）= ；（3）= 。

例2、数列中，已知，（1）写出，，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？分析：该题考查数列通项的定义，要会判断数列中项的归属。

第一问将10，n+1，替换条件中的n，第二问首先假设“是”，再求n。

解答：（1）∵，∴，，；（2）令，解方程得，∵，∴，即为该数列中的第15项。

例3、如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。

第1节数列的概念与简单表示法知识梳理1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的项.2.数列的分类3.数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用a n＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n 的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.4.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).5.数列的前n项和一般地，给定数列{a n}，称S n＝a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和.如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.2.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列.2.数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( ) A.a n ＝5n －42 B.a n ＝3n －22 C.a n ＝6n －52D.a n ＝10n －92答案 A解析 数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2， 分子可表示为1＋5(n －1)＝5n －4，因此通项公式可能为a n ＝5n －42.3.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12， a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23.4.(多选题)(2021·长沙月考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1 B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1答案 ABD解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，其他都可能.5.(2020·佛山调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________. 答案 12解析 由题意，得a 4＝S 4－S 3＝32. 即255a 13－63a 13＝32，解得a 1＝12.6.(2021·临沂月考)已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________. 答案 (－3，＋∞)解析因为{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋1＞a n，即(n＋1)2＋λ(n ＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.考点一由数列的递推关系求通项角度1累加法——形如a n＋1－a n＝f(n)，求a n【例1】在数列{a n}中，a1＝100，a n＋1＝a n＋3n(n∈N*)，则通项公式a n＝________.答案12·3n＋1972，n∈N*解析由a n＋1＝a n＋3n，n∈N*，得a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，a n－a n－1＝3n－1(n≥2).将这(n－1)个等式累加得a n＝a1＋3＋32＋…＋3n－1＝100＋3（1－3n－1）1－3＝12·3n＋1972(n≥2).显然a1＝100也适合上式，故通项公式a n＝12·3n＋1972，n∈N*.角度2累乘法——形如a n＋1a n＝f(n)，求a n【例2】若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝________.答案2 n＋1解析由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2).所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n n＋1·n－1n·n－2n－1·…·34·23·1＝2n＋1(n≥2)，又a1也满足上式，所以a n＝2n＋1.角度3构造法——形如a n＋1＝Aa n＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求a n【例3】(2021·衡水检测)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1－2S n＝1，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为________.答案a n＝2n－1，n∈N*解析因为S n＋1－2S n＝1，所以S n＋1＝2S n＋1.因此S n＋1＋1＝2(S n＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{S n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以S n＋1＝2n，S n＝2n－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以a n＝2n－1，n∈N*.感悟升华 1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1(a1≠0)，且a na n－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.2.已知a1且a n＋1＝pa n＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为a n＋1－t＝p(a n－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.【训练1】(1)在数列{a n}中，若a1＝3，a n＋1＝a n＋1n（n＋1），则通项公式a n＝________.(2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (1)4－1n (2)2n ＋1解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，累计相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，又n ＝1时也适合，故a n ＝4－1n . (2)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，所以a n ＝2n ＋1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项【例4】 (1)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________. (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案 (1)22n －1(n ∈N *) (2)－63 解析 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1).两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝2(n≥2).2n－1又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝2(n∈N*).2n－1(2)由S n＝2a n＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1，S1－1＝－2.当n≥2时，S n＝2(S n－S n－1)＋1，即S n－1＝2(S n－1－1)，所以数列{S n－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n－1＝－2×2n－1，则S n＝1－2×2n－1，当n＝6时，S6＝－63.感悟升华 1.由S n求a n的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.2.S n与a n关系问题的解题思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，(1)由a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式求解；(2)转化为只含a n，a n－1(n≥2)的关系式.【训练2】(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋a n＝2，则S5＝________.(2)(2020·福州质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝n ＋12a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 (1)3116(2)a n ＝n 解析 (1)由S n ＋a n ＝2，得2S n ＝S n －1＋2(n ≥2). ∴2(S n －2)＝S n －1－2又S 1＋a 1＝2，∴S 1＝1，则S 1－2＝－1≠0. ∴{S n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列， 从而S 5－2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴S 5＝2－116＝3116.(2)由S n ＝n ＋12a n ，得2S n ＝(n ＋1)a n . 所以2S n －1＝na n －1(n ≥2)，所以2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n －na n －1(n ≥2)， 所以2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1(n ≥2)， 即(n －1)a n ＝na n －1(n ≥2)，所以a na n －1＝n n －1(n ≥2)，则a n n ＝a n －1n －1(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项的常数列.因此a n ＝n . 考点三 数列的性质【例5】 (1)(2021·重庆诊断)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *).则数列{a n }前2 021项的乘积a 1a 2a 3a 4…a 2 021＝________.(2)(多选题)(2021·济南调研)已知数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋b n ，b n ＋1＝a n ＋2b n＋ln n ＋1n 3(n ∈N *)，a 1＋b 1>0，给出下列四个命题，其中的真命题是( ) A.数列{a n －b n }单调递增 B.数列{a n ＋b n }单调递增 C.数列{a n }从某项以后单调递增 D.数列{b n }从某项以后单调递增 答案 (1)2 (2)BCD解析 (1)由a 1＝2得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…， 显然该数列中的数从a 5开始循环，周期是4. 因此a 1a 2a 3a 4＝1，且a 2 021＝a 1＝2.故a 1a 2a 3a 4…a 2 020a 2 021＝(a 1a 2a 3a 4)505·a 2 021＝2.(2)因为a n ＋1＝2a n ＋b n ，b n ＋1＝a n ＋2b n ＋ln n ＋1n 3，所以a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n － ln n ＋1n 3.当n ＝1时，a 2－b 2＝a 1－b 1－ln 2，所以a 2－b 2<a 1－b 1，则A 错误.a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )＋ln n ＋1n 3，则a n ＋1＋b n ＋1－ln(n ＋1)＝3(a n ＋b n －ln n )，所以{a n ＋b n －ln n }是首项为a 1＋b 1，公比为3的等比数列，所以a n ＋b n ＝(a 1＋b 1)3n －1＋ln n .因为a 1＋b 1>0，所以数列{a n ＋b n }单调递增，则B 正确.因为a n ＋1＝2a n ＋b n ＝a n ＋ln n ＋(a 1＋b 1)3n －1，所以a n ＋1－a n ＝ln n ＋(a 1＋b 1)3n －1>0，则C 正确.因为b n ＋1＝b n ＋a n ＋b n ＋ln n ＋1n 3，所以b n ＋1－b n ＝ln(n ＋1)－2ln n ＋(a 1＋b 1)3n －1.根据指数函数和对数函数的性质，可知数列{b n }从某一项以后单调递增，则D 正确.故选BCD.感悟升华 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用作差或作商法进行判断.【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 021＝( )A.－1B.12C.1D.2(2)(多选题)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则数列{a n }中的最大项可以是( )A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项答案 (1)D (2)AB解析 (1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的数列，因此a 2 021＝a 3×673＋2＝a 2＝2. (2)假设a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，即⎩⎨⎧（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1≥78（n ＋2），78（n ＋1）≥n ，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项.A 级 基础巩固一、选择题1.已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项答案 C解析 数列5，11，17，23，29，…，中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6（n －1）＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132 B.116C.14D.12答案 A解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ， 所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *).4.已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0.对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n≤0恒成立，则正数t 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.6答案 C解析 因为数列{a n }是递增数列， 又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0， t ＋a n >0，所以t ≤a n ＋3恒成立， t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3.5.(2021·潍坊质检)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 022项的和为( ) A.674 B.673 C.1 348 D.2 020答案 C解析 由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数， 可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…， 所以{a n }是周期为3的数列， 一个周期中三项和为1＋1＋0＝2， 又2 022＝674×3，所以数列{a n }的前2 022项的和S 2 022＝674×2＝1 348. 6.(多选题)已知数列{a n }的通项为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1，则下列表述正确的是( )A.最大项为0B.最大项不存在C.最小项为－14 D.最小项为－2081答案 AD解析 由题意得a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1－1＝1×(1－1)＝0， 当n >1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1<0，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1<0，∴{a n }的最大项为a 1＝0. a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1－1＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝－29， a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－1－1＝49×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－1＝－2081，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－1－1＝827×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－1＝－152729， a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－56⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， ∴当n ≥3时，a n ＋1－a n >0；当n <3时，a n ＋1－a n <0， ∴{a n }的最小项为a 3＝－2081.故选AD. 二、填空题7.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.…答案 5n －4解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4.8.已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________. 答案 5解析 a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.9. (2020·西安质检)已知数列{a n }满足21·a 1＋22·a 2＋23·a 3＋…＋2n ·a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 n解析 ∵2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＋2n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)， 两式相减，得2n a n ＝n ·2n ，即a n ＝n (n ≥2)， 又a 1＝1适合a n ＝n ， 故a n ＝n (n ∈N *). 三、解答题10.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8. 故a 的取值范围是(－10，－8).11.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是 a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.B 级 能力提升12.(2020·长沙调研)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，则a nn 的最小值为( ) A.45 B.45－1 C.8D.9答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n 知，当n ≥2时，a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)， 相加得，a n －a 1＝n 2－n ，所以a n n ＝n ＋20n －1(经检验，n ＝1时也符合)，又n ∈N *，所以n ≤4时，a n n 单调递减，n ≥5时，a nn 单调递增， 因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.13.(2021·重庆联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n(n ∈N *)，则该数列前2 021项和a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 021＝________. 答案 1 012解析 由a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n(n ∈N *)得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，显然该数列中的数从a 4开始循环，周期是3. a 1＋a 2＋a 3＝32，a 2 020＝a 1＝2，a 2 021＝a 2＝12. 故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 021 ＝673×32＋2＋12＝1 012.14.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).。

§6.1数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1__>__a n其中n∈N＋递减数列a n＋1__<__a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋－1n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55 答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2013·)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1， a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3n －2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________． 思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n n ＋12 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1. 又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ， 即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n n ＋12，又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12. 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n (2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.－1n ＋12 B ．cos n π2 C ．cos n ＋12π D ．cos n ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5． 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n n ＋1， 所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题6． 已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_____.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8． 已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9． 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n n ＋110n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1n ＋210n ＋1－9n n ＋110n＝9n 10n ·8－n10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…， 故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2. ∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎨⎧k k ＋423k≥k ＋1k ＋523k ＋1kk ＋423k ≥k －1k ＋323k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23n ＝11nn ≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。