命题

四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。

命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。

类型二：四种命题及其关系本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。

命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p 为命题的条件，q为命题的结论。

四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。

1) 末位是5的整数能被5整除。

2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。

3) 两直线平行，则斜率相等。

4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。

5) 余弦函数是周期函数吗？举一反三：变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。

1) x>1；2) 当x=1时，x>1；3) 你是男生吗？4) 求证：π是无理数。

变式2】下列语句中是命题的是（）A。

|x+a|B。

{0}∈NC。

元素与集合D。

真子集变式3】判断下列语句是否是命题。

1) 这是一棵大树。

2) sin30°=1/2.3) x+1>0；4) 梯形是平行四边形。

命题的基本概念1. 概念的定义命题是逻辑学和数理逻辑中的一个基本概念，指的是能够陈述一个明确的陈述句或者陈述句的复合句。

一个命题要么是真的，要么是假的，不存在其他可能性。

命题可以用来表达事实、判断、推理等。

命题可以用符号来表示，常用的符号有大写字母P、Q、R等表示命题，命题的真值用T（true）表示真命题，用F（false）表示假命题。

2. 重要性命题是逻辑学和数理逻辑的基础，它的重要性体现在以下几个方面：2.1 逻辑推理命题是逻辑推理的基础，逻辑推理是通过对命题的合理组合和推理得出结论的过程。

在逻辑推理中，命题可以作为前提、假设或者结论，通过命题之间的逻辑关系进行推理和证明。

2.2 真值表命题的真值表是一种列举出命题在不同情况下的真值的表格。

通过真值表，可以清晰地展示出命题的真值情况，从而帮助我们理解命题之间的逻辑关系和推理规律。

2.3 谓词逻辑在谓词逻辑中，命题可以作为谓词的参数，通过对命题的量化和连接得出更复杂的命题。

谓词逻辑是现代逻辑的基础，广泛应用于数学、计算机科学等领域。

2.4 知识表示命题可以用来表示知识，通过对命题的组合和推理，可以构建出复杂的知识表示体系。

知识表示是人工智能、专家系统等领域的重要研究内容。

3. 应用命题的应用非常广泛，涉及到多个学科和领域，以下介绍几个常见的应用：3.1 数学推理在数学中，命题是数学推理的基础。

通过对命题的逻辑关系进行推理，可以得到数学定理和证明。

3.2 计算机科学在计算机科学中，命题逻辑是形式化方法的基础，用于描述和分析算法和程序的正确性。

命题逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，包括程序验证、模型检测、人工智能等领域。

3.3 自然语言处理在自然语言处理中，命题可以用来表示句子的含义和逻辑关系，通过对命题的推理和计算，可以进行机器翻译、信息检索、问答系统等任务。

3.4 人工智能在人工智能领域，命题逻辑是知识表示和推理的基础。

通过对命题的组合和推理，可以构建出复杂的知识表示体系，用于解决问题和推理。

高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

2、一般地，如果既有，又有，就记作。

此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。

四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。

2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。

对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。

3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。

4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。

二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。

原命题为真时，逆命题不一定为真。

例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。

2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。

例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。

3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。

例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。

4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。

例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。

命题的通俗解释摘要：1.命题的定义2.命题的分类3.命题的通俗解释4.命题的逻辑关系5.命题的重要性正文：1.命题的定义命题是逻辑学中的一个基本概念，它是一种对事情的陈述或判断。

在数学、物理、化学等学科中，命题常常用来描述一个事实或者表达一个观点。

简单来说，命题就是一个陈述句，它可以是真或假，可以通过推理和证明来确定其真假性。

2.命题的分类根据命题的内容和形式，我们可以将命题分为两类：肯定命题和否定命题。

肯定命题是对某件事情的肯定判断，例如“太阳从东方升起”；否定命题则是对某件事情的否定判断，例如“月亮不是地球的卫星”。

3.命题的通俗解释要理解命题的通俗解释，我们可以从日常生活中的例子入手。

比如，我们可以用命题来描述一个人的身高、体重、年龄等属性。

假设有一个人叫张三，我们可以用命题来表达关于张三的信息，如“张三身高170 厘米”、“张三体重60 公斤”等。

这些命题都是对张三属性的陈述，我们可以通过观察和测量来验证这些命题的真假。

4.命题的逻辑关系在逻辑学中，命题之间存在一定的逻辑关系。

主要包括以下几种关系：且（∧）、或（∨）、非（）、蕴含（→）等。

这些逻辑关系可以帮助我们更好地理解和分析命题，判断它们之间的逻辑联系。

5.命题的重要性命题在人类认识世界的过程中具有重要意义。

通过命题，我们可以表达观点、陈述事实、进行推理和论证。

在科学研究中，命题是构建理论体系的基础，它们帮助我们揭示自然规律、探索未知领域。

此外，在日常生活和交流中，命题也起着关键作用，它们帮助我们表达思想、传递信息、解决争端等。

总之，命题是一种对事情的陈述或判断，它在逻辑学、科学研究以及日常生活中具有重要意义。

命题的定义是什么命题是指陈述性句子，它可以被判断为真或假，又称为陈述句或陈述句子。

命题是逻辑推理和数学证明中的基本单位，而命题逻辑是研究命题之间关系和推理规则的学科。

命题的定义对于理解逻辑学以及其他相关学科的基本原理和方法具有重要意义。

本文将从命题的概念、命题的特征以及命题的应用三个方面进行论述。

一、命题的概念命题指的是陈述性句子，它可以被判断为真或假。

命题句子是能够表达一个完整思想的陈述句子，它可以用来描述一个事实、主张某种观点或者提出一个问题。

例如，“今天天气晴朗。

”和“1+1=2。

”都是命题，因为它们可以明确地被判断为真。

命题可以是简单命题，也可以是复合命题。

简单命题是不能再被分解的命题，它是命题逻辑中的最基本单位。

复合命题则是由一个或多个简单命题通过逻辑词（如“与”、“或”、“非”、“蕴含”等）组合而成。

例如，“如果明天下雨，我就呆在家里。

”这个句子就是一个复合命题，由两个简单命题“明天下雨”和“我呆在家里”通过“如果...，就...”连接而成。

二、命题的特征命题具有以下几个特征：1. 真值性：命题可以被判断为真或假，不存在中立的情况。

一个句子要成为命题，必须要有明确的真值。

例如，“现在是上午10点。

”这个句子是一个命题，因为它可以被判断为真或假。

2. 完全性：命题应该包含足够的信息，能够表达一个完整的思想。

一个命题应该提供足够的信息，使读者能够明白该命题所要表达的含义。

例如，“我很喜欢这本书。

”这个句子不是一个命题，因为它没有提供足够的信息。

3. 独立性：命题应该具有自洽性，不受其他陈述的影响。

一个命题的真值不受其他语境的影响，只与其自身的陈述有关。

例如，“地球是平的。

”这个句子是一个错误的命题，因为它与现实情况不符。

4. 可澄清性：命题应该是具体明确的陈述句子，能够清晰地表达含义。

一个命题应该具有明确的语义，不能存在歧义或模棱两可的问题。

例如，“今天有点冷。

”这个句子不是一个命题，因为“有点冷”这个表达具有模棱两可的含义。

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}， (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.4.p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题.( )(2)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(3)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”，若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”，故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( ) A.否命题 B.逆命题 C.逆否命题 D.否定形式答案 A解析 两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系. 5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0， 解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.考点一 命题及其关系1.(2020·太原质检)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bB.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 B解析 将条件和结论都进行否定，即命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2.(2021·成都七中检测)给出下列命题： ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 对于①，“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题为“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；对于②，“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题为“a ·b ≠a ·c ，则a 不垂直于(b －c )”，由a ·b ≠a ·c 可得a ·(b －c )≠0，据此可得a 不垂直于(b －c )，该命题为真命题；对于③，若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0的根的判别式Δ＝(－2b )2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.3.(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).感悟升华 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】 (1)(2021·昆明诊断)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0.则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)B (2)C解析 (1)集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}＝{x |x ≥2，或x ≤－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0＝{x |x ≥2，或x <－1}.∴B A ，∴“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β. 若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点三 充分、必要条件的应用【例2】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·天津卷)设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”. 故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.(2021·百校联考考前冲刺)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为( ) A.(2，1) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，2)答案 A解析 由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 4.设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A.ac 2>bc 2B.a b >1C.a －c >b －cD.a 2>b 2答案 C解析 对于A ，a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错误；对于B ，a >b ，若a >0，b <0，则ab <1，故B 错误；对于C ，a >b ，则a －c >b －c ，故C 正确；对于D ，a >b ，若a ，b 均小于0，则a 2<b 2，故D 错误.5.(2020·长沙检测)若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且m ⊥α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 当直线l ⊂α时，“l ⊥m ” ⇒ “l ∥α”，充分性不成立.若l ∥α，由线面平行的性质，可知在平面α内一定存在一条直线n 与l 平行，又m ⊥α，所以m ⊥n ，则m ⊥l ，可知必要性成立. 所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件. 6.(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题答案 C解析 A 错误，f (x )＝1x 为奇函数，但f (0)无意义；B 错误，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C 正确，由于A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .D 错误，若{a n }递减，则a n ＋1<a n ⇒a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，所以逆命题为真命题，D 不正确.7.(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝e x 2－3x ，则使f (x )<1成立的一个充分不必要条件是( ) A.0<x <1B.0<x <4C.0<x<3D.3<x<4答案 A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案 A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q 的充分不必要条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y 互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2， 解得－1<k <3.12.已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43. B 级 能力提升13.(2020·武昌调研)给出下列说法：①命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”；②命题“若a >2且b >2，则a ＋b >4且ab >4”的逆命题为真命题；③命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则a ≥2或a ≤－2”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x >0”. 其中正确的序号为( )A.②B.③C.①③D.②④答案 B解析 对于①，由于否命题既否定条件又否定结论，因此命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2≠1，则x ＝1”，所以①错误；对于②，原命题的逆命题为“若a ＋b >4且ab >4，则a >2且b >2”，取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4且ab >4，但不满足a >2且b >2，所以②错误；对于③，若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2，原命题为真命题，由于原命题与其逆否命题同真同假，所以③正确；对于④，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”，所以④错误. 14.已知偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |).又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立；若f (a )>f (b )，则等价为f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |，即a >|b |或a <－|b |，即必要性不成立，则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件. 15.能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________. 答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －a ab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题. 16.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.。

命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。

命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。

下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。

1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。

例如：“所有猫都是哺乳动物。

”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。

2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。

条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。

前件是条件，后件是结果。

例如：“如果天下雨，那么地会湿。

”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。

3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。

例如：“明天可能会下雨。

”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。

4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。

复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。

例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。

”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。

以上就是四种形式的命题及其举例。

在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。

一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。

2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。

二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。

解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。

评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。

2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。

解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。

命题的否定：两个奇数的和不是偶数。

评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。

(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。

3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。

(2)平行四边形是菱形。

解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。

1、我的愿望（或理想）我很小时候就有一个愿望，就是长大后当一名优秀的教师。

我喜欢当教师有几个原因，外在原因是觉得教师这个职业很神圣，我觉得做教师的最大价值在于把自己的知识传授给学生,用自己的人格魅力影响学生，实现自己的社会价值.其次当教师有许多业余时间，可以做自己想做的事情，比如，每年有两个假期，寒假与暑假，每年的国家法定假日，每周有两天休息日，我可以利用这些时间来学习，回顾或总结。

并且父母都希望我将来能有一份稳定的工作，最好还能留在他们身边，那样就不必再为生活奔波。

其实，我喜欢当教师的最大的原因是受我的姐姐的影响。

在我小时候，她就在我上学的学习教学了。

不仅仅在学习上帮助我，而且在其他方面也是处处为学生考虑，处处维护自己的学生。

从那时起我就暗暗地对自己说，我长大后也要当一名这样的教师，当一个全心全意为了学生的教师。

为了实现我当教师的心愿，我在学习上更加努力，并且报名参加了普通话考试，进一步，我将报考教师资格考试。

我想，这是我一生中做出的最明智的选择。

我希望以后能够从事教师这个职业，达成我从小以来的理想,作一名人类灵魂的工程师!我一定要实现自己的愿望。

2.我的学习生活都说“活到老，学到老”，所以作为一名学生，我更应该好好学习。

应该学好普通话。

普通话是我国的通用语言，也是国际语言之一。

它以北京语言为标准音、以北方话为基础方言、以现代白话文为语法规范的一种语言。

说一口标准的普通话不仅能给人一种美感，还能给人一种无穷的享受。

尤其是对于教师这个职业，我认为，说好普通话更是我们的必修课。

学普通话的过程，有苦也有乐。

要想学好普通话，首先要从拼音练起。

如果拼音不过关，说好普通话是何其之难，简直就是无本之木、无源之水！每天我都早早的起来练习，不懂的就向其他人请教，有时为了读准一个拼音，经常练到嘴巴发痛，舌头发硬。

然后，我们要做生活的有心人。

在看电视、听广播的时候，要注意主持人的发音，并默默跟读，练习说普通话的感觉。

命题相关知识点总结一、命题概念1. 命题的定义命题是可以明确真假的陈述句，其特征是它有明确的真值，即要么是真，要么是假。

命题可以是简单句，也可以是由简单句组成的复合句。

例如，“1加1等于2”是一个命题，因为它可以被证明为真；“这个问题很难”不是一个命题，因为它无法被证明为真或假。

2. 命题的分类命题可以根据其形式和含义进行分类。

按照形式分类，可以将命题分为简单句和复合句；按照含义分类，可以将命题分为肯定命题和否定命题、复合命题、条件命题等。

3. 命题的逻辑联结词命题中的逻辑联结词包括“非”、“与”、“或”、“蕴含”、“等价”等，它们用来连接不同命题，构成复合命题。

这些逻辑联结词有明确的逻辑含义和真值表。

二、命题的常见形式1. P、Q、R...常用来表示命题在命题逻辑中，常用P、Q、R等字母来表示命题，通过对这些字母的组合，可以得到复合命题，从而进行推理和论证。

2. 命题的否定形式命题的否定形式是指通过使用逻辑联结词“非”来对命题进行否定。

例如，如果P表示“今天下雨”，那么“非P”就表示“今天不下雨”。

3. 命题的合取和析取形式合取形式是指由逻辑联结词“与”连接的两个或多个命题所构成的复合命题，例如“P与Q”。

析取形式是指由逻辑联结词“或”连接的两个或多个命题所构成的复合命题，例如“P或Q”。

4. 命题的条件形式条件形式是指由逻辑联结词“蕴含”连接的两个命题所构成的复合命题，例如“如果P，则Q”。

5. 命题的等价形式等价形式是指由逻辑联结词“等价”连接的两个命题所构成的复合命题，例如“P等价于Q”。

三、命题逻辑的推理1. 命题的逻辑运算在命题逻辑中，命题可以通过逻辑运算进行推理。

逻辑运算包括合取运算、析取运算、条件运算、双条件运算等，通过这些逻辑运算可以得出新的命题，从而进行推理和论证。

2. 命题的真值表真值表是用来表示命题的真值的工具，通过真值表可以清晰地展现命题的真值和各种逻辑运算的结果。

真值表由命题和逻辑联结词构成，根据不同的命题和逻辑联结词，可以列出不同的真值表。

命题说话30篇题目1．我的家乡。

2．我的童年。

3．我的家庭。

4．我的朋友。

5．我的理想。

6．我最喜欢的一本书。

7．我最喜欢的一部电影。

8．我最喜欢的一首歌。

9．我最喜欢的一道菜。

10．我最难忘的一次旅行。

11．我最崇拜的人。

12．我最喜欢的一项运动。

13．我最害怕的一件事。

14．我最遗憾的一件事。

15．我最感激的人。

16．我最珍视的礼物。

17．我最喜欢的一个节日。

18．我最难忘的一个生日。

19．我最喜欢的季节。

20．我最喜欢的动物。

21．我最喜欢的植物。

22．我最喜欢的颜色。

23．我最喜欢的数字。

24．我最喜欢的一种味道。

25．我最喜欢的一个场景。

26．我最喜欢的一个瞬间。

27．我最喜欢的一种食物。

28．我最想要的一样东西。

29．我最想成为一个什么样的人。

30．如果我能拥有一种超能力，那会是什么？。

命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。

命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。

2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。

简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。

简单命题可以是真（True）或假（False）。

例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。

2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。

常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。

•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。

•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。

•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。

•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。

例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。

2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。

合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。

在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。

析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。

在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。

换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。

等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。

例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。

命题是指提出一个问题或给出一个论述，作为讨论、研究或写作的基础。

以下是一般情况下命题的步骤：1. 确定主题：首先确定你要研究或讨论的主题领域。

选择一个你感兴趣或了解的主题，这样你能够更好地探索和表达观点。

2. 缩小范围：将广泛的主题缩小到一个具体的问题或议题。

确保你的命题足够具体，可以在一定的篇幅或时间内进行深入探讨。

3. 提出问题或论述：根据你对主题的理解和研究，提出一个明确的问题或论述。

问题应该能够引发深入思考和讨论，而论述应该能够清晰地表达你的观点或立场。

4. 明确目的和目标：确定你命题的目的和目标是什么。

是想要探索一个问题的答案，还是要阐述一个论述并支持它？确定清楚你要达到的目标，有助于你更好地组织和展开论述。

5. 收集资料和信息：为了支持你的命题，收集相关的资料和信息。

查阅书籍、期刊文章、学术论文、统计数据等，确保你的命题有足够的依据和证据。

6. 分析和整理：对收集到的资料和信息进行分析和整理，找出与你的命题相关的关键要点和观点。

思考各种观点之间的联系和可能的争议点，为你的论述提供更全面的支持。

7. 组织结构：根据你的目的和目标，制定一个合适的组织结构。

可以按照时间顺序、逻辑顺序、比较对比等方式进行组织，使你的论述条理清晰、有逻辑性。

8. 撰写命题陈述：根据以上步骤，撰写一个简明扼要的命题陈述。

命题陈述应该明确表达你要探索或阐述的问题或论述，并引起读者的兴趣。

以上是一般情况下命题的步骤。

具体的命题过程可能因不同的学科、写作目的和研究方法而有所不同。

在实际操作中，你也可以根据自己的需求和实际情况进行适当的调整和补充。