弹塑性力学空间问题

第八章 能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。

然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。

因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。

这些解法的依据都是能量原理。

本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。

首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。

另外，还简单介绍最大耗散能原理。

本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。

因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。

如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'x x εε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能 变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。

弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。

2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。

一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。

3.体积力：作用在物体每一点的外力。

比如每一点都有的重力。

4.面力：作用在物体表面的外力。

比如水给大坝表面的压力。

5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。

物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。

6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。

8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。

变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。

9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。

直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。

10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。

12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。

13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。

第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。

因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。

但是，当所考察的物体(结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面（二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标（如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知,弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的. 1。

1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6.1-1）1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε （6.1-2） 由式(6.1-2）可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1—3） 1。

3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。

(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。

因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 （6.1—4a)或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。

弹塑性⼒学复习提纲和考试习题《弹塑性⼒学》复习提纲1. 弹性⼒学和材料⼒学在求解的问题以及求解⽅法⽅⾯的主要区别是什么？研究对象的不同：材料⼒学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远⼤于⾼度和宽度的构件。

⾮杆状结构则在弹性⼒学⾥研究研究⽅法的不同：材料⼒学⼤都引⽤⼀些关于构件的形变状态或应⼒分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性⼒学研究杆状结构⼀般不必引⽤那些假定，得到的结果⽐较精确。

并可⽤来校核材料⼒学得出的近似解。

2. 弹性⼒学有哪些基本假设？（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微⼩的3. 弹性⼒学有哪⼏组基本⽅程？试写出这些⽅程。

(1)平⾯问题的平衡微分⽅程:平⾯问题的⼏何⽅程：平⾯应⼒问题的物理⽅程：(在平⾯应⼒问题中的物理⽅程中将E换为，换为就得到平⾯应变问题的物理⽅程)(2)空间问题的平衡微分⽅程;空间问题的⼏何⽅程;空间问题的物理⽅程：4. 按照应⼒求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去应⼒分量和形变分量，导出只含位移分量的⽅程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应⼒分量。

要使得位移分量在区域⾥满⾜微分⽅程，并在边界上满⾜位移边界条件或应⼒边界条件。

(2)应⼒法是以应⼒分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应⼒分量的⽅程和边界条件，解出应⼒分量，然后再求出形变分量和位移分量。

满⾜区域⾥的平衡微分⽅程，区域⾥的相容⽅程，在边界上的应⼒边界条件，其中假设只求解全部为应⼒边界条件的问题。

5. 掌握以下概念：应⼒边界条件和位移边界条件；圣⽂南原理；平⾯应⼒与平⾯应变；逆解法与半逆解法。

位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每⼀点，位移函数u和v和应满⾜条件=，=（在上）应⼒边界条件：若在部分边界上给定了⾯⼒分量(s)和(s),则可以由边界上任⼀点微分体的平衡条件，导出应⼒与⾯⼒之间的关系式。

第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。

己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。

解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。

x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。

解：在x=()上，/=-1, m =0,X=yy Y=0（1）管的两端是自由的；应力状态为，G.= o f = pH”, G 尸o, T 疽苛％：=0 」2=：[（。

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1 一对于 Mises 屈服条件：二=贮=T ： ZZ > p = \/3-T s t/R对于Tresca 屈服条件：=> P =2T /R第二章应力例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为7,试写出边界条件。

(必)x=0* (-1)+(&)莉0 =冷 脆或(T) +(a v ).(=o o = 0 (Z )m=F (T J.V =0- 在斜边上 1= cosg m = -sinao v cosa 一 T vr sina = 0T rv cosa- o v sina = 0第四章本构关系例.一薄壁圆管，平均半径为R,壁厚为/,受内压"作用，讨论下列两种情 况：（1） 管的两端是自由的； （2）管的两端是封闭的；分别使用Mises 和Tresca 屈服条件，讨论〃多大时管子开始屈服（规定 纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises 和Tresca 中的材料常数4和人、都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有Mises 屈服条件：J 2 = T s 2■例题1 0 稣］=o 3 -4 0 求在1 I-45 _面上的法向正应力和切向剪应力丁 =/qi+"gi+〃Si =^xl-^x0+-j=x(-4) =；一2扼 | 11 3T 2=/^l2+/?/a 22+/ia 32=-xO--x3+-^xO = -- 1 | | 5V2 L=—x(-4)——x()+- — x5 = —2+m((r y )s +l(Tj s = Y(3) y = -h子=Jlf+T ；+穿一尻=—27+4 叫 2/ = 0, ni = -1'lx=0,Y=q(贝),・0 + "(+1)= 0奴),•(+i )+k)・o = o町0 + "(-1)= 0 &(-1) + &)$・0 = 0Tresca屈服条件：O）-G3=2T S(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，(5=l)R/2t9 0Q=pR", o z=0 T“=L)=T&=0J2= 7 F(a-o r)2+(a-a0)2+(a0-G.)2+6( c] + 节 + 讫)1=!; (pR心o 6 2O|-o3= % = pR/t对于Mises屈服条件：P = 2X s t/R对于Trcsca屈服条件：p = 2tj/R例.一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(q, 00=(3/, f),假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。

如何在工程力学中处理弹塑性问题？在工程力学领域，弹塑性问题是一个至关重要且复杂的研究方向。

弹塑性力学主要用于分析材料在受力过程中，从弹性阶段到塑性阶段的变形和应力分布规律，这对于确保工程结构的安全性和可靠性具有极其重要的意义。

要理解如何处理弹塑性问题，首先得清楚弹性和塑性的基本概念。

弹性阶段，材料在受到外力作用时会发生变形，一旦外力消失，材料能够完全恢复其原来的形状和尺寸，这种变形是可逆的。

而塑性阶段，材料在受力超过一定限度后，产生的变形即使外力去除也不能完全恢复，会留下永久的变形。

在实际工程中，很多材料都表现出弹塑性的特性，比如金属材料。

当对这类材料进行加工或者构建结构时，就需要准确地处理弹塑性问题，以预测其在不同载荷条件下的行为。

处理弹塑性问题的第一步是建立合适的本构模型。

本构模型用于描述材料的应力应变关系，它是分析弹塑性问题的基础。

常见的本构模型包括理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和非线性强化弹塑性模型等。

选择合适的本构模型取决于材料的性质、加载条件以及分析的精度要求。

在建立本构模型之后，就需要运用相应的数学方法来求解弹塑性问题。

有限元法是目前广泛应用的一种数值方法。

它将连续的物体离散化为有限个单元，通过对每个单元的分析，最终得到整个物体的应力和应变分布。

在有限元分析中，需要合理地划分网格，选择合适的单元类型，并确定边界条件和加载方式。

边界条件的确定在处理弹塑性问题中也非常关键。

边界条件包括位移边界条件和力边界条件。

位移边界条件规定了物体某些点的位移，而力边界条件则规定了物体某些表面所受到的力。

正确地设定边界条件能够使分析结果更符合实际情况。

加载方式同样会影响弹塑性问题的分析结果。

加载可以是静载、动载或者循环加载等。

不同的加载方式会导致材料的响应不同，因此在分析时需要根据实际情况准确地模拟加载过程。

在处理弹塑性问题时，还需要考虑材料的各向异性。

很多材料在不同方向上具有不同的力学性能，这就需要在本构模型和分析中考虑这种各向异性的特点。