金安苑学校九年级上册数学期中试卷2

新九年级（上）数学期中考试试题(含答案)一、选择题：（本大题满分30分，共10小题，每题3分．）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3y＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣＝02．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+95．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）6．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD绕点A沿逆时针方向旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75°B．60°C．45°D．15°7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝10358．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（）A．90°B．120°C．135°D．150°9．如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2二、填空题：（共6小题，每小题3分，满分18分）11．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为．12．若A（﹣4，y l），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y l，y2，y3的大小关系是．（用＜号连接）13．已知圆锥的底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆锥的侧面积为．14．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF＝OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BF＝OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF 的面积之和最大时，AE＝．三、解答题：（本大题满分102分，共9小题）17．解方程：3x2﹣x﹣1＝0．18．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1；（2）直接写出A1、C1点的坐标，并求弧AA1的长．19．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22＝﹣6x1x2时，求m的值．21．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．22．某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．前40天每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝x+25（1≤t≤40且t为整数）；（1）认真分析表中的数据，用所学过的知识确定m（件）与t（天）之间是满足一次函数的关系还是二次函数的关系？并利用这些数据求m（件）与t（天）之间得函数关系式；（2）请计算40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？23．△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到．（1）如图1，当B，C，D在同一直线上，AC交BE于点F，AD交CE于点G，求证：CF＝CG（2）如图2，当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时，连接BE并延长交AD于M，求证：MD＝ME．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB＝90°，是直接写出a的取值范围．25．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q 为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3y＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣＝0 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、方程x+3＝0是一元一次方程，故本选项错误；B、方程x2﹣3y＝0是二元二次方程，故本选项错误；C、方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故本选项正确；D、方程x﹣＝0是分式方程，故本选项错误．故选：C．2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．3．对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．【解答】解：对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，∵a＝﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x＝m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，故A、B、C正确，故选：D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，移项，得x2﹣6x＝4，配方，得（x﹣3）2＝4+9．故选：D．5．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【解答】解：∵P（﹣3，4），∴关于原点对称点的坐标是（3，﹣4），故选：C．6．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD绕点A沿逆时针方向旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75°B．60°C．45°D．15°【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：B．8．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB．【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD＝OC＝OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，故选：B．9．如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由题意易证得△OAD≌△OED，又由等腰三角形的性质，可得∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO，由AB为半圆直径，利用圆周角定理，可求得∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，然后由等角的余角相等，求得∠DAB＝∠BCE，即可得∠BCE＝∠DCA＝∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO．【解答】解：∵AD＝DE，AO＝DO＝OE，∴△OAD≌△OED，∴∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∵AD＝DE，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD，∠BCE＝90°﹣∠DBE，∴∠DAB＝∠BCE，∴∠BCE＝∠DCA＝∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO，则与∠BCE相等的角有5个．故选：D．10．已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2【分析】由于点P（x0，y0）是该抛物线的顶点且y0≤y2＜y1，可得出抛物线开口向上，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出a、b之间的关系，进而可得出﹣＜4，即x0＜4，此题得解．【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，∴8a＞﹣b，∴﹣＜＝4，∴x0＜4．故选：A．二．填空题（共6小题）11．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为﹣4 ．【分析】把x＝1代入方程得到一个关于m的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝1代入得：4+m＝0解得：m＝﹣4，故答案为：﹣4．12．若A（﹣4，y l），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y l，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．（用＜号连接）【分析】将二次函数y＝x2+4x﹣5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l，y2，y3的大小．【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，∵A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，∴y2＜y1＜y3．故本题答案为：y2＜y1＜y3．13．已知圆锥的底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆锥的侧面积为12πcm2．【分析】把已知数据代入圆锥的侧面积公式，计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×4＝12π（cm2），故答案为：12πcm2．14．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为（2，﹣4）．【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案．【解答】解：将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣3﹣1，即y＝（x﹣2）2﹣4，其顶点坐标为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O 相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF ＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案为．16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（1）（2）（3）．（1）EF＝OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BF＝OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF 的面积之和最大时，AE＝．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；（2）由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，则可证得结论；（3）由BE＝CF，可得BE+BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF＝OA；（4）首先设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF+∠COE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴EF＝OE；故正确；（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；故正确；（3）∴BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA；故正确；（4）过点O作OH⊥BC，∵BC＝1，∴OH＝BC＝，设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，∴S△BEF+S△COF＝BE•BF+CF•OH＝x（1﹣x）+（1﹣x）×＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝时，S△BEF+S△COF最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；故错误；故答案为（1）（2）（3）．三．解答题（共9小题）17．解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】利用求根公式x＝进行解答即可．【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1∴△＝b2﹣4ac＝13，则x＝，解得x1＝，x2＝．18．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1；（2）直接写出A1、C1点的坐标，并求弧AA1的长．【分析】（1）分别作出A，C的对应点A1，C1即可．（2）根据A1，C1的位置写出坐标即可，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）A1（﹣1，1），C1（0，2）．的长＝＝．19．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【分析】分别根据情况设出长方形的长，利用周长40表示出宽，根据面积作为相等关系列方程求解即可．如果有解则能够围成，如果无解则不能围成．【解答】解：设围成面积为75cm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）＝75整理，得x2﹣20x+75＝0解方程，得x1＝5，x2＝15∵当长＞宽∴x＝15即这个长方形的长为15cm，则它的宽为5cm．同理，设围成面积为101cm2的长方形的长为ycm，依题意，得y（40÷2﹣y）＝101整理，得y2﹣20y+101＝0∵△＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0∴此方程无解，故不能围成面积为101cm2的长方形．答：长为15cm，宽为5cm时，所围成的长方形的面积为75cm2；用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的长方形20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22＝﹣6x1x2时，求m的值．【分析】（1）由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可知x1+x2＝、x1•x2＝﹣，结合x12+x22＝﹣6x1x2即可得出关于m的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴，解得：m≥﹣1且m≠0．∴m的取值范围为m≥﹣1且m≠0．（2）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣．∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝﹣6x1•x2，∴（）2+＝，解得：m＝1，经检验，m＝1是分式方程的解．∵m≥﹣1且m≠0，∴m的值为1．21．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【分析】欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC于E 点，证明OE＝OD．【解答】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，则∠OEC＝90°，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴∠ODB＝∠OEC；（3分）又∵O是BC的中点，∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△OBD≌△OCE，（6分）∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．（9分）22．某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．前40天每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝x+25（1≤t≤40且t为整数）；（1）认真分析表中的数据，用所学过的知识确定m（件）与t（天）之间是满足一次函数的关系还是二次函数的关系？并利用这些数据求m（件）与t（天）之间得函数关系式；（2）请计算40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售1件，所以判断为一次函数关系式，待定系数法求解可得解析式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得出结论．【解答】解：（1）由表格中数据可知，当时间t每增加1天，日销售量相应减少1件，∴m与t满足一次函数关系，设m＝kt+b，将（1，51）、（3，49）代入，得：，解得：，∴m与t的函数关系为：m＝﹣t+52；（2）设日销售利润为P，当1≤t≤20时，P＝（﹣t+52）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣16）2+324，∴当t＝16时，P有最大值，最大值为324元；当21≤t≤40时，P＝（﹣t+52）（﹣t+40﹣20）＝（t﹣46）2﹣18，∵当t＜46时，P随t的增大而减小，∴当t＝21时，P取得最大值，最大值为（21﹣46）2﹣18＝294.5元；∵324＞294.5，∴第16天时，销售利润最大，最大利润为324元．23．△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到．（1）如图1，当B，C，D在同一直线上，AC交BE于点F，AD交CE于点G，求证：CF＝CG（2）如图2，当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时，连接BE并延长交AD于M，求证：MD＝ME．【分析】（1）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA＝∠CEB，再根据ASA判定△DCG≌△ECF，即可得出CF＝CG；（2）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA＝∠CEB，再连接CM，根据HL判定Rt△CDM≌Rt△CEM，即可得出MD＝ME．【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，CD＝CE，CA＝CB，∴当B，C，D在同一直线上时，∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD＝120°，在△EBC和△DAC中，，∴△EBC≌△DAC（SAS），∴∠CDA＝∠CEB，在△DCG和△ECF中，，∴△DCG≌△ECF（ASA），∴CF＝CG；（2）如图2，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，CD＝CE，CA＝CB，∴∠BCE＝∠ACD，在△EBC和△DAC中，，∴△EBC≌△DAC（SAS），∴∠CDA＝∠CEB，∵AD⊥CD，∴∠CEB＝∠CDA＝90°＝∠CEM，连接CM，则在Rt△CDM和Rt△CEM中，，∴Rt△CDM≌Rt△CEM（HL），∴MD＝ME．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB＝90°，是直接写出a的取值范围．【分析】（Ⅰ）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；（Ⅱ）如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH＝2，∠APH＝60°，然后可求得PH＝，从而可的点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；（Ⅲ）以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB＝90°，故此HP≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，即a（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0）、B（1，0）．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，AB＝4．（Ⅱ）如图1所示：设抛物线的对称轴与x轴交于点H．∵∠APB＝120°，AB＝4，PH在对称轴上，∴AH＝2，∠APH＝60°．∴PH＝．∴点P的坐标为（﹣1，±）．将点P的坐标代入得：±＝﹣4a，解得a＝±．（Ⅲ）如图2所示：以AB为直径作⊙H．∵当∠ANB＝90°，∴点N在⊙H上．∵点N在抛物线上，∴点N为抛物线与⊙H的交点．∴点P在圆上或点P在圆外．∴HP≥2．∵将x＝﹣1代入得：y＝﹣4a．∴HP＝4a．∴4a≥2，解得a≥．∴a的取值范围是a≥．25．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．【分析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB 是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG＝2∠MBG．易得∠OCA＝60°，从而得到∠MBG＝60°，进而得到∠MQG＝120°，所以∠MQG是定值．【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO＝DO．∵AD＝2，∴OA＝．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP＝1．∴PA＝＝2．∴BP＝CP＝2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP＝∠AOP，∠HPM＝∠OPA，MP＝AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1．∴OH＝2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC＝90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE＝90°．∴∠BMC＝∠BGE＝90°．∵点Q是BE的中点，∴QM＝QE＝QB＝QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG＝2∠MBG．∵∠COA＝90°，OC＝1，OA＝，∴tan∠OCA＝＝．∴∠OCA＝60°．∴∠MBC＝∠BCA＝60°．∴∠MQG＝120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．新九年级上册数学期中考试题(含答案)一、选择题：每小题3分，共36分1．下列方程一定是一元二次方程的是（）①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x﹣3）＝4x（x﹣3）A．①②B．③④C．②③D．①③2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝23．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE 的值为（）A．3B．3 C．2D．65．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+10＝0 D．x2+4x﹣5＝07．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是（）A．B．C．D．8．函数y1＝x﹣k与y2＝（k≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（）A．B．C．D．9．在函数y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）三个点，则下列各式正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y110．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（）A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：112．如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题：每小题3分，共18分．13．若＝，则＝14．已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝．15．a，b为实数且（a2+b2）2+4（a2+b2）＝5，则a2+b2＝．16．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为．17．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是m．18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．三、解答题：本大题共66分19．（12分）解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是；请补全条形统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答）21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足+＝2，求m的值．22．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？24．（10分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．25．（12分）矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．参考答案一、选择题1．下列方程一定是一元二次方程的是（）①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x﹣3）＝4x（x﹣3）A．①②B．③④C．②③D．①③【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①当二次项系数a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；故本选项错误；②（k2+1）x2+kx+1＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；③由原方程，得x2﹣6x﹣8＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；④由原方程，得12x﹣9＝0，未知数的最高次数是1；故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．解：∵，故选项A中的线段成比例；∵，故选项B中的线段成比例；∵，故选项C中的线段不成比例；∵，故选项D中的线段成比例；故选：C．【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，∵点A的坐标为（2，2）、∴点C的坐标为（2×3，2×3），即（6，6），故选：C．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE 的值为（）A．3B．3 C．2D．6【分析】由正方形的性质得出∠PAF＝∠PCE＝45°，证出△APF和△CPE是等腰直角三角形，得出PF＝AP，PE＝PC，即可得出结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠PAF＝∠PCE＝45°，∵PF⊥AD，PE⊥CD，∴△APF和△CPE是等腰直角三角形，∴PF＝AP，PE＝PC，∴PF+PE＝（AP+PC）＝AC＝3；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+10＝0 D．x2+4x﹣5＝0【分析】找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．解：A、x2+2x﹣4＝0，∵a＝1，b＝2，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，本选项不合题意；B、x2﹣4x+4＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，∴b2﹣4ac＝16﹣16＝0，设方程的两个根为x1，x2，。

北京二中教育集团2022—2023学年度第一学期初三数学期中考试试卷考查目标1． 知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》．2． 能力：数学运算能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，实际应用能力，几何作图能力，数形结合能力．学业成绩考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题纸6页。

全卷共三道大题，28道小题。

2．本试卷满分100分，考试时间120分钟。

3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号。

4．考试结束，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1.道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2.抛物线y ＝(x +2)2 -1的顶点坐标是 A ．(2，1)B ．(-2，1)C ．(-2， -1)D ．(2，-1)班级姓名考号座位号密 封 线 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------yx3.将方程x 2﹣6x +1＝0配方后，原方程可变形为 A ．（x ﹣3）2＝8B ．（x ﹣3）2＝﹣10C ．（x +3）2＝﹣10D ．（x +3）2＝84.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，AD 与BC 相交于点F ，若∠E ＝80°，△AFC 是以FC 为底边的等腰三角形，则∠BAC 的度数为 A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°5.如图，已知⊙I 是△ABC 的内切圆，点I 是内心，若∠A ＝28°，则∠BIC 等于 A ．99°B ．102°C ．104°D ．152°6.如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为15πcm ，母线长为20cm ，则这个扇形的圆心角的度数是 A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°第4题图 第5题图 第6题图 7.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列四个说法中： ①a +2b=0；②a +b +c <0；③ax 2+bx +c =0的两个解是 x 1=－2，x 2=4；④当x ≤0时，y 随x 的增大而减小； 正确的个数是A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 8. 如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为x m ，另一边的长为y m ，矩形的面积为S m 2．当x 在一定范围内变化时，y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是 A ．一次函数关系，二次函数关系 B ．正例函数关系，二次函数关系 C ．二次函数关系，正例函数关系D ．二次函数关系，一次函数关系第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9．如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是_________．10．将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数解析式为．11．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为__________________．12．如图，直线y=kx+b与抛物线y=-x2+2x+3交于点A，B，点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式-x2+2x+3>kx+b的解集为．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC 的顶点A在y轴的正半轴上，已知点B（﹣2，0）、C（2，0）、D（4，0），将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，则图中阴影部分图形的面积为．第12题图第13题图14．北京中轴线申遗已确定天安门等14处遗产点.北京的南北中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，北京城另一条重要的东西线是长安街.我们以天安门为原点，分别以长安街的正东方向和中轴线的正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,单位长度为1km.表示前门的点A的坐标为（0，-1.5），表示朝阳门的点B的坐标为（4，3），表示广安门的点C的坐标为（-5，-2）.这几个点中，距离天安门5km以内的点是__________.15．二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣5≤x<﹣2时，y的取值范围是_________．16．如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O 上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE 的最大值为．三、解答题（共68分）17．（4分）解方程：x(2x+1)=4x+2．18．（5分）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m 的值．19．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）．（1）将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到对应的△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）△ABC的外接圆的圆心坐标是_________．密封线-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20．（5分）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：①作⊙O 的直径AB ；②作直径AB 的垂直平分线MN 交⊙O 于 点C ，D ；③连接AC ，BC ，AD ，BD ． 图1 图2 ∴四边形ACBD 就是所求作的正方形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴∠AOC ＝∠COB ＝∠BOD ＝∠DOA ＝90°．∴AC ＝BC ＝BD ＝AD ．（ ）（填推理依据） ∴四边形ACBD 是菱形．（ ）（填推理依据） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．（ ）（填推理依据） ∴四边形ACBD 是正方形．21．（6分）关于x 的一元二次方程kx 2﹣6x +1＝0有两个实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两根为x 1，x 2，当k 为满足条件的最大整数时，求x 1+x 2的值．班级姓名考号 座位号密 封 线 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22．（5分）如图是广场喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，水流的落地点C到喷水枪底部B 的距离为2.5m，喷水枪AB应为多长？请你在以BC所在直线为x轴，AB 所在直线为y轴的平面直角坐标系中解决问题．23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x……﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …….y……. 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 ……. （1）求二次函数的解析式并在坐标系中画出该函数图象；（2）该二次函数的图象与直线y=n有两个交点A，B，若AB>3，直接写出n 的取值范围．24．（6分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠C ＝2∠A ，DE 是⊙O 的直径，连接BD ．（1）求∠A 的度数；（2）若⊙O 直径为4，求BD 的长．25．（6分）如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．(1)求证：AC 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 半径为3，OD=5．求线段AD 的长．26．（6分） 在平面直角坐标系xOy 中，点(-1，m )，(2，n )在抛物线y ＝ax 2+bx +c（a<0）上，设抛物线的对称轴为x=h ．（1）当c =﹣3，b =4a 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及h 的值，并直接写出m 、n 的大小关系；（2）点（x 0，n ）（x 0≠2）在抛物线上，若m<n<c ，求h 的取值范围及x 0的取值范围．EAOD CB27．（7分）如图，在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，N是AB边上一点，连接ON，将线段ON绕点O逆时针旋转90°得到线段OM，连接AM．（1）依题意补全图形并求∠MAO的度数；（2）连接MN交AO于点P，用等式表示线段OP，MP，NP之间的数量关系并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N和点P．给出如下定义：如果图形M，N上分别存在点E，F，使得点E，F关于点P中心对称，那么称点P为图形M，N的关联点．特别地，当E，P，F三点重合时，点P 也为其关联点．已知点A（3，0），B（2，1）．（1）在点（-2，-2），（-2，-1），（-1，-1）中，点C的坐标为时，点O为线段AB，点C的关联点；（2）⊙D的圆心为D（d，0），半径为1．若点O为⊙D，线段AB的关联点，求d的取值范围；（3）⊙O的半径为3，若点T（t，0）为⊙O，线段AB的关联点，直接写出t的取值范围．密封线----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B N。

【人教版】九年级上册期中数学试卷及答案解析 [2]一﹨选择题（每一道小题都给出代号为A﹨B﹨C﹨D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填﹨填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．2或﹣22．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=193．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC4．下列一元二次方程有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=05．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＞1且k≠2D．k＜16．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）A．20 B．21 C．15 D．167．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=﹣B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=28．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A﹨B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．29．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC= 6，则CD的长为（）A．7 B．7C．8 D．810．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜C．0＜a＜D．＜a＜二﹨填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是．12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为．13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是．14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC=．15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2 a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．其中正确的结论是．（只填写正确结论的序号）三﹨解答题（本大题共9小题，共72分）17．解方程：（1）x2+2x﹣15=0（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB﹨AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A﹨B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一﹨选择题（每一道小题都给出代号为A﹨B﹨C﹨D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填﹨填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0，解得：m=±2，故选D．【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC【考点】垂径定理．【分析】先根据垂径定理得CM=DM，，，得出BC=BD，再根据圆周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM=DM，，，∴BC=BD，∠ACD=∠ADC．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，圆心角﹨弧﹨弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．4．下列一元二次方程有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根判断即可．【解答】解：A﹨∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0，∴原方程有两个不相等实数根；B﹨∵△=22﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；C﹨∵△=（﹣2）2﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；D﹨∵△=﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；故选A．【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＞1且k≠2D．k＜1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=4+4（k﹣2）＞0，解得k＞﹣1，∵k﹣2≠0，∴k≠2，∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2，故选C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）A．20 B．21 C．15 D．16【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共有1+2 +3+4+…+n=n（n+1），由此联立方程求得n的数值即可．【解答】解：∵第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…∴第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），∴n（n+1）=210，解得：n=20．故选：A．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决问题．7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=﹣B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】因为两点的纵坐标都为4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式x=求解即可．【解答】解：∵两点的纵坐标都为4，∴此两点是一对对称点，∴对称轴x===1．故选B．【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式x=求解．8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A﹨B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．2【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理﹨圆内接四边形的性质﹨等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC= 6，则CD的长为（）A．7 B．7C．8 D．8【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG ，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴DF=DG，弧AD=弧BD，∴DA=DB．在Rt△AFD和Rt△BGD中，，∴△AFD≌△BGD（HL），∴AF=BG．在△CDF和△CDG中，，∴△CDF≌△CDG（AAS），∴CF=CG．∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AF=1，∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=7．故选B．【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角﹨弧﹨弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜C．0＜a＜D．＜a＜【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的符号，根据对称轴b用a表示出的代数式，进而根据当x=2时，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可．【解答】解：抛物线开口向上，a＞0图象过点（2，4），4a+2b+c=4则c=4﹣4a﹣2b，对称轴x=﹣=﹣1，b=2a，图象与y轴的交点﹣1＜c＜0，因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0，实数a的取值范围是＜a＜．故选：D．【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．二﹨填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是（﹣3，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+3）2+1，∴顶点坐标是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，是解决问题的关键．12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为﹣1或4 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b ，然后利用分式的性质计算的值．【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0，a﹣4b=0或a+b=0，所以a=4b或a=﹣b，当a=4b时，=4；当a=﹣b时，=﹣1，所以的值为﹣1或4．故答案为﹣1或4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是x1=﹣2，x2=3 ．【考点】解一元二次方程-【分析】把后面一个方程中的x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中的x，从而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，解得x=﹣2或x=3．故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3．故答案是：x1=﹣2，x2=3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC= 100°．【考点】圆周角定理．【分析】由AD=AB，∠BDC=25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25°，∴∠ABD=∠BDC=25°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°．故答案为：100°．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于8或4．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得B D的长，再根据勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，∵AB=AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，∵OB=10，OD=6，∴BD===8．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===8（cm）；如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D，在Rt△BOD中，∵OB=10，OD=6，∴BD===8，∴AD=10﹣6=4，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===4（cm）．故答案为：8或4．【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2 a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．其中正确的结论是①﹨④．（只填写正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】推理填空题；数形结合．【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称轴与x=﹣1的大小关系可推出2a﹣b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号，根据a﹨x0﹣x1﹨x0﹣x2的符号可确定a（x0﹣x1）（x0﹣x2）的符号．【解答】解：由抛物线的开口向下可得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=﹣＜0，则a与b同号，因而b＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，∴abc＞0，故①正确；由抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②错误；由图可知当x=1时y＜0，即a+b+c＜0，故③错误；∵a＜0，x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故④正确．综上所述：①﹨④正确．故答案为①﹨④．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位置，2a与b的大小决定于a的符号及﹣与﹣1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．三﹨解答题（本大题共9小题，共72分）17．解方程：（1）x2+2x﹣15=0（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程变形得到3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0，x+5=0或x﹣3=0，x+5=0或x﹣3=0，所以x1=﹣5，x2=3；（2）3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x+）=0，x﹣2=0或3x+=0，所以x1=2，x2=﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），则可设交点式y=ax（x﹣8），然后把顶点坐标代入求出a即可．【解答】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=4，而抛物线在x轴上截得的线段长为8，所以抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣8），把（4，2）代入得a•4•（﹣4）=2，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣x（x﹣8），即y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【专题】新定义．【分析】根据x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，列出方程组，求出m，n 的值，再代入计算即可．【解答】解：根据题意得：解得：，则m2+n2=（﹣2）2+12=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键是根据已知条件列出方程组，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？【考点】一元二次方程的应用．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组x个球队比赛总场数=x（x﹣1），由此可得出方程．【解答】解：设初中组共有x个队参加比赛，依题意列方程x（x﹣1）=45，解得：x1=10，x2=﹣19（不合题意，舍去），答：初中组共有10个队参加比赛．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．【考点】圆心角﹨弧﹨弦的关系；菱形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据圆心角﹨弧﹨弦的关系，由=得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以A B=BC=CA，于是根据圆心角﹨弧﹨弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）连接OD，如图，由D是的中点得=，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以O A=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．【解答】证明：（1）∵=，∴AB=AC，∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）连接OD，如图，∵D是的中点，∴=，∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，又∵OD=OA，OD=OB，∴△OAD和△OBD都是等边三角形，∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，∴OA=AD=DB=BO，∴四边形OADB是菱形．【点评】本题考查了圆心角﹨弧﹨弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹨两条弧﹨两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定﹨等边三角形的判定与性质和圆周角定理．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB﹨AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）根据△ABC的两边AB﹨AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x1=8，得出82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；设AB=x1=8，则有：82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0，解得：m1=7，m2=8．则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；正方形的性质．【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切线；（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r ，由勾股定理求得OC=r，则可得方程r+r=10，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．∵BC切⊙O于点E，∴OE⊥BC，OE=OA，又∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD，∴OF=OE=OA，即：CD是⊙O的切线．（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，∴AC==10，∵OE⊥BC，∴OE=EC，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC==r，∵OA+OC=AC，∴r+r=10，解得：r=20﹣10．∴⊙O的半径为：20﹣10．【点评】此题考查了切线的判定﹨正方形的性质﹨角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【考点】二次函数的应用．【专题】综合题．【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5‘5）2+2402‘5，当x=5‘5时y有最大值．（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5‘5）2+2402‘5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5‘5时，y有最大值2402‘5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A﹨B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y 得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A﹨B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；。

第一学期九年级期中联考数学试卷说明：1．答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位置上。

2．全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共4页。

考试时间90分钟，满分100分。

3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。

答题卡必须保持清洁，不能折叠。

4．本卷选择题1-12，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题13-23，答案(含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内。

第一部分选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确）1.方程x2=4x的解是（）A． x=4 B． x=2 C． x=4或x=0 D． x=02.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数3.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•ACD．AD AB AB BC4.用配方法解方程x2-4x-2=0,变形后为（）A.（x-2）2=6B.（x-4）2= 6C.（x-2）2= 2D.（x+2）2=65.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（）A． 24 B． 18 C． 16 D． 6第3题图①② ③6.关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋2=0的根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、无实数根 D 、有无实数根，无法判断 7. 在同一直角坐标系中，函数y=xk与y=kx+3的图像大致是（ ）A B C D 8.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若 S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．13B ．14C ．19D ．1169.顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形必定是( )。

第1页，共8页班级 姓名 考场__________________________装 订一、选择题．（每小题3分，共39分.）1．下列函数中，反比例函数是（ ） A.x (y －1)＝1 B.y ＝1x ＋1 C.y ＝1x 2 D.y ＝23x2．如果反比例函数y ＝k x的图象经过点（－3，－4），那么函数的图象应在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3．如图，A 为反比例函数y ＝k x图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若S △AOB ＝2，则k 为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．无法确定4．如图，P 、Q 、R 是双曲线y ＝kx（k ＜0）上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线， 垂足分别是A 、B 、C ，连OP 、OQ 、QR 得到△POA 、△QOB 、△ROC ，设它们的面 积分别是S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3大小关系是（ ） A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 1＝S 2＝S 3 5．如图，反比例函数y ＝k x（k ≠0，k 是常数）的图象经过A 点，则该函数图象上被蝴蝶遮住的点的坐标可能是（ ） A ．（－2，3） B ．（2，－2）C ．（－1，6）D ．（2，－3）6．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx －1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．反比例函数y ＝－3x（x ＜0）如图所示，则矩形OAPB 的面积是（ ）A ．3B ．－3C ．32D ．－322017年秋学期反比例函数练习卷（2）第2页，共8页8．已知反比例函数y ＝2−3kx（k 为常数）的图象在第一、三象限，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞23B ．k ＜23C ．k ＞32D ．k ＜329．反比例函数y ＝3x图象上三个点的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 （ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 210．一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x（k 1•k 2≠0）的图象如图所示，若y 1 ＞y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜111．如图，反比例函数y ＝k x（x ＜0）与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A 、B 两点的 横坐标分别为－3，－1．则关于x 的不等式k x＜x ＋4（x ＜0）的解集为（ ）A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜012．已知点（2，－6）在函数y ＝k x 的图象上，则函数y ＝kx （ ）A ．图象经过（－3，－4）B ．在每一个分支，y 随x 的增大而减少C ．图象在第二，四象限D ．图象在第一，三象限13．如图所示，已知点P 为反比例函数y ＝4x（x ＞0）图象上的一点，且PA ⊥x 轴于点A ，PA ，PO 分别交于反比例函数y ＝1x图象于B ，C 两点，则△PAC 的面积为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3二、填空题（每小题3分，共24分．）14．函数y ＝－2x的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而__________.第3页，共8页15．如果反比例函数y ＝m －2x 的图象在二、四象限，那么实数m 的取值范围是16．u 与t 成反比例，且当u ＝6时，t ＝18，那么u 与t 的函数解析式为___________.17．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝－x2图象上两点，且0＜x 1 ＜x 2，则y 1，y 2的大小关系是 .18．点P 既在反比例函数y ＝－3x (x ＞0)的图象上，又在一次函数y ＝－x －2的图象上，则P 点的坐标是 .19．对于双曲线y ＝k −3x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________.20．函数y 1＝x 与y 2＝4x 的图象如图所示，则使得y 1>y 2时，自变量x 的取值范围是___________．21．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx （x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )（其中m ＞1），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若△ABC 的面积为 2，则点B 的坐标为_______.三、解答题（一）：本大题共5小题，共32分.22.（6分）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）s （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示.（1）写出y 与s 的函数关系式；（2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？yO（21题图）x C A (1，2) B (m ，n )0 1 2 3 4 5 s (mm 2)10080604020P (4,32) y (m)第4页，共8页23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝kx的图象交于A （a ，－2），B 两点．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．24．（本题6分）已知反比例函数y 1＝kx 的图象与一次函数y 2＝ax ＋b 的图象交于点A （1，4）和点B （m ，－2）． （1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．25．（本题6分）如图，双曲线y ＝k x与直线y ＝ax ＋b 相交于点A （1，5），B （m ，－2）．⑴分别求双曲线、直线的解析式； ⑵直接写出不等式ax ＋b ＞kx 的解集．26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点DO B A yx第5页，共8页的坐标为（4，3）． （1）求k 的值；（2）若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在函数y ＝kx （k ＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．四、解答题（二）：本大题共10小题，共55分.27. （6分）如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y ºC ，从加热开始计算的时间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为15ºC ，加热5分钟使材料温度达到60ºC 时停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系，（要写出x 的取值 范围）；(2) 根据工艺要求，在材料温度不低于30ºC 的这段时间内，需要对该材料进行特殊 处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？28．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y ＝k x（x ＞0）的图象交 于点A （m ，2），B （2，n ）．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半第6页，共8页轴上取一点D ，使OD ＝12OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC ．（1）求m ，k ，n 的值； （2）求△ABC 的面积．29．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx ＋n （m ≠0）的图象与反 比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于第一、三象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ， 过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC ，求四边形MBOC 的面积．30．（6分）如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x（x ＞0）交于A （2，4），B （a ，1），与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．第7页，共8页（1）直接写出一次函数y ＝kx ＋b 的表达式和反比例函数y ＝m x（x ＞0）的表达式； （2）求证：AD ＝BC ．31．（8分）如图，在Rt △AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，且反比例函数y ＝k x在第一象限内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若S △BOD ＝4， （1）求反比例函数解析式； （2）求C 点坐标．32．（10分）如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）在函数第8页，共8页y ＝1x（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1， △P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直 角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整 数）.(1)求点P 1， P 2， P 3的坐标．(2)猜想并直接写出点P n 的坐标（用含n 的式子表示）．xyA 3P 3A 2P 2A 1P 1O33. （11分）如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，23)，B (2，0)直线AB 与反比例函数my x的图像交与点C 和点D （-1，a ）． (1)求直线AB 和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO 的度数；(3)将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB ′C ′，当α为多少度时OC ′⊥AB ，并求此时线段AB ′的长．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A．1：2B．1：4C．1：D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（ ）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）A．15°B．30°C．60°D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）A．1B．2C．3D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（ ）A．3B．4C．5D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 ．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是 ．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则= ．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F 点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

九年级上学期数学期中试卷一、单选题1. 下列说法正确的是（）A . 顶点在圆上的角是圆周角B . 两边都和圆相交的角是圆周角C . 圆心角是圆周角的2倍D . 圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半2. 若点A（2，m）在抛物线y=x2上，则m的值为（）A . 4B . ±2C . 2D . ±43. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A . （2，﹣3）B . （﹣2，3）C . （2，3）D . （﹣2，﹣3）4. 抛物线y＝2＋3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A . 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B . 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C . 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D . 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5. 设⊙O的直径为m，直线L与⊙O相离，点O到直线L的距离为d，则d与m的关系是A . d=mB . d>mC . d>D . dC沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转90°到点B（m，1），若﹣5≤m≤5，则点C运动的路径长为________．三、解答题17. 解方程：（1）5x（x+1）=2（x+1）；（2）x2﹣3x﹣1=0．18. 已知，二次函数的图象的顶点是，且过，求此二次函数的解析式．19. 如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm.（1）请用尺规作出扇形的对称轴.（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面,求圆锥的底面积.20. 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．（1）求证：∠CDB=∠A；（2）若BD=5，AD=12，求CD的长．21. 如图，在△ABC中，顶点都在格点上，且点B的坐标为（-2，0）．画出△ABC 绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并求线段OB旋转时所扫过的面积．（结果保留）22. 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线．23. 如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝2 ，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和π）．24. 2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y与售价x之间的函数关系；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？25. 有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P 是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.（1）证明：RP=RQ；（2）请探究下列变化：A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.证明：RQ为⊙O的切线.B、变化二：运动探求. ①如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？答：________.②如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？。

九年级上学期期中试卷（数学）答案：一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填写在答题卷相应位置上） 9、2 10、0或 1 11、k ＜且k ≠012、－413、x （x ﹣1）=28． 14、25° 15、45°或135°16、8 17、6π18、15π 三、解答题（本大题共10题，共96分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19.(1)12533533,;44x x +-== 3分 (2)x 1 = 3, x 2=2; 3分(3) 1225,25;x x =+=- 3分20、m=2或4； 3分当m=4时x 1=0,x 2=; 6分当m=2时，x=0 8分 21、（1）3 4分（2）略 （每空2分） 22、（1）解：设每千克螃蟹应降价x 元． …1分根据题意，得 （60﹣x ﹣40）（100+×20）=2240． …4分 化简，得 x 2﹣10x+24=0 解得x 1=4，x 2=6．…6分 答：每千克螃蟹应降价4元或6元． …7分 （2）解：由（1）可知每千克螃蟹可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克螃蟹应降价6元． …8分 此时，售价为：60﹣6=54（元），． …9分答：该店应按原售价的九折出售． …10分23.解: (1)如图；标出D,求出坐标D(2,0) …2分 (2)如图；22224225AD AO OD +=+= ……4分作CE ⊥x 轴，垂足为E. ∵ △AOD ≌△DEC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABDBC.DC∴∠OAD ＝∠CDE又∵∠OAD ＋∠ADO ＝90° ∴∠CDE ＋∠ADO ＝90°∴扇形DAC 的圆心角为90度. ………6分 （3）方法一：∵弧AC 的长度即为圆锥底面圆的周长.90255180180n R l πππ⋅===弧 ………8分设圆锥底面圆半径为r ，则25r ππ= ………11分 ∴52r =………10分方法二：圆锥的侧面积S rlπ侧＝，其中母线l 即为⊙D 的半径25；r 为圆锥的底面半径. 又扇形DAC 的面积：2290(25)5360360n R S πππ==扇形＝∴ 255r ππ⋅= ∴52r =24.、（1）连结OD,求出OE=4 2分 进而求出OF=22 4分223423.DF CD ==（2）求出 进而求出 6分8分25、解：（1）证明：连结OE ，∵OD=OE ，∴∠ODE=∠OED 2分∵⊙O 与边 AC 相切于点E ， ∴OE ⊥AE 。

上学期期中教学质量检测九 年 级 数 学(时间90分钟，共120分)一．选择题：相信你一定能选对！(下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1. 下列图形是中心对称图形的是2.用配方法解一元二次方程26100x x --=时，下列变形正确的为A .2(3)1x += B .2(3)1x -= C .2(3)19x += D .2(3)19x -= 3.对于二次函数21(2)34y x =---，下列说法正确的是 A .开口向上 B .对称轴为2x =C .图象的顶点坐标为（-2，-3）D .当2x >时，y 随x 的增大而增大 4. 已知⊙O 的半径为5cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为6cm ，则直 线l 与⊙O 的位置关系是A .相交B .相切C .相离D .无法判断 5．如图，AB 是⊙O 直径，∠AOC=130°，则∠D 的度数为 A ．65° B ．25° C ．15° D ．35°6．抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线式是A ．()253y x =-+B ．()253y x =+- C ．()253y x =-- D ．()253y x =++ 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为A ．B ．πC ．2πD ．4π8. 如图，△DEF 与△ABC 是位似图形，点O 是位似中心， D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，则△DEF 与 △ABC 的面积比是A ．1：6B ．1：5C ．1：4D ．1：2(第5题图)（第7题图）9. 若A (-6，y 1)，B (-3，y 2)，C (1，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x -5 图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是A . y 2＜y 3＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 310. 某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A .290(1)144x += B.290(1)144x -=C.90(12)144x +=D .290(1)90(1)14490x x +++=-11．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2， ∠B =135°，则AC 的长为A.2πB.πC.2π D.3π 12．如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（不与点B 、C 重合），且∠APD=60°，PD 交AB 于点D ．设BP=x ，BD=y ，则y 关于x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题：你能填得又对又快吗？（把答案填在题中横线上，每小题3分，共21分） 13.一元二次方程240x x +=的解是_____________. 14.在平面直角坐标系中，点(1,2)P -关于原点的对称的点的坐标是___ ____. 15.如图,AB 是⊙O 的直径,BT 是⊙O 的切线,若 ∠ATB =45°, AB =2,则阴影部分的面积是_______.16.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：(第11题图)（第12题图）(第15题图)温度t/℃-4-2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_________℃．17.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是（－4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线______________．18.如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，（第18题若⊙O的半径是10cm，AB＝12cm，则CD＝ cm．19.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．三、开动脑筋，你一定能做对！（共63分）20.解方程（每小题4分，共8分）（1）x2－5x－6=0；（2）x2+4x－1＝0.21.（本题满分6分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1 ；（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并求出此过程中线段BA扫过的区域的面积.（结果保留 ）(第21题图)题图)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？23.（本题满分8分）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA：AB=1：2．（1）求∠CDB的度数；（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．（第23题图）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元∕件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30，请你计算最大利润..25.（本题满分11分）如图，等腰△ABC绕顶点B逆时针旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.（1）求证：△BCF≌△BA1D ；（2）当∠C=α度时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由.(第25题图)AB C O yx A B C O y x 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2＋bx ＋4与x 轴一个交点为A （－2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴一个交点为N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标.（备用图）温馨提示：请仔细认真检查，千万不要因为自己的粗心大意造成失误而后悔哟！。

第1页，共6页班级 姓名 考场__________________________装 订教师寄语：请同学们拿到试卷后，不必紧张，用半分钟整理一下思路，要相信我能行。

一、选择题．（每小题3分，共30分.）1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A ．3x y =B ．13y x =C ．52y x =-D ．21y x =+2.如果反比例函数xky =的图象经过点（-3，-4），那么函数的图象应在（ ）A ．第一、三象限 B.第一、二象限 C.二、四象限 D.第三、四象限 3.下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）4.若函数()12222-++=-x xa y a 是二次函数，则a 的取值为（ ）A.2B.-2C.±2D.任意实数 5．关于反比例函数y ＝x2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限 C ．两个分支关于x 轴成轴对称 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 6．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ） A ．B ．C ．D ．7.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数xky =过点A ，则k 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-题号 一 二 三 四 总分 得分 2017年秋学期第二次月考试卷九年级 数学 xy C OA B第2页，共6页8．如图，P 、Q 、R 是双曲线xky =（k ＜0）上的三点，过 这三点分别作y 轴的垂线，垂足分别是A 、B 、C ，连OP 、 OQ 、QR 得到△POA 、△QOB 、△ROC ，设它们的面积分别 是S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3大小关系是（ ） A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 1＝S 2＝S 39．当k >0时，反比例函数xky =和一次函数y=kx +2的图象大致是（ ）10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （﹣2，0），与x 轴夹角为30°，将△ABO 沿直线AB 翻折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y=（k ≠0）上，则k 的值为（ ）A ． 4B ．﹣2C ．D ．﹣二、填空题（每小题4分，共32分．）11．函数y ＝－2x的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而__________．12.若反比例函数的图象在第一、三象限内，则 的值是 ．13.二次函数212(2)y x =-+的图象顶点坐标是_______ . 14．当m=_________时，函数y = (m 2－4))3(42-+--m x m mx + 3是二次函数.15．若点A （1,1y ），点B （-2,2y ）在双曲线xy 3-=的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y 2y （填“>”“<”或“=”）.16.将二次函数y =的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移3各单位长度， 平移后抛物线的表达式 .17．蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I （安）与电阻R （欧）之间关系图象如图所示，若点P 在图象上，当电流为2安时，电阻R 为________ 欧．第3页，共6页18．如图，等边三角形AOB 的顶点A 的坐标为（﹣4，0），顶点B 在反比例函数 y ＝k x（x ＜0）的图象上，则k= .三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分.19.（8分）已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．20．（6分）在某一电路中，保持电压不变，电流I （安培）与电阻R （欧姆）成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I ＝2安培.（1）求I 与R 之间的函数关系式；（2）当电流I ＝0.5安培时，求电阻R 的值.21．（8分）如图，反比例函数y 1＝k 1x与正比例函数y 2＝k 2x 相交于点A （－1，－3）和点B ．（1）求k 1，k 2的值；（2）写出点B 的坐标；（3）写出k 1x＞k 2x 的解集．I(安) OP(3，12)R(欧)E AB CD第4页，共6页21．（8分）如图，在Rt △AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，且反比例函数y ＝kx在第一象限内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若S △BOD ＝4． （1）求反比例函数解析式； （2）求C 点坐标．22. （8分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的应高为2米，求旗杆的高度．四、解答题（二）：本大题共6小题，共50分.23. （6分）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y 与x 的函数关系式； （2）求药物燃烧后y 与x 的函数关系式；（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？第5页，共6页24. （9分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1＝ax ＋b （a ，b 为常数，且a≠0）与反比例函数2my x（m 为常数，且m≠0）的图象交于点A （－2，1）,B （1，n ）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OA,OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当y 1＜y 2＜0时，自变量x 的取值范围．25．（9分）如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝k x与直线y ＝－x －（k ＋1）在 第二象限的交点．AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积； （3）直接写出关于x 的不等式x ＋(k ＋1)＋ k x≤0的解集．第6页，共6页26. （8分）已知y = y 1 - y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，当x = 1时，y = 0；当x = 2时，y = 3．（1）求y 与x 之间的函数关系； （2）当x = -1 时，求y 的值．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）． （1）求k 的值；（2）若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在函数y ＝kx （k ＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC,AE ∥OB.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA=3,OC=2,求出经过点E 的反比例函数解析式.。

新九年级（上）期中考试数学试题(含答案)一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣26．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝75007．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l508．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC 的长为（）A．B．2C．D．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD 和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC ≌△BOD．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN ＝4时，求k的值．2018-2019学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x+5）＝0∴x2+5x＝0，∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．2．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣6），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、正三角形、正方形的特点求解．【解答】解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；C、正三角形不是中心对称图形，故本选项正确；D、正方形是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2；故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．6．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝7500【分析】设年平均增长率为x，根据青山村种的水稻2016年及2018年平均每公项的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝8500．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l50【分析】如图作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝96°，∴∠D＝∠AOB＝48°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝132°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．8．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C．【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC 的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【解答】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴＝，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD 和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1，∴x＝0时，y＝1，∴点C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），∴x1×1＝，∵△ABD为等腰直角三角形，∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，∴，∴﹣，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是4．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4﹣c＝0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为m≠1．【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，得m≠1，故答案为：m≠1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时的初速度以及刹车时的加速度，由“刹车时间＝初速度÷刹车加速度”求出刹车后汽车行驶的时间．【解答】解：∵汽车刹车后行驶的距离s关于行驶的时间t的函数解析式是s＝15t﹣6t2，∴刹车前的初速度为15m/s，刹车的加速度为﹣12m/s2，∴汽车刹车后行驶的时间为：15÷12＝s，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数关系式找出刹车的初速度以及加速度后计算出刹车时间是解题的关键．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为4或﹣2．【分析】根据二次函数图象的开口方向知道，当x＝0或x＝4时，函数值的最小值是4，结合函数图象得到当x≤0或x≥4时，符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，＝4．∴当x＝0或x＝4时，y最小值＝4．如图，当x≤0或x≥4时，y最小值∵2﹣a≤x≤4﹣a，∴a＝4或a＝﹣2．故答案是：4或﹣2．【点评】考查了二次函数的最值，解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为2．【分析】如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．只要证明△ACH≌△BCD（SAS），推出∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，由∠AKC＝∠BKH，推出∠KHB＝∠ACB＝60°，求出AH即可解决问题；【解答】解：如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC＝DH，∠CDH＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA＝CB，CH＝CD，∠ACB＝∠HCD＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，∵∠AKC＝∠BKH，∴∠KHB＝∠ACB＝60°，在Rt△AOH中，∵OA＝3，∴AH＝＝2，∴BD＝AH＝2．故答案为2．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，则x＝2±2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC ≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】此题不仅是一道实际问题，考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．【分析】（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ADC；（2）由题意可证AB＝BE＝5，根据勾股定理可求AH＝3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC（2）∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DAB，∴AB＝BE＝5∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，∴25﹣AH2＝﹣（﹣AH）2，∴AH＝3，∴BH＝4，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AE＝＝【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解可得依次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x的取值范围可得答案；【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）w＝（x﹣400）（﹣x+500）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．【点评】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、理解题意找到相等关系并列出函数解析式．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为2．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．【分析】（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH＝4，通过证明△OBC ≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC的边AC的长．【解答】解：（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，∵a∥b∥c，∴EH⊥直线c，∵直线a、c之间的距离为7，∴GH＝7∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，∵直线a、b之间的距离为2，∴AD＝2＝AE，∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，∴EH＝7﹣1＝6，∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，∴∠CEH＝30°，∴cos∠CEH＝∴CE＝4在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，故答案为：2（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，∵AE⊥OP，∠AHO＝60°∴sin∠AHO＝∴AH＝4∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，∴∠ACH ＝∠OBC ，且BC ＝AC ，∠O ＝∠AHC ＝60°， ∴△OBC ≌△HCA （AAS ） ∴AH ＝OC ＝4，∴CE ＝OE ﹣OC ＝5﹣4＝1，在Rt △ACE 中，AC ＝＝＝，∴△ABC 的边长为．【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．24．（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B （3，0），交y 轴于点C（1）求a 的值．（2）过点B 的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为 x ＝3或y ＝4x ﹣12 ． （3）如图2，已知F （0，﹣7），过点F 的直线m ：y ＝kx ﹣7与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3交于M 、N 两点，当S △CMN＝4时，求k 的值．【分析】（1）把（3，0）代入y ＝ax 2﹣2x ﹣3，即可求解；（2）当直线与y 轴平行时，直线l 的解析式为：x ＝﹣3；当直线与y 轴不平行时，设：直线1的解析式为：y ＝kx +b ，由△＝0即可求解；（3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，由S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，即可求解．【解答】解：（1）把（3，0）代入y ＝ax 2﹣2x ﹣3， 得：0＝9a ﹣6﹣3，∴a ＝1；（2）当直线与y 轴平行时，直线l 的解析式为：x ＝﹣3 当直线与y 轴不平行时，设：直线1的解析式为：y ＝kx +b ， 将点B 坐标代入上式，解得：b ＝﹣3k 则直线的表达式为：y ＝kx ﹣3k …①， 抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3…②，联立①②并整理得：x 2﹣（k +2）x +（3k ﹣3）＝0， △＝b 2﹣4ac ＝（k +2）2﹣4（3k ﹣3）＝0， 解得：k ＝4，故：直线的表达式为：x ＝3或y ＝4x ﹣12；（3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，x M +x N ＝k +2，x M •x N ＝4，∵S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，∴×4×＝4，即：（k +2）2＝20， 解得：k ＝﹣2±2．【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形面积等知识点，其中韦达定理的运用是处理数据的重要方法．新九年级（上）数学期中考试题(含答案)一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1、圆内接四边形 A BCD 中，已知∠A ＝70°，则∠C ＝（ ） A ．20°B ．30°C ．70°D ．110°2、⊙O 的半径为 5c m ，点 A 到圆心 O 的距离 O A ＝3cm ，则点 A 与圆 O 的位置关系为（ ）A ．点 A 在圆上B ．点 A 在圆内C ．点 A 在圆外D ．无法确定3、将抛物线 y ＝x 2+1 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝（x +2）2+4B ．y ＝（x ﹣2）2﹣4C ．y ＝（x ﹣2）2+4D ．y ＝（x +2）2﹣44、若圆锥的母线长是 12，侧面展开图的圆心角是 120°，则它的底面圆的半径为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与 △CDE 对应边的比为 k ，则位似中心的坐标和 k 的值分别为（）A ．（0，0），2B ．（2，2），12C ．（2，2），2D ．（2，2），3 6、如图，在△ABC 中，点 D 是 A B 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（ ） A ．9B ．8C ．3D ．27、如图，若二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为 x ＝1，与 y 轴交于 点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a +b +c ②a ﹣b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当 y ＞0 时，﹣1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，在平行四边形A BCD 中，点E在C D 上，若D E：CE＝1：2，则△CEF 与△ABF 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：99、圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）A．B．C．D．10、对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤13B．m13<C．1312m<≤D．m12≤二、填空题（每题4分，共24 分）11 如图，△ABC 中，点D、E 分别在边A B、BC 上，DE∥AC．若B D＝4，DA＝2，BE＝3，则E C＝．12、在二次函数y=-x2 +2x+1的图像中，若y随x增大而增大，则x的取值范围是．13、如图，⊙O 与△ABC 的边A B、AC、BC 分别相切于点D、E、F，如果A B＝4，AC＝5，AD＝1，那么B C的长为．第8题第11 题第13 题14、高4m 的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时，旗杆旁教学楼的影长24m，则教学楼高m．15、若关于x的一元二次方程x2 -2x-k = 0 （k 为常数）在- 2 <x <3范围内有解，则k的取值范围是。

一・选择题1 •如果J 三有意义，则a 的取值范围是（ ）若分式厂一 2兀-3的值为°,则兀+ ]X 的值为（）A. —1 B.3 C. 一1或3 D. —3或12.方程x 2+6x - 5=0的左边配成完全平方后所 得方程为（ ）A.仗+3尸二 14 B. （x-3） 2=14 C. （x+3） M D. （x-3） M3•平面直角坐标系内一点P （-2, 3）关于原点对称点的坐标是（）4.把一个正方形绕对角线的交点旋转到与原来重合，至少需转动（）A. 45° B. 60° C. 90° D. 180°5.方程 X （X-1） = 0 的根是（ ）A ・ X=0 B. X=1 C. D. X]二0拯2二-16.下列各式中属于最简二次根式的是（）A. 7x 2+l B. ^x 2 +x 2y 2 C. V12D. V （X5 7、以 1, 3 为根的一元二次方程是（）A. X 2 +4X+3=0 B. X 2 -4X+3=0C.X 2+4X-3=0 I ）. X?+4X+3二0 8、9点钟时，钟表的时针和分针Z 间的夹角是（）A.300二、填空:11.方程5X 2-4X-l=0的二次项系数是 ________ 一次项系数是 ____ 常数项是 ______ 12. 计算辰-馆的结果是 ________ 13.三角形的三边长分别为V20cm, V40cm, ^45 cm,则这个 三角形的周长为 ________o 14.使式子无意义的X 的取值是 ________________ o 15.若最简二次 根式屈刁与硏5是同类二次根式，则a 二 ____________ o 16. 一元二次方程（X+l ）2-X=3（X 2+2） 化为一般形式为 ___________ o 17.若方程X 2-6X+k=0的一个根为-2,则k 二 _另一根为18..关于x 的一元二次方程ax 2-3x+2=0屮，a 的取值范围是 __________ 。

九年级数学上册期中试卷试卷（word 版含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.2．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．3．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4（3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a 2﹣5a ＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为a ．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x 2+4x ＝t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t ＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t（1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5=∴HQ3①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝43∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．已知，抛物线y＝-12x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．（1）直接填写抛物线的解析式________；（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.求证：MN∥y轴；（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.【答案】（1）2122y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】【分析】 （1）把点C 、D 代入y ＝-12x 2 +bx+c 求解即可； （2）分别设PM 、PC 的解析式，由于PM 、PC 与抛物线的交点分别为：M 、N.，分别求出M 、N 的代数式即可求解；（3）先设G 、H 的坐标，列出QG 、GH 的解析式，得出与抛物线的交点D 、E 的横坐标，再列出直线AE 的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】详解：（1）∵y ＝-12x 2 +bx+c 过点C （0,2），点Q （2,2）， ∴2122222b c c ⎧-⨯++⎪⎨⎪=⎩＝, 解得：12b c =⎧⎨=⎩. ∴y=-12x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩得12x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩得12x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a⋅=-=- 即x p•x m =-4，∴x m =4p x -=21k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩得x N =21k -=x M , ∴MN ∥y 轴.（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.设直线QG 的解析式为y kx m =+，将点()2,2Q 代入y kx m =+得22k m =+22m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=+ 同理可求直线QH 的解析式为22n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得221=222m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-同理，2Ex n=-设直线AE的解析式为：y=kx+4，由24122y kxy x x=+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，得12x2-(k-1)x+2=0124bx xa∴⋅=-=即x D x E=4，即（m-2）•（n-2）=4∴CG•CH=（2-m）•（2-n）=4.7．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝12x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ 交y 轴于点H ，过点Q 作QC ⊥BC 交x 轴于点R ，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ， ∵∠ABQ ＝2∠ABC ，则BC 是∠ABH 的角平分线，则△RQB 为等腰三角形，则点C 是RQ 的中点，在△BOC 中，tan ∠OBC ＝OC OB ＝12＝tan ∠ROC ＝RC BC， 则设RC ＝x ＝QB ，则BC ＝2x ，则RB 22(2)x x 5＝BQ ，在△QRB 中，S △RQB ＝12×QR•BC ＝12BR•QK ，即122x•2x ＝125， 解得：KQ 5∴sin ∠RBQ ＝KQ BQ 55x＝45，则tanRBH ＝43， 在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53， 当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=()21336233t t t ⎛⎫∴-=--++ ⎪⎝⎭化简得()1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+,-3)3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径 则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.9．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝32时，PM最大值为：94；②存在，理由： PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2；PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2；MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42，故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）51t +=98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案； （3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点，∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-． 令2104y x x =-=， 解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=， ∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ， ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-， ∴251(2)PF t =•+-，在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM ==∴45OF =， ∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=，∴222(45)55(2)t t +-=+-∴51t +=． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即180ADG ADF∠+∠=︒，即180B D∠+∠=︒；（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．【详解】（1）解：如图，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴F、D、G在一条直线上，和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案为：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22AB AC+，如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD ，∴DF=DE ，设DE=x ，则DF=x ，∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：222DF BF BD =+，22(3)1x x =-+， 解得：x=53， 即DE=53． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．12．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明； ②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DFEF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】 （1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =.又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =，120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，33DM FN a==， 33MF NE b==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，3DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF . （2）3EF DF =，DF EF . 理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=.又CE EB=，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ，∴四边形LCMF 为矩形，90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒.GEB 为等边三角形，60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘ ∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF △中，3tan 33DE DF F F E DF ===∠； （3）①3EF DF =，DFEF .选择题图进行证明：如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF BNF ∴≅.AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠.//AD NB ∴.18060O ADC ∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=︒，OCP OBE ∴∠=∠.DCE NBE ∴∠=∠.又GEB 是等边三角形，GE BE ∴=，又AD BN CD ==，()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF∴⊥，60FDE∠=︒.tan3E EF DF DFFD∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF=，连接NB，DE，NE，NB与CD 交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF 和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.120NOC ADC∴∠=∠=︒.60BOJ∴∠=︒，60JEC∠=︒.又OJB EJC∠=∠，OBE ECJ∴∠=∠.AD CD=，AD NB=，CD NB∴=.又GEB是等边三角形，CE BE∴=.()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠-∠=∠-∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.13．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD ，OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）求证：DE ⊥AG ；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF '的长最大值为222+0315α=．【解析】【分析】（1）延长ED 交AG 于点H ，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=22+2，此时α=315°．【详解】(1)如图1,延长ED 交AG 于点H,∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，90OA ODAOG DOEOG OE=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=12OG=12OG′，∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=OAOG'=12，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD,OA⊥AG′，∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，即α=30°；(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°−30°=150°.综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=22，∵OG=2OD，∴2，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=22+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°.【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．14．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）612；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=2221-=3，在Rt△ABF中，BF=22AB AF- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=12EC=612-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．15．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连接CH、CG．(1)求证：△CBG≌△CDG；(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；(3)连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45°；HG= HO+BG；（3）（2，0）．【解析】试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证．（2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知点（3，1）是双曲线y=（k≠0）上一点，则下列各点中在该图象上的点是（）A．（，﹣9）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（0，﹣）2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．（k2+1）x2﹣4=0 B．ax2+bx+c=0 C． +﹣3=0 D．（x+4）（x﹣2）=x2 3．若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们对应边的比为（）A．B．C．D．4．已知a是方程x+3x﹣4=0的一个根，则代数式2a2+4a+2等于（）A．5 B．6 C．7 D．85．某超市一月份营业额为200万元，一、二、三月份总营业额为1000万元，设平均每月的营业额的增长率为x，则由题意列方程为（）A．200+200×2x=1000 B．200（1+x）2=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=10006．反比例函数y=﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限7．下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035 C．x（x+1）=1035 D．x（x﹣1）=10359．已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限10．如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．反比例函数的图象位于象限．12．已知：一元二次方程x2﹣5x+c=0有一个根为2，则另一根为．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为．14．已知=，则=．15．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则火焰AC的长度为．16．在同一时刻，一杆高为2m，影长为1.2m，某塔的影长为18m，则塔高为m．17．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：①∠AED=∠B；②=；③=，能够判断△ADE与△ACB相似的是．18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程．三、解答题（共66分）19．解方程（1）3x2﹣7x=0（2）4（t﹣1）2﹣t2=0．20．计算（1）若===k，求k的值．（2）已知2x2﹣7xy+6y2=0，则的值．21．已知，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，求BF：EF的值．22．用长32米的篱笆围成面积为130m2的矩形场地，矩形场地的一面利用墙可用最大长度为16m，与墙平行的对边有1m长的一道门，求此矩形场地的长、宽各是多少米？23．如图，在△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中△PBQ的面积能否等于7？请说明理由．24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．25．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM．PN．求证：（1）=；（2）当∠ABC=45°时，BN=PC；（3）△PMN为等腰三角形．2016-2017学年湖南省邵阳市新宁县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知点（3，1）是双曲线y=（k≠0）上一点，则下列各点中在该图象上的点是（）A．（，﹣9）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（0，﹣）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据双曲线上点的坐标求出k值，再逐一分析四个选项中坐标的横、纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．【解答】解：∵点（3，1）是双曲线y=（k≠0）上一点，∴k=3×1=3．A、∵×（﹣9）=﹣3，∴此选项不符合题意；B、∵﹣3×（﹣1）=3，∴此选项符合题意；C、∵﹣1×3=﹣3，∴此选项不符合题意；D、∵0×（﹣）=0，∴此选项不符合题意．故选B．2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．（k2+1）x2﹣4=0 B．ax2+bx+c=0 C． +﹣3=0 D．（x+4）（x﹣2）=x2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．3．若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们对应边的比为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，∴它们对应边的比为2：3．故选A．4．已知a是方程x+3x﹣4=0的一个根，则代数式2a2+4a+2等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次方程的解．【分析】由a是方程x+3x﹣4=0的一个根，将x=a代入方程得到关于a的等式，变形后即可求出所求式子的值．【解答】解：∵a是方程x+3x﹣4=0的一个根，∴将x=a代入方程得：a+3a﹣4=0，解得：a=1则2a2+4a+2=2+4+2=8．故选D．5．某超市一月份营业额为200万元，一、二、三月份总营业额为1000万元，设平均每月的营业额的增长率为x，则由题意列方程为（）A．200+200×2x=1000 B．200（1+x）2=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选D．6．反比例函数y=﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x的增大而增大．【解答】解：∵k=﹣4＜0，∴函数图象在二、四象限．故选B．7．下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D【考点】位似变换．【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断．【解答】解：四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D．故选D．8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035 C．x（x+1）=1035 D．x（x﹣1）=1035【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．故选B．9．已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限．【解答】解：将点（m，3m）代入反比例函数得，k=m•3m=3m2＞0；故函数在第一、三象限，故选：B．10．如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个【考点】相似三角形的性质；勾股定理．【分析】由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x=5或．∴x的值可以有2个．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．反比例函数的图象位于一，三象限．【考点】反比例函数的性质．【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴函数的图象位于一、三象限．12．已知：一元二次方程x2﹣5x+c=0有一个根为2，则另一根为3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=5，解得α=3．故答案为：3．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=．【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=300÷15x=．故本题答案为：y=．14．已知=，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据=结合=，即可得出的值．【解答】解：∵==，∴=．故答案为：．15．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则火焰AC的长度为8cm．【考点】相似三角形的应用．【分析】连接AC、BD，可证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得=，代入相应数据进行计算即可．【解答】解：连接AC、BD，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO=∠DBO=90°，∵∠COA=∠DOB，∴△AOC∽△BOD，∴=，∵BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，∴=，解得：AC=8cm，答：火焰AC的长度为8cm．故答案为：8cm．16．在同一时刻，一杆高为2m，影长为1.2m，某塔的影长为18m，则塔高为30 m．【考点】平行线分线段成比例．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，所以利用题目的参照物就可以直接求出塔高．【解答】解：设塔高为x，根据同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同．得∴x=30．∴塔高为30m．17．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：①∠AED=∠B；②=；③=，能够判断△ADE与△ACB相似的是①②．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据图形得到∠A是公共角，然后根据相似三角形的判定方法进行判断即可．【解答】解：由图可知，∠A是△ADE与△ACB的公共角，①∠AED=∠B可以利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；②=可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；③=，公共角不是夹角，不能得到△ADE与△ACB相似；综上所述，能判断△ADE与△ACB相似的是①②．故答案为：①②．18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程（80+2x）（50+2x）=5400．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原库存风景画的宽+2x），把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为（80+2x）（50+2x）=5400．故答案为（80+2x）（50+2x）=5400．三、解答题（共66分）19．解方程（1）3x2﹣7x=0（2）4（t﹣1）2﹣t2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）x（3x﹣7）=0，x=0或3x﹣7=0，所以x1=0，x2=；（2）4（t﹣1）2=t2，2（t﹣1）=±t，所以t1=2，t2=．20．计算（1）若===k，求k的值．（2）已知2x2﹣7xy+6y2=0，则的值．【考点】比例的性质；因式分解﹣十字相乘法等．【分析】（1）根据合比性质，可得答案；（2）根据等式的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）===k，得b+c=ka①，c+a=kb②，a+b=ck③；①+②+③，得b+c+c+a+a+b=k（a+b+c），当a+b+c≠0时，k==2，当a+b+c=0时，（b+c）=﹣a，k===﹣1，k的值为2或﹣1；（2）两边都除以y2，得2（）2﹣7（）+6=0，因式分解，得[2（）﹣3]（﹣2）=0，解得=，=2．21．已知，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，求BF：EF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，得到△AFB∽△CFE，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AFB∽△CFE，AB：EC=3：2，∴BF：EF=AB：EC=3：2．22．用长32米的篱笆围成面积为130m2的矩形场地，矩形场地的一面利用墙可用最大长度为16m，与墙平行的对边有1m长的一道门，求此矩形场地的长、宽各是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据题意可以设平行于墙的矩形一边长为xm，从而可以列出相应的方程，注意矩形场地的一面利用墙可用最大长度为16m，从而可以解答本题．【解答】解：设平行于墙的矩形的一边长为xm，（x+1）•=130，解得，x1=12，x2=19，∵矩形场地的一面利用墙可用最大长度为16m，∴x=19不符合题意，∴x=12，∴，x+1=13，即此矩形的长是13m，宽是10m．23．如图，在△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中△PBQ的面积能否等于7？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设x秒后△PBQ的面积等于4cm2，进而表示出BP，BQ的长，即可得出答案；（2）根据（1）中解法表示出△PBQ的面积，利用根的判别式，即可得出答案．【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于4cm2，则BQ=2x，BP=5﹣x，根据题意得出：×2x×（5﹣x）=4，解得：x1=1，x2=4（不合题意舍去），答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）不能，由题意可得出：×2x×（5﹣x）=7，整理得出：x2﹣5x+7=0，b2﹣4ac=25﹣4×7=﹣3＜0，∴此方程无实数根，则△PBQ的面积不能等于7．24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A代入y=可得反比例函数解析式，将点B（﹣1，n）代入可得n的值，即可得点B的坐标，由A、B坐标可得直线的解析式；（2）求得直线与x轴的交点坐标，利用割补法可得三角形的面积；（3）由直线位于双曲线上方时对应的x的范围即可得答案．【解答】解：（1）把A（2，1）代入y=，得：m=2，∴反比例函数的解析式为y=，把B（﹣1，n）代入y=，得：n=﹣2，即B（﹣1，﹣2），将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y=kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1；（2）在一次函数y=x﹣1中，令y=0，得：x﹣1=0，解得：x=1，=×1×1+×1×2=；则S△AOB（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．25．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM．PN．求证：（1）=；（2）当∠ABC=45°时，BN=PC；（3）△PMN为等腰三角形．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）证明△AMB∽△ANC，根据相似三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质得到PB=PN=PC，根据等腰直角三角形的判定和性质解答；（3）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半证明．【解答】证明：（1）∵BM⊥AC，CN⊥AB，∠A=∠A，∴△AMB∽△ANC，∴=；（2）∵CN⊥AB，P为BC边的中点，∴PB=PN=PC，∵∠ABC=45°，∴∠BPN=90°，∴BN=PN，又PN=PC，∴BN=PC；（3）∵CN⊥AB，P为BC边的中点，∴PN=BC，∵BM⊥AC，P为BC边的中点，∴PM=BC，∴PM=PN，∴△PMN为等腰三角形．2017年3月16日。

九年级数学期中综合复习检测卷一、选择：（大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程，是一元二次方程的是（ ）①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2-3x+3=0A ．①②B ．①②④⑤C ．①③④D ．①④⑤2．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A.14k >-B.14k >-且0k ≠C.14k <-D.14k ≥-且0k ≠3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是 ( )A.直线x ＝ 1 2B. 直线x ＝2C. y 轴D.直线x ＝－ 125.如图，在一幅长为60㎝，宽为40㎝的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是3500㎝2，，设纸边的宽为x （㎝），则x 满足的方程是（ ）A. ()()35004060=++x xB. ()()3500240260=++x xC. ()()35004060=--x xD. ()()3500240260=--x x6.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A．1米B．5米C．6米D．7米7．如图，CD是O的直径，弦AB CD⊥于点G，直线EF与O相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】（A）AG BG=（B）AB∥EF（C）AD∥BC （D）∠=∠ABC ADC8．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40° D．30°9.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+210．如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D 时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二、填空：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（3分）方程x （x ﹣1）=0的根是__________.12．已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .13. 已知点()1,1A a +和点()5,1B b -是关于原点O 的对称点，则a b +=___________.14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C ，若∠A=25°，则∠D= ____°______.15．当宽为2cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm ．16．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线2(3)y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上另一点.且AB//x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .17.已知抛物线2y ax 2ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(),10-，则一 元二次方程2ax 2ax c 0-+=的根为 .18.如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是 .19．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，若∠AOB ＝100°， 则∠ABD ＝ .20.如图两条抛物线,221211y x 1y x 122=-+=--，分别经过()(),,,2020- 且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . 三、解答题：（本大题共9题，共60分） 21.运用适当的方法解方程（共12分）（1）8)3(22=-x （2）03642=--x x（3）)32(5)32(2-=-x x （4）（x+8）（x+1）=-12FEDCBAxyy 2y 1–1–2–3123–1–2–3–412O22.（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点A （﹣2，2），B （0，5），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A 1B 1C ，请画出△A 1B 1C 的图形．（2）平移△ABC ，使点A 的对应点A 2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A 2B 2C 2的图形．（3）若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．24.（6分） 已知二次函数43212+-=x x y .（1）将其配方成y ＝a(x －k)2＋h 的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.（2） 画出图象,指出y ＜0时x 的取值范围． （3）当04x ≤≤时，求出y 的最小值及最大值.25.（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．26.（8分）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式。

九年级（上）期中(qī zhōnɡ)数学试卷一、选择题（每题3分，共30分．请将每道题的正确(zhèngquè)答案填在后面的括号内）1．（3分）下列方程(fāngchéng)中，关于x的一元二次方程是（）A．x2+2y=1 B． +﹣2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=12．（3分）根据下列表格的对应(duìyìng)值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个(yī ɡè)解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC 4．（3分）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方(pèi fāng)后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=156．（3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分(bù fen)的周长为（）A．8B．4C．8 D．67．（3分）如图，在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数(dù shu)为（）A．28°B．52°C．62°D．72°8．（3分）如图，某小区(xiǎo qū)有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=09．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移(pínɡ yí)，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠(chóngdié)部分的面积为1cm2，则它移动(yídòng)的距离AA′等于（）A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm10．（3分）已知x=1是关于(guānyú)x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数(chángshù)k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1二、填空题（每空3分，共30分）11．（3分）从，，，中随机抽取一个二次根式，化简后和的被开方数相同的概率是．12．（6分）若关于(guānyú)x的方程式x2+mx﹣6=0的有一个(yī ɡè)根2，则另一个根为，m的值为．13．（3分）若关于(guānyú)x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等的实数(shìshù)根，则k的取值范围是．14．（3分）假期，小丽家和小芳家都计划到九龙山、关山牧场、法门寺、汤峪温泉四个地方游玩(yóuwán)，她们俩家刚好都到关山牧场去的概率为．15．（3分）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为．16．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请队参赛．17．（3分）如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16cm，当锐角∠CAD=60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是cm．（结果保留根号）18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=．19．（3分）如图，矩形(jǔxíng)ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推(yī cǐ lèi tuī)，则平行四边形AO2021C2022B的面积(miàn jī)为．三、解答(jiědá)题：（共6题，共60分）20．（20分）计算(jì suàn)：选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣6x+5=0（2）x2﹣2x﹣1=0（3）2x+6=（x+3）2（4）﹣x2﹣3x+6=0．21．（6分）如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．求证：四边形DBEF是矩形．22．（8分）四张质地(zhìdì)相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到(dé dào)数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个(zhè ge)游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．23．（8分）某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售(xiāoshòu)，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售(xiāoshòu)单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移(pínɡ yí)得到△A1C1D1，连结(lián jié)AD1、BC1．已知∠ACB=30°，AB=1，（1）求证(qiúzhèng)：△A1AD1≌△CC1B；（2）当CC1=1时，求证(qiúzhèng)：四边形ABC1D1是菱形(línɡ xínɡ)．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．2022-2021学年(xuénián)陕西省宝鸡市金台区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题(shìtí)解析一、选择题（每题3分，共30分．请将每道题的正确答案填在后面(hòu mian)的括号内）1．（3分）下列(xiàliè)方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2+2y=1 B． +﹣2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=1【分析(fēnxī)】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2此的整式方程，根据定义判断即可．【解答】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、是一元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2．（3分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是(jiùshì)方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数(hánshù)的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个(yī ɡè)解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【解答】解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形(jǔxíng)．故正确C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断(pànduàn)四边形ABCD是矩形，故错误．D、由AB∥CD，AC=BD无法判断(pànduàn)四边形ABCD是矩形，故错误．故选：B．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查(kǎochá)矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．4．（3分）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（）A．B．C．D．【分析(fēnxī)】画树状图得出所有(suǒyǒu)等可能的情况数，找出从入口1进入并从出口A离开的情况数，即可求出所求概率．【解答(jiědá)】解：画树状图得：所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入(jìnrù)并从出口A离开的情况有1种，则P=．故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解(yīn shì fēn jiě)法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．（3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分(bù fen)的周长为（）A．8B．4C．8 D．6【分析(fēnxī)】首先(shǒuxiān)由正方形ABCD的对角线长为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．【解答】解：∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，∴AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2 +2+2=8．故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度(nádù)适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别(fēnbié)在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数(dù shu)为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析(fēnxī)】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及(yǐjí)对角线相互垂直的性质．8．（3分）如图，某小区(xiǎo qū)有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建(xiūjiàn)两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度(kuāndù)相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理(zhěnglǐ)得，x2﹣9x+8=0．故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了由实际问题抽象(chōuxiàng)出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出(dé chū)等式是解题关键．9．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向(fāngxiàng)平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x∴x•（2﹣x）=1∴x=1即AA′=1cm．故选：B．【点评(diǎn pínɡ)】此题考查正方形的性质，解决(jiějué)本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．10．（3分）已知x=1是关于(guānyú)x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数(chángshù)k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【分析(fēnxī)】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．【解答】解：当k=1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元一次方程，解为x=1；k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元二次方程，把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1（舍去）；故选：C．【点评】该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．二、填空题（每空3分，共30分）11．（3分）从，，，中随机抽取(chōu qǔ)一个二次根式，化简后和的被开方数(bèi kāi fānɡ shù)相同的概率是．【分析(fēnxī)】让化简后被开方数(bèi kāi fānɡ shù)是2的二次根式的个数除以数的总个数即为所求的概率．【解答(jiědá)】解：∵，，，，所以四个中有三个满足，概率为，故答案为：【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；注意应先把二次根式进行化简．12．（6分）若关于x的方程式x2+mx﹣6=0的有一个根2，则另一个根为﹣3，m的值为1．【分析】设方程的另一根为x1，将该方程的已知根2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值和方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2=2，∴根据根与系数的关系可得：，解得：．故答案为﹣3，1．【点评(diǎn pínɡ)】此题考查了根与系数(xìshù)的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．本题也可先将x=2直接(zhíjiē)代入方程x2+mx﹣6=0中求出m的值，再利用根与系数的关系(guān xì)求方程的另一根．13．（3分）若关于(guānyú)x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞，所以k的范围为k＞且k≠1．故答案为k＞且k≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．（3分）假期，小丽家和小芳家都计划到九龙山、关山牧场、法门寺、汤峪温泉四个地方游玩，她们俩家刚好都到关山牧场去的概率为．【分析】小丽家和小芳家都计划到九龙山、关山牧场、法门寺、汤峪温泉四个地方游玩，有4×4=16种情况，她们俩家刚好都到关山牧场去的可能情况列出来，用满足的个数除以总的个数即可．【解答】解：共有4×4=16种可能性，满足条件的只有1种，故她们俩家刚好都到关山(guānshān)牧场去的概率为1÷16=．故答案(dá àn)为：．【点评(diǎn pínɡ)】考查了列表法与树状图法，注意(zhù yì)找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行(jìnxíng)连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为289（1﹣x）2=256．【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2=256．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．16．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请8队参赛．【分析(fēnxī)】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛(cān sài)，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解(qiú jiě)，舍去小于0的值，即可得所求的结果．【解答(jiědá)】解：∵赛程计划(jìhuà)安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为： =28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），所以比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：8．【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．17．（3分）如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16cm，当锐角∠CAD=60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是32cm．（结果保留根号）【分析】由图可得：CE两点之间的距离是较长对角线的两倍；根据已知可分别求得较短和较长的对角线的长，即可求得CE的长．【解答】解：∵在一个菱形中，∠CAD=60°∴较短的对角线等于边长16cm，较长的对角线为16cm，∴CE=2×16=32（cm）．故答案(dá àn)为：32．【点评(diǎn pínɡ)】本题(běntí)考查等边三角形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由题意得出较长对角线的长度是解决问题的关键．18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别(fēnbié)在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=．【分析(fēnxī)】首先证明△BEC≌△CFD，即可证明OC⊥DF，然后利用直角三角新的面积公式即可求得OC的长．【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠DCF，又∵AE=BF，∴BE=CF=4﹣1=3，DF===5，则在直角△BEC和直角△CFD中，，∴△BEC≌△CFD，∴∠BEC=∠CFD，又∵直角△BCE中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠CFD+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，即OC⊥DF，∴S△CDF=CD•CF=OC•DF，∴OC===．故答案(dá àn)是：．【点评(diǎn pínɡ)】本题(běntí)考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△CFD是解题(jiě tí)的关键．19．（3分）如图，矩形(jǔxíng)ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2021C2022B的面积为．【分析】矩形ABCD的面积=AB×AD=1，过点O向AB作垂线，垂足为E，平行四边形AOC1B的面积=AB×OE，根据矩形的性质，OE=AD，即平行四边形AOC1B的面积=AB×AD=，过点O1向AB作垂线，垂足为F，根据平行四边形的性质，O1F=OE=AD，即平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=，依此类推，即可得到平行四边形AO2021C2022B的面积．【解答(jiědá)】解：过点O向AB作垂线(chuí xiàn)，垂足为E，过点O1向AB 作垂线，垂足(chuí zú)为F，如下图所示：∵∠DAB=∠OEB，∴OE∥DA，∵O为矩形(jǔxíng)ABCD的对角线交点，∴OB=OD∴OE=，矩形(jǔxíng)ABCD的面积=AB×AD=1，平行四边形AOC1B的面积=AB×OE=AB×AD=，同理，根据平行四边形的性质，O1F=OE=AD，平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=，依此类推：平行四边形AO2021C2022B的面积=AB×AD=，故答案为：．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和规律型：图形的变化(biànhuà)美，根据矩形和平行四边形的性质，找到前两个图形的规律，依此类推即可，掌握规律是解题的关键．三、解答(jiědá)题：（共6题，共60分）20．（20分）计算(jì suàn)：选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣6x+5=0（2）x2﹣2x﹣1=0（3）2x+6=（x+3）2（4）﹣x2﹣3x+6=0．【分析(fēnxī)】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+5=0∴（x﹣5）（x﹣1）=0，∴x﹣5=0或x﹣1=0∴x1=5，x2=1；（2）∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=16，∴x==2±，∴x1=+2，x2=﹣2；（3）因式分解(yīn shì fēn jiě)可得（x+3）（x+3﹣2）=0，∴x+3=0或x+3﹣2=0∴x1=﹣3，x2=﹣1；（4）∵a=﹣，b=﹣3，c=6，∴△=（﹣3）2﹣4×（﹣）×6=21，∴x==﹣3±，∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．【点评(diǎn pínɡ)】本题主要考查(kǎochá)一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键，注意方法的灵活运用．21．（6分）如图，菱形(línɡ xínɡ)ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．求证(qiúzhèng)：四边形DBEF是矩形．【分析】由对角线互相平分得出四边形DBEF是平行四边形，由菱形的性质得出CD=CB，得出BF=DE，即可得出结论．【解答】证明：∵CE=CD，CF=CB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ)，∴CD=CB．∴CE=CF，∴BF=DE，∴四边形DBEF是矩形(jǔxíng)．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了矩形的判定方法(fāngfǎ)、平行四边形的判定方法、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定方法．由菱形的性质得出对角线相等是解决问题的关键．22．（8分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面(bèimiàn)朝上放置在桌面上．（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【解答(jiědá)】解：（1）P（抽到2）=；（2）根据(gēnjù)题意可列表2 23 62 （2，2）（2，2）（2，3）（2，6）2 （2，2）（2，2）（2，3）（2，6）3 （3，2）（3，2）（3，3）（3，6）6 （6，2）（6，2）（6，3）（6，6）从表（或树状图）中可以看出所有可能结果(jiē guǒ)共有16种，符合条件的有10种，∴P（两位数不超过(chāoguò)32）=．∴游戏(yóuxì)不公平．调整规则：法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查的是游戏(yóuxì)公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价(zhǎnɡ jià)1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售(xiāoshòu)单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划(jìhuà)在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等式即可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）月销售量为500﹣5×10=450千克，月利润为（55﹣40）×450=6750元．（2）设单价应定为x元，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=8000，解得：x1=60，x2=80．当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x=80．答：销售单价(dānjià)应定为80元/千克．【点评(diǎn pínɡ)】此题考查的是一元二次方程的应用，首先读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确(zhèngquè)列出方程是解决本题的关键．24．（8分）如图，将矩形(jǔxíng)ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向(fāngxiàng)平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．已知∠ACB=30°，AB=1，（1）求证：△A1AD1≌△CC1B；（2）当CC1=1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．【分析】（1）由矩形的性质及平移的性质易得∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，结论显然；（2）由所给条件可证明△AC1B是等边三角形，ABC1D1自然是菱形；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD，∴∠DAC=∠ACB，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠AA1 D1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，∴∠AA1 D1=∠ACB，BC=A1D1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B；（2）∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵CC1=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等边三角形，∵AB=CD，CD=C1D1，∴AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，又AB=BC1，∴四边形ABC1D1是菱形(línɡ xínɡ)；【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了矩形的性质、平移变换、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，综合性较强，难度中等．清楚矩形、菱形等基本几何图形(jǐhé tú xíng)的性质以及平移变换的特征是解决本题的关键．25．（10分）如图，在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个(liǎnɡ ɡè)根，且OA＞OB．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA 上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．【解答(jiědá)】解：（1）∵关于(guānyú)x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个(liǎnɡ ɡè)根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射线(shèxiàn)AO是∠BAC的平分线（3）根据(gēnjù)计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0），②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析(jiě xī)式为y=﹣x+4，直线(zhíxiàn)L过（，2），且k值（平面内互相垂直的两条直线(zhíxiàn)k值乘积为﹣1），L解析(jiě xī)式为y=x+，联立直线(zhíxiàn)L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣），④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=，∴F（﹣，﹣）综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，﹣）．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．内容总结。