2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲本讲知识归纳与达标验收-含答案

第1讲坐标系最新考纲1。

了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2。

了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3。

能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1。

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：错误!的作用下，点P(x，y）对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

2。

极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示，在平面内取一个定点O（极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

（2）极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ,θ）称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x，y)极坐标(ρ，θ）互化公式ρ2＝x2＋y2 tan θ＝错误!(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r，0），半径为r的圆ρ＝2r cos__θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)5。

直线的极坐标方程(1）直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)。

（2）直线l过点M（a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.(3）直线过M错误!且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b.诊断自测1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系。

( )(2)若点P的直角坐标为(1，－3),则点P的一个极坐标是错误!。

[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°.设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ . 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD .∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝AC AD. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC.∴CE DF ＝BD CE . ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125.EC CD 5答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13. 答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14.BC OC 4∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CD DE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ，∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ，∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PB PD， ∴PE PF ＝PH PG.∴PE ·PG ＝PH ·PF .(2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图，∵AB ∥CD ，∴PE PC ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PC PG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC .∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元，∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)． ∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元．(2)S △ABM S △AMD＝BM DM ＝BC AD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。

第1课时 柱坐标系[核心必知]1．柱坐标系的概念建立空间直角坐标系O -xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z ∈R ．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z Ｗ.[问题思考]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．已知空间点P 的直角坐标为(43，4，3)，求它的柱坐标．[精讲详析] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝3.∴ρ2＝(43)2＋(4)2＝48＋16＝64， ∴ρ＝8.tan θ＝y x ＝443＝33，又x >0，y >0，点在第一象限． ∴θ＝π6.∴点P 的柱坐标为(8，π6，3)．——————————————————已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ还要根据点P 所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0，2π))．1．已知空间点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，求它的柱坐标． 解：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝ρcos θ，－3＝ρsin θ，z ＝3. ∴ρ2＝(－1)2＋(－3)2＝4. ∴ρ＝2.∴cos θ＝－12，sin θ＝－32.又∵θ∈[0，2π)， ∴θ＝43π.即M 的柱坐标为(2，43π，3)．已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫8，π6，4，求它的直角坐标．[精讲详析] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．∵P 点的柱坐标为(8，π6，4)，∴ρ＝8，θ＝π6.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧x ＝8cos π6，y ＝8sin π6，z ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝4，z ＝4.∴P 点的直角坐标为(43，4，4)． ——————————————————已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z即可．2．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M (2，π4，1)的直角坐标为 ⎩⎨⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0. ∴θ＝5π4.∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为(2，5π4，－1).给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．[精讲详析]本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x 轴y 轴，以向上的中轴线为z 轴正方向建立柱坐标系．下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1，0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π. 上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2，2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π. 侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z )，其中0≤θ3＜2π，0≤z ≤2. ——————————————————(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的． (2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．3.如图，P 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点，且P 点的柱坐标为(6，π4，5)，求该圆柱的体积．解：过点P 作PP ′垂直底面，垂足为P ′，∵P (6，π4，5)，∴P ′点的坐标为(6，π4，0)．∴圆柱底面圆的半径为6，高为5. ∴圆柱的体积为V ＝π×62×5＝180π.本课时考点在近几年的高考中未出现过．本考题以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化．[考题印证]如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)，C 1(6，π2，5)，则此长方体外接球的体积为________．[命题立意] 本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法．[解析] 由长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)， C 1(6，π2，5)，可知：OA ＝4，OC ＝6，OO 1＝5，则对角线长为42＋52＋62＝77. 长方体外接球的半径为772， ∴球的体积为：43·π·(772)3＝77776π.答案：77776π一、选择题1．柱坐标P ⎝⎛⎭⎫16，π3，5转换为直角坐标为( )A ．(5，8，83)B ．(8，83，5)C ．(83，8，5)D ．(4，83，5)解析：选B 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5.即P 点的直角坐标为(8，83，5)．2．已知点M 的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，π4，3 B.⎝⎛⎭⎫32，34π，1 C.⎝⎛⎭⎫32，54π，3 D.⎝⎛⎭⎫32，74π，1解析：选A 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝ρcos θ，3＝ρsin θ，3＝z ，∴ρ2＝32＋32＝18，∴ρ＝3 2. ∴cos θ＝22，sin θ＝22. 又∵θ∈[0，2π)， ∴θ＝π4.∴M 点的柱坐标为(32，π4，3)． 3．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 D ．以原点为球心，半径为2的球面解析：选C 由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面．4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)( ) A ．(－ρ，－θ，－z ) B ．(ρ，θ，－z ) C ．(ρ，π＋θ，－z ) D ．(ρ，π－θ，－z )解析：选C 点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为 P ′(ρ，π＋θ，－z )． 二、填空题5．已知点M 的直角坐标为(1，0，5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x ＞0，y ＝0，∴tan θ＝0，θ＝0.ρ＝12＋02＝1. ∴柱坐标为(1，0，5)． 答案：(1，0，5)6．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫8，π4，2，则点P 与原点的距离为________．解析：点P 的直角坐标为(42，42，2)．∴它与原点的距离为：（42－0）2＋（42－0）2＋（2－0）2＝217.答案：2177．设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则点M 的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝12＋（－3）2＝2. tan θ＝－31＝－ 3 又x ＞0，y ＜0.∴θ＝5π3.∴柱坐标为(2，5π3，4)．答案：(2，5π3，4)8．在直角坐标系中，(1，1，1)关于z 轴对称点的柱坐标为________．解析：(1，1，1)关于z 轴的对称点为(－1，－1，1)，它的柱坐标为(2，5π4，1)．答案：(2，5π4，1)三、解答题9．求点M (1，1，3)关于xOz 平面对称点的柱坐标． 解：点M (1，1，3)关于xOz 平面的对称点为(1，－1，3)． 由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得，ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2.tan θ＝－11＝－1，又x ＞0，y ＜0.∴θ＝7π4.∴其关于xOz 平面的对称点的柱坐标为(2，7π4，3)． 10．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π2，1，求A 、B 两点间距离．解：由x ＝ρcos θ得：x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ得：y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1，0，2)． 同理：B 点的直角坐标为(0，2，1)．∴|AB |＝（－1－0）2＋（0－2）2＋（2－1）2＝ 6. 故A 、B 两点间的距离为 6. 11.如图建立柱坐标系，正四面体ABCD 的棱长为2，求A 、B 、C 、D 的柱坐标．(O 是△BCD 的中心)解：∵O 是△BCD 的中心， 则OC ＝OD ＝OB ＝23·32·2＝233AO ＝AC 2－OC 2＝263， ∴C (233，0，0) D (233，2π3，0) B (233，4π3，0)A (0，0，263)．。

新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1．到两个定点)0,1(-A 与)1,0(B 的距离相等的点的轨迹是什么？2．在ABC ∆中，已知)0,5(),0,5(-B A ，且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）练一练：3．有三个信号检测中心A C B A ,、、位于B 的正东，相距6千米，C 在B 的北偏西300，相距4千米.在A 测得一信号，4秒后B 、C 同时测得同一信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.【问题2】：已知ABC ∆的三边c b a ,,满足2225a c b =+，CF BE ,分别为边AB AC ,上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.6．求证：三角形的三条高线交于一点.7．已知)0,2()0,2(B A -，则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8．已知)0,3(),0,3(B A -，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 点M 的轨迹方程是 .9．已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东600的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？答案：【问题1】解：巨响在信息中心的西偏北450方向，距离m 10680处，．【问题2】解：BE 与CF 互相垂直，解答见课本. 1．轨迹是线段AB 的垂直平分线，轨迹方程是x y -=；2．轨迹是双曲线的左支，轨迹方程是)3(116922-<=-x y x ；4．点M 的轨迹是以这两个定点的中点为圆心，2为半径的圆； 5．)31,3(),2,21(--； 6．如图，以AB 所在直线为x 轴，边AB 上的高CD 所在直线为y 轴建立直角坐标系.设),0(),0,(),0,(c C b B a A -，则bck a c k BC AC -==,.∵AC BE BC AD ⊥⊥,，∴c a k c b k BE AD -==,，∴直线AD 、BE 的方程分别为)(),(b x cay a x c b y --=+=，联立解得0=x .所以AD 、BE 的交点H 在y 轴上.因此，三角形的三条高线交于一点；7．)0(422≠=+y y x；8．)0(14922≠=-y y x ； 9．如图，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向建立直角坐标系，则A （0，0），B （-1000，0），)2200,2200(-W .由于直线m 的方程是10003=+-y x ，于是点W 到直线m 的距离为100)625(100>--=d ，所以埋设地下管线m 的计划可以不修改；平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

[对应学生用书P33]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.答案：32．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：由三角函数定义知yx ＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ， 由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ， 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．[对应学生用书P33]1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x (或y ，或x ，y )表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 2θ＋cos 2θ＝1，sec 2θ＝tan 2θ＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等． 2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x ，y 的影响，否则易扩大变量的取值范围．(2)参数方程中变量x ，y 就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x ，y 的取值范围．[例1] 参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2表示的曲线是什么？ [解] 化为普通方程是：x 2＋y 2＝25，∵－π2≤θ≤π2， ∴0≤x ≤5，－5≤y ≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆． [例2] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ＋1，y ＝t 2－1(t 为参数)化为普通方程．[解] 由x ＝35t ＋1得t ＝53(x －1)，代入y ＝t 2－1，得y ＝259(x －1)2－1，即为所求普通方程.1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，只有当b ≥0，a 2＋b 2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M 0(x 0，y 0)，直线上另外两点M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)对应的参数分别为t 1，t 2，这时就有|M 0M 1|＝|t 1|，|M 0M 2|＝|t 2|，|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．[例3] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)， 代入方程y 2＝4x 整理得： t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0.即sin α－cos α＝0. 因为0≤α＜π，所以α＝π4. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.圆心为(a ，b )，半径为r 的圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)； 长半轴为a ，短半轴为b ，中心在原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．[例4] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.[对应学生用书P37](时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中t 为参数且t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：点P 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t ∈R )上的点之间的距离d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝t 2＋1≥1. 答案：B4．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分． 答案：A5．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0) C ．点(1,3)D ．点(0，π2)解析：令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．答案：B6．已知三个方程：①⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t 2；②⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝tan 2t ；③⎩⎨⎧x ＝sin t ，y ＝sin 2t (都是以t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：①②③的普通方程都是y ＝x 2，但①②中x 的取值范围相同，都是x ∈R ，而③中x 的取值范围是－1≤x ≤1.答案：B7．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(－2)2＋(2)2·|t |＝2，可得t ＝±22，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．答案：C8．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2. 答案：D9．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.答案：D10．已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ(|θ|≤π4)，则点(a ，b )的轨迹是( )A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ.a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1. 又|θ|≤π4.∴表示抛物线弧． 答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析：曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1， 由题意知，|2k －0|1＋k 2＝1，∴k ＝±33.答案：±3312．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1， 由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程． 答案：y ＝±2x13．已知点P 在直线⎩⎨⎧x ＝3＋4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)上，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最小值等于________．解析：直线方程为3x －4y －5＝0，由题意，点Q 到直线的距离d ＝|5cos θ－12sin θ－5|5＝|13cos (θ＋φ)－5|5，∴d min ＝85，即|PQ |min＝85. 答案：8514．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解：因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为()3cos φ，sin φ，其中0≤φ＜2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3. 所以当φ＝π6时，S 取得最大值2. 17．(本小题满分12分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 是参数)，C ：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数) (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 是参数)距离的最小值． 解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1， C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16(sin α＋cos α)2－16＞0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α＞0，又0≤α＜π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1＜0，t 2＜0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,42]．。

高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 33．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.[对应学生用书P13]利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC的中心.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.θ)＝0如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2， 又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 由正弦定理，得ρsin (π－3θ2)＝10sin θ2， 化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] (天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.[答案] 3[例5] 在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4); 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． [解] (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴|AB |＝3＋1.[对应学生用书P35] (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(0，－1)解析：x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0， 即直角坐标是(－1,0)． 答案：B2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P (0，π2)，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P 、Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P 、Q 都在曲线C 上解析：当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．答案：C3．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，则其直角坐标为( )A.()5，8，83B.()8，83，5C.()83，8，5D.()4，83，5解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)． 答案：B4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎨⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎨⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：B5．曲线ρ＝5与θ＝π4的交点的极坐标写法可以有( ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个． 答案：D6．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.答案：C7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝0，即其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，故选项B 正确．答案：B8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163πB.83πC.43πD.23π解析：三条曲线围成一个扇形， 半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3. ∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3. 答案：B9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－π3)关于( ) A ．线θ＝π3轴对称B ．线θ＝5π6轴对称C ．(2，π3)中心对称D ．极点中心对称解析：ρ＝4sin(θ－π3)可化为ρ＝4cos(θ－5π6)，可知此曲线是以(2，5π6)为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．答案：B10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________. 解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 312．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6.cos φ＝36＝12，∴φ＝π3. tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π313．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π414．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________． 解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a 2为半径的圆，求得方程是ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2. 答案：ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 由⎩⎨⎧ x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ. 16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋π3)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x即(x ＋1)2＋y 2＝1它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos(θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1 ∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线．(1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2.是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为(x －92)2＋(y －92)2＝812，是以(92，92)为圆心，922为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16.是以原点为圆心，4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .。

第2课时 极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点 极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？ 答案 可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案 ①直角坐标的原点为极点；②x 轴的正半轴为极轴；③单位长度相同． 梳理 互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A (－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C (0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)． 由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)． 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2k π(k ∈Z )．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2k π(k ∈Z )． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2k π(k ∈Z )． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0.反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tan θ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2k π，k ∈Z .依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2k π，k ∈Z .类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)，同理可得B (－4，－43)．设线段AB 的中点为M (m ，n )，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tan θ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2.∴B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1或tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tan θ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cos θ＝－3，得cos θ＝－12，又0≤θ<2π，且M (－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4 答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tan θ＝yx ＝33， 又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________． 答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M (－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，7π6.(1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)． 解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93.(2)S △AOB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3.13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线． 方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →， 所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2. 又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsin θ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y )，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。

[对应学生用书P10]1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r sin φ·cos θ，y ＝r sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.[对应学生用书P10][例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．[解](1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0，点A 在第一象限． ∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5.(2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得：x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.2．已知点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．解：由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝2cos π2＝0，y ＝2·sin π2＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3).[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4， π4求它的直角坐标．(2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由变换公式得： x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2. y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2.z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－2 2. 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式，可得 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，θ＝3π4(M 在第三象限)， 从而知M 点的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，3π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx，cos φ＝zr 来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.3．求下列各点的直角坐标： (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，7π6.解：(1)由变换公式得： x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12， y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝ 3. 故其直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3.(2)由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 7π6＝－62. y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 7π6＝－22. z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－ 2.故其直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，－2.4．求下列各点的球坐标：(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得： r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2.由z ＝r cos φ得cos φ＝z r ＝222＝22.∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0， ∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3.(2)由变换公式得： r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2.由z ＝r cos φ得：cos φ＝z r ＝－22.∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1.x ＜0，y ＞0.∴θ＝3π4.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4.[对应学生用书P12]一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．答案：B2．点P 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4，3，则其直角坐标为( )A ．(22，22，3)B ．(－22，22，3)C ．(－22，－22，3)D ．(22，－22，3)解析：x ＝ρcos θ＝4cos 5π4＝－22， y ＝ρsin θ＝4sin 5π4＝－22，故其直角坐标为(－22，－22，3)． 答案：C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析：由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，x ＜0，y ＜0，∴θ＝5π4.∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.答案：B4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，1 解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.答案：C 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________．解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23， y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2. 即点P的直角坐标为(23，2,3)，其到原点距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5. 答案：56．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx ＝2. 答案：53 27．在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________．解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1,1，2)， B (－1,1，－2)． ∴|AB |＝[1－(－1)]2＋(1－1)2＋[2－(－2)]2＝2 3.答案：2 3 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)．r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．设地球的半径为R ，在球坐标系中，点A 的坐标为(R,45°，70°)，点B 的坐标为(R,45°，160°)，求A ，B 两点间的球面距离．解：设纬度圈的圆心为O ′，地球球心为O ，如图，OA ＝OB ＝R ，由点A ，B 的球坐标可知，∠BOO ′＝45°，∠AOO ′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．则∠xOQ ＝70°，∠xOH ＝160°， ∴∠AO ′B ＝160°－70°＝90°. ∵OB ＝R ，O ′B ＝O ′A ＝22R ， ∴AB ＝R .则AO ＝BO ＝AB ＝R . ∴∠AOB ＝60°，AB ＝16·2πR ＝13πR . 即A ，B 两点间的球面距离为13πR .10.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎨⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，且⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2. 所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B. 答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝|0－23|2＝ 3.答案： 33．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.[对应学生用书P13]利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC的中心.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.θ)＝0如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2， 又|BC |＝10，|AB |＝ρ.由正弦定理，得ρsin (π－3θ2)＝10sin θ2， 化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] (天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.[答案] 3[例5] 在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4); 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M和极点．(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．[解](1)∵直线l过点M(2，π3)和极点，∴直线l的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R)．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.(2)点M的直角坐标为(1，3)，直线l过点M和原点，∴直线l的直角坐标方程为y＝3x.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝2，圆心到直线l的距离为d＝3－1 2，∴|AB|＝3＋1.[对应学生用书P35](时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是()A．(1,0)B．(－1,0)C．(0,1) D．(0，－1)解析：x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．答案：B2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P (0，π2)，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P 、Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P 、Q 都在曲线C 上解析：当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．答案：C3．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，则其直角坐标为( )A.()5，8，83B.()8，83，5C.()83，8，5D.()4，83，5解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)． 答案：B4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎨⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎨⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：将⎩⎨⎧x ′＝λxy ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：B5．曲线ρ＝5与θ＝π4的交点的极坐标写法可以有( ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个． 答案：D6．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.答案：C7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝0，即其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，故选项B 正确．答案：B8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是()A.163π B.83πC.43π D.23π解析：三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3.∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3.答案：B9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－π3)关于()A．线θ＝π3轴对称B．线θ＝5π6轴对称C．(2，π3)中心对称D．极点中心对称解析：ρ＝4sin(θ－π3)可化为ρ＝4cos(θ－5π6)，可知此曲线是以(2，5π6)为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．答案：B10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是()A．①③B．①C．②③D．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________. 解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 312．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π313．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π414．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________． 解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a 2为半径的圆，求得方程是ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2.答案：ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋π3)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x 即(x ＋1)2＋y 2＝1它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos(θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1 ∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线．(1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2.是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为(x －92)2＋(y －92)2＝812，是以(92，92)为圆心，922为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16.是以原点为圆心，4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .。

一平面直角坐标系．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．[基础·初探]教材整理平面直角坐标系阅读教材～“探究”及以上部分，完成下列问题．．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)方、曲线与程建立了联系，从而实现了的结合．数与形．坐标法：根据几何对象的特征，通，选择适当的坐标系，建立它的方程方程过研究它的及．与其他几何图形的关系性质．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点(－)关于点(，－)的对称点坐标为( )．()．(，－)．(，－)．(－)【解析】设对称点的坐标为(，)，则－＝，且＋＝－，∴＝，且＝－.【答案】教材整理平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：(\\(′＝λ·(λ>(，′＝μ·(μ>())的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )．比原来大的圆．椭圆．双曲线．比原来小的圆【解析】由伸缩变换的意义可得．【答案】．＝经过伸缩变换(\\(′＝，′＝))后，曲线方程变为( )．′＝′．′＝．′＝′．′＝【解析】由(\\(′＝′＝))，得(\\(＝()′＝()′))，又∵＝，∴′＝，即′＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。