4.1 共点力作用下物体的平衡 (几种解法都有)

解答共点力平衡问题的常用方法物体的平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。

一、共点力平衡问题的数学解法1、相似三角形法:如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中,力三角形与几何三角形相似,则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。

2、拉密定理若在共点的三个力作用下,物体处于平衡状态,则各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。

3、正交分解法:共点力平衡条件F合=0是矢量方程,通常用正交分解法把矢量运算转化为标量运算,给解题带来方便。

4、函数图象法:利用函数图象分析和解答问题,关键是分析图象的物理意义,进行推理判断和计算。

二、共点力平衡问题的物理方法1、离法与整体法通常在分析外力对系统的作用时,用整体法:在分析系统内各物体间的相互作用时,用隔离法。

二者常需交叉运用,从而优化解题思路和方法,使解题简洁明了。

2、动态平衡问题———图解法利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出物体在平衡状态下的平衡力图（力的平行四边形），再由动态的力的四边形各边长度变化及角度变化，确定力的大小及方向的变化情况,3、临界法:从量变到质变的转变状态,叫临界状态。

分析和解决临界问题,有两种基本方法:一是演绎法———从一般到特殊的推理方法;二是临界法———从特殊到一般的推理方法。

因为临界状态总是比一般状态简单,所以解决临界问题,临界法比演绎法简单。

一般,只要分清物理过程抓住临界状态,确定临界状态,建立临界方程,问题就迎刃而解了。

共点力作用下的物体平衡、整体法和隔离物体法一、知识要点1、共点力作用下物体平衡（1）物体的平衡状态：静止或匀速直线运动状态都是平衡。

（2）平衡条件：F 合＝0，用正交法表示为∑=0F x 和∑=0F y（3）平衡条件的推论：当物体平衡时，其中的某个力必定与余下的其它力的等大反向。

2、求解平衡问题的一般步骤：（1）选取研究对象：根据题目要求，选取某平衡体（整体或局部）作为研究对象。

（2）画受力图：对研究对象进行受力分析（一般按先重力再弹力、摩擦力、电磁力等的顺序），并按各个力的作用方向画出隔离体受力图。

（3）建立坐标：选取合适的方向建立直角坐标系（以分解的力越少越好），正交分解。

（4）列方程：根据平衡条件列出在X －－Y 坐标轴上的方程∑=0F x 和∑=0F y（5）解方程：求出未知量二、疑难解析1、当物体平衡时，其中的某个力必定与余下的其它力的等大反向。

2、物体在三个共点力作用下平衡，若其中一个力大小方向都不变，另一个力方向改变，分析因方向改变而引起的这两个力的变化情况时，用图解法简单。

三、例题例1、质量为M 的物体放在粗糙的水平面上，一人用与水平面成θ角的斜向上的拉力拉它，物体仍处于静止状态，若物体与地面间的动摩擦因数为µ，则物体所受摩擦力的大小是（ ）A 、µMg B、µFSin θ C 、µ（Mg －FSin θ） D 、 FCos θ例2、如图1所示，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA 使连接点A 向上移动，而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时（ ）A 、绳OB 的拉力逐渐增大 B 、绳OB 的拉力逐渐减小C 、绳OA 的拉力先增大后减小D 、绳OA 的拉力先减小后增大例3、重力为40N 的物体与竖直墙面间的动摩擦因数µ＝0.4，若用斜向上的推力F ＝50N 托住物体，物体处于静止，如图2所示，这时物体受到的摩擦力是 N ，要使物体匀速下滑，推力F 的大小应为 N 。

共点力作用下物体平衡问题的求解方法上海师范大学附属中学 李树祥当物体处于静止或匀速直线运动时，我们就说物体处于平衡状态。

当物体处于平衡状态时，我们一般通过受力分析，然后根据合力为零来列式求解，常见的平衡问题的求解方法是：一、当研究对象是单个物体，且仅受两个力作用平衡时，则根据两个力一定大小相等，方向相反列式求得结果例1：一小球质量为10kg ，从空中以5m/s 的速度匀速下落。

已知空气阻力与速度成正比，求这个比例常数析解：阻力f=kv ，由于物体匀速下落，所以mg=f ，代入数值可得k=20kg/s 二、当研究对象是单个物体，且受三个力作用平衡时，有以下求解方法： 1、合成法：即任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 例2：滑滑梯是小孩子很喜欢的娱乐活动．如图所示，一个质量为m 的小孩正在沿倾角为θ的滑梯上匀速下滑，求小孩所受的支持力和摩擦力析解：小孩在滑梯上受力如图所示，小孩在重力、弹力和摩擦力三个力作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，则N ＝mg cos θ，f ＝mg sin θ，所以A 、B 错误；故C 、D 正确． 2、正交分解法对物体受力分析后建立直角坐标系，把不在坐标轴上的力进行分解，然后根据x 轴、y 轴方向上的合力分别为零列平衡方程，形式为0=合x F ，0=合y F 。

为简化解题步骤，坐标系的建立应达到尽量少分解力的要求。

例3、如图所示，重物的质量为m ，轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端是固定的，平衡时AO 是水平的，BO 与水平面夹角为θ，AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是（ ）A ．θcos 1mg F =B ．θcot 1mg F =C ．θsin 2mg F =D ．θsin /2mg F =析解 选O 点为研究对象，O 点受3个力的作用。

沿水平方向和竖直方向建立xOy 坐标系，如图所示。

由物体的平衡条件0cos 12=-=F F F x θ合；0sin 2=-=mg F F y θ合解得 ⎩⎨⎧==θθsin /cot 21m g F m g F 因此选项BD 正确。

求解共点力作用下物体平衡的方法（1）解三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题，是根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这个三角形求解平衡问题，解三角形多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形，确实不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解。

（2）正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便，将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程。

此时平衡条件可表示为说明：应用正交分解法解题的优点：①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；③当所求问题有两个未知条件时，这种表达形式可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解更方便。

4. 解共点力平衡问题的一般步骤（1）选取研究对象。

（2）对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。

（3）对研究对象所受的力进行处理。

一般情况下需要建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行正交分解。

（4）建立平衡方程。

若各力作用在同一直线上，可直接用的代数式列出方程；若几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。

（5）对方程求解，必要时需对解进行讨论。

注意：建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数，从而达到简化计算的目的。

5. 整体法与隔离法整体法的含义：所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。

整体法的思维特点：整体法是从局部到全局的思维过程；是系统论中的整体原理在物理学中的运用。

整体法的优点：通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中间环节的繁琐推算，能够灵活地解决问题。

共点力作用下物体的平衡的解题方法总结解题途径(1)．整体法与隔离法：正确地确定研究对象或研究过程，分清内力和外力． (2)．平行四边形定则和三角形定则；确定合矢量与分矢量的关系． (3)．正交分解法：物体受多个力的平衡情况．(4)．力的合成法: 特别适合三个力平衡时，运用其中两力之和等于三个力列方程求解(5)．图解法：常用于处理三个共点力的平衡问题，且其中一个力为恒力、一个力的方向不变情形．(6)．相似三角形法:在共点力的平衡问题中，已知某力的大小及绳、杆等模型的长度、高度等，常用力的三角形与几何三角形相似的比例关系求解． (7)．正弦定理:如果物体受三个不平行力而处于平衡状态，如图所示，则1．合成分解法利用力的合成与分解能解决三力平衡的问题，具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力。

二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力 【例1】如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？2．三角形相似法“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。

在物理中，一般地，当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。

【例题2】如图所示，支架ABC ，其中m AB 7.2=，m AC 8.1=，m BC 6.3=，在B 点挂一重物，N G 500=，求AB 、BC 上的受力。

“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。

在物理中，一般地，当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。

【练习1】如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F 缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N ，则N ，F 的变化情况是：（ ）A ．都变大；B ．N 不变，F 变小；C ．都变小；D ．N 变小， F 不变。

随笔原理：根据三力平衡，任意两个力的合力与第三个力分析：对金属球受力分析，可和拉力F的合力与重力mg使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，作出mgF T等大反向.如图3.由几何关系可得解得：F＝mg tanθ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只θ有关．因此，偏角的大小就可以指示出风力的大的力平衡时，多采用正交分解法，其优点是求解较方便二、动态平衡动态平衡是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡.这一类题常用的解法求出因变参量与自变参量的一般函数式,然后根据自变参量的变化确定因变参量的变分析：对物块受力分析，建立墙面对球的压，设木板对球的压力大图1图2图3图4图5 图6200┆好日子2021年1期┆201教学随笔所以，随θ逐渐增大到90°的过程中，tan θ、sin θ都增大，F N 1、F N 2都逐渐减小。

方法二：图解法原理：对研究对象进行受力分析,再根据平行四边形定则或三角形法则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中),然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况.分析：取小球为研究对象，小球受到重力G 、竖直墙面对小球的压力F N 1和木板对小球的支持力F N 2′(大小等于F N 2)三个力作用，如图7所示.F N 1和F N 2′的合力为G ′，G ′＝G ，则G ′恒定不变，当木板向下转动时，F N 1、F N 2′变化如图7所示，则F N 1、F N 2′都减小，即F N 1、F N 2都减小.原理：物体受到三个力的作用而处于平衡状态时，画出的其中任意两个力的合力与第三个力等大反向的平行四边形中，可能有力的三角形与题设图中的几何三角形相似，从而得到力的三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值可分析力的变化或计算出未知力的大小。

分析：小球受力如图9所示，根据平衡条件知，小球所受半球的支持力F N ′（与小球对半球的压力F N 大小相等）与和细线拉力F T 的合力F 跟重力G 是一对平衡力，即F =G .图8。

求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)求解共点力平衡问题的方法共点力平衡问题是高考中的热点，涉及多方面的数学和物理知识，对于刚入学的高一新生来说是一大难点。

以下介绍几种解决共点力平衡问题的方法。

1.力的合成法当物体在三个共点力的作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。

例如，如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ（A、B点可以自由转动）。

设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，则正确的结果是F1=mgsinθ，F2=mgcosθ。

2.力的分解法在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。

例如，如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？3.正交分解法解多个共点力作用下物体平衡问题的方法，常用正交分解法列平衡方程求解。

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

例如，如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。

不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

4.相似三角形法根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解。

5.其他方法例如，如图所示，固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心的正上方C处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A点，另一端绕过定滑轮，缓慢地拉向B点，则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是FN不变、FT变小。

6.长度问题例如，如图所示，两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m物体，上端分别固定在天花板M、N两点，M、N之间距离为S。

已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于S/√2.五、用图解法处理动态平衡问题三角形法是一种处理物体平衡问题的方法，适用于受三力作用而平衡的物体。

共点力平衡的几种解法1.力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

2.矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。

矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。

3.相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。

4.正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

5.三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

6.正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

不宜分解待求力。

7.动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。

三.重难点分析：1.怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。

解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。

4.1 共点力作用下物体的平衡【【教教学学目目标标】】1、知道共点力作用下物体平衡状态的概念；2、掌握共点力平衡的条件,会用来解决有关平衡问题。

【【重重点点难难点点】】1、共点力作用下物体的平衡状态；2、共点力作用下物体的平衡条件。

【【教教学学方方法法】】实验、归纳【【教教学学用用具具】】弹簧秤二个，钩码【【教教学学过过程程】】一、平衡状态1、共点力：（复习）几个力作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力就叫做共点力。

2、共点力作用下的平衡状态一个物体在共点力的作用下，如果保持静止或者做匀速直线运动，我们就说这个物体处于平衡状态。

二、共点力作用下物体的平衡条件1、共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即∑F ＝0。

若∑F ＝0，则在任一方向上物体所受合力均为零。

将物体所受的共点力正交分解，平衡条件可表示为下列标量方程组：x y 00F F =⎧⎨=⎩∑∑ 2、力的平衡：作用在物体上几个力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。

（1）二力平衡：物体受到两个共点力的时候，只有这两个力大小相等，方向相反，合力才为零。

（2）三力平衡：①其中任意两个力的合力必定与第三个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。

②三个共点力平衡，则这三个力必定构成一个封闭的矢量三角形，反之，能够构成封闭三角形的三个共点力必定平衡。

③三力汇交原理：物体在三个共面非平行力作用下处于平衡状态，则这三个力必共点。

（3）多个共点力的平衡：∑F ＝0物体受多个力作用而处于平衡状态时，其中某一个力必定与其余力的合力平衡（等大、反向、共线）；某几个力的合力必定与剩余力的合力平衡。

三、一对平衡力和一对相互作用力的区别作用力和反作用力跟平衡力虽有相似之处（力的大小相等、方向相反、作用在同一直线上），但更重要的是它们之间存在本质的区别。

（1）作用对象不同：作用力和反作用力是作用在两个不同物体上，而平衡力是作用在同一物体上。

（2）力的性质不同：作用力和反作用力必是同性质的力，而平衡力可以是性质不同的一对力。

关于共点力作用下物体平衡问题的方法总结作者：韩楚文
来源：《速读·中旬》2016年第10期
物体平衡是高中物理的重要组成部分，平衡问题的考查体现出对受力分析的重视。

对平衡问题进行分类能够更好的应对考试和学习受力分析。

物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。

平衡状态下的物体是高中物理中重要的模型，解决平衡问题的基础是对物体进行受力分析。

物体的平衡条件是合外力等于零。

对于受两个力处于平衡状态的物体，利用二力平衡条件解答；对于受三个力作用下的平衡问题，可以利用任意两个力的合力与第三个力等大反向解答。

一、正交分解法
对于受到多个力作用下的平衡问题，一般选择两个正交方向建立直角坐标系，将物体所受力分别沿两坐标系方向分解，利用平衡条件列出两坐标系方向的平衡方程解答。

正交分解法是解决物体受到多个力作用下的平衡问题最常用的方法。