高一数学向量加法运算及其几何意义2

2.2.1 向量加法运算及其几何意义●温故知新1.既有_______，又有_______的量叫做向量.向量可以用_____线段来表示，但起点字母必须放在终点字母的______，手写体上面的______ 不能漏写.2.____________或____________的非零向量叫做平行向量，零向量与任一向量______.3.___________且___________的向量叫做相等向量.4.平行向量也叫__________.表示两个非零平行向量的有向线段所在直线的位置关系是_______或_______.●教材新知1.求两个向量____的运算，叫做向量的加法.2.零向量与任一向量a，规定：0=0a++a=_____.3.当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个_____.两个向量相加，它们的和仍然是一个向量，对应于数轴上的一条_________.4.当向量a、b（1）三角形法则：两向量首尾相接，和向量为首向量的_______指向末向量的_______.（2）平行四边形法则：两向量共始点，以它们为邻边作平行四边形，和向量为平行四边形的_______________.向量加法的几何意义就是________和____________.任意两个向量相加，所得的和一定是一个_______.（3）任一向量都可以写成两个首尾相接向量的和，即AB=____+____.5.向量加法的运算律（1）交换律：=a+b____+____.（2）结合律：()=a+b+c a+_______.结论：（1）当a与b_______时，a+b与a、b同向，且=a+b a+b.（2）当a与b_______时，若a>b，则a+b与a同向，且-a+b a b；=若a<b，则a+b与b同向，且-a+b b a；=若a=b，则a+b=____.（3）当a、b不共线时，a+b____a+b.（4）任意两个向量的和，结果是_______.6.向量链：若干个向量首尾_________，且构成一个_________.组成向量链的所有向量的和为_______.●题组集训（1）若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a+b表示（）A.2B.向东南走2kmC.2D.向东北走2km （2）下列式子不能化简为AD的是（）A.()AD MB BC CM+++++ B.()()AB CD BCC.MB AD MB++++ D.OC AO CD（3）在四边形ABCD中，AC AB AD=+，则一定有（）A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形（4）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO ++；④AB + CA BD DC ++.其中结果为0的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4（5）在ABC ∆中，CB =a ，AC =b ，则AB =________.●课堂精讲【例1】（1）如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则作出a +b .（2）如图，已知a 、b ，用向量加法的平行四边形法则作出a +b .【例2】四边形ABCD 是边长为1的正方形，设AB =a ，BC =b ，AC =c .求作向量++a b c ，并求++a b c .【例3】一条渔船距对岸4km ，以2km /h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的 实际航程为8km ，求河水的流速.●课后反馈（1）下列结论中，正确的是（ ）A.0+=00B.对于任意向量a 、b ，a+b =b+aC.对于任意向量a 、b ，0a +b >D.若向量AB ‖BC ，且1AB =，2014BC =，则2015AB BC +=（2）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A.AB CD =，BC AD =B.AD OD DA +=C.AO OD AC CD +=+D.AB BC CD DA ++=（3）设()()AB CD BC DA +++=a ，b 是一非零向量，则在下列结论中，正确的结论为（ ） ①a ‖b ；②a+b =a ；③a+b =b ；④a +b <a +b .A.①②B.③④C.②④D.①③（4）如图，已知ABC ∆是直角三角形且90A ∠=︒.则在下列各结论中， 正确的结论个数为（ ）①AB AC BC +=； ②AB BC CA +=；③AB CA BC +=； ④222AB AC BC +=.A.4个B.3个C.2个D.1个（5）已知ABC ∆是正三角形，则下列各等式中不成立的为（ ）A.AB BC BC CA +=+B.AC CB BA BC +=+C.AB AC CA CB +=+D.AB BC AC CB BA CA ++=++（6）若O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ++=0，则O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心（7）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ）A.0B.BEC.ADD.CF（8）若O 是ABC ∆内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC ++=0，则（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =（9）如图，已知梯形ABCD ，OA AB BC ++=______.（10）化简AB CD BC DB EF BF FA ++++++=______.（11）向量a 、b 满足6=a ，10=b ，则a +b 的最大值是______， 最小值是______.（12）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、 Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A 、P 、 M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为 F .设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的 集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率是 ______.（13）如图，在重300N 的物体上栓两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30︒、60︒，当整个系 统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.。

2.2.1向量加法运算及其几何意义一、学习背景：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决几何问题的有力工具．向量引入后，把好多图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何的工具。

在本章中，学生学习平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

二、教材分析《普高中课程标准数学教科书（必修（4））》(人教（版）)。

第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”，教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的一些基本概念，向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，在本单元的教学中起着承前启后的作用，它在实际生活中也有广泛的应用，正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。

三、教学目标知识目标：1、掌握向量的加法运算，理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

能力目标：1、通过向量加法的运算，培养数形结合解决问题的能力；2、通过将向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，渗透类比的数学方法。

情感目标：通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，培养学生勇于探索的精神和合作交流的科学态度。

四、重点与难点重点：理解向量加法的意义；掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；难点：理解向量的加法法则及其几何意义．五、教学方法启发探究、小组合作式教学和多媒体辅助教学法六、教学过程1、创设情境引入课题两个数的加法，我们早已学会。

例如“1＋2=3”等，那么对于两个向量是否还能象数一样进行加法运算呢？百度搜索（中国地图）/比如大陆和台湾通航之前，从台湾到石家庄探亲,得先从台北到香港,再从香港到石家庄,这两次位移之和怎样运算？（教师在地图上一边问一边画箭头）如今通航后，我们可以直接从台湾到达石家庄，这次位移是什么？由此导入新课.2、小组探究，学习新知请思考问题1：问题1：通航之前两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？它与通航后的直接位移是什么关系？学生讨论、探究得出结论：——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．和位移与通航后的直接位移相等。

§2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标：⒈掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义．⒉熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量．⒊理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义．教学重点：向量加法的三角形法则与平行四边形法则．教学难点：对向量加法定义的理解．教学方法：讲授、讨论式．教具准备：《几何画板》演示：向量加法的三角形法则与平行四边形法则、向量加法满足交换律和结合律、例2．教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：上节课，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．我们用有向线段作为向量的几何直观，“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？为什么？生：不对！向量是一种量，而有向线段只是向量的几何表示形式，是图形．例如零向量就不是有向线段．师：零向量、单位向量都是对向量的长度加以限制，而没有考虑它们的方向．可以说所有的单位向量都是相等向量吗？为什么？生：不可以．因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量，而单位向量只是长度相等，它们的方向不一定相同．师：平行向量也叫做共线向量．怎样理解共线向量的概念呢？生：平行向量可以在同一直线上，共线向量所在的直线可以相互平行．师：数产生以后我们只能进行计数，在引入了数的运算以后，数的威力才得以充分展现．与此类似，向量和我们熟悉的数一样，也可以进行运算，这一节，我们先学习向量的加法运算及其几何意义．（Ⅱ）讲授新课：⒈向量加法的定义及向量加法的三角形法则师：我们先给出向量加法的定义：如图，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：⑴运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.⑵两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ⑶位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．⒉向量加法的平行四边形法则师：如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OABC ，则以O 为起点的对角线OC 与向量a ，b 有什么关系？生：因为平行四边形对边平行且相等，所以可以把向量b 的起点由O 移到A ，即OB =AC =b ，则：OC ＝OA ＋AC ＝OA ＋OB = a ＋b ． 师：用这种方法得到的向量OC 就是a 与b 的和．我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则．说明：⑴三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.（用《几何画板》演示）⑵力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．⑶对于零向量与任一向量a ，a ＋0=0+a =a ．例1如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .分析：此题可以应用向量加法的三角形法则也可应用向量加法的平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形.作法：见课本P．91⒊向量加法的性质：师：观察右图，在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？生：两个向量的和向量的大小，与数的加法运算类似：当两个向量方向相同时，和向量的模等于这两个向量的模的和；当两个向量方向相反时，和向量的模等于这两个向量的模的差．师：当两个向量不共线时，它们的和的模与这两个向量的模之间有什么关系？生：由例1及三角形的性质可知，当两个向量不共线时，它们和的模小于这两个向量的模的和．师：一般地，我们有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|+|b|．这就是向量加法的一个基本性质，有人称之为三角形不等式．请同学们继续思考下面的问题：a，b处于什么位置时，下面的结论成立？⑴|a＋b|＝|a|+|b|；⑵|a＋b|＝||a|－|b||．生：当向量a，b方向相同，或有一个为零向量时等式⑴成立；当向量a，b方向相反，或有一个为零向量时等式⑵成立．⒋向量加法的运算律师：我们知道数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效的简化运算．类似的，向量的加法也有相应的运算律：⑴交换律：a＋b＝b＋a⑵结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．请同学们验证上面的结论．（用《几何画板》演示）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．例2一艘船从长江南岸A 点出发以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2 km/h ．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；⑵求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解：⑴如图，设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD 、AB 作邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船实际航行的速度.⑵在Rt △ABC 中，|AB |＝2，|BC |＝5，∴ |AC | 5.4==≈∵ tan ∠CAB ＝52，∴ 68CAB ∠≈︒ 答：船实际航行速度的大小约为5.4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为约为68°.评述：此例说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.（Ⅲ）课后练习：课本93P 练习 101P 习题2.2 A 组 ⒈⒍ B 组 （Ⅳ）课时小结:⑴两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．⑵物理学中，位移的合成是向量加法三角形法则的基本模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的基本模型．（Ⅴ）课后作业：⒈课本101P 习题2.2 A 组 ⒈⒉⒊⒉预习课本94P ～96P ，思考下列问题：⑴怎样的向量叫做相反向量？它与实数中的相反数有什么相似之处？ ⑵相反向量有哪些性质？⑶向量减法是怎样定义的？⑷向量的减法的几何意义是怎样的？它与向量的加法有什么关系？教学后记:。

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aA BC A BCA BCCaa b b aO ABaaa bbb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0A BD C（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出 a - b ？ 例题： 例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， ， 则BA = a -b ， = c -dO AB a B’b-b bB a+ (-b)a b O abBa ba -bABbad Da -b A B B B’ O a -b a a bb O A O B a -b a -b B A O -b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直）变式三：a+b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法| 板书设计（略） 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC ，并画出b-c 和a+d.A BD C。

2．2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义Q 情景引入ing jing yin ru我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？X 新知导学in zhi dao xue1．向量的加法(1)定义：求两个向量_ __的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__ __． (2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量 叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求_ __的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a 、b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB →、AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量 ＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．Y 预习自测u xi zi ce1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →＝BD →＋AD → D ．AD →＋CB →＝02．化简PB →＋OP →＋BO →＝ ．3．如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋c ．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义典例1 (1)如图，已知a 、b ，求作a ＋b ．(2)如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作出向量a ＋b ＋c ．〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用典例2 化简下列各式：(1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →．〔跟踪练习2〕如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB →＋DF →＝ ； (2)AD →＋FC →＝ ； (3)AD →＋BC →＋FC →＝ ．X 学科核心素养ue ke he xin su yang 向量加法的实际应用典例3 在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi用平行四边形法则作平行向量的和典例4如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b ．〔跟踪练习4〕已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同 D ．不确定K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2km2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简结果为( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC → D ．AM →4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →A 级 基础巩固一、选择题1．下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b | D ．AC →＝DC →＋AB →＋BD →2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( ) A ．CA → B ．BC → C ．AB → D ．AC →3．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可4．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB →＝0B ．PB →＋PC →＝0C ．PC →＋P A →＝0 D ．P A →＋PB →＋PC →＝0二、填空题 7．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →＝ ； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ ；(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ ．8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ ．三、解答题 9．如图所示，求：(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b ．10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →＝0．B 级 素养提升一、选择题1．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10) D ．[3,10]2．向量a 、b 均为非零向量，下列说法中不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤4．若M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM → D ．3AM →＋AC →二、填空题5．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿__ _方向前进，速度为__ _．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__ _．三、解答题7．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．8．如图所示，已知矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，试求|a ＋b ＋c |的大小．C 级 能力拔高如图，已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是__ __．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2．。

向量的加法运算及其几何意义[知识与技能]1．掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2．会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作出两个向量的和向量；3．将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，理解向量加法运算的交换律和结合律，会用它们进行向量计算.[过程与方法]数能进行运算，向量也能进行运算.但是，对向量与数之间不同的地方要非常小心，也即运算中除了考虑大小，还要考虑方向问题.借助于物理中力的合成可进行向量的加法运算，即用“三角形法那么〞和“平行四边形法那么〞建立了向量加法运算与几何图形之间的关系.根据三角形法那么，和向量a+b对应的有向线段，就是平移a、b对应的有向线段，使得a〔b〕的起点与b〔a〕的终点重合，那么以a〔b〕的起点为起点以b〔a〕的终点为终点的有向线段就是和向量a+b对应的有向线段；而根据平行四边形法那么，就是平移a、b对应的有向线段，使得a、b的起点重合，并以a、b对应线段为边作平行四边形，以公共起点为起点，对角线所对应的有向线段就是和向量a+b对应的有向线段.一、教学目标〔1〕掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法那么和会用向量加法的平行四边形法那么作两个向量的和向量；〔2〕掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；〔3〕启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；〔4〕培养学生化归的数学思想．二、教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么，作两个向量的和向量；三、教学难点：对向量加法定义的理解．四、教具：多媒体、投影仪五、教学过程㈠设置情境请同学看这样一个问题：〔投影〕〔1〕由于大陆和某某没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到某某，再从某某到某某，这两次位移之和时什么？AB+，〔2〕如图1〔2〕，飞机从A到B，再改变方向从B到C，那么两次位移的和是BC应该是_____________．AB+应该是〔3〕如图1〔3〕，船的速度是AB，水流速度是BC那么两个速度的和是BC___________．答：〔1〕这人两次的位移的和是从台北到某某；〔2〕飞机两次位移的和是AC ；〔3〕两个速度的和是AC ．两个向量的和仍是一个向量．本节课就来研究两个向量的和〔板书课题：向量的加法〕． ㈡探索研究〔1〕向量的加法的定义：向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB==,，那么向量AC 叫做向量b a,的和。