高一数学向量法

2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。

高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。

一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。

我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

例如，力、速度、位移等都是向量。

二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。

向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。

2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。

三、向量的模向量的模就是向量的长度。

若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。

例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。

四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。

零向量的方向是任意的。

五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。

单位向量的方向不一定相同。

对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。

六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。

七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。

八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。

高一数学知识点总结归纳【高中数学知识点总结】Part11.平面向量（1）向量的概念向量是有大小和方向的量，用带箭头的小写字母来表示。

（2）向量的表示向量可以用坐标表示，例如：（4，5），也可以用平面直角坐标系中的有向线段来表示。

（3）向量的运算向量加法：向量之间的加法满足“平行四边形法则”和“三角形法则”。

向量的数乘：一个向量与一个实数的积仍是一个向量。

如果k为正数，则向量的长度变为原来的k倍，并且方向不变；如果k为负数，则向量的长度变成原来的|k|倍，并且方向相反。

（4）向量的模长公式若向量u=（x1，y1）,则它的模长为：|u|=√(x1²+y1²) （5）向量的数量积向量u和向量v的数量积的结果是一个实数，用u·v表示。

u·v=|u|·|v|·cosθ（其中θ是u和v之间的夹角）（6）向量的叉积叉积是满足反对称性的二元运算，用u×v表示。

u×v结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

（7）共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量，否则它们是不共线向量。

2.直线方程与平面方程（1）点斜式直线的一般式方程为：ax + by + c = 0 （其中a, b, c 是实数，且a²+b²≠0）当一条直线的斜率为k，过点（x1，y1）时，该直线方程为：y-y1=k(x-x1)（2）两点式直线的两点式方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) （3）截距式直线的截距式方程为：y=kx+b （其中k, b是实数，且k≠0）（4）平面方程平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0（其中A, B, C, D是实数，且A²+B²+C²≠0）平面的点法式方程为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（其中（x0，y0，z0）是平面上的一个点，（A, B, C）是平面的法向量）3.函数（1）函数的概念函数是一种映射关系，把一个自变量的值唯一对应到一个因变量的值上。

高一数学向量知识点顺口溜向量概念很重要，
方向和大小要记牢。

平行相等要牢记，
共线、共面别忽略。

零向量无方向，
平行四边形很明显。

共线向量线性相关，
线性无关要理解。

加法满足交换律，
减法通过加法得。

数乘向量变大小，
相同方向别混乱。

单位向量长度为一，
平移不改变方向。

满足平行四边形定理，基底和分解要掌握。

向量的夹角不难求，点乘和夹角相似。

夹角余弦求得快，
夹角垂直齐事宜。

向量积的定义要牢，平行四边形面积易。

点乘积为标量结果，投影长度别忘记。

叉乘积确定方向，
模长为面积结果。

平行、垂直掌握好，
左手定则要注意。

空间解析几何中，
向量表达更方便。

坐标点和向量转换，方向比大小更进步。

高一数学向量知识点，记住顺口溜最要紧。

理解掌握用心良，
数学学习更得力。

带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=⎧⎨=⎩n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==||||l nl n ．注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos <n ,n >=1212|n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离问题重要公式． 四、法向量的具体应用例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小． 解：（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -由题意有1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,,022CM CA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为n{}111,,x y z =， 则11110102y z y z +=⎧-=，取11x =，得{=n （正方向）， 平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m （正方向），设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7θ-==⋅m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，故二面角M AC B --． 评注：设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n （如右图所示）方向为正方向，穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角，由公式121212cos ,||||<>=n n n n n n 便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则12,<>n n 即为所求二面角的补角．例2如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； 解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．11x易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量．因为OC 0=n ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则AB 0=m ，BC 0=m 得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）． 显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）． 所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，而12cos ,2++<>===⨯m l m l m l ， 所以二面角1B AC A --的大小是30︒．评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．。

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

9.2.1 向量的加减法知识点一、向量加法运算1.向量加法：已知向量和，如图所示，在平面内任取一点O，作，则向量就是向量与的和，即.这种通过几何作图构造三角形计算向量加法也叫做向量加法的三角形法则.规定：.2.向量加法的平行四边形法则如图所示，以点A为起点分别作向量，以AB、AD为邻边作，则以A 为起点的对角线表示的向量就是与的和，记作.3.向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，即.特别地，当与重合时，即形成一个封闭的多边形，此时有.4.向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：.5.向量的三角不等式（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，有；（3）当反向且共线时，若，则与；若，则与同向，.例：如图，正方形ABCD 的边长为1，则|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|＝（ ）A ．0B ．√2C ．2D ．2√2【分析】先化简可得|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|，再将|AC →+BD →|平方后计算即可得解． 【解答】解：|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC →⊥BD →，即AC →⋅BD →=0，由正方形的性质可知，对角线|AC|=|BD|=√1+1=√2， ∴|AC →+BD →|2=AC →2+2AC →⋅BD →+BD →2=2+2=4， ∴|AC →+BD →|=2． 故选：C ．【点评】本题考查平面向量的加法，模长的计算，同时还涉及了两向量垂直的性质，属于基础题． 知识点二、向量减法1. 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－. （1）零向量的相反向量仍是零向量； （2）若互为相反向量，则有.2. 向量减法：若，则向量就叫做与的差，记作.两个向量的差仍是一个向量.3. 对向量减法的理解（1）两个向量的与的差可以理解为与的相反向量的和，即；（2）已知向量与，如图所示，在平面内任取一点O ，作，则.方法：把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量.（共起点，连终点，指向被减）. 例：化简AC →−AB →=（ ） A ．BC →B ．CA →C ．CB →D ．0→【分析】根据向量减法的几何意义即可得出AC →−AB →=BC →． 【解答】解：AC →−AB →=BC →． 故选：A ．【点评】考查向量减法的几何意义．巩固练习一．选择题（共7小题）1．在△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=（ ） A ．56AC →+23AB →B ．−16AC →+23AB →C ．56AC →+AB →D ．−56AC →+43AB →【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可． 【解答】解：如图：∵△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=DA →+AE →=−12AC →+AB →+BE →=−12AC →+AB →+13BC →=−12AC →+AB →+13（AC →−AB →）=−16AC →+23AB →； 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是向量加减运算及数乘运算的几何意义，向量加法和向量减法的三角形法则． 2．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →=（ ）A ．AC →−AD →B ．2AC →−2AD →C ．AD →−AC →D ．2AD →−2AC →【分析】根据条件可得出CD ∥AB ，AB ＝2CD ，从而得出AB →=2CD →=2AD →−2AC →． 【解答】解：∵C ，D 是半圆弧的两个三等分点， ∴CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，∴AB →=2CD →=2(AD →−AC →)=2AD →−2AC →． 故选：D ．【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点，设向量BC →=a →，BA →=b →，则CF →=（ ）A ．−14a →+32b →B ．34a →+32b →C ．−34a →+54b →D ．14a →+54b →【分析】由条件可得BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，然后根据CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →可进一步将CF →用BC →和BA →表示．【解答】解：连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点， ∴BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，∴CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →=−BC →+BA →+14BD →=−BC →+BA →+14(BC →+BA →)=−34BC →+54BA →．∵向量BC →=a →，BA →=b →，∴CF →=−34a →+54b →．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量基本定理和向量的运算，考查了运算能力，属基础题． 4．如图，△ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG →=（ ）A ．12AB →+12AC →B ．13AB →+23AC →C ．13AB →+13AC →D ．23AB →+13AC →【分析】根据题意即可知道，G 为△ABC 的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出AG →=13AB →+13AC →．【解答】解：据题意得，G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AE →=13AB →+13AC →．故选：C ．【点评】考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义．5．△ABC 所在平面上一点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，则△P AB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A ．2：3B ．1：3C ．1：4D ．1：6【分析】如图所示，由于点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，可得PA →+PC →=AB →−PB →=AP →，化为PC →=2AP →．即可得到△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AB ． 【解答】解：如图所示，∵点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →， ∴PA →+PC →=AB →−PB →=AP →， ∴PC →=2AP →．∴△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AC ＝1：3． 故选：B ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于中档题．6．在△ABC 中，AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．23b →+13c →B ．12b →+12c →C ．13b →+23c →D ．13b →+43c →【分析】由AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，代入化简即可得出．【解答】解：∵AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，∴AD →=23AB →+13AC →=23c →+13b →，故选：C ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AB →+AC →=AD →B ．AB →−AC →=BC →C ．AB →+DC →=AD →D ．AB →−DC →=BC →【分析】利用平面向量的三角形法则对选项分别分析选择． 【解答】解：由已知及图形得到AB →+AC →=2AD →，故A 错误； AB →−AC →=CB →；故B 错误；AB →+DC →=AB →+BD →=AD →；故C 正确； AB →−DC →=AB →−BD →≠BC →故D 错误； 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的运用；注意向量的起点与终点位置；属于基础题． 二．多选题（共3小题）8．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB →=DC →B ．AD →+AB →=AC →C ．AB →−AD →=BD →D ．AD →+CB →=0→【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A 和D 答案，B 符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，根据向量的减法法则知AB →−AD →=DB →， 所以结论中错误的是C ． ABD 均正确． 故选：ABD ．【点评】数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB →+AD →=AC →B ．AC →+CD →+DO →=OA →C ．AB →+AD →+CD →=AD →D ．AC →+BA →+DA →=0【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项的正误．【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知AB →+AD →=AC →，∴A 正确； AC →+CD →+DO →=AO →，∴B 错误；AB →+AD →+CD →=AC →+CD →=AD →，∴C 正确； AC →+BA →+DA →=BC →+DA →=0→，∴D 错误． 故选：AC ．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →−AC →=12AB →B ．AB →+BC →+CD →+DA →=0→C ．|OA →+2OD →|=0D ．OA →=23DC →+13DB →【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果． 【解答】解：如图所示：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，所以：对于选项A ：AD →−AC →=CD →=12AB →，故选项A 正确．对于选项B ：利用向量的线性运算AB →+BC →+CD →+DA →=0→．故选项B 正确． 对于选项C ：由于DO AO=12，所以OA →+2OD →=0→，故|OA →+2OD →|=|0→|=0，故选项C 正确．对于选项D ：OA →=23DA →=23(DC →+CA →)=23(DB →+2DC →)=23DB →+43DC →，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 三．填空题（共4小题）11．在矩形ABCD 中，|AB →|＝2，|BC →|＝4，则|CB →+CA →−DC →|＝ 4√5 ．【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则即可得出CB →+CD →=CA →，从而得出CB →+CA →−DC →=CB →+CD →+CA →=2CA →，在R t △ABC 中，根据条件可求出|CA →|=2√5，从而可求出|CB →+CA →−DC →|=4√5． 【解答】解：如图，CA →=CB →+CD →；∴CB →+CA →−DC →=CB →+CB →+CD →+CD →=2(CB →+CD →)=2CA →； ∵|AB →|=2，|BC →|=4； ∴|CA →|=√20=2√5；∴|CB →+CA →−DC →|=2|CA →|=4√5． 故答案为：4√5．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及勾股定理． 12．计算 4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →= a →+6b →． 【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →=（4﹣3）a →+（4+3﹣1）b →=a →+6b →， 故答案为：a →+6b →【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题 13．AB →+DA →+BD →−BC →−CA →= AB →．【分析】首先利用平面向量的三角形法则，将各向量的顺序调整为首尾相连，然后进行运算即可． 【解答】解：AB →+DA →+BD →−BC →−CA →=AB →+BD →+DA →−(BC →+CA →)=0→−BA →=AB →； 故答案为：AB →．【点评】本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．14．已知OM →=23OA →+13OB →，则AM →= 13AB →．【分析】设AM →=k AB →，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k ．【解答】解：设AM →=k AB →， 则OM →−OA →=k(OB →−OA →)，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k =13，∴AM →=13AB →． 故答案为：13．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四．解答题（共4小题）15．如图，已知向量a →，b →，请化简并求作出向量：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）．【分析】根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可．【解答】解：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）＝3a →−2b →−2a →−b →=a →−3b →． 作出向量（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）如下图：【点评】本题考查平面向量的线性运算．16．计算下列各式：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →； （3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）．【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）=6a →−3b →−8a →+6b →=−2a →+3b →；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →=43a →+b →−32a →+12b →−32b →=−16a →； （3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）=6a →−8b →+2c →−6a →−3b →+9c →=−11b →+11c →．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．17．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ，证明：c +a −b =OB →．【分析】利用平行四边形ABCD 的性质找出相等的向量，再利用向量的运算性质：MN →+BP →=MP →和 MN →=−NM →，化简等式的左边．【解答】解：∵O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ， ∴c →+a →−b →=OD →+AB →+CB →=OD →+DC →+CB →=OC →+CB →=OB →，∴c +a −b =OB → 成立．【点评】本题考查2个向量加减法的混合运算及其集合意义，注意利用：MN →+BP →=MP → 和 MN →=−NM →．18．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →=a →，AC →=b →，试用a →，b →表示向量AO →．【分析】延长AO 交BC 于点E ，利用重心定理及其向量的平行四边形法则可得：点E 为BC 的中点，AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)，即可得出． 【解答】解：延长AO 交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点．∴AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)． ∴AO →=23×12×(a →+b →)=13a →+13b →． 【点评】熟练掌握重心定理及其向量的平行四边形法则是解题的关键．。

高一下数学投影向量知识点投影向量是高中数学中的一个重要概念。

在几何学中，投影指的是将一个向量投射到另一个向量上的过程。

而投影向量则是由这个过程得到的向量。

在数学上，我们可以利用向量的投影来解决各种问题。

下面，我们将探讨一些高一下学期的数学中常见的投影向量知识点。

一、向量的定义与运算首先，我们需要了解向量的基本概念与运算。

向量可以表示为有方向和大小的量，通常用箭头表示。

例如，向量AB可以记作→AB。

在向量的运算中，我们可以进行加法、减法和数乘操作。

向量的加法满足交换律和结合律；向量的减法可以通过取负和加法来实现；数乘操作即将向量的大小乘以一个实数。

二、向量的模与方向角向量的模指的是向量的长度，记作|→AB|或AB。

在二维空间中，向量的模可以通过勾股定理求得。

而在三维空间中，向量的模可以通过勾股定理的拓展形式计算。

另外，向量的方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。

三、向量的投影接下来，我们来介绍向量的投影概念。

给定两个非零向量→a和→b，我们可以将向量→a在→b上投影，得到一个新的向量→p。

投影向量→p的大小等于向量→a在→b上的投影长度，方向与→b相同。

投影向量可以用几何和代数的方法进行求解。

几何方法中常用的是正投影和斜投影，而代数方法中常用向量的数量积进行求解。

例如，待求投影向量→p的大小可以通过将→a与→b的数量积除以→b的模求得。

四、向量的正交与平行正交和平行是向量中的重要性质。

两个向量正交指的是它们的夹角等于90度。

两个向量平行指的是它们的方向相同或相反。

当两个向量正交时，它们的数量积为0；当两个向量平行时，它们的向量积为0。

五、向量的垂直分解与单位向量向量的垂直分解是指将一个向量投射到两个相互垂直的向量上的过程。

给定一个向量→a和两个相互垂直的单位向量→u和→v，我们可以将向量→a分解为两个分量，分别在→u和→v方向上。

垂直分解可以通过向量的投影运算实现。

单位向量是指模为1的向量，我们可以通过将向量除以其模得到单位向量。

第五章知识点回顾一、本章知识1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.3.向量的运算 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的 减法 三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时，0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时，1212a b x x y y •=+a b b a •=•()()()a b a b a b λλλ•=•=•()a b c a c b c +•=•+•2222||||=a a a x y =+即||||||a b a b •≤4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+ 二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。