八年级数学上册 第14章 勾股定理复习导学案1 华东师大版

《勾股定理》教学设计一、地位与作用：这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。

勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面：1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。

2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。

3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。

二、教学目标：1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。

2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。

3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。

三、教学重点：勾股定理的证明及应用四、教学难点：学生数学语言的运用五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。

七、分课时教学过程设计：§直角三角形三边的关系【教学目标】一、知识目标1.在探索基础上掌握勾股定理。

2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。

二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。

2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。

3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。

三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。

【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。

《勾股定理》导学案第一课时一、课堂目标我领悟1.动手探索直角三角形的三边关系，掌握并能运用直角三角形的三边关系解决实际问题。

2.经历用测量计算、数格子等方法探索勾股定理的过程，进一步提高自己的合情推理意识，培养主动探究的思想。

3.培养数形结合的思想，体会数学与现实的紧密联系，感受其价值。

二、重点难点我分析学习重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。

学习难点：探索勾股定理。

三、自主学习我能行（预习与交流）1、知识准备。

回忆：对于直角三角形，我知道哪些知识？AB C2、学生自学课本P48——51，回答问题：（1）勾股定理的成立必须是在哪种三角形中？其余三角形成立吗？（2）勾股定理的具体内容是什么？请结合下图，把勾股定理的具体内容用数学语言和图形结合起来说一说。

A四、探索交流我最棒探究活动一 B C请大家测量你们手中的直角三角形纸片，根据下表填空：（测量的时候都取整数）根据你们的测量与计算，可以做出怎样的猜想？我们猜想：直角三角形三边的关系是探究活动二相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？(1)观察每个图形中的三个正方形之间的面积有什么关系？(2)你能把三个正方形的面积与它们的边结合起来，写成一个关系式吗（3）你有什么发现？结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的等于两直角边的。

探究活动三观察课本p49图，填空并交流.问题:正方形P的面积平方厘米正方形Q的面积平方厘米正方形R的面积平方厘米正方形P、 Q、 R的面积之间的关系____________由此我们得到，这个直角三角形ABC的三边长度存在的关系__________ ____ 结论在一般的直角三角形中两直角边的等于斜边的。

探究活动四1、画一画分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形．2、量一量量出你画的直角三角形的斜边长（取整数）。

课题反证法【学习目标】1．掌握反证法的定义；2．理解并掌握反证法证明命题的一般步骤；3．会利用反证法证明简单命题．【学习重点】体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证明命题的步骤；【学习难点】用反证法证明简单的命题．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题回顾：根据等腰三角形的性质，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB，AC要么相等，要么不相等．我们可以假设AB＝AC，那么根据等边对等角定理可以得到∠B＝∠C，但已知条件是∠B≠∠C，所以这与已知条件相矛盾，因此AB≠AC.自学互研生成能力知识模块一探究反证法的定义以及用反证法证明命题的步骤阅读教材P114～P115，完成下面的内容：问题：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如果∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．探究：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理可知△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．归纳：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．知识模块二用反证法证明简单的定理范例：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.证明：假设∠B＝∠C，则AB＝AC.这与已知AB≠AC矛盾，假设不成立．∴∠B≠∠C.变例：用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．证明：假设等腰三角形两底角不是锐角，则有两种情况：(1)当两底角都是直角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是直角不成立；(2)当两底角都是钝角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是钝角不成立．∴等腰三角形的底角都是锐角．归纳：(1)根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾；(2)用反证法证明命题时，应注意的事项：①周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；②推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；③在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块一探究反证法的定义以及用反证法证明命题的步骤知识模块二用反证法证明简单的定理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题勾股定理【学习目标】1．让学生利用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系；2．让学生能够运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题；3．让学生在学习的过程中体验数学的美，从而提高学习数学的兴趣．【学习重点】勾股定理．【学习难点】勾股定理的实际应用．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：当c为斜边时，还可以作如下变形：①a2＝c2－b2；②b2＝c2－a2；③a＝c2－b2；④b＝c2－a2；⑤c＝a2＋b2.情景导入生成问题回顾：1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边是AB，直角边是BC、AC．2．计算：(1)3的平方是9；(2)4的平方是16；(3)5的平方是25；(4)32＋42＝25＝52；(5)92＋402＝1681＝__412．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理阅读教材P108～P109，完成下面的内容：(1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？答：两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面猜想的数量关系吗？答：4，9，13；16，9，25.满足上面猜想的数量关系．归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a2＋b2＝c2，即勾2＋股2＝弦2.范例：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度．(1)(2)解：(1)在直角三角形中，x2＝172－152＝64.则x＝64＝8.(2)100＋225＝325.知识模块二利用勾股定理求边长范例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，求AB的长．解：在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝52＋122＝169＝13.仿例：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，如图1，点A、B都是格点，求线段AB的长度．解：构造如图2所示的Rt△ABC，∠C＝90°.图1图2注意：灵活运用勾股定理，在需要时创建直角三角形．注意：做这一类题型要分类讨论，3和4可能都是直角边或一条直角边、一条斜边．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．由题意知：AC＝3，BC＝4，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝32＋42＝25＝5(其他创建直角三角形的方法也可)．变例：已知一直角三角形的两边长是3和4，求三角形第三边的长．解：设三角形的第三边长为x(x＞0)，当x为斜边时，如图，则x2＝32＋42，∴x＝5.当x为直角边时，如图，4为斜边，则x2＋32＝42，∴x＝7.综上所述：三角形的第三边长为5或7.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究勾股定理知识模块二利用勾股定理求边长检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题勾股定理的简单应用【学习目标】1．引导学生用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性；2．让学生学会使用勾股定理解决简单实际问题；3．结合解题过程，培养学生数形结合的数学思想．【学习重点】勾股定理的验证过程． 【学习难点】利用勾股定理解决实际问题．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．知识链接：1.直角三角形的面积公式：两直角边乘积的一半； 2．正方形面积公式：边长的平方．情景导入 生成问题回顾：1.勾股定理的内容是什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a 、b 、c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a 2＋b 2＝c 2，即勾2＋股2＝弦2.图12．求图1、图2中x 、y 的值及两个直角三角形的面积．图2解：(1)在直角三角形中， x ＝52＋122＝13， S ＝12×5×12＝30.(2)在直角三角形中， y ＝202－162＝12， S ＝12×16×12＝96.3．如图所示，图中字母A 所代表的正方形的面积是( D ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．64行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．注意：用不同的方法表示大正方形的面积．一般步骤：利用不同的两种方法表示直角梯形的面积，其原理是等积法．知识链接：方位角：以正北或正南方向的射线为一边，以偏东或偏西方向的射线为另一边形成的夹角叫方位角．如：北偏东30°，南偏西63°等；东北方向：北偏东45°.自学互研 生成能力知识模块一 勾股定理的验证阅读教材P 110～P 112，完成下面的内容：图1范例：如图，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？用图1验证勾股定理． 证明：∵S ＝(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2， S ＝4×12ab ＋c 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.图2仿例：如图，利用图2验证勾股定理． 证明：∵S ＝c 2，S ＝4×12ab ＋(b －a)2＝2ab ＋a 2－2ab ＋b 2，∴c 2＝2ab ＋a 2－2ab ＋b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.图3变例：如图，利用图3验证勾股定理．证明：∵S ＝（a ＋b ）（a ＋b ）2＝12a 2＋ab ＋12b 2，S ＝2×12ab ＋12c 2＝ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝ab ＋12c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识模块二 利用勾股定理解决实际问题典例：“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车是否超速？解：由题意可知：AB ＝50米，AC ＝30米，AC ⊥BC ， 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝502－302＝40(米)．∴小汽车的行驶速度为40÷2＝20(米/秒)＝72(千米/小时)． ∵72千米/小时>70千米/小时， ∴小汽车超速．变例：有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多少海里？解：由题意可知： OA ＝1.5×12＝18(海里)， OB ＝1.5×16＝24(海里)， OA ⊥OB ， 在Rt △AOB 中，AB＝OA2＋OB2＝182＋242＝30(海里)．答：它们离开港口1.5小时后相距30海里．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一勾股定理的验证知识模块二利用勾股定理解决实际问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

14.2 勾股定理的应用【学习目标】1.准确运用勾股定理及逆定理2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。

3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。

【学习重难点】1、掌握勾股定理及逆定理2、正确运用勾股定理及逆定理【学习过程】一、课前准备1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，•则第三边的长是_________．3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．•问至少需要多长的梯子？二、学习新知自主学习：1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到C点的最短路程是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？学习体会：我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．实例分析：例1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A出发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数例3：已知CD=６m， AD=８m，∠ADC=90°， BC=24m，AB=26m。

第14章 勾股定理 复习一、预备知识1.二次根式的基本性质：① a ≥0（a ≥0） ② ( a )2＝a （a ≥0）③ a · b ＝ab （a ≥0，b ≥0） ④ab ＝ a · b （a ≥0，b ≥0）2.有理数或字母与根式相乘，乘号省略不写，先写有理数，再写无理数，字母最后 3× 5 ＝3 5 2× a ＝2 a 2 ×4a ＝4 2 a 23 ×5a ＝25a33. (a b )2＝a 2·( b )2=a 2b （b ≥0）4. 1 =1 2 ≈1.414 3 ≈1.732 4 =2 5 ≈8 =2 2 9 =3 12 =2 3 16 =4 18 =3 220 =2 55.用代数式表示a 、b 两数的平方和___________________ 和的平方_______________⊿ABC 中，一般地，如果∠C=90°，那么用小写字母_______表示斜边，用小写字母a 表示直角边________，用小写字母__________表示直角边AC.其中，____最长.7. 大于0度小于90度的角叫锐角；90度的角叫直角；大于90度小于180度的角叫钝角；180度的角叫平角；大于180度小于360度的角叫优角；360度的角叫周角.aA CBCC平角钝角直角锐角8. 和为90度的两个角叫互为余角，和为180度的两个角叫互为补角.直角三角形中两锐角互余.9. 一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角，至少有两个锐角.10. 三边构成三角形的前提是小的两边之和大于第三边；三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.第三边X围在另两边和差之间.11. 直角三角形中斜边最长.①有一个角是30°的直角三角形三边的长度关系(30°角所对的边是斜边的一半)a :b :c = 1 : 2 : 3 （记牢此比例关系）a =12c b = 3 ac = 2a②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形CA = CB AB = 2 CA = 2 CB (正方形的对角线是边长的 2 倍！！)二、定理及其逆定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2.公式的证明方法有数百种：最常见的是以下两种，直角三角形斜边构成的正方形面积等于两条直角边构成的正方形的面积之和.3.公式及变形：a2+b2=c2c=a2+b2a=c2-b24.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此也可以判断锐角三角形或者钝角三角形.5.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41三、直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边.如图所示: h =abc()()2222222102441002250115017, 176b b b b b b b b b b ++=++=++=++=+=±+=-=舍去h 是斜边c 上的高h = abc四、已知直角三角形的两边，求第三边的长.3，4，（5或7 ）五、比例系数的运用 Rt △ABC 中，∠C=90°1. a:b = 8:15 , c = 34 ,求a 、b2. a:b = 3:4 ，周长为24 ， 求面积3. a:b = 4:5 ，面积为20 ，求周长4.∠A=30°, c = 8 ,求斜边上的高5.∠A=12 ∠C ， c = 6 ，求周长6.a 比b 大2 ，c = 10 ，求面积：7.斜边长为2 ，周长为2＋7 ，求面积：8.斜边比直角边大2，另一直角边为6，求斜边长四、等边三角形的面积为34a 2（a 表示边长） 五、三边分别为多项式时，证明三角形是直角三角形1.当n 为自然数时，试说明以a=2n 2+2n , b=2n+1 , c=2n 2+2n+1为三边的三角形是直角三角形.2.a=n 2-1 , b=2n , c=n 2+1(n>1)3. 若ΔABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC 的形状.六、已知锐角三角形的两边，求第三边的X 围七、在方格中画指定边长的三角形（正方形的对角线是边长的 2 倍）八、直角三角形斜边上的高的平方等于高所分斜边两段的乘积.h hhmmn nnmh 2= mn。

14.1.3 反证法【学习目标】1．通过实例，体会反证法的含义．2.了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题【学习重难点】1、理解反证法的意义。

2、熟练运用反证法。

【学习过程】一、课前准备预习反证法的步骤.二、学习新知自主学习：问题1 小龙和小明看过电影后走出电影院，小明扫视周围后不假思索的唠叨：“下了雨，天还这么热。

”小明很诧异，问：“哪里下了雨？”“你没看到马路快车道上全是湿漉漉的吗？”“没有下雨，这是洒水车洒的。

”小明有理有据的回答：“如果下雨的话，不仅快车道上湿，慢车道和人行道上也要湿。

你看，除了快车道外，其它地方都不湿，所以肯定刚才没下雨，”小龙点点头笑道：“不错，是没有下雨，怪不得天这么闷热。

”思考讨论：小龙为什么会赞同小明的分析？小明在分析的过程中体现了一种什么数学方法呢？问题2 我们知道，命题“在直角三角形ABC中，AB=c BC=a CA=b 且∠C=90°那么a2+b2=c2”是真命题。

那么请同学们思考讨论：“在三角形ABC中，AB=c BC=a CA=b 且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？如果是请说明理由。

归纳：1、反证法的概念：反证法（Proofs by Contradictio n，又称归谬法、背理法）：是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

2、反证法的步骤：（1）先假设；（2）然后通过，推出与_______ 、______、或 _________________________________，说明假设不成立，从而得到原结论正确。

实例分析： 例1、求证：两条直线相交只有一个交点.已知：两条直线1l 和2l求证：1l 和2l 只有一个交点.【随堂练习】1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

第14章勾股定理14．1 勾股定理14．1.1 直角三角形三边的关系1．体验勾股定理的探索．2．会用勾股定理求直角三角形的边长．重点用勾股定理求直角三角形的边长．难点用拼图法证明勾股定理．一、创设情境下图是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票．观察这两个图形，你有什么感想？二、探究新知活动一：问题：如图所示是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，回答下列问题：(1)设每个小正方形的边长为1个单位，则小正方形P的面积＝________，小正方形Q 的面积＝________，两者之和＝________，大正方形R的两积＝________.(2)你发现了什么？(3)你能把你的发现与△ABC的三边a，b，c联系起来吗？________________________________________________________________________ 活动二：观察下图，如果每一小方格表示1平方厘米，用观察到的结果填空：(1)正方形P的面积＝________平方厘米；正方形Q的面积＝________平方厘米；正方形R的面积＝________平方厘米；(2)正方形P，Q，R的面积之间的关系是________；(3)由此得到Rt△ABC的三边的长度之间存在关系________________________．活动三：在练习本上，用三角尺画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对这个直角三角形是否成立．两条直角边的长为 6 cm 和8 cm呢？活动四：(1)根据你所得到的关系式，你能用数学语言把这个结论叙述出来吗？(2)运用此定理的前提条件是什么？(3)公式a2＋b2＝c2的变形公式有哪些？(4)由(3)知在直角三角形中，只要知道________条边，就可以利用________________求出________．三、练习巩固1．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝________；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝20，则BC＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的两边长是6和8，则它的第三边长是________．2．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求BC边上的高．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第117页习题14.1第1，2，3题．新课程标准对勾股定理这部分教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题．本节课教师从引导结构的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐．。

第14章勾股定理小结与复习教学目标知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．教学准备教师准备：投影仪，补充资料．学生准备：写一份单元复习小结．教学设计教学过程一、回顾与交流1．重点精析勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．2．例题精讲例在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．教师分析：因为Rt△的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．•分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2a2+b2=q2（勾股定理）∴2ab=p2-q2∴S Rt△ABC=12ab=（14p2-q2）（厘米2）学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．媒体使用：投影显示例题．教学形式：师生互动．3．课堂演练演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．参考答案：480m．演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．参考答案：b=或34．演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，•你能算出水池的深度吗？思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，•然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，•BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．4．难点精析勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）先确定最大边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC•不是直角三角形．此时情况有两种：（1）当a 2+b 2>c 2时，三角形为锐角三角形；（2）当a 2+b 2<c 2时，三角形为钝角三角形． 5．范例精讲例 如图所示，△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC ．教师分析：要求AC 的长度，首先确定AC 所在的△ACD ，而关键是要判断出△ADC•是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，•所以可以先通过勾股定理判断出△ABD 是Rt △，这样就可以得到∠ADC=90°，•从而再应用勾股定理求出AC 的长．解：因为AD 是边BC 上的中线，且BC=20， 所以BD=DC=12BC=10 因为AD 2+BD 2=576+100=676，AB 2=262=676，AD 2+BD 2=AB 2所以∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．（勾股逆定理） 在Rt △ADC 中 AC=22222410AD DC +=+=26（勾股定理）评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD 垂直平分BC ，所以AC=AB=26． 6．课堂演练演练一：在数轴上作表示-5的点．思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A ，以O （原点）为圆心，OA 为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？演练三：设△ABC 的3条边长分别是a ，b ，c ，且a=n 2-1，b=2n ，c=n 2+1． （1）填表：n a b c a2+b2c2△ABC是不是直角三角形2 3 4 5 25 253456…………………（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c•的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3•个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，•把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，•工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．媒体使用：投影显示“演练题”．教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．二、构筑知识系A.B.三、随堂练习课本P62复习题第4，7，10，11题． 四、布置作业1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题． 2．选用课时作业设计． 五、课后反思（略）课时作业设计一、填空题1．在△ABC 中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC 面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a 2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC 的周长为40cm ，∠C=90°，BC ：AC=15：8，则它的斜边长为______． 4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________． 二、选择题5．在下列说法中是错误的（ ）．A ．在△ABC 中，∠C=∠A-∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a=35c ，b=45c ，则△ABC 为Rt △ D ．在△ABC 中，若a ：b ：c=2：2：4，则△ABC 为直角三角形6．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）． A ．6cm B ．5cm C ．3060.1313cm D cm 7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）． A ．a=6，b=8，c=10 B ．a=1，b=2，c=6C ．a=54，b=1，c=34D ．a=2，b=3， 8．有四个三角形：（1）△ABC 的三边之比为3：4：5；（2）△A ′B ′C ′的三边之比为5：12：13； （3）△A ″B ″C ″的三个内角之比为1：2：3；（4）△CDE 的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）． A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 三、解答题9．如果3条线段的长a ，b ，c 满足c 2=a 2-b 2，那么这3•条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC•是直角吗？请说明理由．11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，•使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？四、探究题13．如图所示，在一块正方形ABCD•的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=14BC，•然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，•使点D与点B 重合．求：（1）折叠后DE的长；（2）以折痕EF为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A答案:一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8 二、5．B 6．D 7．B 8．D ()三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2•12．12米 四、13．方案正确，理由:裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a ，则DF=FC=2a ，EC=a ．在Rt•△ADF 中，由勾股定理，得AF 2=AD 2+DF 2=（4a ）2+（2a ）2=20a 2；在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+a 2=5a 2；在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2=（4a ）2+（3a ）2=25a 2．∴AE 2=EF 2+AF 2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°， ∴△AFE 是直角三角形．14．提示：设DE 长为xcm ，则AE=（9-x ）cm ，BE=xcm ，那么在Rt △ABE 中，∠A=90°，∴x 2-•（9-x ）2=32， 故（x+9-x ）（x-9+x ）=9，即2x=10，那么x=5，即DE 长为5cm ，连BD 即BD 与EF•互相垂直平分，即可求得：EF 2=12cm 2，∴以EF 为边的正方形面积为144cm 2．。