2013年北京市高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共32分)一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的.1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013~2015)》中,北京市提出了总计约3960亿元的投资计划.将3960用科学记数法表示应为()A.39.6×102B.3.96×103C.3.96×104D.0.396×1042.-34的倒数是()A.43B.34C.-34D.-433.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为()A.15B.25C.35D.454.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于()A.40°B.50°C.70°D.80°5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC, CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m轴对称图形的是()6.下列图形中,是中心对称图形但不是．．7.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:时间(小时)5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时8.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()第Ⅱ卷(非选择题,共88分)二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.分解因式:ab2-4ab+4a=.10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=.11.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=-x-1,双曲线y=1x.在l上取一点A1,过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2.请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,A n,….记点A n的横坐标为a n,若a1=2,则a2=,a2013=;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不能取．．．的值是.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.14.计算:(1-√3)0+|-√2|-2cos45°+(14)-1.15.解不等式组:{3x>x-2, x+13>2x.16.已知x2-4x-1=0,求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.17.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=1BC,连结DE,CF.2(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.20.如图,AB是☉O的直径,PA,PC与☉O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.(1)求证:∠EPD=∠EDO;,求OE的长.(2)若PC=6,tan∠PDA=3421.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2013年5月18日在北京开幕.以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图第九届园博会植物花园区各花园面积分布统计图(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面积为平方千米;(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍,水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现,请估计,将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量(万人次) 单日最多接待游客量(万人次)停车位数量(个) 第七届 0.8 6 约3 000 第八届 2.3 8.2 约4 000 第九届 8(预计) 20(预计) 约10 500 第十届 1.9(预计)7.4(预计)约22.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ 的面积.图1图2小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH 交FA,GB,HC,ED 的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF, △SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图2).请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为;(2)求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S△RPQ=√3,则AD的长为.3图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为☉C的关联点.已知点D(12,12),E(0,-2),F(2√3,0).(1)当☉O的半径为1时,①在点D,E,F中,☉O的关联点是;②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是☉O的关联点,求m的取值范围;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.答案全解全析：1.B 3 960=3.96×103.故选B.2.D ∵(-34)×(-43)=1,∴-34的倒数是-43.故选D.3.C 5个小球中标号大于2的有三个,故摸出标号大于2的小球的概率是35.故选C.4.C ∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°. ∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.故选C.5.B ∵∠ABE=∠ECD=90°,∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴AB DC =BE EC,∴AB 20=2010,∴AB=40 m.故选B.6.A A 项是中心对称图形,但不是轴对称图形. B 项既是中心对称图形,又是轴对称图形. C 项不是中心对称图形,是轴对称图形.D 项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形.故选A. 7.B x =5×10+6×15+7×20+8×550=6.4(小时).故选B.8.A 考虑三个特殊点,当AP 的长为0或2时,不构成△APO;当AP 的长为1时,△APO 为边长是1的等边三角形,其面积为√34,因为14<√34<12,所以只有选项A 符合.故选A.评析 本题考查的是函数图象的变化规律,不仅考查了定性分析,还考查了定量分析,通过构造函数处理较困难,而通过寻找特殊点较容易处理.属中档题. 9.答案 a(b-2)2解析 ab 2-4ab+4a=a(b 2-4b+4)=a(b-2)2. 10.答案 x 2+1解析 抛物线即二次函数,则函数表达式应为y=ax 2+bx+c(a≠0).∵开口向上,∴a>0.∵与y 轴交于点(0,1),∴c=1.所以满足题设条件的一个抛物线的解析式为y=x 2+1,答案不唯一.11.答案 20解析 ∵AB=5,AD=12,∴AC=13,∴BO=6.5. ∵M 、O 分别为AD 、AC 的中点, CD=5,∴MO=2.5,AM=6,∴C 四边形ABOM =AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20. 12.答案 -32;-13;0,-1解析 根据题意可以得到点A 1(2,-3),点B 1(2,0.5),点A 2(-1.5,0.5),点B 2(-1.5,-23),点A 3(-13,-23),点B 3(-13,-3),点A 4(2,-3),所以A 1,A 2,A 3,…,A n ,…中,三个坐标为一个循环,A 2 013是一个循环中的最后一个,故它的横坐标与A 3的横坐标相同,为-13.当A 1的横坐标为a 1时,可以分别表示出点A 1(a 1,-a 1-1),点B 1(a 1,1a 1),点A 2(-1-1a 1,1a1),点B 2(-1-1a 1,-a 1a 1+1),点A 3(-1a1+1,-a 1a 1+1),点B 3(-1a 1+1,-a 1-1).因为操作要无限次地进行下去,所以每一个点都要有意义,即分母不为0,故a 1不能取的值是-1,0.评析 读懂题目中的操作方法是解决本题的关键,属中档题. 13.证明 ∵DE ∥AB, ∴∠BAC=∠ADE.在△ABC 和△DAE 中,{∠BAC =∠ADE ,AB =DA ,∠B =∠DAE ,∴△ABC≌△DAE. ∴BC=AE.14.解析 (1-√3)0+|-√2|-2cos 45°+(14)-1=1+√2-2×√22+4 =5.15.解析 {3x >x -2, ①x+13>2x .② 解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x<15.∴不等式组的解集为-1<x<15. 16.解析 (2x-3)2-(x+y)(x-y)-y 2=4x 2-12x+9-(x 2-y 2)-y 2=3x 2-12x+9.∵x 2-4x-1=0,∴x 2-4x=1.∴原式=3(x 2-4x)+9=12.17.解析 设每人每小时的绿化面积是x 平方米.由题意得1806x -180(6+2)x =3.解得x=2.5.经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意.答:每人每小时的绿化面积是2.5平方米.18.解析 (1)由题意,得Δ=4-4(2k-4)>0.∴k<52. (2)∵k 为正整数,∴k=1,2.当k=1时,方程x 2+2x-2=0的根x=-1±√3不是整数;当k=2时,方程x 2+2x=0的根x 1=-2,x 2=0都是整数.综上所述,k=2.19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点,AD.∴FD=12BC,∴FD=CE.∵CE=12∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)如图,过点D作DG⊥CE于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中,∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2√3.BC=3,∴GE=1.∵CE=12在Rt△DGE中,∠DGE=90°,∴DE=√DG2+GE2=√13.20.解析(1)证明:∵PA、PC与☉O分别相切于点A、C, ∴PA=PC,∠APO=∠EPD.∵AB是☉O的直径,∴PA⊥AB.∵DE⊥PO,∴∠A=∠E=90°.∵∠POA=∠DOE,∴∠APO=∠EDO.∴∠EPD=∠EDO.(2)连结OC,则OC⊥PD.在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA=34, 可得AD=8,PD=10.∴CD=4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC=34, 可得OC=3,OD=5.在Rt△PCO中,由勾股定理得,PO=3√5.可证得Rt△DEO∽Rt△PCO.∴OEOC =ODOP,即OE3=3√5.∴OE=√5.21.解析(1)0.03.(2)补全条形统计图如下图.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图(3)3 600,3 700,3 800,3 900其中之一.评析 处理本题的关键是看清扇形图和条形图之间的关系,再按照题目要求逐一解决.属中档题.22.解析 (1)a.(2)由(1)可知,由△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 拼成的新正方形的面积与正方形ABCD 的面积相等.∴△RAE,△SBF,△TCG,△WDH 这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方形MNPQ 的面积.∵AE=BF=CG=DH=1,∴正方形MNPQ 的面积S=4×12×1×1=2.AD 的长为23.23.解析 (1)当x=0时,y=-2.∴点A 的坐标为(0,-2).将y=mx 2-2mx-2配方,得y=m(x-1)2-m-2.∴抛物线的对称轴为直线x=1.∴点B 的坐标为(1,0).(2)由题意得点A 关于直线x=1的对称点的坐标为(2,-2).设直线l 的解析式为y=kx+b.∵点(1,0)和(2,-2)在直线l 上,∴{0=k +b ,-2=2k +b .解得{k =-2,b =2.∴直线l 的解析式为y=-2x+2.(3)由题意可知,抛物线关于直线x=1对称,直线AB 和直线l 也关于直线x=1对称. ∵抛物线在2<x<3这一段位于直线AB 的下方,∴抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.又∵抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,∴抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.∴由直线l的解析式y=-2x+2可得这个点的坐标为(-1,4).∵抛物线y=mx2-2mx-2经过点(-1,4),∴m=2.∴所求抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.评析本题考查了一次函数、二次函数的综合运用,充分考查了二次函数图象的对称性,有一定难度.24.解析(1)∠ABD=30°-1α.2(2)△ABE为等边三角形.证明:连结AD,CD.∵∠DBC=60°,BD=BC,∴△BDC是等边三角形,∴∠BDC=60°,BD=DC.又∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=150°.∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠EBC.又∵BD=BC,∠ADB=∠ECB=150°,∴△ABD≌△EBC.∴AB=EB.∴△ABE是等边三角形.(3)∵△BDC是等边三角形,∴∠BCD=60°.∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°.又∵∠DEC=45°,∴CE=CD=BC.∴∠EBC=15°.,∴α=30°.∵∠EBC=∠ABD=30°-α2评析本题考查了全等三角形、等边三角形、等腰三角形的相关知识,正确地构造全等三角形是解决本题的关键.属中等偏难题.25.解析(1)①D,E.②当OP=2时,过点P向☉O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB=60°.∴点P为☉O的关联点.事实上,当0≤OP≤2时,点P是☉O的关联点;当OP>2时,点P不是☉O的关联点.∵F(2√3,0),且∠GFO=30°,∴∠OGF=60°,OF=2√3,OG=2.如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆与l的另一个交点为M.当点P在线段GM上时,OP≤2,点P是☉O的关联点;当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP>2,点P不是☉O的关联点.连结OM,可知△GOM为等边三角形.过点M作MN⊥x轴于点N,可得∠MON=30°,ON=√3.∴0≤m≤√3.(2)设该圆圆心为C.根据②可得,若点P是☉C的关联点,则0≤PC≤2r.由题意知,点E,F都是☉C的关联点,∴EC≤2r,FC≤2r.∴EC+FC≤4r.又∵EC+FC≥EF(当点C在线段EF上时,等号成立),∴4r≥EF.∵E(0,-2),F(2√3,0),∴EF=4.∴r≥1.事实上,当点C是EF的中点时,对所有r≥1的☉C,线段EF上的所有点都是☉C的关联点. 综上所述,r≥1.评析本题定义了坐标系中圆的关联点,需要对圆的相关知识熟练掌握,并通过画图观察,找到临界状态,再逐一进行验证.本题充分考查了学生的综合能力,难度较大.。
