【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练：2.3.2 等差数列的前n项和(习题课)

数学•必修5(人教A版)3. 2 一元二次不等式及其解法3.2.2含参数的一元二次不等式的解法&课时视a»基础达标1.不等式羊<0的解集为()A・(一l，0)U(0, 4-oo)B・(一8, -1)U(O,1)c. (-1,0)D・(一8, —1)答案：D2.设m+n>0,则关于x的不等式(/w—x)(n+x)>0的解是( )A. xV—〃或B・—M V X V/HC・x<—m或解析：方程(加一兀)(〃+兀)=0的两根为m9—V/w+n>0, 结合函数y=(zw —x)(n +x)的图象，得原不等式的解是一"VxV/n•故选B・答案:B3・已知2a+l<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A・{兀氏<5仇或兀〉一a} B・{x\x>5a或xV —a}解析：方程x2—4ax—5a2=0的两根为一a f5a fT 2a+1 VO, .I aV—㊁./. —a>5a f结合y=x1—4ax—5a2的图象，得原不等式的解集是{x|x<5«或x>—・故选A.答案:A4.不等式x2+mx+y>0恒成立的条件是_____________答案：0<m<25.若函数yjkx2-6kx+(k+8)(k为常数)的定义域为R,贝！H的取值范围是解析：函数丁=寸*兀2_6也+(&+8)的定义域为R,即kx—6kx +仏+8)$0对一切xeR恒成立.当氐=0时，显然8>0恒成立；当A>0, 仏>0,AHO时，则％满足一即2 .〔/W0, 〔36疋一4何*+8)00・解之得OvkWl,所以佥的取值范围是[0,1]・答案：[0,1]A巩固提高6.2则不等式ax2+bx+c>0的解集是___________ ・解析：从表中取三组数据(一1, —4)、(0, 一6)、(1, —6)分别代a—b+c=—4,入函数表达式得< c=—6,、a+b+c=—6,解得\b=-l9、c=_6・二次函数表达式为y=x2—x—6・由X2—X—6>0 得(X—3)(x4-2)>0,/.x<—2 或x>3・答案：{x\x<—2或x>3}7.关于x的不等式x(x-a2~l)^0的解集是_____________ ・解析：方程x(x—a2—1)=0的两根为0, a2+l,且/+1>0,故不等式x(x—a2—l)W0的解集是{x|0WxW/+i}.答案：{x|0WxW/+l}X — (L8.若关于x的不等式吊>0的解集为(一8, -1)U(4, +oo),则实数a= ________ ・x—Cl解析：注意到x+］等价于(X—a)(x+l)>0,而解集为x< —1或x>4,从而a=4.答案:49.已知实数“满足不等式一3VaV3,解关于兀的不等式：(X—a)(x+l)> 0.解析：方程(X—a)(x+l)=0的两根为一1,么①当aV —1即一3VaV — 1时，原不等式的解集为{x\x<Za或x > —1}；②当a= — l时，原不等式的解集为{xk^R且xHl}；③当a> —1即一lVaV3时，原不等式的解集为{x\x< —l或x>a}・10・解关于x的不等式：X2—(a+«2)x+a3>0(a>0)・解析：将不等式X2-(a+a2)x+a3>0 变形为(x-a)(x_a2)>0, 当OVaVl时，有a>a ,所以不等式的解集为{x\x<a2或x>a}; 当a=l 时，a=a=l,所以不等式的解集为{xtr^R,且xHl}; 当a>l时，有a<a2,所以不等式的解集为{x\x<a或x>/}.1.解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类•分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之.在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象.强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值，是解决此类问题的关键.2.分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因是什么.一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式进行讨论，最后对根的大小进行讨论.。

2．1.2 分层抽样基础达标1．一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( ) A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法 D．系统抽样法答案：D2．(2013·新课标Ⅰ卷)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析：结合三种抽样的特点及抽样要求求解．由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．答案：C3．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，……，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300住第一营区，从301到495住第二营区，从496～600住第三营区，这三个营区被抽中的人数依次为( )A．26、16、8 B．25、17、8C．25、16、9 D．24、17、9答案：B4．某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽三年级的学生( ) A．80人 B．40人C．60人 D．20人答案：B5．某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n＝__________.答案：360巩固提升6．用系统抽样方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组抽出的号码为126，则第1组用抽签法确定的号码为________．答案：67．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是( )A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D．将总体分成几层，然后在各层按照比例抽取答案：C8．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．答案：150 人9．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个； (2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个； (4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．分析：应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题． 解析：(1)总体容量较小，用抽签法． ①将30个篮球编号，编号为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签； ③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌； ④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法． ①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含30030＝10(个)个体；②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本．1．分层抽样的步骤：(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分．(2)按比例确定每层抽取个体的个数．(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取．(4)综合每层抽样，组成样本．2．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较：。

第2章数列2.3等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1. 下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2= ac,则a, b, c成等比数列；③2b= a+c,则a, b, c成等差数列；④任意两项都有等比中项.正确的有（）A. 0个B. 1个C . 2个D. 3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a, b, c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负.所以只有③正确.答案：B2. 在等比数列｛a*｝中，a i = 8, a4= 64,则a3等于（）A. 16B. 16 或—16C. 32 D . 32 或—32解析：因为a4= a“q3= 8 q3= 64,所以q3= 8, q= 2. 所以a3= a1q2= 8X 22= 32.答案：C3. 等比数列x, 3x+ 3, 6x+ 6,…的第四项等于（）A24 B. 0 C. 12 D. 24解析：由(3x + 3)2= x(6x + 6)? x=—3(x= —1 舍去).该数列为—3, —6,—12,—24,…答案：A4. ｛a n｝是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为()①｛a2｝也是等比数列；②｛ca n｝(c z0)也是等比数列；③??也是等比数列；④｛In a n｝也是等比数列.L.a nJA. 4个B. 3个C . 2个D. 1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真.答案：B5. 已知等差数列｛a n｝的公差为3,若a1, a3, a4成等比数列，则a2等于()A . 9B . 3 C. —3 D. —9解析：a1 = a2—3, a3 = a2+ 3, a4= a2 + 3x 2 = a2 + 6,由于a1, a3, a4成等比数列，贝y a = a“a4,所以(a2 + 3)2= (a2 —3)(a2 + 6)，解得a2 = —9.答案：D二、填空题6 .等差数列｛a n｝的首项为a1 = 1, a1, a2, a§成等比数列，则d=解析：因为a1, a2, a5成等比数列. 所以a2 = a“a5，即(a“ + d)2= a^ + 4d).所以(1 + d)2= 1+4d・所以d= 0或d=2.答案：0或27.在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是_____________ .解析：由条件得，768= 6X q7,解得q= 2.所以a6= 6 X 25= 192.答案：佃28 .某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的____________ 倍.解析：设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则a n+1 = a n + a n • 25% = 1.25a n.则也=1.25•则数列｛a n｝是公式q= 1.25的等比数列.a n贝U a10= a1q9= 1.259m.所以a10= 1.259.a1答案：1.259三、解答题9. 在等比数列｛a n｝中：1(1) 已知a3 + a6= 36, a4+ a7 = 18, a n= 2，求n；(2) a5 = 8, a7 = 2, a n>0 ,求a n.解：(1)法一：因为a3 + a6=36, a°+ a?= 18.所以a1q2+ a1q5= 36,①a“q3+ a“q6= 18,②② 1 1 1①得q=；,所以；a1 + 3；a1 = 36,所以a“ = 128,10. 已知｛a n ｝是首项为19,公差为一2的等差数列，S n 为｛a n ｝的前 n 项和.(1) 求通项公式a n 及S n ；(2) 设｛b n — a n ｝是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛b n ｝的通 项公式.解：⑴因为｛a n ｝是首项为19,公差为—2的等差数列,所以 a n =佃一2(n — 1) = — 2n + 21,即 a n = — 2n + 21,即 S n = — n 2 + 20n.而 a n =a i q 1, 所以；=128X 所以n =9. 法二： 因为 a 4+ a 7 = a 3q + a 6q = (a 3 + a 6)q, 所以 a 4 + a 7 18 1 古 一 3、 q = a 3 + a 6 = 36=2,而比 + a 6= a 3(1 + q )・所以a 3+ a 6 36 “ a 3 = 3 == 32. 3 1+q 3 1+1 因为 1 MF 3 a n = a 3q n —3,所以；=32 勺•所以 n = 9.(2)因为 a 51又a n >0，所以q = 2. n (n —1)(—2) = — n 2 + 20n ,⑵因为｛b n —a n｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以b n —a*n—1即bi = 3n—1+ a n= 3n—1—2n+ 21.B级能力提升一、选择题11. 已知｛a n｝是等比数列，且a n>0, a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 25,那么a3+ a5的值等于（）A. 5B. 10C. 15D. 20解析：a2a4 = a2, a4“ = a5，故得何 + a5)2= 25,又a n>0,所以a3 + a5= 5.答案：A12. 设｛a n｝是由正数组成的等比数列，且a5 • a6= 81,则I OM + Iog3a2+…+ log3a10的值是()A. 5B. 10C. 20D. 40解析：I OM + 1。

1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0}【解析】 因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }， 又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】 由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a . 由0<a<b<1知0<ab <1.∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a b a <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C.也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12. 【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】 对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2， ∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2，由题意知3≤a 2，∴a ≥6.∴a 的取值范围是a ≥6.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44， y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A. 【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】 因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎨⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎨⎧a<12a>0， 即a ∈(0，12)．故选A. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】 依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0. ∴a －1a ＝0，即a 2＝1. 又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a <⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－2x (a>0且a ≠1)． 【解析】 原不等式可以化为a2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34； 当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34. 综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋174， 则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明． 【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x ＋3x＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增， 即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

数学·必修1(人教A版)1.1.3集合的基本运算►基础达标1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}答案：B2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3} ，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}答案：D3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：D4．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，集合M ＝{}1，4，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}解析：∁U M ＝{}2，3，5，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝{}1，3，5∩{}2，3，5＝{}3，5.答案：C 5．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8}解析：因为N ＝{x |x 是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M ∩N ＝{}2，4，8，选C.答案：C6．设集合M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝M D ．M ∪N ＝R解析：画数轴表示集合：∴M ∩N ＝M . 答案：B►巩固提高7．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个解析：A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，则集合B 中必有元素3，即此题可转化为求集合A ＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有22＝4个，故选择答案C.答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．2⊆{x |x ≤2}B ．{x |y ＝x ＋1}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}C ．{x |x ＝4k ±1，k ∈Z}≠{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}D ．{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z}＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z}答案：D9．已知A ＝{2,5}，B ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，A ∪B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求p 、q 的值．分析：由A ∪B ＝A 知B ⊆A .又A ∩B ＝{5}，可判断出B 中的元素，解出p 、q .解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又A ∩B ＝{5}，且A ＝{2,5}， ∴5∈B ，且2∈/B ，∴B ＝{5}． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 25＋5p ＋q ＝0，p 2－4q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25.10．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值．解析：∵∁U A ＝{5}，∴5∈U ，且5∉A . ∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5， 这时A ＝{3,2}，U ＝{2,3,5}． 满足∁U A ＝{5}适合题意，∴a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，这时A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，A U . ∴a ＝－4不合题意，舍去． 综上可知：a ＝2.1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．2．集合并、交、补运算有下列运算特征：(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(3)A∩B⊆(A∪B)；(3)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B.1.1.4 集合的综合问题。

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一 不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a.2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞nb. 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b)＝a 2b －b ＋b2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a≠b ， 所以(a －b)2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0， 所以⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b)＞0，即a 2b ＋b2a ＞a ＋b.归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值； (2)设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[x ＋∞)，求函数f(x)的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0， 所以y ＝x(8－3x)＝13×3x ·(8－3x)≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163.(2)f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f(x)取最小值． 此时f(x)min ＝22－1.专题二 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的求解流程如下： 一化——化二次项系数为正数． 二判——判断对应方程的根． 三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象． 五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x(x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0； 由②得(x ＋3)(x －1)≤0， 所以－3≤x≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤ x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1.②当a ＜1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝a a －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解； 若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2.综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a(x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f(x)的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1， 所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)． 由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)， 所以f(1－a)＜f(a 2－1)． 又f(x)在(－1，1)上是减函数， 所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是(0，1)． 专题三 简单的线性规划问题 线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤14.x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝⎛⎭⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43， 因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A专题四 成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围． 解：设f(x)＝|x －4|＋|x －3|，依题意f(x)的最小值小于a.又f(x)＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x≤4)．故f(x)的最小值为1，所以a ＞0.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．归纳升华1．(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.2．(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ； (2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D. [变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1， 故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．。

第二章 2.5 第2课时一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n －1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.[答案] 130[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130.三、解答题9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n－1的前n 项和．[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2，当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1， ① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得：S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a.又1－a ≠0，所以S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2. 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.一、选择题1．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( )A ．315B ．325C ．6D ．7[答案] A [解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝(a 2＋a 22)＋(a 5＋a 17)(b 8＋b 16)＋(b 10＋b 12)＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11 ＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315. 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830[答案] D[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1830.3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0 B ． 2 C ．－ 2 D ．1 [答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1，a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1，同理，a 5＝1，a 6＝－1， a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1， ∴S 12＝0.4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( )A ．22n －23B ．22n ＋1－23C ．2n －23D ．2n ＋1－23[答案] B[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ， ∴a n ＝n .∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23.二、填空题5．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22，f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6) ＝12[(f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6) ]＋f (－5))＝12×12×(f (0)＋f (1))＝3 2.6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________. [答案] 34(3n －1)－n2[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.8．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1. 两式相减得T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝23(1－2n－1)1－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.。

A 级 基础巩固一、选择题1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C2．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 答案：A3．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1，1，2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979解析：由题意可得a 1＝1，设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，所以q 2－2q ＝0， 因为q ≠0，所以q ＝2，所以d ＝－1， 所以a n ＝2n －1，b n ＝(n －1)(－1)＝1－n ， 所以c n ＝2n －1＋1－n ， 设数列c n 的前n 项和为S n ， 所以S 10＝978. 答案：A4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：设该等比数列的项数为2n ， 依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇． 因为S 偶＝2S 奇，所以q ＝2.又a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24， 所以2n －1＝8＝23，所以n －1＝3， 解得n ＝4，所以2n ＝8.答案：C5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1D.14(3n－1) 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *， 当n ≥2时，有a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， 所以当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，所以a n ＝2·3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n －1)． 答案：B 二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数，则它的前n 项和S n ＝________．解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，所以S n ＝1－4n ＋121－4＋（n －1）×32＋n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12·4＝2n ＋1－13＋n 2－n 2；(2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，所以S n ＝1－4n 21－4＋n 2×3＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－12×4＝2n －13＋n 2＋n 2.答案：⎩⎨⎧2n ＋1－13＋n 2－n2，n 为奇数，2n －13＋n 2＋n2，n 为偶数 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝40，S 20＝120，则S 30＝________． 解析：由等比数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，所以S 30－S 20＝（S 20－S 10）2S 10＝（120－40）240＝160，所以S 30＝280. 答案：2808．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝a －3n ＋1，则a 的值为________． 解析：若数列{a n }是等比数列，则它的前n 项和公式为S n ＝A －Aq n ，其中A ＝a 11－q ，而此数列S n ＝a －3×3n ，故a ＝3. 答案：3 三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1， 即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2. 又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2， 即b n ＝2n －2n，所以b n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2n ，n ≥2.10．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.所以{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1， 又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， 所以1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…)． (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . 因为c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n ）1－3＝2×（n ＋1）n2－n ＋3n －12＝n 2＋3n－12. 即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.B 级 能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n （1＋n ）2.由题意知，N >100，令n （1＋n ）2＞100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×（1＋29）2＋5＝440.答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，所以q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12(－2)n －1，所以|a n |＝2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n－12.答案：2n －123．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3， 即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3， 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1， 又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（2n－1）2－1－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2所以T n ＝3n ·2n ＋2.。

模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( )A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝bsin A a ＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°.答案：C3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( )A ．667B ．668C ．669D ．673解析：因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2.因为a n ＝2 017，所以n ＝673.答案：D4．若集合M ＝{x|x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M∩N ＝( ) A ．{x|x ＜－2} B ．{x|2＜x ＜3}C ．{x|x ＜－2或x ＞3}D ．{x|x ＞3} 解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x|x 2＞4}＝{x|x ＜－2或x ＞2}．又3－x x ＋1＞0，得－1＜x ＜3， 所以N ＝{x|－1＜x ＜3}；所以M∩N ＝{x|x ＜－2或x ＞2}∩{x|－1＜x ＜3}＝{x|2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( )A ．16B ．32C ．48D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D.答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若acos B ＝bcos A ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析：因为a sin A ＝b sin B＝2R ， 即a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，所以acos B ＝bcos A 变形得：sin Acos B ＝sin Bcos A ，整理得：sin Acos B －cos Asin B ＝sin(A －B)＝0.又A 和B 都为三角形的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 为等腰三角形．答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤2，y ≤3，x ＋y≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋6d)，整理得2a 1＋3d ＝0.①又因为S 8＝8a 1＋562d ＝32， 整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，故选C. 答案：C9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1，2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎫n －43 B ．n ⎝⎛⎭⎫n －34 C ．n ⎝⎛⎭⎫n －23 D ．n ⎝⎛⎭⎫n －12 解析：因为P n P n ＋1＝(1，2)，(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，a n ＋1－a n ＝2，公差为d ＝2.所以a 1＋2(a 1＋2)＝3，3a 1＋1＝0，a 1＝－13， 所以S n ＝n ⎝⎛⎭⎫－13＋n （n －1）2·2 所以S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n －43. 答案：A10．已知{a n }为等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14解析：S 5＝5a 1＋5×42d ＝55，所以d ＝－2. 所以a 2＝15－2＝13，a 4＝13－6＝9，所以P(3，13)，Q(4，9)，所以K PQ ＝9－134－3＝－4. 答案：C11．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 解析：因为x ＋3y ＝5xy ，所以15y ＋35x＝1. 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·1＝(3x ＋4y)·⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 答案：C 12．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b.若x ，y 满足不等式|x|＋|y|≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：因为a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b ，所以a·b ＝2(x ＋z)＋3(y －z)＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，所以当2x ＋3y －z ＝0过点B(0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A(0，1)时，z max ＝3.所以z ∈[－3，3]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________．解析：由sin 2A ＝2sin Acos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cosA)2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 答案：15314．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b|的最小值为________．解析：因为ab ＝50＞0，所以a 与b 同号，若二者均为正数，则|a ＋2b|≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，所以a ＝10，b ＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a ＞0，－b ＞0，|a ＋2b|＝－(a ＋2b)≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，所以a ＝－10，b ＝－5符合题意．所以最小值为 20.答案：2015．已知点A(4，1)，B(7，5)，C(0，4)，则△ABC 中的∠BAC 的大小是________．解析： AB →＝(3，4)，AC →＝(－4，3)，因为AB →·AC →＝3×(－4)＋4×3＝0，所以AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°.答案：90°16．在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则角B 的大小为________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 所以A ＝60°.再由sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ⇒a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝90°，所以B ＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差d 不为零，首项a 1＝2且前n 项和为S n .(1)当S 9＝36时，在数列{a n }中找一项a m (m ∈N *)，使得a 3，a 9，a m 成为等比数列，求m 的值；(2)当a 3＝6时，若自然数n 1，n 2，…，n k ，…满足3＜n 1＜n 2＜…n k ＜…，并且a 1，a 3，an 1，…，an k ，…是等比数列，求n k .解：(1)数列{a n }的公差d≠0，a 1＝2，S 9＝36，所以36＝9×2＋12×9×8d ， 所以d ＝12，所以a 3＝3，a 9＝6. 由a 3，a 9，a m 成等比数列，则a 29＝a 3·a m ，得a m ＝12，又12＝2＋(m －1)·12， 所以m ＝21.(2)因为{a n }是等差数列，a 1＝2，a 3＝6，所以a n ＝2n.又a 1，a 3，an 1成等比数列，所以公比q ＝3.所以an k ＝a 1·q k ＋1＝2·3k ＋1. 又an k 是等差数列中的项，所以an k ＝2n k ，所以2n k ＝2·3k ＋1， 所以n k ＝3k ＋1(k ∈N *)． 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得：d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4a －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n.显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n[2＋（4n －2）]2＝2n 2. 令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?解：(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －⎣⎡⎦⎤6x ＋x （x －1）2·2－50， (0＜x≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x≤10，x ∈N)，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52，而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x [y ＋(25－x)]＝1x(－x 2＋19x －25)＝ 19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2 x·25x ＝9， 当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20．(本小题满分12分)实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b)对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A(－3，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B(－2，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C(－1，0)， 所以在下图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC|·h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b)和点D(1，2)连线的斜率． 因为k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2a －1＜k CD ， 所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎫14，1. (3)因为(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b)与定点(1，2)之间距离的平方， 所以(a －1)2＋(b －2)2∈(8，17)．21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f(S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项；(2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：因为x ，f （x ）2，3(x≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3. 所以f(x)＝(x ＋3)2.因为S n ＝f(S n －1)(n≥2)，所以S n ＝f(S n －1)＝(S n －1＋3)2.所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3.所以{S n }是以3为公差的等差数列．因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3. 所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n.所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项， 所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n， 所以b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝ 118⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋ ⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝ 118⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）. 22．(本小题满分12分)规定：max(a ，b ，c)与min(a ，b ，c)分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f(1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f(1)． 证明：由题意知a ，b ，c ＞0，f(1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac≥0.(1)若b≥49f(1)，结论显然成立；下面证明当b ＜49f(1)时，结论也成立． 记f(1)＝a ＋b ＋c ＝d ，由b 2－4ac≥0，可知ac≤b 24＜481d 2，而a ＋c ＝d －b ＞59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a(a ＋c)＞59ad ，即⎝⎛⎭⎫a －19d ⎝⎛⎭⎫a －49d ＞0， 解得a ＜19d 或a ＞49d.若a ＜19d ，则a ＋c ＞59d ，c ＞49d. 因此，必有a ＞49f(1)或b ＞49f(1)或c ＞49f(1)，于是max(a ，b ，c)＞49f(1)． (2)若a≤14f(1)，结论显然成立；下面证明当a ＞14f(1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a ＜34d 且b 2≥4ac ＞cd ， 所以c ＋cd ＜c ＋b ＜34d ， 整理为⎝⎛⎭⎫c ＋32d ⎝⎛⎭⎫c －12d ＜0， 解得c ＜14d. 因此，必有a≤14f(1)或c ＜14f(1)，于是min(a ，b ，c )≤14f(1)．。