【精品】2017学年广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年广东省汕头市潮阳实验学校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）建立了直角坐标系xOy的平面α内有两个集合，A={P|P是α内的一个圆上的点}，B={Q|Q是α内的某直线上的点}，则A∩B中元素的个数最多有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个2．（5分）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A．高一学生被抽到的概率最大B．高三学生被抽到的概率最大C．高三学生被抽到的概率最小D．每名学生被抽到的概率相等3．（5分）等差数列8，5，2，…的前20项和是（）A．410 B．﹣410 C．49 D．﹣494．（5分）给出下列条件（其中l为直线，α为平面）：①l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④α垂直于α内正六边形的三条边．其中l⊥α的充分条件的所有序号是（）A．②B．①③C．②④D．③5．（5分）已知向量=（cosθ，﹣sinθ），=（3cosθ，sinθ），θ∈（0，π），若⊥，则θ=（）A．B． C．或D．或6．（5分）已知直线l1：（k﹣1）x+y+2=0和直线l2：8x+（k+1）y+k﹣1=0平行，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．或﹣7．（5分）已知实数x，y满足不等式组，那么|x﹣y|的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f（x）=f（4﹣x）成立，。

2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤<（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（4）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B) 3 (C) 13- (D) 3-（5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16（6）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（8）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152(9)若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )0.3＞(1－m)0.5（10）已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π（11）设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为( ) .(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）8+ （B ）8+（C ）2+ （D ）1224++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ． （14） ()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）（15）已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=⋅=-，则||AD 的最小值是 .（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（20）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（21）（本小题满分12分）已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学试题答案及评分参考一．选择题（1）D （2）D（3）C（4）A （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D（11）D（12）A二．填空题（13）43（14） 40- （15）1（16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得2222225cos 225AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠==⨯⨯⨯⨯． ………4分因为CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC所以cos BCCBD BD∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC =AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分所以2x =2．………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==8分所以cos 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯．……………………………………………12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos 2BC CBD BD ∠==，所以30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC =． 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=．……………………………………………12分 【18】[自主解答] (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2， 得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－17)＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1]＝12(1－16n ＋1)． 因此，要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m20(n ∈N *)恒成立，则m 需满足12≤m20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.（19）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （（20）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面 BD ⊂平面A B C D ，所以1A O B D ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 所以cos ,<>==n m 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥连接11A C 与11B D 交于点1O ， 连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，………………………10分所以11CAA C 为平行四边形．因为O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点， 所以11OA O C 为平行四边形．且111O C OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1C H O O ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B O BC --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，1122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1A O ⊥11A B，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ，所以11B C A D ===． 因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH =．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e3x mf x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出二种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分 设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1eln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） （22）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分 所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分 因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2s i n 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 322⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．……………………………10分（23）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分（Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.11思路1：因为()f x x x =+-- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <<()f x x x =2x =+£+-=+当x ≥()f x x x =+=． 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =-x x ≤+==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分 以下给出三种思路求()g a 的最大值.思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下，12 求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z，此时2x y ==． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。

2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤<（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B) 3 (C)13- (D) 3- （5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 （6）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（8）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152 (9)若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )0.3＞(1－m)0.5（10）已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π （11）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为( ) .(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）8+ （B ）8+（C ）2+ （D ）1224二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14） ()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）（15）已知AD 是ABC ∆的中线，(,)A D A B A C Rλμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=⋅=-，则||AD 的最小值是 . （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X（20）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB --（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．2017年 潮师高级中学 期中测试 理科数学试题答案及评分参考一．选择题（1）D （2）D（3）C（4）A （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D（11）D（12）A二．填空题（13）43（14） 40- （15）1（16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC ．所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=2．………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分所以cos BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯115224=⨯⨯=．……………………………………………12分 【18】[自主解答] (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2， 得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－17)＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1]＝12(1－16n ＋1)． 因此，要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m20(n ∈N *)恒成立，则m 需满足12≤m20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.（19）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=． 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 （20）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥．………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分………………………10分因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．………………6分则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，设平面1OBB 的法向量为(=n 因为()1,0,0OB =，(1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥平面11BB D 连接11AC 与11B D 交于点1O ， 连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ， 所以11CAAC 为平行四边形． 因为O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分在1Rt OCO ∆中，1122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ，所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH =．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4．……………………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出二种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1eln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） （22）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（23）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =---=0<．当x <<()f x x x =+-2x =£+-=+当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x≤+==当且仅当x≥所以()maxf x⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a∈，不等式()f x b≥的解集为空集，所以maxb>．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a=.思路1：令()g a=所以()21g a=+2212≤++=．=12a=时等号成立．所以()maxg a=⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a=因为01a≤≤，所以可设2cosaθ=02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则()g a=cos sin4θθθπ⎛⎫=+=+≤⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立．所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a=因为01a≤≤，设xyìï=ïíï=ïî则221x y+=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y+=()01,01x y＃＃的条件下，求z x y=+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b 的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分。

2018学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4}，则（）A．U=A∪B B．U=（∁U A）∪B C．U=A∪（∁U B）D．U=（∁U A）∪（∁U B）2．（5分）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率是（）A．B．C．D．3．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=04．（5分）已知a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．ac＞bc C．D．a2+b2＞2ab5．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66 B．99 C．144 D．2976．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣67．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．18．（5分）如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．11．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为．12．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．13．（5分）已知圆C：（x+5）2+y2=r2（r＞0）和直线l：3x+y+5=0．若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是．14．（5分）一个红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体共有个．三、解答题：（共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，以及必要的证明过程或演算过程）15．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．17．（14分）已知圆C过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）（1）求圆C的方程；（2）求圆C的圆心坐标及半径．18．（14分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F．﹣DEG19．（14分）已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图；（2）设点F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，求证：FG∥平面ABE；（3）求该几何体的全面积．20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列；（3）记c n=•b n，求{c n}的前n项和S n．2018学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4}，则（）A．U=A∪B B．U=（∁U A）∪B C．U=A∪（∁U B）D．U=（∁U A）∪（∁U B）【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4}，所以C U A={2，4，6}，C U B={1，3，5，6}．所以（C U A）∪（C U B）={2，4，6}∪{1，3，5，6}={1，2，3，4，5，6}．所以U=（C U A）∪（C U B）．故选：D．2．（5分）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，∴直线l2的倾斜角是α=30°+90°=120°，∴直线l2的斜率是k=tan120°=﹣；故选：B．3．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，AB的斜率k===1可得直线AB的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C．4．（5分）已知a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．ac＞bc C．D．a2+b2＞2ab【解答】解：运用排除法，A项，若ab＞0则不成立．B项，若c=0则不成立．C项，a＜0，b＜0时不成立．∴D项正确．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选：B．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选：C．8．（5分）如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．32【解答】解：三视图复原的几何体是一个底面是正三角形，边长为：2，棱柱的高为：4的正三棱柱，所以它的表面积为：2×=24+2故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=2．【解答】解：已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．l1∥l2，，则a=210．（5分）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．【解答】解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．11．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160．【解答】解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故答案为：16012．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．13．（5分）已知圆C：（x+5）2+y2=r2（r＞0）和直线l：3x+y+5=0．若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是．【解答】解：圆C：（x+5）2+y2=r2（r＞0）的圆心（﹣5，0）圆心到直线3x+y+5=0的距离圆C与直线l没有公共点：故答案为：14．（5分）一个红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体共有24个．【解答】解：位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；故答案为：24三、解答题：（共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，以及必要的证明过程或演算过程）15．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．【解答】解：（1）由周期计算公式，可得T=（2）由f（x）的最大值是4知，A=4，即sin（）=1∵0＜ρ＜π，∴∴，∴∴f（x）=4sin（3x+）（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=，，，，．17．（14分）已知圆C过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）（1）求圆C的方程；（2）求圆C的圆心坐标及半径．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，1分则，6分解得，9分所求圆的方程是x2+y2﹣8x+6y=0，10分（2）圆的方程化为（x﹣4）2+（y+3）2=25，12分所以圆心坐标是（4，﹣3），半径是5．14分18．（14分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F．﹣DEG【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．19．（14分）已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图；（2）设点F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，求证：FG∥平面ABE；（3）求该几何体的全面积．【解答】解：（1）该几何体的直观图如图示：（2）证明：由图（甲）知四边形CBED为正方形∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点∴FH∥CD，HG∥AE∵CD∥BE∴FH∥BE∵BE⊂面ABE，FH⊄面ABE∴FH∥面ABE同理可得HG∥面ABE又∵FH∩HG=H∴平面FHG∥平面ABE又∵FG⊂面FHG∴FG∥平面ABE（3）由图甲知AC⊥CD，AC⊥BC，BC⊥CD∴CD⊥平面ACB，∴CD⊥AB同理可得ED⊥AD=S△ACD，S△ABE=S△ADE=×2×2=2，S CBED=4，∵S△ACB∴该几何体的全面积S=S△ACB+S△ACD+S△ABE+S△ADE+S CBED=2+2+4+4=4（2+）．20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列；（3）记c n=•b n，求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则．∴a n=a2+4（n﹣2）=6+4n﹣8=4n﹣2；（2）由T n+b n=1 ①，得，．②，①﹣②得：，即．∴数列{b n}是以为首项，以为公比的等比数列；（3）由（2）得，．∴c n=•b n==．则．令．．两式作差得：=．∴．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1. 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩及格的分别有人和人，项测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是 ( )A. B. C. D.2. 已知直线，，若，则A. 或B. 或C. 或2D.3. 下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，不能确定一个平面的条件有A. ①②B.②③C. ①②③D. ①②③④4. 若的三个内角，，满足，则A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5. 若直线按向量平移得到直线，则 ( )A. 只能是B. 只能是C. 只能是或D. 有无数个6. 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )A.3B.C.D. 67. 在数列中，，前项和为，且点在直线上，则 ( )A. B.C. D.8. 按下列程序框图运算，规定：程序运行到"判断结果是否大于"为次运算，若，则运算停止时进行的运算次数为 ( )A. B. C. D.9. 如图，在三棱锥中，，在内，，，则的度数为 ( )A. B.C. D.10. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是 ( )A. 无论如何，总是无解B. 无论如何，总有唯一解C. 存在，使之恰有两解D. 存在，使之有无穷多解11. 某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是 ( )A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ①②③④12. 设，为整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值为 ( )A. B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 过点M（1，2），且与点A (3 ,4 ) , B ( -1 , 6 ) 距离相等的直线方程为.14. 已知倾斜角为的直线，与直线平行，则.15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 ．16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，，直线 ，其中实数 ，， 成等差数列，若点 在直线 上的射影为 ，则线段 长的取值范围是 ．三、解答题（共70分） 17.(本小题10分)在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，已知 ，且 ．Ⅰ 求 的大小；Ⅱ 设 且 的最小正周期为 ，求 在 的最大值．18. (本小题12分)如图，三棱锥 内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知 ，，，，Ⅰ求圆锥的侧面积及侧面展开圆的中心角； Ⅱ 求 经过圆锥的侧面到 点的最短距离．19. (本小题12分)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了 辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数 （单位：公里）分为 类，即 类：， 类：， 类：．该公司对这 辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：Ⅰ 从这 辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过 万公里的概率；Ⅱ 公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取 辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从 类车中抽取了 辆车． ①求 的值；②如果从这 辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过 万公里的概率．CPADB20. (本小题12分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，顶点P在底面的射影在CA延长线上（含点A）.Ⅰ求证：平面.Ⅱ若P在底面上的射影为A，当平面与平面垂直时，求的长.(在答卷中填空并解答)Ⅲ若PA与底面的所成角为，求二面角P-BC-A 的余弦值.21. (本小题12分)在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．Ⅰ若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；Ⅱ当时，求折痕长的最大值；Ⅲ当时，折痕为线段，设，试求的最大值．22. (本小题12分)设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．Ⅰ如果定义域为的函数为上的高调函数，求实数的取值范围；Ⅱ如果定义域为的函数（为常数且）为上的高调函数，求证：；Ⅲ如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，求实数的取值范围．广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试答案数学一、选择题：CBDC D ACABB DA二、填空题：13.14. 15. , 316.三、解答题：17. （1）因为，且，所以，所以．………………..2分又，所以．………………..4分（2）………………..7分因为，所以，所以，………………..8分因为，所以．所以当，即时，．………………..10分18. （1）因为，，，所以为底面圆的直径．………………..4分圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，则，所以，所以．………………..7分（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，．………………..10分19. （1）总共有140辆汽车，行驶总里程超过万公里的汽车有20+20+20=60辆故从这辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为．………………..4分（2）①依题意．………………..6分② 辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为，，；辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为，．“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：，，，，，，，，，．………………..8分“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种：，，，，，．………………..10分则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率．………………..12分20. （1）过P作PE面AC于E因为顶点P在底面的射影在CA延长线上所以E在CA 延长线上即PE因为底面为菱形，因为，所以，BD所以平面.…………４分（2）如图①，在上取一点，使得.又因为，所以，所以，所以为二面角的平面角，…………６分所以.又，所以，即为等腰直角三角形.所以.如图②，从截面利用相似三角形可得. ……….…８分(3)过点E作EM BC于M 连结PM因为PE面ABCD所以PE BC所以BC面PEM所以BC PM 即为二面角的平面角……….…10分因为PA与底面的所成角为所以EA=，EC=所以EM=tan =cos =二面角的余弦值为……….…12分21.（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程为．..1分当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为．…..2分折痕所在的直线方程为综上，得折痕所在的直线方程为．…..……3分（2）设折痕的长度为．当时，折痕所在直线交于点交轴于，所以折痕长度的最大值为．……………..6分当时，折痕的长；而，故折痕长度的最大值为．………………..7分（3）当时，折痕所在直线交于交轴于．，故…………..10分因为，所以当且仅当时取“ ”．所以当时，取最大值，的最大值是．……………….12分22. （1）由题意，当时，，得，因为，所以由，得，由得，因为在为减函数，所以．所以的取值范围是．…………….3分（2）当时，，由得，即，…………..5分当时，上式恒成立．当时，，因为在上的最小值为，所以，所以．…………..7分（3）当时，，因为是奇函数，，所以时，即………...9分当时，，由得，从而，两边平方得，所以，因为在上的最小值是，所以．当时，，由得，从而，两边平方得，因为当时，，所以．当时，，由得，从而，因为所以或（舍去），…………..13分所以．综上，的取值范围是． (14)分。

广东省汕头市潮师高中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N={x|﹣1＜x＜3}，则M∩N=（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，1）C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2] 3．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，10）4．（5分）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）A．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减B．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增C．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递增D．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递减5．（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，1）或（﹣3，1）D．（﹣2，2）或（﹣2，0）6．（5分）平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（）A．B．C．3D．77．（5分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣38．（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（）A．m≥1+B．m C．m≥1 D．m≥1+e二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）定积分=．10．（5分）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．11．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）=．12．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．13．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，ɛ=0.3，则输出的m是．（注：框图中的“=”，即为“←”或为“：=”）三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）14．（3分）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=2cosθ分别相较于A、B两点，则线段AB直平分线的极坐标方程为．15．（3分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE 于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．三、解答题：本大题6小题，满分79分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x﹣），求函数f（x）的单调递减区间．17．（11分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R．（1）求||的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t．18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）若f（+）=，a∈（0，），求sina的值．19．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）（1）求f（x）的最大值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）．21．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．广东省汕头市潮师高中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N={x|﹣1＜x＜3}，则M∩N=（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，1）C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由列举法写出集合M，然后直接取符合集合N的元素构成集合即可．解答：解：由M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，N={x|﹣1＜x＜3}，所以M∩N={0，1，2}．故选C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2]考点：函数的定义域及其求法．分析：根据函数的解析式可得，解得x的范围，从而求得函数的定义域．解答：解：∵函数f（x）=，∴，解得1＜x＜2，故函数的定义域为（1，2），故选A．点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．3．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，10）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是函数零点，要想判断函数零点所在的区间，我们可以将四个答案中的区间一一代入进行判断，看是否满足f（a）•f（b）＜0，解答：解：∵f（2）=＜0f（3）=＞0∴f（2）•f（3）＜0∴f（x）的零点点所在的区间是（2，3）故选C点评：连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点．4．（5分）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）A．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减B．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增C．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递增D．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递减考点：复合三角函数的单调性；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为cosπx，故函数为偶函数．再由当x∈[0，1]时，可得函数y=cosπx 是减函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）=sin=cosπx，故函数为偶函数，故排除C、D．当x∈[0，1]时，πx∈[0，π]，函数y=cosπx 是减函数，故选A．点评：本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．5．（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，1）或（﹣3，1）D．（﹣2，2）或（﹣2，0）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设出向量的坐标，由题意，得到坐标的方程解之即可．解答：解：设则=（x，y），因为平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），所以+=（x+2，y﹣1），所以（x+2）2+（y﹣1）2=1，并且x+2=0，所以x=﹣2，y=2或者0；所以=（﹣2，0）或（﹣2，2）；故选D．点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量平行的性质，属于基础题．6．（5分）平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（）A．B．C．3D．7考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：根据题意，由的坐标，可得||，进而可得•的值，利用公式|+|2=2+2•+2，计算出|+|2，开方可得答案．解答：解：根据题意，=（2，0），则||=2，又由||=1且、夹角为60°，则•=2×1×cos60°=1，|+|2=2+2•+2=4+2+1=7；则|+|=；故选B．点评：本题考查数量积的运用，注意先根据的坐标，求出的模．7．（5分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣3考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形的相似，可得，再利用向量的加法运算，即可得到结论．解答：解：因为AD∥BC，所以△AEF∽△CBF，因为点E是AD的中点，所以．所以∵=∴∵∴m=，n=﹣，∴=﹣2．故选B．点评：本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（）A．m≥1+B．m C．m≥1 D．m≥1+e考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：易知x2，lnx在[1，e]上都是增函数，从而可得f（x）=x2+lnx在[1，e]上是增函数，从而求出函数f（x）的取值范围，从而由题意求实数m的取值范围．解答：解：∵x2，lnx在[1，e]上都是增函数，∴f（x）=x2+lnx在[1，e]上是增函数，∴≤f（x）≤，则∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m可化为≤m，即m．故选B．点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了存在性问题的处理方法，属于中档题．（一）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）定积分=e2．考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可．解答：解：=（lnx+x2）|1e=lne+e2﹣（ln1+12）=e2故答案为：e2．点评：本题考查利用微积分基本定理求积分值、考查定积分的公式，属于基础题．10．（5分）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得（）•=﹣=0，再利用两个向量的数量积的定义求得cos ＜＞的值，即可求得向量与的夹角．解答：解：由题意可得（）•=﹣=0，即1﹣1××cos＜＞=0，解得cos＜＞=．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．11．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα，把点（，）代入可得，解得α，可得f（x）．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：设幂函数f（x）=xα，把点（，）代入可得，解得α=．∴f（x）=．∴f（x）=．∴log 4f（2）==．故答案为：．点评：本题考查了幂函数的定义、对数的运算性质，属于基础题．12．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．解答：解：∵y=e ax∴y′=ae ax∴曲线y=e ax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直∴﹣a=﹣1，即a=2．故答案为：2点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．13．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，ɛ=0.3，则输出的m是1.25．（注：框图中的“=”，即为“←”或为“：=”）考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照用二分法求函数零点近似值得步骤求解即可．注意验证精确度的要求．解答：解：令f（x）=x2﹣2，则f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，取m=1.5，f（1.5）=0.25＞0，此时|1.5﹣1|=0.5＞0.3，不合精确度要求．再取m=1.25，f（1.25）=﹣0.4375＜0．此时|1.25﹣1.5|=0.25＜0.3，符合精确度要求．则输出的m是 1.25．故答案可为：1.25．点评：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）14．（3分）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=2cosθ分别相较于A、B两点，则线段AB直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标，求出线段AB的垂直平分线的方程，再化为直角坐标方程即可．解答：解：曲线C1：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．C2：ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x．联立，解得，．∴A（0，0），B（1，1）．线段AB的中点为M．∵k AB=1，∴线段AB直平分线的斜率k=﹣1．∴线段AB直平分线的直角坐标方程为：，化为x+y=1．∴线段AB直平分线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1．故答案为：ρcosθ+ρsinθ=1．点评：本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、线段的垂直平分线的方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE 于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出．解答：解：∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°．∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=9×1=9，解得AC=3．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题6小题，满分79分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x﹣），求函数f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过恒等变换不函数变形成正弦型函数，进一步求出单调区间．解答：解：（1）已知：f（x）=sinx+cos（x﹣）=sinx+=…（1分）令：（k∈Z）解得：（k∈Z）所以：函数的单调递减区间为：[]（k∈Z）点评：本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法．17．（11分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R．（1）求||的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）利用求模公式表示出||，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；（2）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；解答：解：（1）∵=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），∴+t=（﹣3，2）+t（2，1）=（﹣3+2t，2+t），∴|+t|===≥=（当且仅当t=时等号成立）．（2）∵=（﹣3，2）﹣t（2，1）=（﹣3﹣2t，2﹣t），又与共线，∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）=3×（2﹣t），解得t=．点评：本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）若f（+）=，a∈（0，），求sina的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=1+2sin（2x﹣），从而可求f（x）的周期；（Ⅱ）若x∈[，]，则可确定2x﹣的取值范围，从而可求f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）由已知可求出sin（）=，从而可求cos（），故可求sinα=sin[（）+]的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin2（+x）﹣=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x ﹣cos2x=1+2sin（2x﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴f（x）的周期T==π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）∵x∈[，]，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴f（x）max=3，f（x）min=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∵f（+）=1+2sin（）=1+2sin（）=∴sin（）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵a∈（0，），所以，（未说明角的范围扣1分）∴cos（）=﹣﹣﹣（12分）∴sinα=sin[（）+]==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．19．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：解法一：（I）由已知中底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，我们结合线面垂直的性质及勾股定理，可以得到BD与平面PAC中两个相交直线PA，AC均垂直，进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；（Ⅱ）连接PE，可得∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角，解三角形AEP即可得到二面角P ﹣BD﹣A的大小．解法二：（I）以A为坐标原点，建立空间坐标系，根据向量垂直，数量积为零，判断出BD⊥AP，BD⊥AC，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；（Ⅱ）分别求出平面PBD与平面ABD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P ﹣BD﹣A的大小．解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．…．．（6分）（Ⅱ）连接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角．在Rt△AEB中，，∴，∴∠AEP=60°，∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°．…．．（12分）解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，3），∴，，，∴．∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）设平面ABD的法向量为m=（0，0，1），设平面PBD的法向量为n=（x，y，1），则n，n∴解得∴．∴cos＜m，n＞==．∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°．点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，（I）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直的判定定理，（II）的关键法一是得到∠AEP为二面角P ﹣BD﹣A的平面角，法二是求出平面PBD与平面ABD的一个法向量．20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）（1）求f（x）的最大值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）通过讨论a的范围，从而得出函数的零点的个数．解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，∵x＞0，a＞0，∴2ax+1＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1时，f（x）最大值=f（1）=a﹣1；（2）由（1）得，x=1时，f（x）的最大值是a﹣1，①0＜a＜1时，f（1）＜0，函数f（x）与x轴没有交点，故函数f（x）没有零点，②a=1时，f（1）=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0，且x=1∈（，2），此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点，③a＞1时，f（1）＞0，又f=﹣a﹣＜0，f（2）=ln2﹣2＜0，函数f（x）与x轴有2个交点，故函数f（x）有2个零点，综上：0＜a＜1时，f（x）没有零点，a=1时，f（x）有1个零点，a＞1时，f（x）有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了函数的零点问题，考查了导数的应用，是一道中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数；根的存在性及根的个数判断；不等关系与不等式．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．解答：解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴，即当a＜b时，．点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。

2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二(上）期中数学试卷(理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={x|﹣2＜x＜1},B=｛x|0＜x＜2}，则集合A∩B=(）A．｛x｜﹣1＜x＜1}B．｛x｜﹣2＜x＜1｝C．｛x|﹣2＜x＜2}D．｛x｜0＜x＜1｝2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是（)A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C．D．ad＞bc3．满足条件的△ABC的个数是（）A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个4．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点，那么（）A．D=0,E≠0，F≠0 B．E=F=0,D≠0 C．D=F=0，E≠0 D．D=E=0，F≠05．设l，m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α,m∥α，则l∥m6．如图，△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A． B． C． D．7．已知点(x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（)A．8 B．6 C．3D．48．已知x1、x2是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22取最小值时，实数m的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣1二。

填空题（每小题5分,共30分）9．空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2,3,4）,则|AB|=．10．数列，…的一个通项公式是．11．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130~140分数段的人数为90人，则90~100分数段的人数为．12．已知函数f(x）=a x+a﹣x（a＞0，且a≠1),若f（1）=3，则f(2)=．13．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2)2+（y+3）2=9交于E、F两点，则弦长EF=．14．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是．三．解答题（本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）15．已知函数f(x）=［sin（+x）﹣sinx]2+m．（1）求f(x）的最小正周期;（2)若f(x）的最大值为3，求m的值．16．如图，在平行四边形OABC中，点O是原点,点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3)，点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．17．如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°．(1）求证：AB⊥CD；(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值．18．已知四棱锥S﹣ABCD,底面为正方形,SA⊥底面ABCD,AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的表面积;(Ⅱ)求证：MN∥平面SAD．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，直线l:x+my=3．(1)若l与C相切，求m的值；（2）是否存在m值，使得l与C相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点），若存在，求出m，若不存在，请说明理由．20．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30．数列{b n}满足b1=0，b n=2b n+1，﹣1（n∈N，n≥2），①求数列{a n}的通项公式；②设C n=b n+1，求证：｛C n｝是等比数列，且{b n｝的通项公式；③设数列{d n}满足，求｛d n｝的前n项和为T n．2016—2017学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)1．若集合A=｛x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=()A．{x｜﹣1＜x＜1｝B．{x｜﹣2＜x＜1｝C．｛x|﹣2＜x＜2}D．{x｜0＜x＜1}【考点】并集及其运算．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B=｛x|﹣2＜x＜1｝∩{x｜0＜x＜2}={x｜0＜x＜1}．故选D．2．已知a＜b＜0，c＜d＜0,那么下列判断中正确的是（)A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C．D．ad＞bc【考点】不等式比较大小．【分析】根据不等式的基本性质，在所给的两个不等式两边同乘以﹣1，得到两个大于零的不等式，同向不等式相乘得到结论．【解答】解：∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0,﹣c＞﹣d＞0,∴ac＞bd故选B．3．满足条件的△ABC的个数是（）A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个【考点】正弦定理．【分析】利用三角形解的判定方法：即bsinA＜a＜b，此三角形由两解．即可得出．【解答】解：∵=3，∴，即bsinA＜a＜b．因此,此三角形由两解．故选C．4．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点，那么（)A．D=0，E≠0，F≠0 B．E=F=0，D≠0 C．D=F=0,E≠0 D．D=E=0，F≠0【考点】圆的切线方程．【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为： +=．可得圆心，半径r=．根据圆与x轴切于原点，即可得出．【解答】解：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为： +=．圆心，半径r=．∵圆与x轴切于原点，∴=0，F=0，≠0，r＞0，解得D=F=0,E≠0．故选：C．5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α,m⊂α,则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确; C:l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行,异面，相交，不正确．B:由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B6．如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是(）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状,直接判定选项即可．【解答】解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中,CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D7．已知点（x，y)在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（）A．8 B．6 C．3D．4【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．【解答】解:∵点（x，y）在直线x+2y=3上移动，∴x+2y=3．∴2x+4y≥=2==4，当且仅当x=2y=时取等号．∴2x+4y的最小值是4．故选:D．8．已知x1、x2是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22取最小值时，实数m的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣1【考点】函数的零点；基本不等式．【分析】由题意可得判别式△≥0，求得m≥2,或m≤﹣1．化简x12+x22的解析式为﹣，再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值．【解答】解：由题意可得x1+x2=m,x1•x2=,△=16m2﹣16（m+2）≥0，∴m≥2，或m≤﹣1．当x12+x22=﹣2x1•x2=m2﹣=﹣取最小值时，有m=﹣1，故选D．二.填空题(每小题5分，共30分)9．空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1,1，2）、（2，3,4），则｜AB|=3．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1,2）、（2,3，4），所以|AB|==3．故答案为:3．10．数列，…的一个通项公式是．【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．【分析】分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式．【解答】解：∵2，4，8，16,32，…是以2为首项和公比的等比数列，且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列,∴此数列的一个通项公式是,故答案为：．11．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示,若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为810．【考点】频率分布直方图．【分析】先分别求出130~140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频率的比值等于人数的比值，求出所求即可．【解答】解：130～140分数段的频率为0.05，90～100分数段的频率为0.45，故90～100分数段的人数为9×90=810．故答案为：81012．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，且a≠1），若f（1）=3，则f（2）=7．【考点】函数的值．【分析】由f（1）=3得到a+a﹣1=3，平方后整理即可得到f（2）的值．【解答】解：由f（x）=a x+a﹣x，且f（1)=3得,a+a﹣1=3，所以a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=9﹣2=7．故答案为7．13．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则弦长EF=4．【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长．【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2=9,得到圆心坐标为（2，﹣3）,半径r=3,∵圆心(2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==，∴弦EF=2=4．故答案为：414．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是4π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】通过正方体的表面积，先求球的内接正方体的棱长，再求正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求其体积．【解答】解:设正方形的棱长为a，∵球的内接正方体的表面积为24，即6a2=24,∴a=2，所以正方体的棱长是：2正方体的对角线2，所以球的半径R是所以球的体积：R3=()3=4π，故答案为：．三．解答题(本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）15．已知函数f（x）=[sin（+x）﹣sinx]2+m．（1）求f（x）的最小正周期；(2)若f（x)的最大值为3,求m的值．【考点】正弦函数的定义域和值域;三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．【分析】先对原函数进行整理得到f（x）=1﹣sin2x+m；(1）直接代入周期计算公式即可;（2）直接把sin2x=﹣1代入即可求出结论．【解答】解:因为f(x)=(cosx﹣sinx）2+m…=cos2x+sin2x﹣2cosx•sinx+m…=1﹣sin2x+m…（1)f(x）的最小正周期为T==π．…（2）当sin2x=﹣1时f(x）有最大值为2+m，…∴2+m=3，∴m=1．…16．如图,在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1,3）,点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；(2)当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线的一般式方程．【分析】（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程;（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0）,利用平行四边形，推出M与D 坐标关系,利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．【解答】(本小题满分10分)解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K AB=K OC==3．∴AB所在直线方程是y﹣0=3(x﹣3）,即3x﹣y﹣9=0．（2）：设点M的坐标是（x，y）,点D的坐标是（x0,y0）,由平行四边形的性质得点B的坐标是（4,6），∵M是线段CD的中点,∴x=，y=,于是有x0=2x﹣1，y0=2y﹣3，∵点D在线段AB上运动,∴3x0﹣y0﹣9=0，（3≤x0≤4），∴3(2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9=0即6x﹣2y﹣9=0,（2≤x≤）．17．如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1)求证:AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】(1)利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC,利用线面垂直的性质，可得DC⊥AB；（2）过C作CE⊥AB于E，连接ED，可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角．设CD=a,则BC==，从而EC=BCsin60°=，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．【解答】（1)证明:∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,∴DC⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB．…（2）解：过C作CE⊥AB于E,连接ED，∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，∴AB⊥平面ECD，又DE⊂平面ECD，∴AB⊥ED,∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角，…设CD=a,则BC==，∵△ABC是正三角形，∴EC=BCsin60°=,在Rt△DEC中，tan∠DEC=．…18．已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD,AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（Ⅱ)求证：MN∥平面SAD．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由条件可得△SAB≌△SAD,△SBC≌△SCD，再根据S表面积=2S△SAB+2S△SBC+S ABCD 运算求得结果．（Ⅱ)取SD 中点P ，利用三角形的中位线的性质证得AMNP 是平行四边形，可得MN ∥AP ．再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN ∥平面SAD ．【解答】解：（Ⅰ）∵SA ⊥底面ABCD,∴SA ⊥AB ，SA ⊥AD ，SA ⊥BC ．又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥SB ，同理,CD ⊥SD ，∴△SAB ≌△SAD ，△SBC ≌△SCD ．又∵SB=a ，∴S 表面积=2S △SAB +2S △SBC +S ABCD =．(Ⅱ)取SD 中点P ，连接MN 、NP 、PA ，则NP=CD ，且NP ∥CD ．又AM=CD ，且AM ∥CD ，∴NP=AM ，NP ∥AM ，∴AMNP 是平行四边形．∴MN ∥AP ，而AP ⊂平面SAD ，MN 不在平面SAD 内，∴MN ∥平面SAD ．19．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣6y +1=0，直线l ：x +my=3．（1）若l 与C 相切，求m 的值;（2）是否存在m 值，使得l 与C 相交于A 、B 两点，且（其中O 为坐标原点），若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】(1）将圆的方程转化为标准方程,求得圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径来求解．（Ⅱ）先假设存在m ，由圆的方程和直线方程联立由韦达定理分别求得x 1x 2,y 1y 2由，求解，然后，再由判别式骓即可．【解答】解：（1)由圆方程配方得（x +1）2+（y ﹣3）2=9，圆心为C(﹣1，3），半径为r=3，若l 与C 相切，则得=3,∴(3m ﹣4)2=9（1+m 2），∴m=．(2）假设存在m 满足题意．由x 2+y 2+2x ﹣6y +1=0，x=3﹣my消去x得（m2+1）y2﹣（8m+6)y+16=0，由△=（8m+6）2﹣4（m2+1）•16＞0，得m＞，设A（x1,y1），B（x2,y2）,则y1+y2=，y1y2=．=x1x2+y1y2=(3﹣my1）（3﹣my2）+y1y2=9﹣3m（y1+y2）+(m2+1）y1y2=9﹣3m•+(m2+1）•=25﹣=024m2+18m=25m2+25,m2﹣18m+25=0，∴m=9±2，适合m＞，∴存在m=9±2符合要求．20．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30．数列｛b n｝满足b1=0，b n=2b n+1，﹣1（n∈N，n≥2),①求数列｛a n}的通项公式；②设C n=b n+1,求证：{C n｝是等比数列,且{b n｝的通项公式；③设数列｛d n}满足，求｛d n｝的前n项和为T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式;等比关系的确定；数列递推式．【分析】①等差数列｛a n}中，依题意，解关于首项a1与公差d的方程组，即可求得数列{a n}的通项公式；②可求得=2（n≥2，n∈N），c1=b1+1=1，从而可确定{c n｝是以1为首项,2为公比的等比数列，继而可得{b n｝的通项公式；③通过裂项法可求得d n=（﹣）+2n﹣1﹣1，再利用分组求和、公式法求和即可求得{d n｝的前n项和为T n．【解答】解：①由a2=a1+d=4，S5=5a1+d=30得:a1=2,d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n…②∵b n=2b n+1,c n=b n+1，﹣1∴===2（n≥2，n∈N）∴{c n}是以2为公比的等比数列．又∵c1=b1+1=1，∴c n=b n+1=1×2n﹣1=2n﹣1，∴b n=2n﹣1﹣1…③∵d n=+b n=+2n﹣1﹣1=（﹣）+2n﹣1﹣1，∴T n=［（1﹣）+(﹣）+…+(﹣）]+（1+2+22+…+2n﹣1）﹣n =（1﹣)+﹣n=2n﹣n﹣2017年1月2日。

广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试理科数学试卷命题人：李勇第一部分选择题（共60分）一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．) 1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 A ．12D ．20＋8 22．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆的直观图，得到如图所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2CD ．3．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥4．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到 图2所示的几何体，则该几何体的左视图为7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．内含9．直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 0 D ．210．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB =k 的值等于A B ．1 C D ．1或1-11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点 的轨迹方程是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与A ．AC ，BD 之一垂直B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直 D ．AC ，BD 不一定垂直第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.点)2,1(-到直线x y =的距离是_________.14.若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为_________.15.两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是_________. 16.在ABC ∆中，2,6,2==∠=∠AC B C ππ，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为ABC M -的外接球的表面积为_________.三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B2－1，且m ∥n . （Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上. （Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n n B B )1(322121++++ 与1的大小．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ，90BAD ∠=︒，AD ，22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中， 平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==． （Ⅰ） 求证：AB BC ⊥；（Ⅱ） 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A A C B --的大小．21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。

汕头市潮师高级中学2017—2018学年高二第一学期期中考试理科综合试题可能用到的相对原子质量:H：1 C:12 N:14 O:16 Br:80 Cl：35.5 Fe:56 Cu: 64 Ag: 108第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在农作物育种上,采用的方法有：诱变育种、杂交育种、多倍体育种、单倍体育种。

它们的理论依据依次是（）。

①基因突变②基因重组③染色体变异A。

①②③③ B. ③②①②C。

②③①②D。

②①③②2、现代生物进化理论是在达尔文自然选择学说的基础上发展起来的.现代生物进化理论对自然选择学说的完善和发展表现在（）①突变和基因重组产生进化的原材料②种群是进化的单位③自然选择是通过生存斗争实现的④适者生存，不适者被淘汰⑤生物进化的实质是基因频率的改变⑥隔离导致物种形成A．②④⑤⑥B．②③④⑥ C．①②⑤⑥ D．①②③⑤3、已知苯丙酮尿症是常染色体隐性遗传病。

据调查,该病的发病率大约为1/10000，在人群中该病的隐性致病基因（a)的基因频率以及此隐性基因的携带者（Aa）的基因频率分别是（）A.1%和0。

99％B。

1％和1。

98％C。

0.1%和3.96% D。

0。

1％和0。

198％4、多种因素会影响人体内环境的相对稳定，使生命活动偏离正常状态。

下列各项中，不能引起组织水肿的是( )A。

饮食过咸，导致血浆渗透压过高B。

花粉过敏，使毛细血管的通透性增大C.营养不良，导致血浆蛋白减少D。

淋巴管阻塞，组织液中蛋白质增多5、下列各图箭头表示兴奋在神经元之间和神经纤维上传导方向，其中不正确的是（）6、下列有关糖代谢及调节的叙述，正确的是( ）A．在肌肉、肝脏细胞中，②过程均可发生B．胰岛A细胞分泌的激素促进④过程C．胰岛B细胞分泌的激素促进①、③过程D．胰岛素促进④、⑤、⑥等过程7、下列措施能明显增大原反应的化学反应速率的是（)A．Na与水反应时增大水的用量B．将稀硫酸改为98%的浓硫酸与Zn反应制取H2C．在H2SO4与NaOH两溶液反应时，增大压强D．恒温恒容条件下,在工业合成氨反应中,增加氮气的量8、对于反应CO(g) +H2O(g) CO2(g）+H2(g) ΔH< 0, 在其他条件不变的情况下( )A。

汕头市潮阳黄图盛中学2017届高二上学期期中考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷上，请将答案填写在答题卷对应区域， 考试结束后，监考员将答题卷收回，试卷考生自己保管． 球的体积公式：343V R π= 球的表面积公式：24S R π=第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1．设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )A . a b c ＜＜B ． a c b ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a ＜＜2．已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，且a b + 与2a b - 平行，则实数x 的值等于（ ）A .4-B . 4C .6-D .63.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ） A.内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；D. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； 5．执行右边的程序框图，输出的结果是( )A ．12B ．23C ．34D ．456．设{}n a 为递减等比数列，1121=+a a ，1021=⋅a a ，则1021lg lg lg a a a +⋅⋅⋅++=( )A ．35B ．－35C ．55D ．－557. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）正视图俯视图A ．5πB ．12πC ．20πD ．8π8．过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3-<a 或231<<a B ．231<<a C ．3-<a D ．13<<-a 或23>a9．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤2，y ≤1.，则1222+-+x y x 的取值范围是( )A ．[12，2]B ．C ．D ．[22, 2]10. 已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 211.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中1AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等（ ）A ．23 B C D 12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－m2在上有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ． B ．[3，2) C ．(3，2] D ．[3，2]第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。